Bất đẳng thức tích chập suy rộng kontorovich lebedev fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS TRỊNH TUÂN Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian Lebesgue Lp (Ω) Lp (Ω; ρ) 1.2 Biến đổi tích phân Fourier 1.2.1 Định nghĩa tính chất 1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier 1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev 1.3.1 Tích chập Kontorovich-Lebedev 1.3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón trịn 1.4.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm 1.4.2 Biểu diễn Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ 15 15 17 17 18 20 24 25 27 27 32 LỜI CAM ĐOAN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER 2.1 2.2 2.3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất toán tử 2.1.3 Tính khơng có ước khơng Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng 34 34 34 36 42 44 50 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICHLEBEDEV 54 3.1 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 54 54 58 63 63 67 69 75 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón 4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy rộng 4.1.2 Tính bị chặn trường nhiễu xạ sóng âm không gian Lp (R+ ), p 4.1.3 Ước lượng lân cận đỉnh nón 4.2 Thế Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ 4.2.1 Xác định hàm phổ Debye trường nhiễu xạ 4.2.2 Biểu diễn Debye trường nhiễu xạ theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 4.2.3 Ước lượng địa phương 4.3 Phương trình dạng parabolic KẾT LUẬN DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 83 3.2 3.3 3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young 3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh Bất đẳng thức tích chập Kontorovich-Lebedev 3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young 3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược Phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel 84 85 88 89 92 92 93 94 105 106 107 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tất kết trình bày Luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác cơng bố cơng trình Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2017 Tác giả Phạm Văn Hoằng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dẫn dắt tác giả từ bước đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trình làm NCS Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Seminar Giải tích Trường ĐHBK Hà Nội, người ln gần gũi, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trao đổi chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người động viên cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trình học tập Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Toán ứng dụng Tin học Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến TS Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP Hà Nội), TS Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội), TS Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) giúp đỡ trình làm NCS Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu đồng nghiệp thuộc Tổ Toán-Tin, Trường THPT Kim Liên tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập, cơng tác hoàn thành Luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố mẹ, vợ con, anh chị em Niềm tin yêu hi vọng người nguồn động viên động lực to lớn để tác giả vượt qua khó khăn suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành Luận án Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • R tập tất số thực • R+ = {x ∈ R, x > 0} • Rα = {x ∈ R, < x < α}, với α số thực dương • C tập tất số phức • (z) phần thực số phức z • (z) phần ảo số phức z • C0 (R+ ) khơng gian hàm liên tục R+ triệt tiêu vơ với chuẩn sup • C 2,1 (R2+ ) không gian hàm hai biến u(x, t) khả vi liên tục cấp theo biến x R+ khả vi liên tục theo biến t R+ • Ap,q (t) biểu thức có dạng (xem trang 16) Ap,q (t) = p t− pq (1 − t) − p1 − 1q q 1 1 (1 − t p ) p (1 − t q ) q • F biến đổi tích phân Fourier (xem trang 17) • Fc biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 17) • Fs biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 18) • ∆ω toán tử Laplace-Beltrami mặt cầu S (xem trang 29) • E trường sóng điện (xem trang 32) • H trường sóng từ (xem trang 32) • D1∞ tốn tử vi phân bậc vơ hạn xác định công thức (xem trang 44)   d2 d −x  x x− N  dx dx   D1∞ = lim  1 + N →∞ (2k − 1)2   k=1 • D∞ tốn tử vi phân bậc vơ hạn xác định trang 45)  d2 d x x − − x N  dx dx2  ∞ D = lim 1 + N →∞ k2  k=1 cơng thức (xem      • B toán tử vi phân Bessel (xem trang 76) ∞ • Γ(z) hàm Gamma, Γ(z) = tz−1 e−t dt, (z) > 0 • • • KL biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem trang 8, 22, 23) Kν (z) hàm Macdonald (xem trang 20) L toán tử vi phân bậc hai xác định công thức L= • Lp (R+ ), mãn ∂2 ∂ x + 3x + − x2 ∂x ∂x p < ∞, không gian hàm số f xác định R+ , thoả ∞ f Lp (R+ ) p |f (x)| dx = p < ∞ • Lp (R+ , ρ), R+ , thoả mãn p < ∞, không gian hàm số f xác định trên ∞ f Lp (R+ ,ρ) p |f (x)| ρ(x)dx = p < ∞, ρ(x) hàm trọng dương • L∞ (R+ ) không gian gồm hàm bị chặn theo chuẩn ess sup R+ f ∞ = ess sup |f | := inf{M > : µ(x ∈ R+ : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.} • (· ∗ ·) tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 9) • (· ∗ ·) tích chập Fourier (xem trang 10) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ KL F (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ hai (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine (xem trang 34) • T1,h biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 25) • Th biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-LebedevFourier (xem trang 46) f (z) ≤ M < ∞ với z thuộc • f (z) = O(g(z)), z → a, có nghĩa g(z) vào lân cận a f (z) • f (z) = ◦(g(z)), z → a, có nghĩa lim = z→a g(z) f (z) • f (z) ∼ g(z), z → a, có nghĩa lim = z→a g(z) MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Bên cạnh biến đổi tích phân tiếng có vai trị quan trọng giải tích tốn học nói riêng ngành khoa học nói chung biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Mellin, Hankel , năm 38-39 kỷ trước, hai nhà toán học Nga Kontorovich M.I Lebedev N.N nghiên cứu tốn nhiễu xạ sóng điện từ với biên hình nêm xây dựng biến đổi tích phân mà sau gọi biến đổi tích phân KontorovichLebedev (xem [29, 30, 67]) Các tính chất biến đổi tích phân KontorovichLebedev khơng gian L1 , L2 , công thức biến đổi ngược ứng dụng nghiên cứu sau Lebedev N.N., Sneddon I.N., Lowndes J.S., Jones D.S (xem [24, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 57]) Ảnh hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu KL[f ], xác định công thức ∞ KL[f ](y) = Kiy (x)f (x)dx, y ∈ R+ , (0.1) với Kν (x) hàm Macdonald có số ảo ν = iy (xem [29, 30, 67]) Điều đáng ý, khác với biến đổi tích phân kể trên, nhân phép biến đổi tích phân hàm đặc biệt Macdonald, hàm có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật Đến nay, kết biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev không gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue Lp với trọng xem xét không gian hàm suy rộng phong phú sâu sắc (xem [18, 20, 21, 66, 71, 81]) Biến đổi tích phân KontorovichLebedev khơng gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc, biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev nhà tốn học quan tâm nghiên cứu (xem [72, 78, 82]) Cùng với biến đổi tích phân kể trên, tích chập biến đổi tích phân xây dựng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Năm 1998, Kakichev V.A Thao N.X đưa định nghĩa tích chập suy γ rộng f ∗ h với hàm trọng γ hai hàm f h ba phép biến đổi hàm thuộc L2 (R+ ) với t ∈ R+ , g1 (x, t) = Fc [ϕ1 (·, t)](x) thuộc L2 (R+ ) với t ∈ R+ Sử dụng công thức tác động vào đạo hàm biến đổi tích phân Fourier cosine, từ điều kiện (C1) ta suy Fc (Ψ )(y) = −y Fc (Ψ)(y) với số thực dương y Điều kiện Ψ ∈ L2 (R+ ) với u(x, t) ∈ SKL(R+ ) ⊂ L2 (R+ ; x), ∀t > 0, theo Định lý Fubini Bổ đề 1.3.2, ta có ∞ H(u, x, t, θ)u(θ, t)dθ = Ψ ∗ u(·, t) (x) Giả sử u(x, t) ∈ C 2,1 (R2+ ), biểu diễn tốn tử vi phân L theo tốn tử vi phân Bessel (4.29) Phương trình (4.26) trường hợp viết lại dạng ∂u(x, t) = B[xu(x, t)] + Ψ ∗ u(·, t) (x) ∂t x (4.51) Mặt khác, từ Ψ ∈ L1 (R+ ), u(x, t) ∈ L2 (R+ ; x), ta áp dụng đẳng thức Parseval (1.57), ta có √ ∞ Kiy (x)Fc (Ψ )(x)KL[u(·, t)](y)dy (Ψ ∗ u(·, t))(x) = √ π πx ∞ π −y = K (x)y sinh πy (Fc Ψ)(y)U (y, t)dy iy π2x sinh πy π y KL−1 (Fc Ψ)(y)U (y, t) (x) =− sinh πy Tương tự Định lý 4.3.1, phương trình (4.51) theo hàm u biến đổi phương trình vi phân tuyến tính theo hàm U Ut (y, t) = −y U (y, t) − π y (Fc Ψ)(y)U (y, t), sinh πy với điều kiện ban đầu U (y, 0) = KL[u0 ](y), y > (4.52) Nghiệm tốn phương trình vi phân (4.3) với điều kiện ban đầu (4.52) có cơng thức √ −(y + π2 sinhy πy (Fc Ψ)(y))t U (y, t) = KL[u0 ](y)e (4.53) 100 Từ u0 thoả mãn điều kiện (C2), KL[u0 ](y) hàm liên tục bị chặn R+ Hơn nữa, (Fc Ψ)(y) bị chặn R+ Vì vậy, U (y, t) xác định (4.53), thoả mãn điều kiện (A1), (A2) Hệ là, toán với giá trị ban đầu (4.26) - (4.27) có nghiệm khơng gian SKL(R+ ) Sử dụng (4.50), nghiệm phương trình (4.53) biểu diễn dạng √ π −(y + π2 sinhy πy (Fc Ψ)(y))t U (y, t) = y sinh πye KL[u0 ](y) y sinh πy π 1 π π = ϕ1 (y, t)KL[u0 ](y) = Fc (g1 (·, t))(y)KL[u0 ](y) y sinh πy y sinh πy Từ g1 (·, t) ∈ L2 (R+ ) u0 ∈ L2 (R+ ) ⊂ L1 (R+ ; K0 (x)), áp dụng đẳng thức Parseval (1.57) ta nhận u(x, t) = (g1 (., t) ∗ u0 )(x) (4.54) Để ước lượng theo chuẩn nghiệm cho công thức (4.54), ta áp dụng bất đẳng thức Saitoh thuận cho tích chập suy rộng Kontorovich-LebedevFourier cosine (3.16) trường hợp riêng ρ1 (τ ) ≡ 1, ρ2 (θ) > 0, ρ2 (θ) ∈ L1 (R+ ; K0 (θ)), F1 (x) ≡ g1 (x) ∈ Lp (R+ ; ρ1 ), F2 ∈ Lp (R+ ), ρ(x) = x Từ công thức (xem [76]) ∞ ∞ k1 (x, τ, θ)dτ = πx K0 ( x2 + θ2 + 2xθ cosh τ )dτ = K0 (x)K0 (θ), πx 0 (4.55) ta có ∞ ∞ |(ρ1 ∗ ρ2 )(x)| = k1 (x, τ, θ)|ρ2 (θ)|dτ dθ ∞ ∞ |k1 (x, τ, θ)|dτ |ρ2 (θ)|dθ = = K0 (x) ρ2 πx L1 (R+ ;K0 (θ)) Do đó, từ − p < 0, ρ(x) = x, ta nhận (F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ) · (ρ1 ∗ ρ2 ) p −1 1 p Lp (R+ ;|ρ(x)|) ∞ (F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ) (x) = p ρ1 ∗ ρ2 (x) 101 1−p |ρ(x)| dx (4.56) ∞ (G(·, t) ∗ (F ρ2 ))(x) = K0 (x) ρ2 L1 (R+ ;K0 (θ)) πx p 1−p |ρ(x)|dx 1−p L1 (R+ ;K0 (θ)) =(π)p−1 ρ2 p (g1 (·, t) ∗ (F2 ρ2 ) Lp (R+ ;xp K01−p (x)) (4.57) Ngoài ra, ρ −x L1 (R+ ; eπx ) π = (4.58) Vì thế, từ (3.16) (4.57) ta suy (g1 (·, t)) ∗ (F ρ2 ) ≤ Lp (R+ ;xp K01−p (x)) ρ2 π p1 L1 (R+ ;K0 (θ)) g1 (·, t) Lp (R+ ) Giả sử u0 ∈ Lp (R+ ; (ρ2 (θ))1−p K0 (θ)), ta có F2 (θ) = F2 Lp (R+ ;ρ2 (θ)K0 (θ)) (4.59) u0 (θ) ∈ Lp (R+ ; ρ2 (θ)K0 (θ)), ρ2 (θ) u(x, t) Lp (R+ ;xp K01−p (x)) = g1 (·, t) ∗ (F2 ρ2 ) 1 ρ2 pL11 (R+ ;K0 (θ)) g1 (·, t) π = ρ2 pL11 (R+ ;K0 (θ)) g1 (·, t) π Từ đó, ta nhận Mệnh đề ≤ Lp (R+ ;xp K01−p (x)) Lp (R+ ) F2 Lp (R+ ;ρ2 (θ)K0 (θ)) Lp (R+ ) u0 Lp (R+ ;(ρ2 (θ))1−p K0 (θ)) Mệnh đề 4.3.1 Giả sử Ψ u0 hàm thoả mãn điều kiện (C1)-(C2) Phương trình dạng parabolic (4.26) với điều kiện ban đầu (4.27) trường hợp H(u, x, t, θ) có dạng (4.30) có nghiệm khơng gian hàm SKL(R+ ) có cơng thức dạng tích chập Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ u(x, t) = (g1 (·, t) ∗ f ))(x) (4.60) Nếu thêm giả thiết g1 (·, t) ∈ Lp (R+ ), ∀t ∈ R+ , u0 ∈ Lp (R+ ; ρ2 (θ))1−p K0 (θ)), p số thực lớn 1, ρ2 ∈ L1 (R+ ; K0 (x)), ta có ước lượng nghiệm không gian Lp (R+ ; xp K01−p (x)) u(x, t) Lp (R+ ;xp K01−p (x)) ≤ ρ2 π p1 L1 (R+ ;K0 (θ)) g1 (·, t) 102 Lp (R+ ) u0 Lp (R+ ;(ρ2 (θ))1−p K0 (θ)) , (4.61) với p1 số mũ liên hợp p Bình luận cuối Chương Trường nhiễu xạ sóng âm trường nhiễu xạ sóng điện từ với trở kháng nón trịn vấn đề lý thuyết nhiễu xạ nhận quan tâm nghiên cứu nhà khoa học với phương pháp tiếp cận phong phú Trong cơng trình nghiên cứu gần đây, tác Lyalinov M.I., Zhu N.Y., Bernard J.M.L đạt số kết quan trọng toán cách sử dụng biểu diễn tích phân Kontorovich-Lebedev cho nhiễu xạ trường sóng âm, Debye nhiễu xạ trường sóng điện từ thơng qua phương pháp tách biến khơng hồn tồn Tuy nhiên, mặt tốn học tính chất hàm phổ ước lượng liên quan đến biên độ trường nhiễu xạ chưa nghiên cứu Vì vậy, chúng tơi hy vọng biểu diễn đại lượng vật lý quan trọng qua tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier, từ cung cấp thêm cơng cụ tốn học để giải có hiệu số vấn đề liên quan Trong chương này, chúng tơi có tiếp cận ban đầu nhận ước lượng nhiễu xạ trường sóng âm (4.4), ước lượng Debye (4.19) Trong trường hợp riêng, nhận số kết ước lượng cho trường nhiễu xạ sóng âm không gian Lp với trọng hay xác định hàm phổ Debye vận dụng tính chất liên quan đến tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier nghiên cứu Chương Chương Sử dụng biến đổi tích phân để giải phương trình đạo hàm riêng phương pháp hiệu quả, đặc biệt biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Mellin Ở đây, chúng tơi sử dụng biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier để nghiên cứu lớp phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng nhận cơng thức nghiệm dạng đóng nhận đánh giá tiên nghiệm cho lớp phương trình Kết luận Chương Các kết đạt được: 103 • Nhận ước lượng biên độ trường nhiễu xạ sóng âm U (x) Biểu diễn U (x) theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier nhận ước lượng theo chuẩn U (x) khơng gian Lp với trọng • Nhận ước lượng biên độ Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ usj , vjs Biểu diễn usj , vjs theo tích chập suy rộng KontorovichLebedev - Fourier, tìm ước lượng địa phương Debye xác định hàm phổ với liệu cho trước • Xây dựng cơng thức nghiệm dạng tích chập, tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev lớp phương trình dạng parabolic đánh giá chuẩn nghiệm không gian Lebesgue 104 KẾT LUẬN Các kết Luận án là: Xây dựng tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine Nhận tính chất tốn tử tích chập suy rộng, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, định lý kiểu Titchmarsh Nhận điều kiện cần đủ để phép biến đổi vi-tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine đẳng cấu, đẳng cự hai không gian L2 (R+ ) L2 (R+ ; x) Xây dựng bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược không gian Lp với trọng tích chập suy rộng KontorovichLebedev - Fourier Nhận ứng dụng giải đánh giá nghiệm số lớp phương trình vi tích phân phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic Thiết lập biểu diễn theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier với trở kháng nón trịn nhiễu xạ trường sóng âm, Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ nhận ước lượng điểm, ước lượng theo chuẩn đại lượng Một số vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu số tốt với bất đẳng thức nhận tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier • Nghiên cứu biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev tích chập suy rộng biến đổi tích phân số tốn vật lý có liên quan • Xây dựng nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng biến đổi Kontorovich-Lebedev rời rạc Kontorovich-Lebedev hữu hạn ứng dụng 105 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Thao N X., Tuan V K., Hoang P V., and Hong N.T (2016), Asymptotics of the scattered Debye potentials via a generalized convolution, Integral Transforms Spec Funct., Vol 27, No 2, 126-136 Tuan T., Hong N.T., and Hoang P.V (2016), Generalized convolution for the Kontorovich-Lebedev, Fourier transforms and applications to acoustic fields, Acta Math Viet., Vol 42, No 2, 355-367 Hong N.T., Hoang P.V., Tuan V.K (2016), The convolution for the Kontorovich-Lebedev transform revisited, J Math Anal Appl., Vol 440, No 1, 369-378 Hoang P.V., Tuan T., Thao N.X., and Tuan V.K (2017), Boundedness in weighted Lp spaces for the Kontorovich-Lebedev - Fourier generalized convolutions and applications, Integral Transforms Spec Funct., Vol 28, No 8, 590-604 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Abramowitz M., Stegun I.A (1964), Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, Dove Publications Inc., New York [2] Adams R.A., Fournier J.J.F (2003), Sobolev Spaces, 2nd edition, Academic Press, New York-Amsterdam [3] Al-Musallam F., Tuan V.K (2000), Integral transforms related to a generalized convolution, Results Math., Vol 38, No 3-4, 197-208 [4] Barthe F (1998), Optimal Young’s inequality and its converse: a simple proof, Geom Funct Anal., Vol 8, 234-242 [5] Bateman H., Erdelyi A (1954), Tables of Integral Transforms, Vol 1, McGraw-Hill Book Company Inc., New York-Toronto-London [6] Beckner W (1975), Inequalities in Fourier analysis, Ann of Math., Vol 102, 159-182 [7] Bernard J.M.L., Lyalinov M.A (2001), Diffraction of scalar waves by an impedance cone of arbitrary cross-section, Wave Motion, Vol 33, No 2, 155-181 [8] Bernard J.M.L., Lyalinov M.A (2004), Electromagnetic scattering by a smooth convex impedance cone, IMA J Appl Math., Vol 69, 285-333 [9] Brascamp H.J., Lieb E.H (1976), Best constants in Young’s inequality, its converse, and its generaliztion to more than three functions, Advance in Math, Vol 20, 151-173 [10] Britvina L.E (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Integral Transforms Spec Funct., Vol 16, No 5-6, 379-389 107 [11] Burenkov V.I., Tararykova T.V (2016), An analog of Young’s inequality for convolutions of functions for general Morrey-type spaces, Proc Steklov Inst Math., Vol 293, No 1, 107-126 [12] Cwikel M., Kerman R (1996), On convolution inequality of Saitoh, Proc Amer Math Soc., Vol 124, No 3, 773-777 [13] Debnath L., Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton [14] Duc D.T., Nhan N.D.V (2008), On some convolution norm inequalities in weighted Lp (Rn ; ρ) spaces and their applications, Math Inequal Appl., Vol 11, No 3, 495-505 [15] Duc D.T., Nhan N.D.V (2008), Some applications of convolution inequalities in weighted Lp spaces, Integral Transforms Spec Funct., Vol 11, No 7, 471-480 [16] Fairweather G., Saylor R.D (1991), The reformulation and numerical solution of certain nonclassical initial-boundary value problems, SIAM J Sci Stat Comput., Vol 12, No 1, 127-144 [17] Folland G.B (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA [18] Forristall G.Z., Ingram J.D (1972), Evaluation of distributions usefull in Kontorovich-Lebedev transform theory, SIAM J Math Anal., Vol 3, 561-566 [19] Fournier J.J.F (1977), Sharpness in Young’s inequality for convolution, Pacific J Math., Vol 72, No 2, 383-397 [20] Gutiérrez-Tovar Y.E., Méndez-Pérez J.M.R (2007), The KontorovichLebedev integral transformation with a Hankel function kernel in a space of generalized functions of doubly exponential descent, J Math Anal Appl., Vol 328, 359-369 [21] Hazewinkel M (Managing Editor) (1995), Encyclopaedia of Mathematics, Vol 3, Kluwer Academic Publishers 108 [22] Hirchman I.I., Widder O.V (1955), The Convolution Transform, Princeton, New Jersey [23] Jones D.S (1964), The Theory of Electromagnetism, Pergamon Press, London [24] Jones D.S (1980), The Kontorovich–Lebedev transform, J Inst Math Applics., Vol 26, No 2, 133-141 [25] Hong N.T (2010), Inequalities for Fourier cosine convolution and applications, Integral Transforms Spec Funct., Vol 21, No 10, 755-763 [26] Hong N.T., Tuan T., and Thao N.X (2013), On the Fourier cosineKontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Appl Math., Vol 58, No 4, 473-486 [27] Kakichev V.A (1967), On the convolution for integral transforms, Izv Acad Navuk BSSR Ser Fiz Mat Navuk., Vol 2, 48-57, (in Russian) [28] Kakichev V.A., Thao N.X (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., Vol 1, 31-40, (in Russian) [29] Kontorovich M.I., Lebedev N.N (1938), On the method of solution for some problems in diffraction theory and related problems, J Exper Theor Phys., Vol 8, No 10-11, 1192-1206, (in Russian) [30] Kontorovich M.I., Lebedev N.N (1939), On the application of inversion formulae to the solution of some electrodynamic problems, J Exper Theor Phys., Vol 9, No 6, 729-742, (in Russian) [31] Krepela M (2014), Convolution inequalities in weighted Lorentz spaces, Math Inequal Appl., Vol 17, 1201-1223 [32] Landis E.M (1998), Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type, Translations of Mathematical Monographs, AMS, Providence, Rhode Island [33] Lebedev N.N (1946), Sur une formule d’inversion, C R (Dokl) Acad Sci URSS, Vol 52, 655-658 109 [34] Lebedev N.N (1947), On the representation of an arbitrary function through the integral involving the Macdonald functions with the complex index, Dokl AN SSSR, Vol 58, No 6, 1007-1010, (in Russian) [35] Lebedev N.N (1949), On the representation of an arbitrary function by integrals involving cylinder functions of imaginary index and argument, Prikl Mat Mekh., Vol 13, 465-476, (in Russian) [36] Lebedev N.N (1965), Special Functions and Their Applications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [37] Lyalinov M.A, Zhu N.Y., and Smyshlyaev V.P (2010), Scattering of a plane electromagnetic wave by a hollow circular cone with thin semitransparent walls, IMA Journal of Applied Mathematics, Vol 75, 676719 [38] Lyalinov M.A, Zhu N.Y (2013), Scattering of Waves by Wedges and Cones with Impedance Boundary Conditions, ISMB Series, SciTech Publishing, Edison, NJ [39] Lyalinov M.A, Zhu N.Y (2007), Acoustic scattering by a circular semitransparent conical surface, J Eng Math., Vol 59, No 4, 385-398 [40] Lowndes J.S (1959), An application of the Kontorovich–Lebedev transform, Proc Edinburgh Math Soc., Vol 11, No 3, 135-137 [41] Lowndes J.S (1962), Parseval relations for Kontorovich–Lebedev transform, Proc Edinburgh Math Soc., Vol 13, No 1, 5-11 [42] Nhan N.D.V., Duc D.T (2009), Fundamental iterated convolution inequalities in weighted Lp spaces and their applications, Math Inequal Appl., Vol 12, No 3, 487-498 [43] Nhan N.D.V., Duc D.T (2008), Fundamental inequalities for the iterated Laplace convolution in weighted Lp spaces and their applications, Integral Transforms Spec Funct., Vol 19, No 9, 655-664 [44] Nhan N.D.V., Duc D.T., and Tuan V.K (2009), Reverse weighted lp norm inequalities for convolution type integrals, Armen J Math., Vol 2, No 3, 77-93 110 [45] O’Neil R (1963), Convolution operators and L(p, q) spaces, Duke Math J., Vol 30, 129-142 [46] Paley R.C., Wiener N (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain, American Mathematical Society, Vol 19 [47] Polyanin A.D., Zaitsev V.F (2003), Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, 2nd edition, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton-London-New York-Washington D.C [48] Prudnikov A.P., Brychkov Y.A., and Marichev O.I (1986), Integrals and Series: Special Functions, Gordon and Breach, New York and London [49] Qui B.H (1994), Weighted Young’s inequality and convolution theorems on weighted Besov spaces, Math Nachr., Vol 170, 25-37 [50] Saitoh S (1984), A fundamental inequality in convolution of L2 functions on the half line, Proc Amer Math Soc., Vol 91, 285-286 [51] Saitoh S (1993), Inequalities in the most simple Sobolev space and convolution of L2 functions with weights, Proc Amer Math Soc., Vol 118, 515-520 [52] Saitoh S (2000), Weighted Lp − norm inequalities in convolution, Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Pulishers, Amsterdam [53] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M (2000), Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, J Ineq Pure and Appl Math., Vol 1, 1-7 [54] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M (2000), Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions, J Ineq Pure and Appl Math., Vol 1, No , 1-11 [55] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, J Ineq Pure and Appl Math.,Vol 3, No 5, 1-11 [56] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M (2003), Convolution inequalities and applications, J Ineq Pure and Appl Math.,Vol 4, No 3, 1-8 [57] Sneddon I.N (1972), The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill 111 [58] Thao N.X, Tuan V.K., and Hong N.T (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam J Math., Vol 36, No 1, 83-101 [59] Thao N.X, Tuan V.K., and Hong N.T (2012), A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations, Fract Calc Appl Anal., Vol 15, No 3, 493-508 [60] Thao N.X., Virchenko N.O (2012), On the generalized convolution for Fc , Fs , and K-L integral transforms, Ukrainian Math J., Vol 64, No 1, 89-101 [61] Thorwe J., Bhalekar S (2012), Solving partial integro-differential equations using Laplace transform method, Amer J Comput Appl Math., Vol 2, No 3, 101-104 [62] Titchmarsh E.C (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, 3rd ed., Chelsea Publ Comp., NewYork [63] Tuan T., Thao N.X., and Mau N.V (2010), On the generalized convolution for the Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Math Vietnam., Vol 41 No 2, 303-317 [64] Tuan V.K (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, J Math Anal Appl., Vol 229, No 2, 519-529 [65] Tuan V.K., Saigo M (1995), Convolution of Hankel transform and its application to an integral involving Bessel function of first kind, Internat J Math & Math Sci., Vol 18, No 3, 545-550 [66] Yakubovich S.B (1994), On the theory of the Kontorovich-Lebedev transformation on distributions, Proc Amer Math Soc., Vol 122, No 3, 773-774 [67] Yakubovich S.B (1996), Index Transforms, World Scientific, SingaporeNew Jersey-London -Hong Kong [68] Yakubovich S.B (2003), Boundedness and inversion properties of certain convolution transforms, J Korean Math Soc., Vol 40, No 6, 999-1014 112 [69] Yakubovich S.B (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collect Math., Vol 54, No 2, 99-110 [70] Yakubovich S.B (2004), On the least values of Lp − norms for the Kontorovich-Lebedev transform and its convolution, Jour of Appr Theor., Vol 131, 231- 242 [71] Yakubovich S.B (2006), On a testing-function space for distributions associated with the Kontorovich-Lebedev transform, Collect Math., Vol 57, No 3, 279-293 [72] Yakubovich S.B (2009), A class of polynomials and discrete transformations associated with the Kontorovich-Lebedev operators, Integral Transforms Spec Funct., Vol 20, No 7-8, 551-567 [73] Yakubovich S.B (2009), On the theory of convolution integral equations related to Lebedev’s type operators, Sar J Math., Vol 5, No 17, 119132 [74] Yakubovich S.B (2011), The heat kernel and Heisenberg inequalities related to the Kontorovich-Lebedev transform, Commun Pure Appl Anal., Vol 10, No 2, 745-760 [75] Yakubovich S.B (2011), Multidimensional Kontorovich-Lebedev transforms, Integral Transforms Spec Funct., Vol 22, No 2, 123-141 [76] Yakubovich S.B., Britvina L.E (2009), Convolution operators related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transformations, Results Math., Vol 55, No 1-2 , 175-197 [77] Yakubovich S.B., Britvina L.E (2010), Convolution related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited, Integral Transforms Spec Funct., Vol 21, No , 259-276 [78] Yakubovich S.B., Vieira N (2011), A radial version of the KontorovichLebedev transform in the unit ball, Opuscula Math., Vol 31, No 1, 37-45 [79] Xiao-Hua L (1990), On the inverse of Hăolder inequality, Math Practice and Theory, Vol 1, 84-88 113 [80] Young W.H (1912), On the multiplication of successions of Fourier constants, Proc R Soc A, Vol 87, No 596, 331-339 [81] Zemanian A.H (1975), The Kontorovich-Lebedev transformation on distributions of compact supporrt and its inversion, Math Proc Camb Phil Soc., Vol 77, 139-143 [82] Zhao J., Peng L (2010), Windowed-Kontorovich-Lebedev transforms, Front Math China., Vol 5, No 4, 139-143 [83] Zhu N.Y., Lyalinov M.A (2008), Diffraction by wedge or by cone with impedance-type boundary conditions and second-orders functional difference equations, Progress in Electromagnetics Research B , Vol 6, 239256 114 ... đẳng thức biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich- Lebedev - Fourier Đối tượng nghiên cứu tích chập suy rộng, bất đẳng thức tích chập suy rộng, biến đổi tích phân kiểu tích chập suy. .. tích chập, tích chập suy rộng thiết lập ước lượng liên quan đến chuẩn tích chập Kết bất đẳng thức tích chập Fourier Young W.H vào năm 1912, mà sau ta gọi bất đẳng thức Young cho tích chập Fourier. .. dx2 đẳng thức nhân tử hóa tích chập suy rộng nghiên cứu [26], biến đổi Fourier cosine bên trái, tác động vào tích chập suy rộng, biến đổi Kontorovich- Lebedev tác động vào tích chập suy rộng đẳng