Luận án tiến sĩ bất đẳng thức tích chập suy rộng kontorovich lebedev – fourier và ứng dụng (tt)

B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI PHM VN HONG BT NG THC TCH CHP SUY RNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER V NG DNG LUN N TIN S TON HC H Ni - 2017 B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI * PHM VN HONG BT NG THC TCH CHP SUY RNG KONTOROVICHLEBEDEV - FOURIER V NG DNG LUN N TIN S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó ngnh: 62460102 TP TH HNG DN KHOA HC PGS TS NGUYN XUN THO PGS TS TRNH TUN H Ni - 2017 M U Tng quan v hng nghiờn cu v lý chn ti nh ca hm f qua phộp bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, kớ hiu l KL[f ], c xỏc nh theo cụng thc KL[f ](y) = Kiy (x)f (x)dx, y R+ , (0.1) vi K (x) l hm Macdonald cú ch s thun o = iy n nay, nhng kt qu v bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev trờn cỏc khụng gian hm vi h to tr, h to cu; khụng gian Lebesgue Lp vi trng cng nh xem xột trờn khụng gian hm suy rng ó khỏ phong phỳ v sõu sc Bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev trờn khụng gian hai chiu, khụng gian nhiu chiu; bin i ri rc, bin i hu hn liờn quan n bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev cng ó c cỏc nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu Tớch chp i vi cỏc bin i tớch phõn ó c xõy dng v ng dng nhiu lnh vc khỏc Nm 1998, Kakichev V.A v Thao N.X ó a nh ngha tớch chp suy rng (TCSR) f h vi hm trng ca hai hm f v h i vi ba phộp bin i tớch phõn T1 , T2 v T3 nu f h tha ng thc nhõn t húa T1 f h (y) = (y) T2 f (y) T3 h (y), (0.2) v cho iu kin cn xỏc nh TCSR bit mt s rng buc c th v nhõn ca cỏc bin i tớch phõn tng ng Tớch chp ca hai hm f, h i vi bin i tớch phõn KontorovichLebedev xỏc nh bi cụng thc (f h)(x) = KL 2x e ( x + + ) f ( )h()d d, x x x R+ (0.3) Trong lun ỏn ny, ta nghiờn cu v TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier ú l cỏc TCSR m ng thc nhõn t húa (0.2) cú bin i tớch phõn v trỏi T1 l bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev cú cụng thc (0.1), cũn T2 , T3 l bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, hoc Fourier cosine, nhng T2 , T3 khụng ng thi l bin i tớch phõn KontorovichLebedev Khi c nh hm h tớch chp vi hai hm f, h, ta s nhn c bin i tớch phõn liờn quan n tớch chp tng ng, gi l bin i tớch phõn kiu tớch chp, chng hn bin i liờn quan n tớch chp Mellin f (x) g(x) := k(xy)f (y)dy Cỏc bin i tớch phõn kiu tớch chp Fourier cosine, Fourier sine ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu, nhiờn cha cú bin i tớch phõn kiu TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier c xõy dng Bt ng thc Young i vi tớch chp Fourier ca hai hm f, h l c bn nhng khụng ỳng trng hp thụng thng f, h thuc khụng gian L2 Nm 2000, Saitoh S ỏnh giỏ c chun ca tớch chp (f g) F khụng gian Lp vi trng gi l bt ng thc Saitoh vi tớch chp Nhng kt qu tip theo nghiờn cu v ng dng ca bt ng thc kiu ny ó c cỏc nh toỏn hc Saitoh S., Tuan V.K., Yamamoto M., Duc D.T., Nhan N.D.V nghiờn cu v nhn c nhiu ng dng thỳ v Trong mt s cụng trỡnh gn õy, s dng bin i tớch phõn KontorovichLebedev nghiờn cu cỏc bi toỏn v trng nhiu x súng õm, súng in t vi tr khỏng hỡnh nún trũn ó t c nhng kt qu quan trng, tiờu biu nh cụng trỡnh cỏc tỏc gi Bernard J.M.L., Lyalinov M.A., Zhu N.Y., ú mt s i lng vt lý c bn ca trng nhiu x súng õm, trng súng in t cú th biu din qua cụng thc tớch phõn Kontorovich-Lebedev iu ny lm ny sinh nhu cu biu din trng nhiu x súng õm, th Debye ca trng nhiu x súng in t qua TCSR Kontorovich-Lebedev-Fourier Nm 2011, Yakubovich S.B ch mt nghim ca phng trỡnh tỏn x u(x, t) = t x2 + 3x + x2 u(x, t) x x Tip tc hng nghiờn cu ny, chỳng tụi xột lp phng trỡnh dng parabolic u(x, t) = t x2 + 3x + x2 u(x, t) + x x H(u, x, t, )u(, t)d, trờn (x, t) R+ ì R+ mt s trng hp c th ca hm H(u, x, t, ) T nhng phõn tớch trờn, nh mt s tip ni t nhiờn v m rng hng nghiờn cu, chỳng tụi la chn ti lun ỏn l Bt ng thc tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier v ng dng Mc ớch, i tng v phm vi nghiờn cu Mc ớch ca Lun ỏn l nghiờn cu cỏc bt ng thc v bin i tớch phõn kiu TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier i tng nghiờn cu l TCSR, bt ng thc TCSR, bin i tớch phõn kiu TCSR i vi cỏc bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier sine, Fourier cosine v mt s ng dng phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh o hm riờng v bi toỏn Toỏn-Lý Phm vi nghiờn cu l cỏc bin i tớch phõn, tớch chp, TCSR liờn quan n cỏc bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Phng phỏp nghiờn cu Trong Lun ỏn, chỳng tụi s dng cỏc phng phỏp bin i tớch phõn, phng phỏp toỏn t, phng phỏp gii tớch hm, s dng phng phỏp ỏnh giỏ bt ng thc tớch phõn Bờn cnh ú, cỏc tớnh cht ca cỏc bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier cosine, Fourier sine cng c s dng Cu trỳc v cỏc kt qu ca lun ỏn Ngoi phn M u, Kt lun v Ti liu tham kho, Lun ỏn c chia thnh bn chng nh sau: Chng trỡnh by cỏc kin thc ó bit liờn quan bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine v nhng nh lý, mnh cú liờn quan n Lun ỏn Chng xõy dng tớch chp suy rng mi i vi cỏc bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine Nghiờn cu tớnh cht toỏn t ca tớch chp suy rng ny nh s tn ti, tớnh b chn, ng thc nhõn t hoỏ, ng thc Parseval, t ú xõy dng bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier Nhn c iu kin cn v bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng núi trờn l ng cu, ng c gia hai khụng gian L2 (R+ ) v L2 (R+ ; x) v ng dng gii mt lp phng trỡnh vi-tớch phõn Chng nghiờn cu cỏc bt ng thc v chun i tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev-Fourier trờn cỏc khụng gian hm Lp vi trng Nhn c cỏc bt ng thc kiu Young, bt ng thc kiu Saitoh, kiu Saitoh ngc i vi cỏc tớch chp suy rng ny Nhng bt ng thc i vi tớch chp Kontorovich-Lebedev cng c gii thiu v dng ỏnh giỏ nghim ca mt lp phng trỡnh vi-tớch phõn liờn quan n toỏn t Bessel Chng tỡm hiu mt s ng dng ca tớch chp suy rng KontorovichLebedev nghiờn cu trng nhiu x súng õm, th Debye ca trng nhiu x súng in t Nghiờn cu mt lp phng trỡnh o hm riờng dng parabolic í ngha ca cỏc kt qu ca lun ỏn Lun ỏn ó xõy dng v nghiờn cu tớnh cht toỏn t ca tớch chp suy rng mi i vi ba phộp bin i tớch phõn khỏc Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine, t ú nghiờn cu phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng tng ng Lun ỏn ó nghiờn cu v thit lp c nhng bt ng thc v chun i vi tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier T ú nhn c ng dng nhiu bi toỏn khỏc nhau: gii v ỏnh giỏ nghim ca mt s lp phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi tớch phõn, phng trỡnh o hm riờng dng parabolic; biu din v c lng tim cn, c lng im, c lng theo chun ca mt s i lng vt lý bi toỏn vi tr khỏng hỡnh nún trũn ca nhiu x trng súng õm v súng in t Nhng kt qu ca Lun ỏn ó gúp phn lm phong phỳ thờm v lý thuyt bin i tớch phõn, v bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng, v bt ng thc tớch chp, v lý thuyt phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi-tớch phõn, phng trỡnh vi phõn v phng trỡnh o hm riờng v a mt s hng ng dng vt lý ca tớch chp suy rng Cỏc kt qu v ý tng ca Lun ỏn cú th s dng nghiờn cu cỏc tớch chp suy rng khỏc Ni dung chớnh ca Lun ỏn da trờn cỏc cụng trỡnh ó cụng b, lit kờ mc "Danh mc cỏc cụng trỡnh ó cụng b ca Lun ỏn" Chng KIN THC C S 1.1 Khụng gian Lebesgue Lp() v Lp(; ) Cho l mt Rn v p l s thc p < nh ngha 1.1.1 Ta gi Lp () l khụng gian cỏc hm f o c trờn tha p1 f Lp () |f (x)|p dx < = (1.1) Mt s tớnh cht khụng gian Lp (), p < Mnh 1.1.1 (Bt ng thc Minkowski) Cho f, g Lp () Ta cú f +g Lp () f Lp () + g Lp () (1.3) Mnh 1.1.2 (Bt ng thc Hă older) Cho f Lp (), g Lp1 () Ta cú |f (x)g(x)|dx f Lp () g Lp1 () , (1.4) 1 + = p p1 vi p1 l s m liờn hp ca p tc l Mnh 1.1.3 (Bt ng thc Hă older ngc) Cho hai hm dng f f v g tho < m M < trờn X Rn Khi ú, ta cú g p1 f dà X p1 gdà Ap,p1 X m M X f p g p1 dà, (1.5) nu tớch phõn v phi ca (1.5) hi t õy, p1 l s m liờn hp ca p, v Ap,q (t) c xỏc nh theo cụng thc Ap,q (t) = p t pq (1 t) p1 1q q 1 1 (1 t p ) p (1 t q ) q (1.6) nh ngha 1.1.2 Gi s (x) l mt hm khụng õm trờn Ta gi Lp (; ), p < , l khụng gian cỏc hm f o c trờn tha p1 |f (x)|p (x)dx < , ||f ||Lp (;) = v l hm trng ca khụng gian ny 1.2 Bin i tớch phõn Fourier Bin i tớch phõn Fourier cosine ca hm f L1 (R+ ) c xỏc nh bi (Fc f )(y) := f (x) cos(yx) dx, y R+ (1.11) Bin i tớch phõn Fourier sine ca hm f L1 (R+ ) c xỏc nh bi (Fs f )(y) := f (x) sin(yx) dx, y > (1.12) 1.3 Bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev Bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev trờn khụng gian L1 (R+ ; (x)) Bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev cú cụng thc (0.1) Mnh 1.3.1 (V tớnh nht) Nu hai hm f, g thuc khụng gian L1 (R+ ; K0 (x)) cú cựng nh qua phộp bin i Kontorovich-Lebedev, tc l ta cú KL[f ](y) = KL[g](y), y R+ , thỡ f = g hu khp ni (h.k.n.) Mnh 1.3.2 Cho hm f L1 (R+ ; K0 (x)) vi < < Vi mi im Lebesgue ca hm f ta cú f (x) = lim 2x y sinh Kiy (x)KL[f ](y)dy (1.38) Ta cú nh lý kiu Wiener-Levy cho bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev trờn khụng gian L (R+ ) := L1 (R+ , K (x)), nh lý 1.3.1 Cho f thuc khụng gian L (R+ ) Nu F(s) = + KL[f ](s) = vi mi s phc s trờn di úng | (s)| , bao gm c im vụ cựng thỡ tn ti nht q thuc L (R+ ) cho = + KL[q](s) + KL[f ](s) Bin i Kontorovich-Lebedev trờn khụng gian Lp (R+ ; ), p Cho f L2 (R+ ; x) Khi ú, bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev ca hm f c nh ngha theo cụng thc N KL[f ](y) = lim Kiy (x)f (x)dx N (1.41) N Chỳ ý rng nh ngha (0.1) v (1.41) tng ng nu f L2 (R+ ; x) L0 (R+ ) nh lý 1.3.2 Cho hm f thuc khụng gian L2 (R+ ; x) Bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev ca hm f xỏc nh bi cụng thc (1.41) hi t theo chun khụng gian L2 (R+ ; y sinh y) Cụng thc bin i KontorovichLebedev ngc ca hm f c xỏc nh nh sau f (x) = x y sinh yKiy (x)KL[f ](y)dy (1.42) S hi t ca tớch phõn (1.42) theo chun khụng gian L2 (R+ ; x) Bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev (1.41) l ng cu, ng c gia hai khụng gian L2 (R+ ; x) v L2 (R+ ; y sinh y) Chng BIN I TCH PHN KIU TCSR KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER Trong chng ny, chỳng tụi xõy dng TCSR i vi cỏc bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine T ú, nghiờn cu mt s tớnh cht toỏn t ca TCSR ny nh s tn ti ca chỳng trờn nhng lp khụng gian hm c th, tớnh b chn, ng thc nhõn t hoỏ, ng thc Parseval Cui chng, chỳng tụi xõy dng bin i tớch phõn kiu TCSR Kontorovich-Lebedev-Fourier v nhn c tớnh ng cu, ng c gia hai khụng gian Lebesgue vi trng v cụng thc ngc ca bin i tớch phõn ny Cỏc kt qu chớnh ca chng ny l nh lý 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1 Ni dung ca chng ny da vo mt phn ca hai bi bỏo [1, ] Danh mc cụng trỡnh ó cụng b ca lun ỏn 2.1 2.1.1 TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine nh ngha nh ngha 2.1.1 TCSR ca hai hm f, h i vi cỏc bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, v Fourier cosine c xỏc nh bi cụng thc (f h)(x) = K(x, , )f ( )h()d d, x R+ , (2.1) nu tớch phõn v phi (2.1) tn ti, õy, K(x, , ) = [sinh( + )ex cosh( +) + sinh( )ex cosh( ) ] l nhõn ca tớch chp suy rng (2.1) (2.2) nh lý 2.1.4 Gi s hm f thuc khụng gian Lp (R+ ), hm h thuc khụng gian Lp1 (R+ ), vi p > v p1 l s m liờn hp ca p Khi ú, tớch chp suy rng (f h) l hm liờn tc b chn Hn na, vi mi r 1, (f h) thuc r , v khụng gian Lr R+ ; r 2x (f h) 2.1.3 r Lr (R+ ;r( 2x2 ) f ) Lp (R+ ) h Lp1 (R+ ) (2.17) Tớnh khụng cú c ca khụng nh lý 2.1.5 (nh lý kiu Titchmarsh) Gi s f, h l cỏc hm liờn tc, thuc khụng gian L1 (R+ ; ex ) Nu cú (f h)(x) 0, x R+ thỡ f (x) 0, x R+ , hoc h(x) 0, x R+ 2.2 Bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier Chỳng tụi gii thiu toỏn t vi phõn bc vụ hn sau õy d2 d x x x N dx dx D = lim DN = lim + N N k2 (2.22) k=1 Bõy gi, ta xột bin i tớch phõn kiu TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier: Th : L2 (R+ ) L2 (R+ ; x), f g, ú g xỏc nh bi cụng thc x g(x) = Th [f ](x) = D x K(x, , )f ( )h()d d (2.24) nh lý 2.2.1 Gi s hm h thuc khụng gian L1 (R+ ) Phộp bin i tớch phõn Th l ng cu, ng c gia hai khụng gian L2 (R+ ) v L2 (R+ ; x) v ch h tha iu kin |(Fc h)()| = sinh 10 (2.25) Hn na, ta cú cụng thc bin i ngc d f (x) = dx k=1 d2 2 k dx (e cosh(x ) + e cosh(x+ ) )h( )g()d d 0 (2.26) 2.3 Phng trỡnh vi-tớch phõn liờn quan TCSR Tip theo, ta xột mt lp phng trỡnh vi-tớch phõn liờn quan n toỏn t vi phõn bc vụ hn (2.24) c vit gn (f )(x) + Th [f ](x) = g(x), vi h L1 (R+ ), , g L2 (R+ ; x) l cỏc hm ó cho tho 2y sinh yKL[g](y) L2 (R+ ); (Fs )(y) + sinh y(Fc h)(y) y (Fs )(y) L2 (0; 1), f l hm cn tỡm Ta nhn c nghim ca phng trỡnh khụng gian L2 (R+ ) f ( ) = 2y sinh yKL[g](y) sin ydy (Fs )(y) + sinh y(Fc h)(y) Kt lun Chng Cỏc kt qu chớnh t c: Xõy dng tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine Fourier cosine Chng minh s tn ti v tớnh b chn, ng thc nhõn t hoỏ, ng thc Parseval, tớnh khụng cú c ca khụng ca tớch chp suy rng ny Xỏc nh c iu kin cn v bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng l ng cu, ng c gia hai khụng gian L2 (R+ ) v L2 (R+ ; x) Cho cụng thc nghim úng ca mt lp phng trỡnh vi-tớch phõn 11 Chng BT NG THC TCH CHP SUY RNG KONTOROVICH-LEBEDEV Trong chng ny, chỳng tụi xõy dng mt s bt ng thc kiu Young, kiu Saitoh i vi tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier c gii thiu chng v chng trờn mt lp cỏc khụng gian hm Lp (R+ ) vi trng Ngoi ra, chỳng tụi cng nhn c bt ng thc i vi tớch chp Kontorovich-Lebedev, t ú nhn c mt s c lng v nghim ca phng trỡnh vi-tớch phõn cú liờn quan n toỏn t Bessel Cỏc kt qu chớnh ca chng ny l nh lý 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2, 3.3.1 Ni dung ca chng ny da vo mt phn ca cỏc bi bỏo [2, 3, 4] Danh mc cụng trỡnh ó cụng b ca Lun ỏn 3.1 Bt ng thc i vi tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier 3.1.1 Bt ng thc kiu Young nh lý 3.1.1 (nh lý kiu Young) Cho cỏc s thc dng p, q, r ln hn tho p1 + 1q + 1r = Khi ú, vi cỏc hm s f Lp (R+ ), g Lq (R+ ), x h Lr R+ ; xe1+kr , k > r1 r , ta cú (f g)(x) ã h(x)dx Ck,r f Lp (R+ ) g Lq (R+ ) h x Lr (R+ ; xe1+kr ) (3.1) õy, Ck,r = + kr r1 + + kr r1 (3.2) H qu 3.1.1 (Bt ng thc kiu Young) Cho p, q, r l cỏc s thc ln hn tho p1 + 1q = + 1r Gi s f Lp (R+ ), g Lq (R+ ) Khi ú ta 12 cú bt ng thc kiu Young i vi tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev x - Fourier sine - Fourier cosine trờn khụng gian Lr (R+ ; ), vi (x) = xe1+kr , k > r1 r , nh sau f g 3.1.2 Lr (R+ ;) Ck,r f Lp (R+ ) g Lq (R+ ) (3.9) Bt ng thc kiu Saitoh nh lý 3.1.2 Cho hai hm khụng trit tiờu , cho tớch chp suy rng (1 )(x) xỏc nh trờn R+ Khi ú, vi hai hm bt k F1 Lp (R, |1 |) v F2 Lp (R, |2 |), p > 1, ta cú bt ng thc kiu Saitoh i vi tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine trờn khụng gian Lp (R; ||) (F1 )(F2 ) ã (1 ) p Lp (R+ ;||) p L1 (R+ ;A(x)) vi hm trng L1 (R+ ; A(x)), A(x) = 3.2 F1 Lp (R+ ;|1 |) F2 Lp (R+ ;|2 |) , (3.12) x2 +1 x x e Bt ng thc i vi tớch chp KontorovichLebedev 3.2.1 Bt ng thc kiu Young Mnh 3.2.1 (nh lý kiu Young ) Cho cỏc s thc p, q, r ln hn tho p1 + 1q + 1r = Khi ú, vi f Lp (R+ ; xp1 ), g Lq (R+ ; xq1 ) v h Lr R+ ; Kx0 (x) r ta cú bt ng thc (f g)(x)h(x)dx KL 1r r f Lp (R+ ;xp1 ) g Lq (R+ ;xq1 ) h Lr (R+ ; K0 (x) xr ) (3.19) Mnh 3.2.2 (Bt ng thc kiu Young) Cho p, q, r l cỏc s thc ln hn tho p1 + 1q = + 1r Gi s f Lp (R+ ; xp1 ), g Lq (R+ ; xq1 ) 13 Khi ú, ta cú bt ng thc kiu Young i vi tớch chp Kontorovich-Lebedev xr trờn khụng gian Lr (R+ ; ), vi (x) = (K0 (x)) r1 (f g) KL 3.2.2 Lr (R+ ;) r f Lp (R+ ;xp1 ) g Lq (R+ ;xq1 ) (3.25) Bt ng thc kiu Saitoh Mnh 3.2.3 Cho hai hm khụng trit tiờu , cho (1 ) KL xỏc nh trờn R+ Khi ú, vi hai hm bt k F1 Lp (R+ , |1 |) v F2 Lp (R+ , |2 |), p > 1, ta cú bt ng thc kiu Saitoh i vi tớch chp KontorovichLebedev trờn khụng gian Lp (R+ ; ||) ((F1 ) (F2 ))(1 ) p KL KL Lp (R+ ;||) p x L1 (R+ ; e2x dx) F1 Lp (R+ ;|1 |) F2 Lp (R+ ;|2 |) (3.27) x vi (x) L1 R+ ; e2x 3.2.3 Bt ng thc kiu Saitoh ngc Kớ hiu ( ) = e 3 + (3.35) nh lý 3.2.1 Cho v l cỏc hm dng tho (1 ) xỏc nh KL trờn R+ Gi s F1 Lp (R+ ; ) v F2 Lp (R+ ; ), p > 1, l cỏc hm s tho 1 1 m1p F1 (x) M1p < , m2p F2 (x) M2p < , x R+ , (3.36) vi m1 , m2 , M1 , M2 l cỏc hng s dng, ( ) c xỏc nh theo (3.35) Khi ú ta cú bt ng thc kiu Saitoh ngc i vi tớch chp KontorovichLebedev trờn khụng gian Lp (R+ ) ||((F1 ) (F2 ))(1 ) p ||Lp (R+ ) KL K0 KL p Ap,p1 m1 m2 M1 M2 F1 Lp (R+ ;1 ) F2 Lp (R+ ;2 ) , (3.37) vi p1 l s m liờn hp ca p, Ap,p1 (t) c xỏc nh bi cụng thc (1.6) 14 nh lý 3.2.2 Cho hm xỏc nh bi (3.35) v f Lp (R+ ; ), g Lp (R+ ; ), p > 1, tho iu kin < f (x) M < , < g(x) N < , x > (3.42) Khi ú, ta cú c lng a phng (f g)(x) KL (x) f (M.N )p1 2x p Lp (R+ ;) g p Lp (R+ ;) , x R+ , (3.43) v bt ng thc kiu Saitoh ngc i vi tớch chp Kontorovich-Lebedev trờn khụng gian Lr (R+ ), r > p, 5+r K 1r ( 32r ) 3(M N )r(p1) ||(f g)||Lr (R+ ) KL 3.3 r f Lp (R+ ;) g Lp (R+ ;) (3.44) Phng trỡnh vi-tớch phõn liờn quan toỏn t Bessel Trong mc ny, chỳng tụi nghiờn cu mt lp phng trỡnh vi-tớch phõn cú dng f (x) + B 2x e ( x + + ) f ( )h()d d = g(x), x R+ x x (3.62) nh lý 3.3.1 Cho g L2 (R+ ; x) v h L0 (R+ ), tha iu kin y KL[h](y) = 0, y > 0, (3.63) y KL[h](y) L2 (R+ ; y sinh y) (3.64) Nu h tho iu kin KL1 (y KL[h](y)) = h1 (y) L0 (R+ ) (3.65) thỡ phng trỡnh (3.62) cú nghim nht khụng gian L0 (R+ ) L2 (R+ ; x) v c biu din di dng tớch chp f (x) = g(x) + (g l)(x), KL 15 (3.66) vi l xỏc nh nht y KL[f ](y) = KL[l](y) y KL[h](y) (3.67) Nu cỏc hm g, l tho g, l Lp (R+ ; (x)); < g(x) M < , < l(x) N < , x > 0, (3.68) thỡ ta nhn c c lng f (x) g(x) + (x) g (M.N )p1 2x Lp (R+ ;(x)) l Lp (R+ ;(x)) , x > (3.69) Vi cỏc iu kin (3.63), (3.64), (3.65), (3.68), ta cú i) cụng thc tim cn ca nghim f (x) = g(x) + O x , x (3.70) nu thờm gi thit g, l L1 (R+ ) ii) c lng chun f L2p (R+ ;xp ) 1p 2(M N ) g Lp (R+ ;(x)) g p Lp (R+ ;((x))p ) l p Lp (R+ ;(x)) (3.71) nu thờm gi thit g Lp (R+; ((x))p ) v f L2p (R+ ; xp ) Kt lun Chng Cỏc kt qu chớnh t c: Xõy dng c bt ng thc kiu Young, kiu Saitoh, kiu Saitoh ngc i vi tớch chp Kontorovich-Lebedev - Fourier Xõy dng c bt ng thc kiu Young, kiu Saitoh, kiu Saitoh ngc i vi tớch chp Kontorovich-Lebedev Nhn c iu kin gii mt lp phng trỡnh vi-tớch phõn v c lng nghim ca lp phng trỡnh ny 16 Chng MT S NG DNG Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu mt s ng dng ca tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier lý thuyt nhiu x v phng trỡnh o hm riờng Biu din cỏc i lng nh trng nhiu x súng õm, th Debye ca trng nhiu x súng in t theo tớch chp suy rng KontorovichLebedev - Fourier T ú nghiờn cu bi toỏn xỏc nh hm ph, c lng giỏ tr biờn , dỏng iu tim cn, tớnh b chn trờn cỏc khụng gian Lebesgue Lp ca cỏc i lng ny S dng bin i Kontorovich-Lebedev nghiờn cu mt lp phng trỡnh parabolic cú s tham gia ca hm cn tỡm hng t tớch phõn v nhn c cụng thc nghim cng nh c lng nghim cho bi toỏn ny Cỏc kt qu chớnh ca chng ny l cỏc Mnh 4.1.1, 4.2.1, 4.3.1 v cỏc nh lý 4.1.1, 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1 Ni dung chớnh ca chng ny da vo mt phn ca cỏc bi bỏo [1, 2, 3, 4] Danh mc cụng trỡnh ó cụng b ca Lun ỏn 4.1 Trng nhiu x súng õm vi tr khỏng dng nún Chỳng tụi xột biu din trng nhiu x vi tr khỏng hỡnh nún trũn i U (kr, , ) = i i K (ikr) sin u(, , )d, ikr (4.1) vi u(, , ) l hm ph v thuc vo mt lp hm phự hp t = iy, y R Mnh 4.1.1 Gi s u(, , y) L1 (R+ ; y sinh y) Khi ú, ta cú c lng biờn ca trng nhiu x súng õm 2K0 ( (ikr)) |U (kr, , )| u(, , ã) L1 (R+ ;y sinh y) (4.4) |k|r 17 4.1.1 Biu din trng nhiu x súng õm theo TCSR Tip theo, ta xột trng hp riờng ikr := x l s thc dng Khi ú, bng cỏch chn h1 () = cosh , v th ca hm ph u l hm f c xỏc nh theo (Fs f )(y) = sinh (2y)u(y), ta cú x U (kr, , ) := U (x) = yKiy (x)(Fs f )(y)(Fc h1 )(y)dy 2x x(f h1 )(x) (4.6) = Cụng thc (4.6) cho ta biu din mi ca U (x) theo tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier (2.1) 4.1.2 Tớnh b chn ca trng súng õm trờn cỏc khụng gian Lp(R+), p nh lý 4.1.1 Gi s u l hm thuc khụng gian L2 (R+ ; sinh2 x) Khi ú, trng súng õm U (x) thuc khụng gian L1 (R+ ), v c lng chun sau ỳng U L1 (R+ ) õy, C = Ck,r r kr < q, r < 2, tha q + C u ( 2q ) ( 1+q ) r = , v L2 (R+ ;sinh2 x) , (4.7) q , vi Ck,r xỏc nh bi cụng thc (3.2), k ( r1 r ; ) Gi s rng f = F1 , h1 = F2 , vi ( ) = 1; L1 (R+ ), chn p (x) = x1+ , () = cosh , ta nhn c c lng U 4.1.3 Lp (R+ ;xp e(p1)x ) p4 2p p p 2(1 + ) + (3 + ) 2 p F1 Lp (R+ ) (4.13) c lng ti lõn cn nh nún Ta tip tc xột trng nhiu x súng õm trng hp th ca hm ph g c xỏc nh bi (Fc g)(t) = sinh (2t)u(t) U L2 (Rr ;x2 ) r er cosh cosh g M vi g L2 (R ), > 0, > 0, M = sup g(x) < xR+ 18 L2 (R ) 4.2 Th Debye ca nhiu x súng in t Mnh 4.2.1 Gi s g{uj ,vj } (, , iy) L1 (R+ ; sinh y) Ta cú c lng biờn 2 s s | uj , vj | K0 ( (ikr)) g{uj ,vj } (, , ã) L1 (R+ ;sinh y) |k| |k|r (4.19) +|K 21 (ikr)| g{uj ,vj } , , Xột trng hp riờng ikr = x > tc l arg(ik) = Chỳ ý rng x K 21 (x) = 2x e v K (x) l hm chn theo , th Debye trng hp ny cú th biu din theo cụng thc: 2 y sinh y Kiy (x) g{uj ,vj } (, , iy)dy usj , vjs = ik x y + 14 + ex g{uj ,vj } , , x (4.20) Ta nhn c c lng tim cn ca th Debye y nh lý 4.2.1 Gi s g{uj ,vj } (, , iy) L1 R+ ; yy3e+1 Ta cú O ln x , x 0+ , x s s g{u ,v } , , + uj , vj = O ex , x ikx j j x 4.2.1 (4.23) Xỏc nh hm ph ca th Debye trng nhiu x Trong trng hp bit d liu ca th Debye, ta cú th tỡm c hm ph g{uj ,vj } , , 21 ti iy, xỏc nh theo cụng thc g{uj ,vj } (, , iy) ik = y2 + KL x = y + usj , vjs Kiy (x) ik x 2i ex g{uj ,vj } , , + k x usj , vjs 19 (y) ex g , , {u ,v } x3/2 j j dx 4.2.2 Biu din th Debye trng nhiu x theo tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier Gi f{uj ,vj } (, , x) l hm s tho sinh(y)g{uj ,vj } (, , iy) = (Fs f{uj ,vj } (, , ))(y) Ta cú f{uj ,vj } (, , x) l bin i Fourier sine ca hm sinh(y)g{uj ,vj } (, , iy) v f{uj ,vj } (, , x) l hm b chn Nhc li kt qu quen thuc x Fc e (y) = 1 y + 41 S dng cụng thc (4.20) v (2.3), chỳng ta cú th biu din nhiu x th Debye theo tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier nh sau t x ex usj , vjs = (f{uj ,vj } (, , t) e )(x) + g{uj ,vj } , , ik ik x 4.2.3 c lng a phng nh lý 4.2.2 Gi s g{uj ,vj } (, , iy) L1 (R+ ; sinh y) Th Debye ca trng nhiu x cú c lng u trờn x R+ usj , vjs 4.3 2i ex g{uj ,vj } , , + k x g{uj ,vj } (, , iy) |k| ex L1 (R+ ;sinh y) (4.25) x Phng trỡnh dng parabolic Trong mc ny, chỳng tụi nghiờn cu phng trỡnh parabolic ó c gii thiu phn m u u(x, t) = L[u](x, t) + t H(u, x, t, )u(, t)d, 20 (4.26) trờn (x, t) R+ ì R+ vi iu kin ban u u(x, 0) = u0 (x), x > (4.27) õy, H(u, x, t, ) l mt hm no ú v L l toỏn t vi phõn cp hai c xỏc nh nh sau L[u](x, t) := x + 3x + x2 u(x, t), x x (4.28) nghiờn cu phng trỡnh (4.26), chỳng tụi gii thiu khụng gian hm SKL(R+ ) bao gm tt c cỏc hm u(x, t) cho nh ca hm u(x, t) theo bin x qua bin i Kontorovich-Lebedev l U (y, t) tha (A1) U (y, t) L2 (R+ ; (1 + y)6 ey ), t R+ , (A2) Ut (y, t) L1 (R+ ; (1 + y)1/2 ey/2 ), t R+ 4.3.1 Phng trỡnh parabolic tuyn tớnh liờn quan tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev Trc ht, chỳng ta xột phng trỡnh (4.26) trng hp H(u, x, t, ) = x x2 + + 2x cosh ( )d, x, R+ , (4.30) K0 vi l hm ó cho Ta gi s rng: (B1) L1 (R+ ) cho (B2) u0 (x) = 0 (x)dx 0 x cosh( +) 2x [e ex cosh( ) ]e f ()d d, x R+ , vi f L1 (R+ ) l hm ó cho nh lý 4.3.1 Gi s v u0 l cỏc hm tho iu kin (B1)-(B2) Phng trỡnh dng parabolic (4.26) vi iu kin ban u (4.27) trng hp H(u, x, t, ) cú dng (4.30) cú nghim nht khụng gian hm SKL(R+ ) v cú cụng thc dng tớch chp Kontorovich-Lebedev - Fourier u(x, t) = (f g(ã, t))(x) (4.32) Nu thờm gi thit f Lp (R+ ), g(ã, t) Lq (R+ ), t R+ , vi p, q l cỏc s ex thc ln hn 1, tho pq < p + q < 2pq thỡ ta cú u(x, t) Lr (R+ ; 1+kr ), 21 pq vi r = p+qpq v k > x e gian Lr (R+ ; 1+kr ) u(x, t) r1 r Hn na, ta cú c lng ca nghim trờn khụng ex Lr R+ ; 1+kr ( ) Ck,r f Lp (R+ ) g(ã, t) Lq (R+ ) (4.33) vi t R+ Tip theo, chỳng ta xột trng hp H(u, x, t, ) = x K0 x2 + + 2x cosh ( )d, (4.49) vi C (R+ ) l hm ó cho Chỳng ta gi s rng: (C1) , L1 (R+ ) L2 (R+ ) v (0) = (C2) u0 L2 (R+ ; x) L2 (R+ ) Mnh 4.3.1 Gi s v u0 l cỏc hm tho iu kin (C1)-(C2) Phng trỡnh dng parabolic (4.26) vi iu kin ban u (4.27) trng hp H(u, x, t, ) cú dng (4.30) cú nghim nht khụng gian hm SKL(R+ ) v cú cụng thc dng tớch chp Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine u(x, t) = (g1 (ã, t) f ))(x) (4.60) Nu thờm gi thit g1 (ã, t) Lp (R+ ), t R+ , u0 Lp (R+ ; ())1p K0 ()), p l s thc ln hn 1, (x) L1 (R+ ; K0 (v)), thỡ ta cú c lng ca nghim trờn khụng gian Lp (R+ ; xp K01p (x)) u(x, t) Lp (R+ ;xp K01p (x)) p1 L1 (R+ ;K0 ()) g1 (ã, t) Lp (R+ ) u0 Lp (R+ ;(2 ())1p K0 ()) , (4.61) vi p1 l s m liờn hp ca p 4.3.2 Phng trỡnh parabolic phi tuyn liờn quan tớch chp Kontorovich-Lebedev Cui cựng, ta xột trng hp H(u, x, t, ) = 2x x x e ( x + + ) u(, t)d, 22 (4.62) vi u(x, t) thuc lp C 2,1 (R2+ ) v u(x, t) SKL(R+ ) Xột iu kin ban u u(x, 0) = u0 (x), x R+ , (4.64) y vi u0 L0 (R+ ) v tn ti s thc dng C cho KL[u0 ](y) 1+C Do ú, bng tớnh toỏn n gin ta nhn c nghim ca phng trỡnh trờn l y2 U (y, t) = , (4.72) + C(y)ey2 t vi C(y) = KL[uy ](y) C > T ú, ta tớnh c u(x, t) theo cụng thc bin i ngc Kontorovich-Lebedev Kt lun Chng Cỏc kt qu chớnh t c: Nhn c c lng biờn ca trng nhiu x súng õm U (x) Biu din U (x) theo tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier v nhn c c lng theo chun ca U (x) trờn cỏc khụng gian Lp vi trng Nhn c c lng biờn ca th Debye trng nhiu x súng in t usj , vjs Biu din usj , vjs theo tớch chp suy rng KontorovichLebedev - Fourier, tỡm c c lng a phng ca th Debye v xỏc nh hm ph vi d liu cho trc Xõy dng cụng thc nghim dng tớch chp, tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev ca mt lp phng trỡnh dng parabolic v ỏnh giỏ chun ca nghim trờn cỏc khụng gian Lebesgue 23 KT LUN Cỏc kt qu chớnh ca Lun ỏn l: Xõy dng tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine Nhn c tớnh cht toỏn t ca tớch chp suy rng, ng thc nhõn t húa, ng thc kiu Parseval, nh lý kiu Titchmarsh Nhn c iu kin cn v phộp bin i vi-tớch phõn kiu tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine l ng cu, ng c gia hai khụng gian L2 (R+ ) v L2 (R+ ; x) Xõy dng bt ng thc kiu Young, kiu Saitoh, kiu Saitoh ngc trờn cỏc khụng gian Lp vi trng i vi tớch chp suy rng KontorovichLebedev - Fourier Nhn c ng dng gii v ỏnh giỏ nghim mt s lp phng trỡnh vi tớch phõn v phng trỡnh o hm riờng dng parabolic Thit lp biu din theo tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier vi tr khỏng nún trũn ca nhiu x trng súng õm, th Debye ca trng nhiu x súng in t v nhn c cỏc c lng im, c lng theo chun ca cỏc i lng ny Mt s m cú th tip tc nghiờn cu: Nghiờn cu hng s tt nht vi cỏc bt ng thc ó nhn c i vi cỏc tớch chp suy rng Kontorovich-Lebedev - Fourier Nghiờn cu bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev v cỏc tớch chp suy rng i vi bin i tớch phõn ny mt s bi toỏn vt lý cú liờn quan Xõy dng v nghiờn cu tớch chp, tớch chp suy rng i vi bin i Kontorovich-Lebedev ri rc v Kontorovich-Lebedev hu hn v cỏc ng dng 24 ... tớch phõn Kontorovich- Lebedev, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine v nhng nh lý, mnh cú liờn quan n Lun ỏn Chng xõy dng tớch chp suy rng mi i vi cỏc bin i tớch phõn Kontorovich- Lebedev, Fourier. .. tớch phõn Kontorovich- Lebedev cú cụng thc (0.1), cũn T2 , T3 l bin i tớch phõn Kontorovich- Lebedev, Fourier sine, hoc Fourier cosine, nhng T2 , T3 khụng ng thi l bin i tớch phõn KontorovichLebedev... ỏn 2.1 2.1.1 TCSR Kontorovich- Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine nh ngha nh ngha 2.1.1 TCSR ca hai hm f, h i vi cỏc bin i tớch phõn Kontorovich- Lebedev, Fourier sine, v Fourier cosine c xỏc