Đại học Quốc gia Hà Nội Trờng Đại học khoa häc tù nhiªn Trịnh Tuân Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận tích chập suy rộng phép biến đổi I luận án Tiến sĩ Toán học H Nội - 2009 Đại học Quốc gia Hà Nội Trờng Đại học khoa học tự nhiên Trịnh Tuân Hàm dạng I với nhiều đối số ma trËn vµ tÝch chËp suy réng cđa phÐp biÕn đổi I Chuyên ng nh: Toán Giải tích M số: 62.46.01.01 TËp thĨ h−íng dÉn khoa häc: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo GS TSKH Nguyễn Văn Mậu luận ¸n TiÕn sÜ To¸n häc H Néi - 2009 MÙc lc Danh mc k hiữu Danh mc hàm hàm đặc biữt Mẻ đầu 13 Ch¬ng : Hàm dạng I vèi nhiu đậi sậ ma trận 1.1 Hàm dạng I vèi nhiu đậi sậ ma trËn 25 1.2 T›ch chËp ®Ëi vÌi ph–p bi’n ®Êi M 41 K’t luËn ch¬ng 45 Chơng : Php bin đấi I tch chập suy rẩng đậi vèi php bin ®Êi (Fs) I Ph–p bi’n ®Êi I T›ch chËp suy rÈng ®Ëi vÌi ph–p bin đấi I Kt luận chơng 2.1 2.2 Chơng : Các tch chập suy rẩng vèi hàm trng đậi vèi php bin đấi tch phân Kontorovich - Lebedev ngểc (K1), Fourier sine vµ cosine (Fc) 3.1 T›ch chËp suy rÈng vÌi hàm trng đậi vèi php bin tch phân K1, F , F đấi s c ng dng giải mẩt lèp hữ phơng tr nh tch phân 70 3.2 T›ch chËp suy rẩng vèi hàm trng đậi vèi php bin đấi tch phân Fc, K ng dng giải mẩt sậ hữ phơng tr nh tch phân 82 K’t luËn ch¬ng 97 K’t luËn chung 98 Danh mÙc c«ng tr nh c«ng bË 100 Tài liữu tham khảo 101 Danh mc k hiữu ã N = {1, 2, } • R+ = {x|x > 0}: ã= ã tập sậ t nhiên; Z tËp sË nguyªn −i, i = −1 (f ∗ g)(x): tập sậ thc dơng ã (f g)(x): t›ch chËp cỊa hai hµm f vµ g t›ch chËp cỊa hai hµm f vµ g vÌi hµm tr‰ng γ(x) k • (f ∗ g)(x): •F: t›ch chËp cỊa hai hµm f vµ g theo chÿ sË k ph–p bin đấi tch phân Fourier (F f)(y) = + Z 2π • F c F r +∞ : php bin đấi tch phân Fourier sine s r (Fs f)(y) = ã : php bin đấi tch phân Fourier cosine (Fc f)(y) = • f(x)e−iyxdx, y ∈ R M: + php bin đấi tch phân Mellin + Z ∗ f (x) = (M f)(y) = f(x)x y−1 • M−1: ph–p bi’n ®Êi Mellin ngĨc −1 (M g)(x) = 2πi c−i∞ dx • L: ph–p bi’n ®Êi Laplace +∞ Z (Lf)(y) = e −xy f(x)dx ã L1: php bin đấi Laplace ngểc c−i∞ α − −α • (x Λ + x )(.): php bin đấi Laplace bin dạng (x Λ+ x )f(x) = ®„ Re(α) > − • H: ph–p bi’n ®Êi Hilbert −∞ • H−1: ph–p bin đấi Hilbert ngểc (H1f)(x) = ã S: php bin đấi Stieltjes (Sf)(y) = Z ã K: php bin ®Êi Kontorovich - Lebedev +∞ (Kf)(y) = Z ã K1 php bin đấi Kontorovich - Lebedev ngểc (K−1f)(x) = π2 x sh(π x) +∞ Z đ K hàm Macdonald ã Php bin đấi M: ix đ Re > ã Php bin đấi G = ®„ Gm n pq σ G− Meijer, lµ hµm Z 2πi ∗ −s ψ(s)f (s)x ds σ 1o = s ∈ C : Re(s) = , n p; m q; n (s) = f bin đấi Mellin Re(j) + Re(j) + ã Tch phân Mellin - Barnes xác đfinh nh sau: ì (b B s) (b − B s) 1 n − D1s) (dq − Dqs) ®„ γ thc, Aj, Bj, Cj, Dj dơng n zs ds (d1 +∞ R • L(R+) = {f(x) : |f(x)|dx < +∞} +∞ R • L(R+, δ(x)) = {f(x) : • δ |δ(x)||f(x)|dx < +∞}: c,γ M vÌi σ = f(x) kh«ng gian vÌi tr‰ng − (L) = f(x) : f(x) = vµ nγ s ∗ |s| f (s đ l L(R+) đểc xác đfinh bẻi (Fcl)(y) = tch chập (à Ã) đểc xác đfinh bẻi (3.1.2) Chng minh Giả s hữ phơng tr nh (3.2.24, 3.2.25) c nghiữm không gian L(R+) Khi đ hữ c th ®Ĩc vi’t l¹i nh sau f(x) + λ1(ϕ ψ λ2 S dng đẳng thc nhân t hoá đậi vèi tch chập (3.2.1), (3.1.14), (3.1.1), (3.1.11) (3.1.2) ta c„ −1 (Fcf)(y) + λ1γ(y)(K ϕ)(y)(Fcg)(y) = (Fch)(y), −1 λ2 1(y)(Fs)(y)(K )(y) (Fcf)(y) + (Fcg)(y) = (Fck)(y), Hữ tơng ®¬ng vÌi −1 (Fcf)(y) + λ1γ(y)(K ϕ)(y)(Fcg)(y) = (Fch)(y), γ λ2Fc(ξ ∗1 ψ)(y)(Fcf)(y) + (Fcg)(y) = (Fck)(y), y > Ta c„ y > 95 Theo ®finh l Wiener-Lvy (xem [2]), tn mẩt hàm l ∈ L(R+) cho −1 = (Fch)(y) λ1γ(y)(K ϕ)(y) (Fck)(y) = (Fch)(y) − λ1Fc(ϕ ∗ k)(y) Suy γ (Fcf)(y) = + (Fcl)(y) (Fch)(y) = (Fch)(y) VËy f(x) = h(x) NhÍ s˘ tÂn t¹i cỊa tch chập ( 3.2.1 dẫn đn f(x) L(R+) Tơng t˘, Suy (Fcg)(y) = [1 + (Fcl)(y)] (Fck)(y) λ2Fc VËy g(x) = k(x) 96 NhÍ s˘ tÂn t¹i cỊa tch chập (à Ã) (à đn g(x) ∈ L(R+) Fc ·) kh«ng gian L(R+) dÉn D dàng kim tra f, g xác đfinh nh đng nghiữm cềa hữ phơng tr nh (3.2.24) - (3.2.25) Mữnh đ đểc chng minh xong Nhận xt 3.2.1 Trong mẩt sậ kt đà bit ẻ [14, 35, 47, 50, 51, 53, 54, 55, 56], c¸c t›ch chập đểc xây dng trèc đu c cễng mẩt đặc đim đẳng thc nhân t cềa n„ chÿ c„ nhÊt mÈt ph–p bi’n ®Êi t›ch phân tham gia php bin đấi tch phân theo chÿ sË thc cƠng mÈt h‰ tham gia C¸c tch chập suy rẩng vèi hàm trng đậi vèi php bin đấi tch phân K1, Fs, F đểc xây dng ẻ khác hoàn toàn vèi tch chập đà bit trèc đ ẻ ch đẳng th¯c nh©n tˆ h„a cỊa chÛng c„ nhi“u ph–p bi’n đấi tch phân khác tham gia Các tch chập suy rẩng không giao hoán không kt hểp Nhng hữ phơng tr nh tch phân đểc xây dng ẻ nhằm mc đch minh cho ng dng cềa tch chập suy rẩng mèi nhận đểc Các mữnh đ đểc phát biu sau mi hữ phơng tr nh tch phân đà khẳng đfinh s tn nghiữm cềa hữ không gian hàm L(R+) cho cấu trc nghiữm dèi dạng đng, biu din thông qua tch chập suy rẩng mèi tch chập, tch chập suy rẩng đà bit trèc đ Cần phải nhấn mạnh nhng hữ phơng tr nh tch phân ch c th giải đểc công c t›ch chËp suy rÈng mÌi nhËn ®Ĩc c K’t ln chơng Kt chnh cềa chơng cềa chơng là: ã ã Xây dng đểc ba tch chập suy rẩng mèi vèi hàm tr ng đậi vèi php bin đấi tch phân (Fs, K1, Fc); 1 (Fc, K , Fs); (Fc, K ) cƠng vÌi c¸c t›nh chất cềa chng cng nh mẩt sậ mậi liên hữ vèi tch chập đà bit ng dng tch chập suy rẩng mèi vào giải mẩt sậ hữ phơng tr nh tch phân kiu tch chập suy rẩng, nghiữm nhận đểc dèi dạng đng 97 Kt luận chung Nhng kt chnh cềa luận án Xây dng đểc hàm dạng I vèi nhiu đậi sậ ma trận, t đ nghiên cu tnh chất cềa chng Xây dng đểc tch chập đậi vèi php bin ®Êi M cỊa hai hµm f, g vÌi nhi“u ®Ëi sậ ma trận, ng dng đ giải phơng tr nh t›ch ph©n ki”u t›ch chËp X©y d˘ng ph–p bin đấi I, ch không gian hàm cho s tn cềa php bin đấi này, nhận đểc php bin đấi ngểc chng minh đểc ánh xạ đng phôi gia không gian đ T đ xây , nghiên cu dng tch chập suy rẩng đậi vèi php bin đấi I I1 tnh chất cềa chng Trong trng hểp đặt biữt cềa tham sË rk = ri = rj = NhËn ®Ĩc đẳng thc nhân t vèi s tham gia cềa php bin đấi H I Xây dng th d minh cho s tn cềa tich chập suy rẩng cềa php bin đấi I không I gian hàm ch , nh mẩt sậ hàm đặc biữt khác mà chng nhận đểc liên hữ gia tch chập vèi nh˜ng trÍng hĨp chÿ sË k = 3, 4, 5, Chn ba php bin đấi tch phân Fs, K1, Fc đ xây dng tch chập suy rẩng vèi hàm trng đậi vèi ba php bin đấi tch phân nh mẩt trng hểp áp dng cho l thuyt tấng quát ẻ chơng chơng Nghiên cu s tn cềa tch chập suy rẩng Đặc biữt ng dng tch chập mèi vào giải mẩt sậ lèp hữ phơng tr nh tch phân kiu tch chập Luận án mẻ mẩt sậ vấn đ c th tip tc nghiên cu: Nghiên cu điu kiữn tn cềa hàm dạng I vèi nhiu đậi sậ ma trận, ch trng hểp riêng hàm H vèi nhiu đậi sậ ma trận Xây dng php bin đấi tch phân cho lèp hàm I nhiu bin sậ hàm dạng I nhiu bin sậ, t đ nghiên cu tch chập suy rẩng theo 98 99 ch sậ đậi vèi php bin đấi tch phân cng nh đa chập cỊa n„ VÌi mÁi t›ch chËp suy rÈng (f g) cềa bẩ ba php bin đấi tch phân Fs, K−1, Fc ta c„ th” cË ®finh mÈt hai hàm f g đ nghiên cu php bin ®Êi t›ch ph©n ki”u t›ch chËp suy rÈng cÚng nh đa chập cềa ba php bin đấi tch phân Đặc biữt ng dng tch chập suy rẩng cho nhm php bin đấi tch phân Fs, K1, Fc đ giải mẩt sậ lèp phơng tr nh tch phân vèi nhân Toeplitz + Hankel dèi dạng nghiữm đng Danh mc công tr nh cềa tác giả liên quan đn luận án đà đểc công bậ Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2003), On the Generalized Con- volution for I-transform, Acta Mathematica Vietnamica Vol.28, No 2, 159-174 Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2004), Basic Analogue of I− Function of Several Matrix Arguments Vietnam Journal of Mathemat-ics Vol 32, No 4, 419 - 431 Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2005), On the Generalized Convolutions of the Integral Kontorovich - Lebedev, Fourier sine and cosine Transforms, Annales Univ Sci Budapest, Sect Comp Vol 25, 37-51 Trinh Tuan (2007), On the generalized convolution with a weight function for the Fourier Cosine and the Inverse Kontorovich - Lebe- dev integral tranformations Nonlinear Functional Analysis and Applications Korea Vol.12, No.2, 325 - 341 100 Tài liữu tham kh¶o [1] M Abramowitz and I A Stegun (1964), Handbook of Mathematical Func- tions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , Nat Bur Stan appl Math Ser 55 [2] N I Achiezer (1965), Lectures on Approximation Theory , Science publish-ing House, Moscow [3] F Al-Musallam and Vu Kim Tuan (2001), Existence Internat H-function with complex param-eters: J Math Math Sci 25 (2001), no 9, 571-586 [4] H Bateman and A Erdelyi (1953), Higher Transcendental Functions , Mc Graw-Hill, New York, V.1 [5] H Bateman and A Erdelyi (1954), Tables of Integral Transforms , Mc.Graw-Hill, New York, V.1, [6] R G Buschman (1978), H-function of two variables I, Indian Math J 20, 139- 153 [7] R G Buschman (1979), 10, 81-88 H-function of N- variables , Ranchi Univ Math J [8] Yu A Brychkov, H J Glaeske and O I Marichev (1983), Factorization of integral transformations of convolution type, Itogi Nauki i Techniki Math Anal VINITI V.21, 3-41 (In Russian) [9] C Fox (1961), The G and H-functions as symmetrical Fourier kernels, Tran Amer Math Soc 98, 395 429 [10] G Gasper, M Rahman (1990), Basic Hypergeometric Series, Cambridge University Press [11] W Hahn (1949), Beitrage zur theorie der Heineschen Reihen, Die 24 in-tegrale der hypergeometrischen q-Differenzenleichung, transformation, Math Nachr 2, 340 379 101 Das q-analogen der Laplace 102 [12] Nguyen Thanh Hai, O I Marichev and R.G Buschman (1992) Theory of the general H - function of two variables Rocky Mountain J of Math Vol 22 N 1317 - 1327 [13] I I Hirchman and O V Widder (1955), The Convolution Transforms , Princeton, New Jersey [14] V A Kakichev (1967), On the convolution for integral transforms, Izv AN BSSR, Ser Fiz Mat N.2, 48-57 (In Russian) [15] V A Kakichev, Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hai (1996), Compo- sition method to constructing concoluions for the integral transform Integr Trans Special Func V 235 - 242 [16] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1994), On the generalized convolu-tion for H-transforms, Izv Vuzov Mat No 8, 21-28 (In Russian) [17] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1998), On the design method for the generalized integral convolution, Izv Vuzov Mat, No.1, 31-40 (In Russian) [18] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (2000), A basic analogue of the one and two variables, Izv [19] Y L Luke (1969), The H-function of Vuzov Mat 28-34 Special Functions and their Aproximations Vol I and II Academic Press New York [20] O I Marichev (1983), Handbook of Integral Transforms of Higher Tran- scendental Functions Theory and Algorithmic Tables [21] O I Marichev and Vu Kim Tuan (1985), The factorization of spaces of functions Complex Anal New York G-transform in two and Appl Varna 418 - 433 Generalized Hypergeometric Functions with Applications in Statistics and Physical Sciences, Lecture Notes [22] A M Mathai and R K Saxena, (1973) No 348 Springer-Verlag, Heidelberg and New York [23] A M Mathai (1993), Lauricella function of real symmetric positive definite matrices Indian J Pure Appl Math 24, 513-531 103 [24] A M Mathai (1995), Special function of matrix arguments -III Proc Nat Acad Sci India A 65, 367-393 The H-Function with Applications in Statistics and Other Discipline , Wiley Fastern Limited, New Delli Ban- [25] A M Mathai and R K Saxena (1978), galore Bombay [26] Nielsen Niels (1906), Handbuch der Theorie der Gamma-funktion B C Teubner, Leipzig [27] A P Prudnikov, Yu A Bruchkov and O I Marichev (1986), Integral and Series, V.3: More Special Functions , Gordon and Breach Science Publishers, New York [28] M Saigo and S B Yakubovich (1991), On the theory of convolution integrals for transforms, Fukuoka: G- Univ Sci Report 21, 181-193 Integral and Derivative of Fractional Order and Several Their Application , Minsk (In Russian) [29] S G Samko, A A Kilbas and O I Marichev (1987), [30] R K Saxena (1982), Formal solution of certain new pair of dual integral equations involving H− functions Proc Nat Acad Sci India Sect A , No 52, 366 - 375 [31] R K Saxena, R A Kumar (1995), A basic analogue of generalized H-function, Matematiche 50, 263-271 [32] R K Saxena, R A Kumar, (1990), Certain finite expansions associated with a basic analogue of G - function Rev Tec Ing Univ Zulia V 13, 111 - 116 [33] R K Saxena, G C Modi, and S L Kalla (1983), A basic analogue of Fox's H-function, Rev Tec Ing Univ Zulia 6, 139-143 [34] I N Sneddon (1951), Fourier Transform, McGray Hill, New York [35] H M Srivastava and Vu Kim Tuan (1995), A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equation, Math 64, 144-149 Arch 104 H- function of Several Matrix Arguments Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki [36] Nguyen Xuan Thao (1999), Basic analogue of N 12 12-17 (Russian) [37] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa (2004), On the generalized convolution with the weight function for the Fourier cosine and sine transforms Fract Cal and Appl Anal Vol 7, No.3, 323 - 337 [38] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2005), On the generalized con- volution with a weight function for the Fourier, Fourier cosine and sine transforms Vietnam J Math 33 Vol.4, 421 - 436 [39] Nguyen Xuan Thao (1998), H-function of matrix argument, Vestnik, Nov GU Ser.: Estestv and Tehn Nauki 10, 102-106 (in Russian) [40] Nguyen Xuan Thao (2001), On the generalized convolution for Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, Ukr Mat J 53, 560-567 (In Russian) [41] Nguyen Xuan Thao, V A Kakichev and Vu Kim Tuan (1998), On the gen-eralized convolution for Fourier cosine and sine transforms, 90 East-West J Math 1, 85- [42] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hai (1997), Convolution for integral transform and their application, Russian Academy, Moscow [43] Nguyen Xuan Thao (1999), A basic analogue of the I-function of two vari- ables, Volin Mat Visn 102-106 [44] Nguyen Xuan Thao (2000), A basic analogue of the H-function of several variables, Mat Zamet 67, 738-744 [45] E C Titchmarch (1937), Introduction to Theory of Fourier Integrals , Oxford Univ Press, Oxford [46] Vu Kim Tuan (1987), Integral Transforms and Their Composition Structure Dr Sci Dissertation Minsk, 275 p 105 [47] Vu Kim Tuan and M Saigo (1995), Convolution of Hankel transform and its applications to an integral involving Bessel function of first kind, Int J Math and Math Sci V 18, N 2, 545-550 [48] Vu Kim Tuan (1992), On criteria of convergence for double Mellin - Barnes integral Vesci AN Belorussian, Fiz - Mat 25-31 [49] F G Tricomi (1957), Integral Equations, Inter Publ New York and London [50] F G Tricomi (1951), On the finite Hilbert transform, Quart J Math , 199-211 [51] N Ya Vilenkin (1958), The matrix elements of irreducible unitary repre-sentations of a group of Lobacevskiii space motions and the generalized Fok-Mehler transformation, Dokl Akad Nauk SSSR, 118, 219222 (In Russian) [52] F Nikiforov, B Uvarov (1988), Special Functions of Mathematical Physics: Birkhauser Verlag Basel A Unified Introduction with Applications [53] S B Yakubovich (1990), On the construction method for construction of integral convolutions, DAN BSSR 34, 588-591 [54] S B Yakubovich and A I Mosinski (1993), Integral equations and con-volutions for transforms of Kontorovich-Lebedev type, Diff Uravnenia 29, 1272-1284 [55] S B Yakubovich and Nguyen Thanh Hai (1991), Integral convolutions for transforms, H- Izv Vuzov Mat No.8, 72-79 [56] S B Yakubovich (1987), On the convolution for Kontorovich-Lebedev inte-gral transform and its application to integral transform, 31, 101-103 (in Russian) [57] S B Yakubovich (1996), Dokl Akad Nauk BSSR Index Transforms, World Scientific Publishing Company, Singapore, New Jersey, London and Hong Kong, 248 p ... đểc hàm dạng I v? ?i nhiu đ? ?i sậ ma trận, không xây dng đểc php bin đ? ?i cho hàm dạng I mà ch m? ?i xây dng ®Ĩc ph–p bi’n ®? ?i cho hµm I mÈt bi’n sË (lèp hàm hp cềa lèp hàm dạng I v? ?i nhiu đ? ?i sậ ma trận) ... cềa hàm dạng I v? ?i nhiu đ? ?i sậ ma trận v? ?i mẩt v? ?i hàm đặc biữt khác (Đfinh l 1.1.1); hữ thc hn hểp (Đfinh l 1.1.2) Nghiên cu php bin đ? ?i M v? ?i nhiu đ? ?i sậ ma trận s mẻ rẩng cềa hàm v? ?i mẩt đ? ?i. .. Hàm dạng I v? ?i nhiu đ? ?i sậ ma trận Trong chơng này, chng xây dng nghiên cu hàm dạng I v? ?i nhiu đ? ?i sậ ma trận da vào k thuật chnh [25], hàm đặc biữt v? ?i đ? ?i sậ ma trận [22, 23] tnh chất cềa hàm