Ma trận và hệ truy hồi

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————o0o——————– NGƠ TH± HƯèNG MA TR¾N VÀ Hfi TRUY HOI LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60 46 01 13 Ngưài hưáng dan khoa HQC PGS.TS ĐÀM VĂN NHI HÀ N®I - 2014 Mnc lnc Lài nói đau Lài cam ơn M®t so kien thÉc ve ma tr¾n 1.1 Khái ni¾m .5 1.2 Các phép tốn ma tr¾n 1.2.1 Phộp cđng hai ma trắn .6 1.2.2 Phép nhân phan tu trưịng K vói ma tr¾n 1.2.3 Phép nhân hai ma tr¾n .6 1.3 Vành ma tr¾n 1.4 Ma tr¾n ngh%ch đao 1.5 Phương trình đ¾c trưng cna ma tr¾n 10 1.5.1 Giá tr% riêng vectơ riêng cna phép bien đői tuyen tính10 1.5.2 Đa thúc đ¾c trưng 11 1.6 Chéo hóa ma tr¾n 15 1.7 Giá tr% riêng cna hàm ma tr¾n 16 Ma tr¾n h¾ truy hoi 20 2.1 Xét dãy so qua phép nhân ma tr¾n 20 2.2 Úng dung đ%nh lí Cayley - Hamilton vào dãy so 27 2.3 Xét dãy so qua chéo hóa ma tr¾n 31 Xây dEng toán mái cho dãy so 46 3.1 Đ¾t van đe 46 3.2 Xây dnng tốn mói ve dãy so 47 Mđt so phng phỏp khỏc giai hắ truy hoi 4.1 H¾ truy hoi qua cap so nhân 4.1.1 Phương pháp cap so nhân đe xét dãy so 4.1.2 Chuyen dãy truy hoi phúc tap ve dãy đơn gian 4.2 Xét dãy so qua đong cau Ket lu¾n Tài li¾u tham khao 53 53 53 62 69 74 75 Ma tr¾n h¾ truy hoi LèI NÓI ĐAU Các van đe liên quan đen dãy so l mđt bđ phắn quan TRQNG cna giai tớch v so, ắc biắt l mđt phan quan TRQNG khụng the thieu tốn HQc phő thơng Nhieu dang tốn cna hình HQc, lưong giác nhieu mơn HQc khác đòi hoi giai quyet van đe ve dãy so Các HQc sinh sinh viên thưòng xuyên phai đoi m¾t vói nhieu tốn khó liên quan đen dãy so Các toán liên quan đen dãy so rat phong phú đa dang, thưịng g¾p kì thi hQc sinh gioi tốn cap quoc gia, khu vnc, quoc te kì Olympic Trong khn khő lu¾n văn này, tác gia chi đe c¾p đen m®t phan nho cna lý thuyet dãy so dãy h¾ dãy dang truy hoi tuyen tính Mđt hắ truy hoi dự tuyen tớnh, nhng e giai đưoc bang bưóc bien đői sơ cap rat phúc tap, th¾m chí đưa tốn ve vi¾c giai mđt phng trỡnh bắc cao khụng n gian Bang viắc bieu dien mđt hắ truy hoi tuyen tớnh dúi dang phương trình ma tr¾n, ta làm đơn gian hóa đáng ke tốn, đưa đen vi¾c tính tốn ma tr¾n Lu¾n văn tác gia nham đáp úng nhu cau tn boi dưõng, HQc cách lý luắn, cỏch mo rđng tn nhiờn cna mđt van đe tù đơn gian đen phúc tap, đe tù hieu úng dung đưoc m®t van đe sâu sac, mach lac có trình tn Bo cuc cna luắn gom bon chng: - Chng 1: Mđt so kien thẫc ve ma trắn Nđi dung cna chng ny l nhac lai mđt so kien thỳc ve ma trắn: Khái ni¾m, phép tốn ma tr¾n, vành ma tr¾n, ma tr¾n ngh%ch đao, giá tr% riêng vectơ riêng cna ma tr¾n; hàm ma tr¾n giá tr% riêng cna hàm ma tr¾n - Chương 2: Ma tr¾n h¾ truy hoi Trong chương này, lu¾n văn đe c¾p en viắc bieu dien mđt hắ truy hoi tuyen tớnh dưói dang ma tr¾n, su dung phép bien đői ma tr¾n đe giai tốn Lu¾n văn đe c¾p thêm đen h¾ thúc truy hoi phi tuyen ma khơng the dùng ma tr¾n đe giai Ma tr¾n h¾ truy hoi - Chương 3: Xây dEng tốn mái cho dãy so Chương này, lu¾n văn đe c¾p đen vi¾c xây dnng tốn mói ve dãy so tù tốn biet nhị kien thúc cna hàm ma tr¾n - Chương 4: Mđt so phng phỏp khỏc giai hắ truy hoi Phan này, lu¾n văn đe c¾p đen hai phương pháp: giai h¾ truy hoi qua cap so nhân xét dãy so qua đong cau LèI CAM ƠN Tác gia xin bày to sn kính TRQNG lịng biet ơn sâu sac đen PGS.TS Đàm Văn Nhi Thay giành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac giúp đõ tác gia hồn thành lu¾n văn Tác gia xin gui lòi cam ơn chân thành đen thay, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, ban HQc viên nh¾n xét đóng góp ý kien cho ban lu¾n văn Tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè quan tâm, đông viên cő vũ tao dieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2014 Chương M®t so kien thÉc ve ma tr¾n 1.1 Khái ni¾m Gia su X l mđt tắp, m v n l cỏc so nguyờn dng Ma trắn A cừ m ì n vúi cỏc phan tu thuđc X l mđt HQ m × n phan tu aij ∈ X, i = 1, 2, , m GQI chi so hàng; j = 1, 2, , n GQI chi so cđt Ma trắn A thũng oc ký hiắu a11 a12 a1n a21  a22 a2n A=   am2 amn am1   hay đưoc viet GQN dưói dang A = (aij )m×n Ma trắn cừ ì n GQI l ma trắn hng, ma trắn cừ m ì GQI l ma trắn cđt Ma trắn cừ n ì n GQI l ma tr¾n vng cap n hay ma tr¾n cap n Trong ma trắn vuụng A = (aij )nìn dóy cỏc phan tu a11 , a22 , , ann GQI đưòng chéo cna ma tr¾n A Ma tr¾n đơn v% ma tr¾n vng có phan tu đưịng chéo bang 1, cịn phan tu ngồi đưịng chéo đeu bang Ma tr¾n đơn v% thưịng đưoc ký hi¾u E E =     Ma tr¾n chuyen v% cna ma tr¾n A.= (a.ij ).mìn l ma trắn Aj = (aJij )mìn aij = aij vói MQI i = 1,2, ,m j=1,2, ,n j Ma tr¾n h¾ truy hoi Ma tr¾n chuyen v% At nhắn oc tự ma trắn A bang cỏch chuyen cđt thnh hng v chuyen hng thnh cđt Ma trắn vuụng A = (aij )nìn GQI l ma trắn oi xng neu At = A, túc aij = aji vói MQI i = 1,2, ,m j=1,2, ,n 1.2 Các phộp toỏn ma trắn Cho K l mđt trũng, Ký hiắu Mmìn[K] l cỏc ma trắn cừ m × n vói phan tu thu®c trưịng K Trong Mmìn[K] ta %nh ngha cỏc phộp toỏn sau 1.2.1 Phộp cđng hai ma trắn Gia su hai ma trắn A = (aij)m×n, B = (bij)m×n, ta đ%nh nghĩa A + B = (aij + bij)m×n 1.2.2 Phép nhân phan tE trưàng K vái ma tr¾n Gia su λ ∈ K, A = (aij)m×n, ta đ%nh nghĩa λA = (aij)mìn 1.2.3 Phộp nhõn hai ma trắn Cho hai ma trắn A = (aij)mìn, B = (bij)nìl, ta %nh ngha tích hai ma tr¾n A B ma tr¾n cij = Σn C = AB = (cij)m×l k= aikbkj Như v¾y tich hai ma tr¾n AB ton tai chi so c®t cna ma tr¾n A bang so hàng cna ma tr¾n B Đoi vói ma tr¾n có cõ thích hop, ta de dàng chúng minh đưoc tính chat sau • A + B = B + A • λ(A + B) = λA + λB • A + O = A (O l ma trắn khụng) ã OA=O, AO = O • A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + CA • (AB)C = A(BC) • (At)t = A, kí hi¾u At ma tr¾n chuyen v% cna A • (A + B)t = At + Bt • (AB)t = BtA t • AE = EA = A; ArE = EAr = Ar • ArAs = AsAr = Ar+s • Ar(αAs + βAp) = αAr+s + βAr+p vói α, β ∈ K Ký hi¾u Mn[K] t¾p ma trắn vuụng cap n vúi cỏc phan tu thuđc trũng K Tù tính chat ta thay Mn [K] vúi phộp cđng v phộp nhõn ma trắn l mđt vành có đơn v% E, đưoc GQI vành ma tr¾n vng cap n trưịng K Vói n ≥ vành Mn [K] khơng giao hốn 1.3 Vnh ma trắn Xột vnh a thỳc mđt bien K[x] trưòng K Gia su đa thúc f (x) thu®c vành K[x] có dang f (x) = asxs + as−1xs−1 + + a1x + a0, cho A ma tr¾n vng cap n Ta đ%nh nghĩa f (A) = asAs + as−1As−1 + + a1A + a0E E ma tr¾n đơn v% cap vói ma tr¾n vng A Tù phép tốn ve ma tr¾n o ta suy đưoc ket qua sau Đ%nh lý 1.3.1 Vái hai đa thúc f g thu®c vành đa thúc K[x] ma tr¾n vng A ta ln có 1.Neu f = g f(A) = g(A) 2.(f+g) (A) = f(A)+g(A) 3.(fg)(A) = f(A)g(A) = g(A)f(A) = (gf)(A) (αf )(A) = αf (A) vái α bat kì thu®c trưàng K Ký hi¾u K[A] = f (A)|f ∈ K[x], A ∈ Mn[K] Tù đ%nh lí (1.3.1) ta suy ket qua sau Đ%nh lý 1.3.2 T¾p ma tr¾n K[A] tương úng vái hàm f ∈ K[x] vái phép c®ng, nhân cỏc ma trắn v nhõn ma trắn vỏi mđt sụ lắp thnh mđt vnh giao hoỏn cú n v% E M¾nh đe 1.3.1 Tương úng φ : K[x] → K[A], f (x) ›→ f (A) m®t tồn cau vái Ker(φ) ƒ= Chúng minh Theo đ%nh lí (1.3.1), ta có φ(f + g) = (f + g)(A) = f (A) + g(A) = φ(f ) + φ(g) φ(fg) = (fg)(A) = f (A)g(A) = φ(f )φ(g) Do φ l mđt ong cau V vúi ma trắn vuụng A ∈ Mn[K] bat kì ma tr¾n f (A) = asAs + as−1As−1 + +a1A+a0E se có tương úng đa thúc f (x) = asxs+as−1xs−1+ +a1x+a0 ∈ K[x] đe φ(f ) = f (A) Do vắy l mđt ton cau Vì t¾p tat ca ma tr¾n vng cap n Mn[K] trưịng K m®t khơng gian vectơ n2 chieu nên tat ca t¾p có nhieu n2 cỏc ma trắn vuụng cap n eu phu thuđc tuyen tính Như v¾y mơt h¾ gom s + ma tr¾n As, As−1, , A, E vói s n2 + l mđt hắ phu thuđc tuyen tính Túc ton tai so as, as−1, , s1, s0 khơng đong thịi bang đe asAs + as−1As−1 + + a1A + a0E = V¾y ton tai đa thúc khác không f (x) = asxs + as−1xs−1 + + a1x + a0 vói s ≥ n2 + mà f (A) = Tù suy Ker(φ) ƒ= H¾ qua 1.3.1 Ta có K[A] ∼= K[x]/(F ) Chúng minh Vì φ : K[x] → K[A], f (x) ›→ f (A) m®t tồn cau vói Ker(φ) = (F ) ƒ= nên ta có K[A] ∼= K[x]/Ker(φ) = K[x]/(F ) Vì K[x] vành iđêan nên có nhat m®t đa thúc b¾c thap nhat m(x) = xd + a1 xd−1 + + ad ∈ K[x] đe Ker(φ) = (m(x)) m(x) GQI đa thúc toi thieu cna ma tr¾n A (2) Ta có n−1 n−1 an = u √− v = 1+ √ Σ2n−2 − √ 1− √ Σ2n−2 = F2n−1 (3) Vì 2n Σ k= 2n 2n k C2nak+1 √k = Σ k= √ 3+ n Σ2n k k C2n[ u − v Σn k − =5 (1 + u) − (1 + v) √ ] = 2n 3− √ Σn n √ = an−1 nên n C2nak+1 chia het cho (4) Xét dãy (bn) vói bn+1 = an, n ≥ Khi  a = 3, b = 3 an+1 = 3an − bn  b =a, n≥ 3.bn+1 n Xét an+1 + tbn+1 = (3 + t)an − n , t đưoc cHQN thoa mãn phương trình (3 + t)t = hay t = − −3 ± √ Ta đưoc an+1 + tbn+1 = (3 + t)(an + tbn) = = (3 + t)n−2(a3 + tb3) V¾y  −3 +  √ Σ  an+1 +   an+1 + −3 − √ Σ an = + −3 + √ Σ Σn− + −3 + √ Σ an = −3 Σn−2 + − √ −3 − √ an+ − 3anan+1 + an − = vói n ≥ Tương tn ta có a2 n−1 + 3anan−1 + an2 − = vói n ≥ Ta suy an+1 an−1 hai nghi¾m cna phương trình x2 − 3anx +n a2 − = Tù đó, ta nh¾n đưoc an+1an−1 + = an2 vói n ≥ V¾y n T = (a1a3 + 1)(a2a4 + 1)(a3a5 + 1) (an−1an+1 + 1) = i=1 Y i a Ví dn 4.1.9 Cho dãy (an) xác đ%nh bái a1 = an = 1.2.an−1 + 2.3.an−2 + + (n − 1)n.a1, vái n ≥ Chúng minh rang n ≥ an+3 = 5an+2 − 3an+1 + an Lài giai Đ¾t f (x) = a1x + a2x2 + a3x3 + Khi đó, ta có F (x) = f (x)(1.2.x + 2.3.x2 + + n(n + 1)xn ) = 1.2.a1x2 + (1.2.a2 + 2.3.a1)x3 + (1.2a3 + 2.3a2 + 3.4a1)x4 + = a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + = f (x) − x Tù = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ta suy 1− x (1 − x)2 = + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + x2 = (x − 1)2 1x Tù đó, suy Hay −2x (x − + 2x3 + 3x4 + 4x5 + = 1.2.x + 2.3.x2 + 3.4.x3 + 1)3 −2x F (x) = f (x) = f (x) − x (x − 1) f (x)(x3 − 3x2 + 5x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x (a1x + a2x2 + 3x3 + )(x3 − 3x2 + 5x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x So sánh h¾ so hai ve, ta thu đưoc an+3 = 5an+2 − 3an+1 + an, vói n ≥ Ví dn 4.1.10 Cho dãy (an) xác đ%nh bái a1 = an = 12, an−1 + 22an−2 + + (n − 1)2a1, vái n ≥ Chúng minh rang a2 = 4a1 − 3, a3 = 4a2 − 2a1 + an+3 = 4an+2 − 2an+1 + an, vái n ≥ Lài giai Đ¾t f (x) = a1x + a2x2 + a3x3 + Khi đó, ta có F (x) = f (x)(12.x + 22.x2 + + n2.xn ) = 12a1x2 + (12.a2 + 22.a1)x3 + (12.a3 + 22.a2 + 32.a1)x4 + = a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + = f (x) − x Tù 1− x = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ta suy (1 − x)2 x = + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + = 1x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + (1 − x)2 (x + 1)x (1 − x)3 = 12.x + 22.x2 + 32.x3 + 42.x4 + Tù đó, suy F (x) = f (x) Hay (x + 1)x (1 − x)3 = f (x) − x f (x)(x3 − 2x2 + 4x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x (a1x + a2x2 + 3x3 + )(x3 − 2x2 + 4x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x So sánh h¾ so hai ve, ta thu đưoc a2 = 4a1 − 3, a3 = 4a2 − 2a1 + an+3 = 4an+2 − 2an+1 + an, vói n ≥ 4.2 Xét dãy so qua đong cau e phan này, ta se v¾n dung đong cau vành vào vi¾c nghiên cúu tốn sơ cap Nhac lai, vói hai vành R S, ánh xa f : R → S đưoc GQI m®t đong cau vành neu f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y) vói x, y ∈ R √ √ đong Changnhat hanthúc su dung tính chat cna tn cau vành Z[ 2, 5] cho √ √ √ √ √ (1 + + 5)n = an + bn + cn + dn 10, ta nh¾n đưoc √ √ √ √ √ (1 − + 5)n = an − bn + cn − dn 10, √ √ √ √ √ (1 + − 5)n = an + bn − cn − dn 10, √ √ √ √ √ (1 − − 5)n = an − bn − cn + dn 10 √ √ Ví dn 4.2.1 Vái mői so nguyên dương n, ta bieu dien (1 + + 3)n dang √ √ √ √ √ (1 + + 3)n = an + bn + cn + dn Chúng minh rang neu n lé a2 − 3c2 n n chia het cho 2n+1 Lài giai √ √ Su dung tích chat cna tn cau vành Z[ 2, 3] cho đong nhat thúc √ √ √ √ √ (1 + + 3)n = an + bn + cn + dn √ √ √ √ √ (1 + + 3)n = an + bn + cn + dn √ √ √ √ (1 − + 3)n = an − bn + cn − √ √ √ √ dn (1 + − 3)n = an + bn − √ √ √ √ cn − dn (1 − − 3)n = an − √ √ √ bn − cn + dn ta nh¾n đưoc Do đó, ta có √ √ √ √ √ 2an + 2cn = (1 + + 3)n + (1 − + 3)n √ √ √ √ √ 2an − 2cn = (1 + − 3)n + (1 − − 3)n V¾y √ √ √ √ 4a2 − 12c2 = (2 2)n + (−2 2)n + (−4 − 6)n + (−4 + 6)n n Khi n le n √ √ √ √ = (2 2)n + (−1)n(2 2)n + (−2)n(2 + 6)n + (−2)n(2 − 6)n 4a2 − 12c2 = Σ −2nn (2 +n √ 6)n + (2 − √ Σ 6)n Suy n−   a2 − 3c2 = −2n 2n + C 2n−2 + C 2n−4 62 + + C n−1 2.6 n n n n n  n−1  n = −2n+1 2n−1 + C2.2n−3.6 + C4.2n−5.62 + + Cn−1.6  n chia het cho 2n+1 Ví dn 4.2.2 Cho hai dãy so nguyên (an) (bn) đưac xác đ%nh sau  a1 = 3, b1 an+1 = 3an + = 4b n  , vái n ≥ bn+1 = 2an + Chúng minh rang a2 3b − n 2b2 = vái MQI so nguyên dương n Tù suy n n phương trình x − 2y2 = có vơ han nghi¾m ngun dương (x, y) Lài giai √ Vói moi so nguyên dương n ta bieu dien bieu thúc (3 + 2)n dưói dang √ √ (3 + 2)n = An + Bn An, Bn ∈ N A1 = a1 = 1, B1 = b1 = Ta suy √ √ √ (3 + 2)n+1 = (3 + 2)(An + Bn 2) √ = (3An + 4Bn) + (2An + 3Bn) √ = An+1 + Bn+1 Do An = an , Bn = bn , vói MQI n ≥ √ Su dung tích chat cna tn cau vành Z[ 2] cho đong nhat thúc √ √ (3 + 2)n = an + bn ta nh¾n đưoc Do √ (3 + 2)n = an + √ √ bn (3 − 2)n = an √ − bn a2 2b2 = n n Như v¾y, MQI c¾p (an , bn ) đeu nghi¾m ngun dương cna phương trình x2 − 2y = Túc phương trình x2 − 2y = có vơ han nghi¾m ngun dương (x,y) Ví dn 4.2.3 Cho dãy so (an), (bn), (cn), (dn) đưac xác đ%nh bái  a1 = 1, b1 = 1, c1 = 1, d1 =  an+1 = an + 2bn n+1 = an + bn + + b5cn 5dn cn+1 = an + cn + 2dn dn+1 = bn +  cn + dn , vái n ≥  Chúng minh rang neu n lé a2 − 19d2 chia het cho 2n−1, không chia n n het cho 2n Lài giai √ √ Vói moi so nguyên dương n ta bieu dien bieu thúc (1 + + 5)n dưói dang √ √ √ √ √ (1 + + 5)n = An + Bn + Cn + Dn 10 An, Bn, Cn, Dn ∈ N A1 = a1 = 1, B1 = b1 = 1, C1 = c1 = 1, D1 = d1 = Ta có √ √ √ √ √ √ √ (1 + + 5)n+1 = (1 + + 5)(An + Bn + Cn + Dn 10) √ √ = (An + 2Bn + 5Cn) + (An + Bn + 5Dn) + (An + Cn + 2Dn) √ + (Bn + Cn + Dn) 10 √ √ √ = An+1 + Bn+1 + Cn+1 + Dn+1 10 Do An = a n , B n = bn , C n = cn , Dn = dn vói MQI n ≥ √ √ Su dung tích chat cna tn cau vành Z[ 2, 5] cho đong nhat thúc ta nh¾n đưoc √ √ √ √ √ (1 + + 5)n = an + bn + cn + dn 10 √ √ √ √ √ (1 + + 5)n = an + bn + cn + dn 10 √ √ √ √ (1 − + 5)n = an − bn + cn − √ √ √ √ dn 10 (1 + − 5)n = an + bn − √ √ cn − dn 10 √ √ √ √ √ (1 − − 5)n = an − bn − cn + dn 10 Do đó, ta có √ √ √ √ √ 2an + 2dn 10 = (1 + + 5)n + (1 − − 5)n √ √ √ √ √ 2an − 2dn 10 = (1 − + 5)n + (1 + − 5)n V¾y, n le Σ n n 2 4a n − 40d = (2 + H ay √ 5)n + (2 − √ Σ 2)n √ 5)n − (1 − √ 2)n − (1 + a2 − 10d2 = 2n−1[(2n − 1)C0 + (2n−2.5 + (−1)n.2)C2 + + n + (2 n n−2k n n + (−1) 2)C + ] n k n 2k V¾y neu n le a2 chia het cho 2n−1, không chia het cho n n − 19d2 2n KET LU¾N Lu¾n văn "Ma tr¾n h¾ truy hoi " t¾p trung nghiên cúu van đe sau: (1) Giai h¾ dãy truy hoi qua phép bien đői ma tr¾n: tích ma tr¾n, chéo hóa ma tr¾n (2) Giai h¾ truy hoi qua cap so nhân (3)Giai dãy truy hoi qua đong cau M¾c dù co gang, lu¾n văn khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tác gia rat mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.Tác gia xin chân thành cam n! Ti liắu tham khao [1]Nguyen Vn Mắu, Mđt so toán CHQN LQc ve dãy so, NXB Giáo Duc, 2006 [2]Đàm Văn Nhi, Ma tr¾n vng dãy so, Ban tin Day HQc trưòng ĐHSP Hà N®i, 2012 [3]Nguyen Tài Chung, Chuyên khao Dãy so, Boi dưõng HQc sinh gioi toán, chuyên toán, NXB Đai HQc Quoc gia H Nđi,2013 [4]Nguyen Vn Mắu, V Vn Kiờm, Ky yeu h®i thao khoa HQc:Các chun đe tốn HQc boi dưãng HQc sinh giói năm HQc 2012-2013, Ninh Bình, thỏng 3-2013 [5]Nguyen Vn Mắu(chn biờn) Ky yeu hđi thao khoa HQc:Các chuyên đe toán HQc ve đào tao, boi dưãng giáo viên THCS, Cao Vĩnh Phúc, tháng 10-2011 [6]W.Grobner, Matrizenrechnung, Mannheim 1966 Bibliographishes, Institut AG, [7]Seymour Lipschutz, Ph.D, Linear Algebra, SI(metric) Edition, 1987 12 ... ì GQI l ma trắn cđt Ma trắn cừ n ì n GQI ma tr¾n vng cap n hay ma tr¾n cap n Trong ma tr¾n vng A = (aij )n×n dãy phan tu a11 , a22 , , ann GQI đưịng chéo cna ma tr¾n A Ma tr¾n đơn v% ma tr¾n... tuyen tính dưói dang ma tr¾n, su dung phép bien đői ma tr¾n đe giai tốn Lu¾n văn đe c¾p thêm đen h¾ thúc truy hoi phi tuyen ma không the dùng ma tr¾n đe giai Ma tr¾n h¾ truy hoi - Chương 3: Xây... tr¾n, ma tr¾n ngh%ch đao, giá tr% riêng vectơ riêng cna ma tr¾n; hàm ma tr¾n giá tr% riêng cna hàm ma tr¾n - Chương 2: Ma tr¾n h¾ truy hoi Trong chương ny, luắn e cắp en viắc bieu dien mđt h¾ truy