Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS TRỊNH TUÂN Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian Lebesgue Lp (Ω) Lp (Ω; ρ) 1.2 Biến đổi tích phân Fourier 1.2.1 Định nghĩa tính chất 1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier 1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev 1.3.1 Tích chập Kontorovich-Lebedev 1.3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón tròn 1.4.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm 1.4.2 Biểu diễn Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ 15 15 17 17 18 20 24 25 27 27 32 LỜI CAM ĐOAN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER 2.1 2.2 2.3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất tốn tử 2.1.3 Tính khơng có ước khơng Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng 34 34 34 36 42 44 49 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICHLEBEDEV 53 3.1 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 53 53 57 62 62 66 68 74 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón 4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy rộng 4.1.2 Tính bị chặn trường nhiễu xạ sóng âm khơng gian Lp (R+ ), p 4.1.3 Ước lượng lân cận đỉnh nón 4.2 Thế Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ 4.2.1 Xác định hàm phổ Debye trường nhiễu xạ 4.2.2 Biểu diễn Debye trường nhiễu xạ theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 4.2.3 Ước lượng địa phương 4.3 Phương trình dạng parabolic 4.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 4.3.2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập Kontorovich-Lebedev KẾT LUẬN DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 82 3.2 3.3 3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young 3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh Bất đẳng thức tích chập Kontorovich-Lebedev 3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young 3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược Phương trình vi-tích phân liên quan đến tốn tử Bessel 83 84 87 88 91 91 92 93 94 102 106 107 108 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tất kết trình bày Luận án hồn tồn trung thực chưa tác giả khác công bố cơng trình Hà Nội, Ngày 10 tháng 10 năm 2017 Thay mặt tập thể hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tác giả Phạm Văn Hoằng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hồn thành hướng dẫn tận tình thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dẫn dắt tác giả từ bước đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn q trình làm NCS Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Seminar Giải tích Trường ĐHBK Hà Nội, người gần gũi, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trao đổi chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người động viên cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trình học tập Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ môn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến TS Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP Hà Nội), TS Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội), TS Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) giúp đỡ trình làm NCS Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu đồng nghiệp thuộc Tổ Toán-Tin, Trường THPT Kim Liên tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, cơng tác hồn thành Luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố mẹ, vợ con, anh chị em Niềm tin yêu hi vọng người nguồn động viên động lực to lớn để tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • R tập tất số thực • R+ = {x ∈ R, x > 0} • Rα = {x ∈ R, < x < α}, với α số thực dương • C tập tất số phức • (z) phần thực số phức z • (z) phần ảo số phức z • C0 (R+ ) không gian hàm liên tục R+ triệt tiêu vô với chuẩn sup • C 2,1 (R2+ ) khơng gian hàm hai biến u(x, t) khả vi liên tục cấp theo biến x R+ khả vi liên tục theo biến t R+ • Ap,q (t) biểu thức có dạng (xem trang 16) Ap,q (t) = p t− pq (1 − t) − p1 − 1q q 1 1 (1 − t p ) p (1 − t q ) q • F biến đổi tích phân Fourier (xem trang 17) • Fc biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 17) • Fs biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 18) • ∆ω tốn tử Laplace-Beltrami mặt cầu S (xem trang 29) • E trường sóng điện (xem trang 32) • H trường sóng từ (xem trang 32) • D1∞ tốn tử vi phân bậc vơ hạn xác định công thức (xem trang 44)   d2 d −x  x x− N  dx dx   D1∞ = lim  1 + N →∞ (2k − 1)2   k=1 • D∞ tốn tử vi phân bậc vô hạn xác định trang 44)  d2 d x x − − x N  dx dx2  ∞ D = lim 1 + N →∞ k2  k=1 công thức (xem      • B tốn tử vi phân Bessel (xem trang 75) ∞ • Γ(z) hàm Gamma, Γ(z) = tz−1 e−t dt, (z) > 0 • • • KL biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem trang 8, 22, 23) Kν (z) hàm Macdonald (xem trang 20) L toán tử vi phân bậc hai xác định cơng thức L= • Lp (R+ ), mãn ∂2 ∂ x + 3x + − x2 ∂x ∂x p < ∞, không gian hàm số f xác định R+ , thoả ∞ f Lp (R+ ) p |f (x)| dx = p < ∞ • Lp (R+ , ρ), R+ , thoả mãn p < ∞, không gian hàm số f xác định trên ∞ f Lp (R+ ,ρ) p |f (x)| ρ(x)dx = p < ∞, ρ(x) hàm trọng dương • L∞ (R+ ) không gian gồm hàm bị chặn theo chuẩn ess sup R+ f ∞ = ess sup |f | := inf{M > : µ(x ∈ R+ : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.} • (· ∗ ·) tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 9) • (· ∗ ·) tích chập Fourier (xem trang 10) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ KL F (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ hai (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine (xem trang 34) • T1,h biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 25) • Th biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-LebedevFourier (xem trang 45) f (z) ≤ M < ∞ với z thuộc • f (z) = O(g(z)), z → a, có nghĩa g(z) vào lân cận a f (z) • f (z) = ◦(g(z)), z → a, có nghĩa lim = z→a g(z) f (z) • f (z) ∼ g(z), z → a, có nghĩa lim = z→a g(z) MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Bên cạnh biến đổi tích phân tiếng có vai trò quan trọng giải tích tốn học nói riêng ngành khoa học nói chung biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Mellin, Hankel , năm 38-39 kỷ trước, hai nhà toán học Nga Kontorovich M.I Lebedev N.N nghiên cứu tốn nhiễu xạ sóng điện từ với biên hình nêm xây dựng biến đổi tích phân mà sau gọi biến đổi tích phân KontorovichLebedev (xem [29, 30, 67]) Các tính chất biến đổi tích phân KontorovichLebedev không gian L1 , L2 , công thức biến đổi ngược ứng dụng nghiên cứu sau Lebedev N.N., Sneddon I.N., Lowndes J.S., Jones D.S (xem [24, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 57]) Ảnh hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu KL[f ], xác định công thức ∞ KL[f ](y) = Kiy (x)f (x)dx, y ∈ R+ , (0.1) với Kν (x) hàm Macdonald có số ảo ν = iy (xem [29, 30, 67]) Điều đáng ý, khác với biến đổi tích phân kể trên, nhân phép biến đổi tích phân hàm đặc biệt Macdonald, hàm có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật Đến nay, kết biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev khơng gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue Lp với trọng xem xét không gian hàm suy rộng phong phú sâu sắc (xem [18, 20, 21, 66, 71, 81]) Biến đổi tích phân KontorovichLebedev khơng gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc, biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [72, 78, 82]) Cùng với biến đổi tích phân kể trên, tích chập biến đổi tích phân xây dựng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Năm 1998, Kakichev V.A Thao N.X đưa định nghĩa tích chập suy γ rộng f ∗ h với hàm trọng γ hai hàm f h ba phép biến đổi ... THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICHLEBEDEV 53 3.1 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich- Lebedev - Fourier 53 53 57 62 62 66 68 74 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG... tích chập suy rộng Kontorovich- Lebedev - Fourier cosine thứ hai (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich- Lebedev - Fourier sine (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich- Lebedev. .. VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH- LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích