luận án tiến sĩ tích chập suy rộng fourier cosine, fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

MỤC LỤC DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG Bố CỦA LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 103 102 LỜI CAM ĐOAN Luận án viết dựa nghiên cứu tác giả Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưởi hưởng dẫn thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Các kết luận án mói chưa cơng bố cơng trình khoa học tác giả khác Giáo viên hướng dẫn Hà nội, tháng năm 2020 PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tác giả Nguyễn Anh Đài LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưởi hưởng dẫn khoa học tận tình PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Thầy dành nhiều công sức, dẫn dắt vào đường nghiên cứu khoa học, động viên khích lệ tơi vượt lên khó khăn học tập sống Từ tận đáy lòng, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tói Thầy cố gắng phấn đấu để xứng đáng vói cơng lao Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học Phòng Đào tạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Vũ Kim Tuấn, Trường Đại học West Georgia, USA TS Nguyễn Thanh Hồng, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người thầy người anh ln động viên tác giả q trình học tập nghiên cứu, có ý kiến đóng góp sâu sắc nội dung tác giả hồn thành luận án Xin chân thành cảm ơn thành viên nhóm Seminar Giải tích Trường ĐH Bách khoa Hà Nội, Seminar Giải tích - Trường ĐH KHTN - ĐH QG Hà Nội trao đổi hữu ích giúp cho Luận án hoàn thiện Những ý kiến giáo sư đồng nghiệp tham dự semina giúp trưởng thành nghiên cứu khoa học Đặc biệt, động viên, nhận xét quý báu ý kiến đóng góp sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, PGS.TS Nguyễn Thủy Thanh, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, TS Nguyễn Văn Ngọc, PGS TS Trịnh Tuân, PGS.TS Nguyễn Minh Khoa, TS Phạm Văn Hoằng, TS Nguyễn Hải Sơn, TS Nguyễn Quang Chung, TS Trần Hồng Thái, kinh nghiêm quý báu để luận án hoàn thiện cách thuận lợi Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến người thầy mà em ln tơn kính, đến người anh, người chị đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy Bộ mơn Tốn, Khoa khoa học bản, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trìnhhồn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình bạn bè đồng nghiệp, nơi ln dành cho tác giả tình u thuơng vơ hạn Trong q trình học tập hồn thành luận án, tất Thầy, bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt thành viên gia đình, ln sát cánh, động viên ủng hộ tác giả Đó nguồn động lực to lởn giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIET TÁT • R tập tất số thực • C tập tất số phức • Z tập tất số nguyên • R+ = fx R; x > 0}, tập tất số thực dương • |z| modun z • C0(R+) khơng gian hàm liên tục R+ triệt tiêu vô với chuẩn sup • F biến đổi tích phân Fourier (xem trang 10) • Fc biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 11) • Fs biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 11) • Lp(R+), < p < 1, không gian 11 àm số f xác định R+, thỏa mãn (1 ! |f(x)|pdx Ị j < 1 o • L (R+;p); < p < 1, không gian 11 àm số f xác định R+, thỏa mãn p (00 / \ \ p /|f(x)|pp(x)dx < 1; o p(x) hàm trọng dương • T tốn tử tích chập thời gian rời rạc (xem trang 21) • (• * •) (xem trang 12) tích chập phép biến đổi Fourier • (• * •) (xem trang 12) tích chập phép biến đổi Fourier cosine (• * •) (xem trang 13) tích chập phép biến đổi Fourier sine (• * •) (xem trang 13) tích chập với hàm trọng (y) = sin y phép biến đổi Fourier FDT (xem trang 15) biến đổi Fourier thời gian rời rạc '1 (No) (xem trang 30) không gian dãy số phức x := {x(n)}n>0 trang bị với chuẩn IM, := (“ ||x||i :=sup |xn| < ! + X |x(n)| p ) n>0 • '0(No) (xem trang 30) không gian ^(No) với x(0) = • F DT (xem trang 30) biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc c • F DT (xem trang 31) biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc s • (• * •) (xem trang 36) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc • (• * •) (xem trang 43) tích chập suy rộng với hàm trọng7(y) = sin ! phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc • (• * •) (xem trang 50) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc • (• * •) (xem trang 55) tích chập suy rộng với hàm trọng7(y) = sin ! phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc • (• * •) (xem trang 64) tích chập phép biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc • (xem trang 71) tốn tử kiểu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc TsDT • rTsDT (xem trang 71) tốn tử nghịch đảo kiểu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc • TDy (xem trang 73) tốn tử nghịch đảo kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc • TcDT (xem trang 73) tốn tử kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc • TcDT (xem trang 75) tốn tử kiểu tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc • TcDT (xem trang 76) tốn tử nghịch đảo kiểu tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí lựa chọn đề tài A Phép biến đổi tích phân lớp hàm khả tích Lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân có vai trị quan trọng khơng thể thiếu ngành y sinh học, địa lý, hải dương học, Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị đặc biệt quan trọng lí thuyết ứng dụng, phải kể đến trước hết phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi Hankel, Kontorovich-Lebedev, Bản thân phép biến đổi Fourier đời xuất phát từ toán thực tế J Fourier nghiên cứu trình truyền nhiệt Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [1, 2, 3]) (Ff )(x) = F[/](!) = -—= ỉ e~' f (ý)dy, f L1 (R); V2% J —1 xy (0.1) N (Ff)(x) = F[f](x)= lim —= í e~ f (y)dy,f Lp(R); < p < N!1 y/ 2u J ixx —N (0.2) Nếu g(x) = (Ff )(x) L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [1, 2]) 1 f (x) = (F- g)(x) = F- [g](x) = —= í e g(y)dy V 2K J —1 ixy (0.3) Nếu g(x) = (Ff )(x) Lp(R); < p < 2, ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [1, 2]) N -1 f (x) = (F- g)(x) = F [g](x) = lim —= í e g(y)dy (0.4) N!1 ự 2u J -N ixy Trong trường hợp f L^R) hàm chẵn hàm lẻ Khi đó, f L1(R+) ta nhận phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine có dạng sau (xem [4, 5]) (Fc f )(y) = Fc[f](y) = f (x) cos(xy)dx; f L1(R+); (Fsf )(y) = F.[f](y) = f (x) sin(xy)dx, f L1(R+) (0.5) (0.6) (0.7) (0.8) Với f Lp(R+); < p < 2, ta có (Ff )(y) = Fc[f](y) (Fsf )(y) = F [f](y) lim N— lim N f (x) cos(xy)dX; f (x) sin(xy)dx, đó, q số mũ Hên hợp p, tức - + - = giới hạn hiểu theo chuẩn không gian L (R+) Các định nghĩa trùng q f L1(R+) \ Lp(R+) Tích chập suy rộng tích chập Một vấn đề quan trọng phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập suy rộng, tích chập ứng dụng liên quan Chẳng hạn như: tính tích phân, tính tổng chuỗi, giải tốn Vật lý-Tốn, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân, lý thuyết xác suất, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện, (xem [4, 6, 7, 8, 10, 11]) Do đó, hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Theo lịch sử phát triển khái niệm tích chập xuất với tên gọi khác như: tích chập suy rộng (tích chập suy rộng khơng có hàm trọng tích chập suy rộng có hàm trọng), tích chập (tích chập khơng có hàm trọng tích chập có hàm trọng) đa chập Đối với tích chập mà đẳng thức nhân tử hóa có nhiều phép biến đổi tích phân gọi tích chập suy rộng Trong luận án này, tích chập suy rộng gọi theo tên phép biến đổi tác động vào tích chập suy rộng đẳng thức nhân tử hóa Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier có dạng sau (xem [5, 9]) (f * g)(x) = \ V 2x J F f( y)g(x - y)dy; x R (0.9) Tích chập (0.9) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [9]) F[f *g](y) = (Ff)(y)(Fg)(-y),y R,f,g L1(R) F (0.10) Năm 1912, Young đưa bất đẳng thức (xem [12, 13]) ||f *g\\L (R) 0; f,g L2(R+) (0.14) F c Sau đó, tích chập phép biến đổi Laplace, Mellin Hartley xây dựng nghiên cứu (xem [17, 18, 19]) 800 Định lý 3.2.8 Nếu u(n), z(n),v(n),w(n) 'i(No); thỏa mãn điều kiện — 8sin! • F DT{v(n)g(!) • F DT{u(n)}(w) = 0,8! [0,%] 801 C S 802 Khi đố hệ phương trình (3.67) có nghiệm x(n) y(n) '1(N0)? xác định sau 803 z(n) + (z >: h)(n) — (t/ * > x(n) = w) h) (n) y(n) = z) 804 w(n) + (w J* h)(n) — (v * hỳ (n) w)(n) — ({u >: z)(n) — Ợv 805 ( 3.68) 806 Với h(n) '1(N0) xác định 4sin! • FSDT{v(n)}((x) • FcDT{u(n)}((x) cos(n! )d(! - sin ! • FSDT{v(n)}(!) • FcDT{u(n)} (!) 807 808 809 ( 3.69) 810 Chứng minh Ta viết lại hệ (3.67) dạng 811 x(n) + (u * y)(n) 812 813 (v FsDT x)(n) + y(n) = z(n) = w(n) (3.70) 814 Ap dụng biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc vào hai vế phương trình sử dụng đẳng thức (2.35), biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc vào hai vế phương trình sử dụng đẳng thức (2.51) hệ (3.67) ta 815 816 FSDT {x(n)}(!) < +4sin! • FcDT{u(n)}(!) • FcDT{y(n)}(!) = FSDT{z(n)}(!) 2FSDT{v(n)}(!) • FSDT{x(n)}(!) 817 + FcDT {y(n)}(!) = FcDT < {w(n)}(!) 818 3.71) 819 Từ hệ ta có 820 — 8sin! • F DT{v(n)}(!) • F DT{u(n)}(!), S 821 C A1 = FSDT{z(n)}(!) - 4sin! • FcDT{u(n)}((x) • FcDT{w(n)}((x), (3.73) A=1 (3.72) ( 822 A2 = FcDT{w(n)}(!) - • FSDTfv(n)g(!) • -Ạ/,/{z(n)}(w) 823 824 Nếu — 8sin! • F DT{v(n)}(u) • F {u(n)}(u) = 0, ta có cDT S 825 1_ A — 8sin! • F DT{v(n)}(!) • F {u(n)}(u) 826 S 827 828 829 cDT (3.75) =1 + _8sịn!^FfDl{VÍm(!llFcDTlUÍm(!^ - 8sin! • FSDT{v(n)}(!) • FcDT{u(n)}((!)' Theo Bổ đề 3.2.1, tồn dãy h(n) '1(N0) cho 830 Hc(a) :=FcDT{h(n)}(!) 831 832 = 4sin! • FSDT{v(n)}(!) • FcDT{u(n)}(!) - 8sin! • FSDT{v(n)}(!) • FcDT{u(n)}((!)' 833 Sử dụng cơng thức biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc ngược (2.3) ta xác định 834 837 • FSDT{v(n)}(w) • FcDT{u(n)}(w) 835- - r X 836 J - sin ! • -/1/,/{v(n)g(!) • FcDTfu(n)g(!) Khi phương trình (3.75) viết lại dạng r (ì cos(n! [ 4sin! )d! 838 1=1 (3.77) + 2FcDT {h(n)}(!) 839 Theo phương pháp Cramer, nghiệm hệ phương trình (3.67) xác định 840 I FSDT{x(n)}(!) = A 841 A2 (3-78) F 842 : cDT {y(n)}(!)= A 843 Kết hợp phương trình (3.72), (3.73), (3.74) (3.77) thay trở lại hệ (3.78) ta 844 FSDT {x(n)}(!) 845 = {FSDT{z(n)}(!) - 4sin! • FcDT{u(n)}(!) • FcDT{w(n)}(!)Ị F 846 • 11 + (! )I CDT {h(n)} ^3 79) =FSDT{z(n)}(!) + 2FSDT{z(n)}(!) • FcDT{h(n)}(!) 847 - 4sin! • FcDT{u(n)}(!) • FcDT{w(n)}(!) 8sin! • FcDT{u(n)}(!) • FcDT{w(n)}(!) • FcDT{h(n)}(!); 848 849 F { (n)}( cDT y !) 850 ={FcDT{w(n)}(!) - • FsDT{v(n)}(! • FsDT{z(n)}(w)Ị 851 > 852 (!)j =FcDT {w(n)}(!) + 2FcDT {w(n)}(! )FcDT {h(n)}(!) F {h(n } •|1 + cDT ) (3 80) - • FsDT{v(n)}(!) • FsDT{z(n)}(!) - • FsDT{v(n)}(!) • FsDT{z(n)}(!) • FcDT{h(n)}(!) 853 Từ tính giải tích biến đổi Fourier cosine Fourier sine thời gian rời rạc từ Định lý 2.2.3, 2.2.5, 2.3.1 Định lý 2.4.1 ta thu dãy x(n),y(n) '1(NO) nghiệm hệ phương trình (3.67) dạng 854 {(v 855 > : y(n) z) I (ux(n) ^* = >: //')>: (n) z(n) h| + (z } = w(n) + - h (n) 856 nh lý chứng minh 857 858 (w - h)(n) ) h (n) — — (u JX ) w (n) — (y ^* z)(n) — Đị □ Kết luận Chương Các kết đạt được: X Giải nghiệm biểu diễn qua tích chập suy rộng tích chập xây dựng lớp phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc với nhân đặc biệt, phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc với nhân vế phải đặc biệt, đưa số ví dụ cụ thể phương trình ToeplitzHankel rời rạc với nhân đặc biệt Một số hệ phương trình phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc hệ (3.51), (3.59) hệ (3.67) giải • Xây dựng điều kiện cần đủ để phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc, kiểu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc unita '0(N O) phép biến đổi kiểu tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc unita ' (No) thiết lập công thức phép biến đổi ngược Đồng thời ví dụ cụ thể minh họa cho tồn phép biến đổi nghiên cứu, làm rõ tồn phép biến đổi kiểu tích chập thời gian rời rạc 859 nghiệm thơng qua tích chập suy rộng, tích chập thời gian rời rạc Đánh giá nghiệm phương trình qua số bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc, tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc xây dựng 860 861 Bình luận Chương tập trung vào khai thác phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc, phép biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc phép biến đổi kiểu tích chập biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc dãy tín hiệu đầu vào x(n) dãy chẵn, lẻ khác Chứng minh phép biến đổi unita không gian 4(N0), 'p(N0);P = 1; Trong chứng minh phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng tích chập thời gian rời rạc unita gọn chứng minh chứng minh tính unita tích chập suy rộng tích chập lớp hàm khả tích Tuy nhiên, xây dựng biến đổi ngược gặp nhiều khó khăn việc kết hợp tích chập, tích chập suy rộng khác 862 Trong năm gần đây, khơng có cơng trình phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng thời gian rời rạc phép biến đổi kiểu tích chập thời gian rời rạc lớp hàm khả tổng với dãy tín hiệu đầu vào dãy chẵn hay lẻ Việc xây dựng phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine thời gian rời rạc, kiểu tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc làm đa dạng lý thuyết hệ thống xử lý tín hiệu thời gian rời rạc Đồng thời phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng, phép biển đổi kiểu tích chập thời gian rời rạc xây dựng kết hoàn toàn lớp hàm khả tổng kết tốt phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng, tích chập lớp hàm khả tích 863 Phương trình Toeplitz-Hankel vấn đề mở đặc biệt phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc lần đầu xem xét Nhờ có Định lý kiểu Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc tốt với lớp hàm khả tích nên giải nghiệm tốt phương trình tương ứng lớp hàm khả tích thơng qua khẳng định thứ hai Định lý 864 865 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án là: Xây dựng số tích chập suy rộng, tích chập suy rộng có trọng tích chập biến đổi Fourier cosine Fourier sine thời gian rời rạc Từ đó, số khơng gian hàm xác định ta nhận số tính chất toán tử, bất đẳng thức chuẩn, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lý kiểu Titchmarch định lý kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Young tích chập suy rộng Fourier sine, Fourier cosine thời gian rời rạc Nhận điều kiện cần đủ để phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng biến đổi Fourier cosine Fourier sine thời gian rời rạc unita không gian '2(N0), phép biến đổi kiểu tích chập Fourier cosine thời gian rời rạc unita không gian ' (No), thiết lập cơng thức biến đổi ngược Từ cho ví dụ minh họa tồn lớp phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng, kiểu tích chập thời gian rời rạc nêu 866 Thiếtvà cosine, lập tích chập số bất suy đẳng rộng thức Fourier đối sine với thời tích gian chập rời suy chập Fourier suy rộng Fourier Fourier cosine cosine, thời gian Fourier rời rạc sine thời gian không rời rạc gian có rạc, trọng '2(N ),phương '2(N tích Toeplitz-Hankel Giải đánh giá rời nghiệm rạc số lớp phương trình, hệtích trình 0rộng 0) chập 867 Tiếp theo kết Luận án, ta nhận thấy số vấn đề cần nghiên cứu sau: • Tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine thang thời gian • Bất đẳng thức tích chập, tích chập suy rộng thời gian rời rạc, bất đẳng thức ngược tích chập suy rộng nói ứng dụng thang thời gian 868 Chúng hy vọng vấn đề nêu sớm giải 869 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG Bố CỦA LUẬN ÁN N.A Dai and N X Thao (2018), Generalized convolutions with uueightfunction for discrete-time Fourier cosine and sine transforms, Annales Univ Sci Budapest Sect Comp., Vol.47, pp.227-237 N.x Thao, V.K Tuan, N.A Dai (2018), Discrete-time Fourier cosine convolution, Int Trans & Spec Func (SCIE), VoL29(ll), pp.866-874 N.x Thao, N.A Dai (2018), Discrete-time Fourier sine integral transform, Jour of Math AppL, VoL16(2), pp.51-62 N.x Thao, V.K Tuan, N.A Dai (2020), A discrete convolution involving Fourier sine and cosine series and its applications, Int Trans & Spec Func (SCIE), Vol.31(3), pp.243-252 870 [1] s [2] E.c TÀI LIỆU THAM KHẢO Bochner, K Chandrasekharan (1949), Fourier Transforms, Princeton Univ Press.,New York Titchmarsh (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Third Edition, Chelsea Publishing Co., New York [3] I.N Sneddon (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York [4] L.E Britvina (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Int Tran & Spec Func., Vol.l6(5-6), pp.379-389 [5] Nguyễn Xuân Thảo (2015), Phép biến đổi tích phân tích chập ứng dụng, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [6] N.x Thao, V.K Tuan, N.T Hong (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution vuith a vueight function, Vietnam J Math., Vol.36(l), pp.83-101 [7] N.x Thao, V.K Tuan, N.T Hong (2012), A Fourier generalỉzed convolution transform and applications to integral equations, Fract Calc Appl AnaL, Vol.l5(3), pp.493-508 [8] V.K Tuan (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, J Math Anal Appi, Vol.229(2), pp.519-529 [9] I.N Sneddon (1972), The Use of Integral Transforms, McGray-Hill, New York [10] V.K Tuan, M Saigo (1995), Convolution of Hankel transform and its application to an integral involving Bessel function offirst kind, Internat J Math & Math Scí, Vol.l8(3), pp.545-550 [11] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phẫn kỳ dị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [12] s Zygmund (2003), Trigonometric Series, 3rd ed., Cambridge University Press, London [13] Y Katznelson ( 2002), An Introduction to Harmonic Analysis, 3rd ed., Cambridge University Press, London [14] w Beckner (1975), Inequalities in Fourier analysis, Ann Math Vol 102(2), pp.159-182 [15] R.A Adams and Fournier (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed Academic Press, Amsterdam [16] F Al-Musallam, V K Tuan (2000), Integral transform related to a generalized convolution, Results Math., Vol.38(3-4), pp.197-208 [17] J Glaeske, A.p Prudnikov, K.A Skornik (2006), Operational Calculus and Related Topics Chapman & Hall/CRC, NewYork [18] L Debnat,D Bhatta (2007), Integral Transforms and Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton [19] B.T Giang, N.v Mau, N.M Tuan (2009), Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions, Int Equ & Oper Theory., Vol.65(3), pp.363-386 [20] Y.Y Vilenkin (1958), Matrix elements of medecomsale unitary representations for motions group of the Lobachevskii ’s space and generalized Mehler-Fox transforms, Dokl Akad Nauk USR Vol.ll8(2), pp.219-222 (In Russian) [21] V.A Kakichev (1967), On the convolution for integral transforms, Vyssh Uchebn Zaved Mat (2), pp.53-62 (In Russian) [22] N.x Thao (2010), On the Polyconvolution with the uueight function for the Fourier cosine, Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev integral transforms, Math Prob in Eng., Vol.2010, Article ID 709607, pp.1-16 [23] V.A Kakichev (1997), Polyconvolution, Taganrog, TPTU, 54p (In Russian) [24] F Al-Musallam, V K Tuan (2000), A class of convolution transforms, Fract Calc AppL Anal., Vol.3(3), pp.303-314 [25] V.A Kakichev, N.x Thao (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izv Vys Uche Zav Mat., Vol.l, pp.31-40 (In Russian) [26] N.x Thao (2001), On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, Acta Math Vietnamica, VoL32(2), pp.107-122 [27] V A Kakichev and N.x Thao (1994), On the generalized convolution for H -transforms, Izv Vuzov Mat No 8, pp.21-28 (In Russian) [28] N.x Thao, T Tuan and L.x Huy (2014), The generalized convolutions with a weight ỉunction for Laplace transỉorm, Nonli Funct AnaL Appl., Voi 19(2), pp 61-77 [29] N.x Thao, V.K Tuan, N.T Hong (2008), Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations, Frac CaL & AppL AnaL, Vol.ll(2), pp.153-174 [30] S.B Yakubovich, A.I Mosinski (1993), Integral-equation and convolutions for transform of Kontorovich-Lebedev type, Diff Uravnenia, Vol.29(7), pp.1272-1284 (In Russian) [31] S.B Yakubovich (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolutỉon type, Collect Math., Vol.54(2), pp 9-110 [32] S.B Yakubovich (2003), Boundedness and inversion properties of certain convolution transforms, J Korean Math Soc., Vol.40(6), pp.999-1014 [33] Nguyễn Minh Khoa (2008), Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Pourỉer, Pourier cosỉne, Pourier sine ứng dụng Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [34] Nguyễn Thanh Hồng (2012), Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Pourier, Pourier cosine, Pourier sine ứng dụng Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [35] A Bồttcher, B Silbermann (2009), Analysis of Toeplitz Operators: Second Edition, Springer-Verlag, New York [36] J.N Tsitsiklis, B.c Levy (1981), Integral equations and resolvents of Toeplitz plus Hankel kernels, Laboratory for Inỉormation and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology, Series/Report No.LIDS-P 1170 [37] F.D Gakhov, Y.I Cherskii (1978), Equations of Convolution Type, Nauka, Moscow (in Russian) [38] T Tuan, N.x Thao (2011), A new polyconvolution and its application to solving a class of Toeplitz plus Hankel integral equations and Systems of integral equations, Vietnam J Math., VoL39(2), pp.217-235 [39] N.x Thao, V.K Tuan, N.T Hong (2011), Toeplitz plus Hankel integral equation, Int Tran & Spec Func., Vol.22(10), pp.723-737 [40] N X Thao, V K Tuan, H T V Anh (2014), On the Toeplitz plus Hankel integral equation II, Int Trans & Spec Func., Vol.25(l), pp.7584 [41] P.K Anh, N.M Tuan, P.D Tuan (2013), The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Jour of Math Ấnal & Appl, Vol.397(2), pp.537-549 [42] A.v Oppenheim, R.w Scliaícr (1989), Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs [43] A.D Poularikas (2010), Transforms and Applications, 3rd ed., CRC Press, New York [44] W.Y Yang (2009), Signals and Systems 10.1007/978-3-540-92954-3-3, Springer, Berlin ivith MATLAB, DOI [45] B Champagne and F Labeau (2004), Discrete Time Signal Processing, Class Notes for the Course ECSE-412 ed McGill University, 160p [46] R.K Rao Yarlagadda (2010), Analog and Digital Signal and Systems, Springer Science - Business Media, DOI: 10.1007/978-1-4419-0034-0 [47] D Sundararajan (2018), The Discrete-Time Pourier Transform, Fourier Analysis - A Signal Processing Approach, Springer, Singapore In: [48] Nguyễn Quốc Trung (1999), Xử lý tín hiệu lọc số, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [49] V.H.L Cheng, C.A Desoer (1982), Discrete time convolution control Systems, Inter Jour Contr., Vol 36(3), pp.367-407, DOI: 10.1080/00207178208932903 [50] K Deergha Rao (2018), Frequency Domain Analysis of Discrete-Time Signals and Systems In: Signals and Systems, Birkhâuser, Cham, DOI.org/10.1007/978-3-319-68675-2-7 ... tích chập ruy rộng tích chập suy rộng có hàm trọng biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc khơng gian 2.2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine thời gian rời rạc Định nghĩa 2.2.1 Tích chập suy rộng. .. Toeplitz-Hankel rời rạc • Đối tượng: Tích chập suy rộng, tích chập, bất đẳng thức tích chập suy rộng, biến đổi kiểu tích chập suy rộng biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc phương... dựng tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc tích chập với phép biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc Đánh giá các bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng,