Ma trận và hệ truy hồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————o0o——————– NGÔ THỊ HƯỜNG MA TRẬN VÀ HỆ TRUY HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ HÀ NỘI - 2014 Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Một số kiến thức ma trận 1.1 Khái niệm 1.2 Các phép toán ma trận 1.2.1 Phép cộng hai ma trận 1.2.2 Phép nhân phần tử trường K với ma trận 1.2.3 Phép nhân hai ma trận 1.3 Vành ma trận 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.5 Phương trình đặc trưng ma trận 1.5.1 Giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến 1.5.2 Đa thức đặc trưng 1.6 Chéo hóa ma trận 1.7 Giá trị riêng hàm ma trận Ma 2.1 2.2 2.3 10 tính 10 11 15 16 trận hệ truy hồi Xét dãy số qua phép nhân ma trận Ứng dụng định lí Cayley - Hamilton vào dãy số Xét dãy số qua chéo hóa ma trận 20 20 27 31 Xây dựng toán cho dãy số 3.1 Đặt vấn đề 3.2 Xây dựng toán dãy số 46 46 47 Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi 4.1 Hệ truy hồi qua cấp số nhân 4.1.1 Phương pháp cấp số nhân để xét dãy số 4.1.2 Chuyển dãy truy hồi phức tạp dãy đơn 4.2 Xét dãy số qua đồng cấu Kết luận Tài liệu tham khảo 53 53 53 62 69 74 75 giản Ma trận hệ truy hồi LỜI NÓI ĐẦU Các vấn đề liên quan đến dãy số phận quan trọng giải tích đại số, đặc biệt phần quan trọng thiếu tốn học phổ thơng Nhiều dạng tốn hình học, lượng giác nhiều mơn học khác đòi hỏi giải vấn đề dãy số Các học sinh sinh viên thường xuyên phải đối mặt với nhiều tốn khó liên quan đến dãy số Các toán liên quan đến dãy số phong phú đa dạng, thường gặp kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế kì Olympic Trong khn khổ luận văn này, tác giả đề cập đến phần nhỏ lý thuyết dãy số dãy hệ dãy dạng truy hồi tuyến tính Một hệ truy hồi dù tuyến tính, để giải bước biến đổi sơ cấp phức tạp, chí đưa tốn việc giải phương trình bậc cao khơng đơn giản Bằng việc biểu diễn hệ truy hồi tuyến tính dạng phương trình ma trận, ta làm đơn giản hóa đáng kể tốn, đưa đến việc tính tốn ma trận Luận văn tác giả nhằm đáp ứng nhu cầu tự bồi dưỡng, học cách lý luận, cách mở rộng tự nhiên vấn đề từ đơn giản đến phức tạp, để từ hiểu ứng dụng vấn đề sâu sắc, mạch lạc có trình tự Bố cục luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Một số kiến thức ma trận Nội dung chương nhắc lại số kiến thức ma trận: Khái niệm, phép toán ma trận, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng vectơ riêng ma trận; hàm ma trận giá trị riêng hàm ma trận - Chương 2: Ma trận hệ truy hồi Trong chương này, luận văn đề cập đến việc biểu diễn hệ truy hồi tuyến tính dạng ma trận, sử dụng phép biến đổi ma trận để giải toán Luận văn đề cập thêm đến hệ thức truy hồi phi tuyến ma dùng ma trận để giải - Chương 3: Xây dựng toán cho dãy số Chương này, luận văn đề cập đến việc xây dựng toán dãy số từ toán Ma trận hệ truy hồi biết nhờ kiến thức hàm ma trận - Chương 4: Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi Phần này, luận văn đề cập đến hai phương pháp: giải hệ truy hồi qua cấp số nhân xét dãy số qua đồng cấu Ma trận hệ truy hồi LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Thầy giành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, bạn học viên nhận xét đóng góp ý kiến cho luận văn Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, đông viên cổ vũ tạo diều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Chương Một số kiến thức ma trận 1.1 Khái niệm Giả sử X tập, m n số nguyên dương Ma trận A cỡ m × n với phần tử thuộc tập X họ m × n phần tử aij ∈ X, i = 1, 2, , m gọi số hàng; j = 1, 2, , n gọi số cột Ma trận A thường ký hiệu   a11  a21 a12 a22 am1 am2 A =  a1n a2n   amn hay viết gọn dạng A = (aij )m×n Ma trận cỡ × n gọi ma trận hàng, ma trận cỡ m × gọi ma trận cột Ma trận cỡ n × n gọi ma trận vuông cấp n hay ma trận cấp n Trong ma trận vng A = (aij )n×n dãy phần tử a11 , a22 , , ann gọi đường chéo ma trận A Ma trận đơn vị ma trận vng có phần tử đường chéo 1, phần tử ngồi đường chéo Ma trận đơn vị thường ký hiệu E  0 E= 0  0  Ma trận chuyển vị ma trận A = (aij )m×n ma trận A = (aij )m×n aij = aij với i = 1,2, ,m j=1,2, ,n Ma trận hệ truy hồi Ma trận chuyển vị At nhận từ ma trận A cách chuyển cột thành hàng chuyển hàng thành cột Ma trận vuông A = (aij )n×n gọi ma trận đối xứng At = A, tức aij = aji với i = 1,2, ,m j=1,2, ,n 1.2 Các phép toán ma trận Cho K trường, Ký hiệu tập Mm×n [K] tập ma trận cỡ m × n với phần tử thuộc trường K Trong tập Mm×n [K] ta định nghĩa phép tốn sau 1.2.1 Phép cộng hai ma trận Giả sử hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )m×n , ta định nghĩa A + B = (aij + bij )m×n 1.2.2 Phép nhân phần tử trường K với ma trận Giả sử λ ∈ K, A = (aij )m×n , ta định nghĩa λA = (λaij )m×n 1.2.3 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )n×l , ta định nghĩa tích hai ma trận A B ma trận C = AB = (cij )m×l cij = nk=1 aik bkj Như tich hai ma trận AB tồn số cột ma trận A số hàng ma trận B Đối với ma trận có cỡ thích hợp, ta dễ dàng chứng minh tính chất sau • A + B = B + A • λ(A + B) = λA + λB • A + O = A (O ma trận không) Ma trận hệ truy hồi • OA=O, AO = O • A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + CA • (AB)C = A(BC) • (At )t = A, kí hiệu At ma trận chuyển vị A • (A + B)t = At + B t • (AB)t = B t At • AE = EA = A; Ar E = EAr = Ar • Ar As = As Ar = Ar+s • Ar (αAs + βAp ) = αAr+s + βAr+p với α, β ∈ K Ký hiệu Mn [K] tập ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc trường K Từ tính chất ta thấy Mn [K] với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị E, gọi vành ma trận vuông cấp n trường K Với n ≥ vành Mn [K] khơng giao hốn 1.3 Vành ma trận Xét vành đa thức biến K[x] trường K Giả sử đa thức f (x) thuộc vành K[x] có dạng f (x) = as xs + as−1 xs−1 + + a1 x + a0 , cho A ma trận vuông cấp n Ta định nghĩa f (A) = as As + as−1 As−1 + + a1 A + a0 E E ma trận đơn vị cấp với ma trận vuông A Từ phép toán ma trận ta suy kết sau Định lý 1.3.1 Với hai đa thức f g thuộc vành đa thức K[x] ma trận vng A ta ln có Nếu f = g f(A) = g(A) (f+g)(A) = f(A)+g(A) (fg)(A) = f(A)g(A) = g(A)f(A) = (gf)(A) (αf )(A) = αf (A) với α thuộc trường K Ma trận hệ truy hồi Ký hiệu K[A] = f (A)|f ∈ K[x], A ∈ Mn [K] Từ định lí (1.3.1) ta suy kết sau Định lý 1.3.2 Tập ma trận K[A] tương ứng với hàm f ∈ K[x] với phép cộng, nhân ma trận nhân ma trận với sơ lập thành vành giao hốn có đơn vị E Mệnh đề 1.3.1 Tương ứng φ : K[x] → K[A], f (x) → f (A) toàn cấu với Ker(φ) = Chứng minh Theo định lí (1.3.1), ta có φ(f + g) = (f + g)(A) = f (A) + g(A) = φ(f ) + φ(g) φ(f g) = (f g)(A) = f (A)g(A) = φ(f )φ(g) Do φ đồng cấu Và với ma trận vng A ∈ Mn [K] ma trận f (A) = as As + as−1 As−1 + +a1 A+a0 E có tương ứng đa thức f (x) = as xs +as−1 xs−1 + +a1 x+a0 ∈ K[x] để φ(f ) = f (A) Do φ tồn cấu Vì tập tất ma trận vuông cấp n Mn [K] trường K không gian vectơ n2 chiều nên tất tập có nhiều n2 ma trận vng cấp n phụ thuộc tuyến tính Như mơt hệ gồm s + ma trận As , As−1 , , A, E với s ≥ n2 + hệ phụ thuộc tuyến tính Tức tồn số as , as−1 , , s1 , s0 không đồng thời để as As + as−1 As−1 + + a1 A + a0 E = Vậy tồn đa thức khác không f (x) = as xs + as−1 xs−1 + + a1 x + a0 với s ≥ n2 + mà f (A) = Từ suy Ker(φ) = Hệ 1.3.1 Ta có K[A] ∼ = K[x]/(F ) Chứng minh Vì φ : K[x] → K[A], f (x) → f (A) toàn cấu với Ker(φ) = (F ) = nên ta có K[A] ∼ = K[x]/Ker(φ) = K[x]/(F ) Vì K[x] vành iđêan nên có đa thức bậc thấp m(x) = xd + a1 xd−1 + + ad ∈ K[x] để Ker(φ) = (m(x)) m(x) gọi đa thức tối thiểu ma trận A Ma trận hệ truy hồi 1.4 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.4.1 Ma trận vuông B cấp n gọi ma trận nghịch đảo ma trận vuông A cấp n AB = BA = E Ma trận nghịch đảo B thường ký hiệu A−1 Khi A gọi ma trận khả nghịch Giả sử ma trận vuông A = (aij )n×n , gọi Mij định thức cấp n - ma trận A sau bỏ hàng i cột j Aij = (−1)i+j Mij gọi phần bù đại số phần tử aij ma trận A Xét ma trận  A11 A21  A12 A22 ∗ A = A1n A2n  An1 An2   Ann Ma trận A∗ gọi ma trận phụ hợp ma trận A Dễ thấy n cij = Aki akj = δ|A| k=1 Do A∗ A = AA∗ = |A|E Vậy ma trận A khả nghịch ma trận nghịch đảo A−1 tính theo cơng thức A−1 = ∗ A |A| Bổ đề 1.4.1 Ma trận vng A có nghịch đảo A−1 |A| = Chứng minh Giả sử A có ma trận nghịch đảo A−1 AA−1 = E Khi = |E| = |AA−1 | = |A||A−1 | Vậy |A| = Ngược lại |A| = A khả nghịch A−1 = Chẳng hạn, ta xét ma trận thực A= 0 1 ∗ A |A| Ma trận hệ truy hồi √ √ − Giải phương trình, ta hai nghiệm λ1 = , λ2 = Ta có 2 tn+1 + λzn+1 = (3 + 4λ)(tn + λzn ) = (3 + 4λ)n (t1 + λz1 ) = (3 + 4λ)n ( + 5λ) với n ≥ Thay λ = λ1,2 ta hệ  √ √ √ n 2   zn+1 = (3 + 2) ( + )  tn+1 + 2 √ √   √  tn+1 − zn+1 = (3 − 2)n ( − ) 2 Từ đây, suy 2t2n+1 − zn+1 =− hay (*) 2t2n − zn2 = − Ta có zn2 = 2x2n + 2xn + = x2n + (xn + 1)2 = x2n + yn2 zn2 = 2x2n + 2xn + = 2xn (xn + 1) + = 2xn yn + Vậy (xn , yn , zn ) ba Pythagore 2xn yn + số phương Từ hệ (*), ta suy √ √ √ √  (3 + 2)n (7 + 2) + (3 − 2)n (7 − 2)    tn+1 = √ √ √ √   (3 + 2)n (7 + 2) − (3 − 2)n (7 − 2)  zn+1 = √ 2 61 Ma trận hệ truy hồi Từ đó, suy  √ n−1 √ √ n √ (3 + 2) (7 + 2) + (3 − 2) (7 − 2)    xn = − +       √ n−1 √ √ n √  (3 + 2) (7 + 2) + (3 − 2) (7 − 2) +      √ √ n−1 √ √ n−1   2) (7 + 2) − (3 − 2) (7 − 2) (3 +   √ zn = 2 yn = Dễ dàng suy 4.1.2 , với mọin ≥ √ xn = lim n→+∞ zn Chuyển dãy truy hồi phức tạp dãy đơn giản Ở phần này, ta xây dựng vài dãy truy hồi phát tính chất nội xuất qua việc làm độ phức tạp Ví dụ 4.1.7 Cho dãy (an ) sau a1 = −1 an = −1an−1 + 2an−2 − + (−1)n−1 (n − 1)a1 với số nguyên n ≥ Hãy chứng minh a2 = −1, a3 + 3a2 = 0, an+2 + 3an+1 + an = 0, n ≥ 2 Tìm dư phép chia an cho 3 Xác định an theo n Hãy có nhiều vơ hạn số hạng thuộc dãy Fibonacci xuất dãy (an ) Chứng minh an+1 an−1 = a2n − với n ≥ Lời giải (1) Đặt f (x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + Khi đó, tích hai chuỗi lũy thừa F (x) = f (x)(−1x + 2x2 − 3x3 + ) = −1a1 x2 + (−1a2 + 2a1 )x3 + (−1a3 + 2a2 − 3a1 )x4 + = a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + = f (x) − x 62 Ma trận hệ truy hồi Từ = − x + x2 − x3 + x4 − x5 + ta suy chuỗi lũy thừa sau x+1 −1 = −1 + 2x − 3x2 + 4x3 − 5x4 + (x + 1)2 Do ta −x = −1x + 2x2 − 3x3 + 4x4 − 5x5 + (x + 1)2 Từ đó, suy F (x) = f (x) −x = f (x) − x (x + 1)2 Hay f (x)(x2 + 3x + 1) = x3 + 2x2 + x (a1 x + a2 x2 − 3x3 + )(x2 + 3x + 1) = x3 + 2x2 + x Vậy, suy a2 = −1, a3 + 3a2 = 0, an+2 + 3an+1 + an = 0, n ≥ (2) Ta có a3 ≡ 0(mod 3) Vì an+2 + 3an+1 + an = nên an+2 + an = n ≥ Vậy, với số k ≥ ta có  a2k+1 ≡ 0(mod 3)  a4k+2 ≡ a2 ≡ 2(mod 3) a4k ≡ 1(mod 3) (3) Ta có f (x) = x3 + 2x2 + x 3x + = x − + x2 + 3x + x2 + 3x + =x−1+ 3x + √ √ 3+ 3− (x + )(x + ) 2 u2 v2 =x−1+ √ ( − ) x−u x−v u v =x−1+ √ ( − ) vx − ux − 1 v u − ) =x−1+ √ ( − ux − vx 63 Ma trận hệ truy hồi với −3 − u= √ −3 − v= , √ Ta viết f (x) thành chuỗi v u f (x) = x − + √ (1 + ux + u2 x2 + u3 x3 + ) − √ (1 + vx + v x2 + v x3 + ) 5 2 u−v u −v = x + √ x2 + √ x3 + 5 Vậy ta có un−1 − v n−1 √ an = = (−1)n−1 √ 1+ √ 1− 2n−2 − √ 2n−2 Như vây an = (−1)n−1 F2n−1 với n ≥ (4) Ta có a2 = −1, a3 = an+2 = −3an+1 − an , n ≥ Xét dãy (bn ) với bn+1 = an , n ≥ Khi  a3 = 3, b3 = −1  an+1 = −3an − bn bn+1 = an , n ≥ Xét an+1 + tbn+1 = (−3 + t)an − bn , t chọn thỏa mãn phương trình √ (−3 + t)t = −1 hay t = 3± Ta an+1 + tbn+1 = (−3 + t)(an + tbn ) = = (−3 + t)n−2 (a3 + tb3 ) Vậy     an+1 +    an+1 + √ 3+ √ 3− an = an = √ 3+ −3 + √ 3− −3 + n−2 n−2 √ 3+ 3− √ 3− 3− Nhân vế với vế hai phương trình trên, ta nhận a2n+1 + 3an an+1 + a2n − = với n ≥ 64 Ma trận hệ truy hồi Tương tự ta có a2n+1 + 3an an+1 + a2n − = với n ≥ Ta suy an+1 an−1 hai nghiệm phương trình x2 + 3an x + a2n − = Từ đó, ta nhận an+1 an−1 = a2n − với n ≥ Ví dụ 4.1.8 Cho dãy (an ) sau a1 = an = 1an−1 + 2an−2 + + (n − 1)a1 với số nguyên n ≥ Chứng minh a3 = 3a2 an+2 − 3an+1 + an = 0, với n ≥ Hãy xác định an theo n Từ suy a2k+1 chia hết cho k ≥ an = F2n−1 , Fn dãy Fibonacci 2n k a n C2n k+1 chia hết cho k=1 n (a1 a3 + 1)(a2 a4 + 1)(a3 a5 + 1) (an−1 an+1 + 1) = i=1 a2i Lời giải (1) Đặt f (x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + Khi đó, ta có F (x) = f (x)(1x + 2x2 + 3x3 + ) = 1a1 x2 + (1a2 + 2a1 )x3 + (1a3 + 2a2 + 3a1 )x4 + = a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + = f (x) − x Từ 1−x = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ta suy chuỗi lũy thừa sau = + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + (1 − x)2 Do ta x = 1x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + (x − 1)2 Từ đó, suy F (x) = f (x) x = f (x) − x (x − 1)2 Hay f (x)(x2 − 3x + 1) = x3 − 2x2 + x (a1 x + a2 x2 − 3x3 + )(x2 − 3x + 1) = x3 − 2x2 + x 65 Ma trận hệ truy hồi So sánh hệ số hai vế, ta thu a1 = a2 = 1, a3 = 3a2 , an+2 − 3an+1 + an = 0, với n ≥ Ta có f (x) = 3x − x3 − 2x2 + x =x+1+ 2 x − 3x + x − 3x + =x+1+ 3x − √ √ 3+ 3− (x − )(x − ) 2 u2 v2 =x+1+ √ ( − ) x−u x−v u v =x+1+ √ ( − ) vx − ux − 1 v u =x+1+ √ ( − ) − ux − vx với √ 3+ u= , √ 3− v= Ta viết f (x) thành chuỗi u v f (x) = x + + √ (1 + ux + u2 x2 + u3 x3 + ) − √ (1 + vx + v x2 + v x3 + ) 5 2 u−v u −v = x + √ x2 + √ x3 + 5 Vậy ta có an = un−1 − v n−1 √ , với n ≥ Như vây từ a3 = 3a2 an+2 − 3an+1 + an = với n ≥ 2, suy a2k+1 chia hết cho k ≥ (2) Ta có un−1 − v n−1 √ an = = √ 1+ 2n−2 − √ 66 √ 1− 2n−2 = F2n−1 Ma trận hệ truy hồi (3) Vì 2n k C2n ak+1 k=1 =√ = 5n 2n nên 2n k C2n [uk − v k ] = k=1 √ 3+ n − √ (1 + u)2n − (1 + v)2n √ √ 3− n = 5n an−1 k a n C2n k+1 chia hết cho k=1 (4) Xét dãy (bn ) với bn+1 = an , n ≥ Khi  a3 = 3, b3 =  an+1 = 3an − bn bn+1 = an , n ≥ Xét an+1 + tbn+1 = (3 + t)an − bn , t chọn thỏa mãn phương trình −3 ± (3 + t)t = −1 hay t = √ Ta an+1 + tbn+1 = (3 + t)(an + tbn ) = = (3 + t)n−2 (a3 + tb3 ) Vậy     an+1 +    an+1 + √ −3 + √ −3 − an = an = √ −3 + 3+ √ −3 − 3+ n−2 n−2 √ −3 + 3+ √ −3 − 3+ Nhân vế với vế hai phương trình trên, ta nhận a2n+1 − 3an an+1 + a2n − = với n ≥ Tương tự ta có a2n−1 + 3an an−1 + a2n − = với n ≥ Ta suy an+1 an−1 hai nghiệm phương trình x2 − 3an x + a2n − = Từ đó, ta nhận an+1 an−1 + = a2n với n ≥ Vậy n a2i T = (a1 a3 + 1)(a2 a4 + 1)(a3 a5 + 1) (an−1 an+1 + 1) = i=1 67 Ma trận hệ truy hồi Ví dụ 4.1.9 Cho dãy (an ) xác định a1 = an = 1.2.an−1 + 2.3.an−2 + + (n − 1)n.a1 , với n ≥ Chứng minh n ≥ an+3 = 5an+2 − 3an+1 + an Lời giải Đặt f (x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + Khi đó, ta có F (x) = f (x)(1.2.x + 2.3.x2 + + n(n + 1)xn ) = 1.2.a1 x2 + (1.2.a2 + 2.3.a1 )x3 + (1.2a3 + 2.3a2 + 3.4a1 )x4 + = a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + = f (x) − x Từ = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ta suy 1−x = + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + (1 − x) x2 = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + (x − 1) −2x = 1.2.x + 2.3.x2 + 3.4.x3 + (x − 1)3 Từ đó, suy F (x) = f (x) −2x = f (x) − x (x − 1)3 Hay f (x)(x3 − 3x2 + 5x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x (a1 x + a2 x2 + 3x3 + )(x3 − 3x2 + 5x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x So sánh hệ số hai vế, ta thu an+3 = 5an+2 − 3an+1 + an , với n ≥ Ví dụ 4.1.10 Cho dãy (an ) xác định a1 = an = 12 , an−1 + 22 an−2 + + (n − 1)2 a1 , với n ≥ 68 Ma trận hệ truy hồi Chứng minh a2 = 4a1 − 3, a3 = 4a2 − 2a1 + an+3 = 4an+2 − 2an+1 + an , với n ≥ Lời giải Đặt f (x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + Khi đó, ta có F (x) = f (x)(12 x + 22 x2 + + n2 xn ) = 12 a1 x2 + (12 a2 + 22 a1 )x3 + (12 a3 + 22 a2 + 32 a1 )x4 + = a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + = f (x) − x Từ 1−x = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ta suy = + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + (1 − x)2 x = 1x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + (1 − x) (x + 1)x = 12 x + 22 x2 + 32 x3 + 42 x4 + (1 − x)3 Từ đó, suy F (x) = f (x) (x + 1)x = f (x) − x (1 − x)3 Hay f (x)(x3 − 2x2 + 4x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x (a1 x + a2 x2 + 3x3 + )(x3 − 2x2 + 4x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x So sánh hệ số hai vế, ta thu a2 = 4a1 − 3, a3 = 4a2 − 2a1 + an+3 = 4an+2 − 2an+1 + an , với n ≥ 4.2 Xét dãy số qua đồng cấu Ở phần này, ta vận dụng đồng cấu vành vào việc nghiên cứu toán sơ cấp Nhắc lại, với hai vành R S, ánh xạ f : R → S gọi đồng cấu vành f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y) với x, y ∈ R 69 Ma trận hệ truy hồi √ √ Chẳng hạn sử dụng tính chất tự đẳng cấu vành Z[ 2, 5] cho đồng thức (1 + √ √ √ √ √ + 5)n = an + bn + cn + dn 10, ta nhận √ n √ √ √ 5) = an − bn + cn − dn 10, √ √ √ √ √ (1 + − 5)n = an + bn − cn − dn 10, √ √ √ √ √ (1 − − 5)n = an − bn − cn + dn 10 (1 − √ 2+ √ √ Ví dụ 4.2.1 Với số nguyên dương n, ta biểu diễn (1 + + 3)n dạng (1 + √ 2+ √ √ √ √ 3)n = an + bn + cn + dn Chứng minh n lẻ a2n − 3c2n chia hết cho 2n+1 Lời giải √ √ Sử dụng tích chất tự đẳng cấu vành Z[ 2, 3] cho đồng thức (1 + √ 2+ √ n √ √ √ 3) = an + bn + cn + dn ta nhận √ √ n √ √ √ 3) = an + bn + cn + dn √ √ √ √ √ (1 − + 3)n = an − bn + cn − dn √ √ √ √ √ (1 + − 3)n = an + bn − cn − dn √ √ √ √ √ (1 − − 3)n = an − bn − cn + dn (1 + 2+ Do đó, ta có √ √ √ √ √ 2an + 2cn = (1 + + 3)n + (1 − + 3)n √ √ √ √ √ 2an − 2cn = (1 + − 3)n + (1 − − 3)n Vậy √ √ √ √ 4a2n − 12c2n = (2 2)n + (−2 2)n + (−4 − 6)n + (−4 + 6)n √ √ √ √ = (2 2)n + (−1)n (2 2)n + (−2)n (2 + 6)n + (−2)n (2 − 6)n Khi n lẻ 4a2n − 12c2n = −2n (2 + 70 √ n √ 6) + (2 − 6)n Ma trận hệ truy hồi Suy n−1 2 n n n−2 n−4 n−1 an − 3cn = −2 + Cn + Cn + + Cn 2.6    n−1 n−1 n−5 n+1  n−1 n−3 = −2 + Cn + Cn + + Cn    chia hết cho 2n+1 Ví dụ 4.2.2 Cho hai dãy số nguyên (an ) (bn ) xác định sau  a1 = 3, b1 = an+1 = 3an + 4bn , với n ≥  bn+1 = 2an + 3bn Chứng minh a2n − 2b2n = với số nguyên dương n Từ suy phương trình x2 − 2y = có vơ hạn nghiệm ngun dương (x, y) Lời giải √ Với số nguyên dương n ta biểu diễn biểu thức (3 + 2)n dạng √ √ (3 + 2)n = An + Bn An , Bn ∈ N A1 = a1 = 1, B1 = b1 = Ta suy √ √ √ (3 + 2)n+1 = (3 + 2)(An + Bn 2) √ = (3An + 4Bn ) + (2An + 3Bn ) √ = An+1 + Bn+1 Do Bn = bn , với n ≥ √ Sử dụng tích chất tự đẳng cấu vành Z[ 2] cho đồng thức √ √ (3 + 2)n = an + bn An = an , ta nhận √ √ (3 + 2)n = an + bn √ √ (3 − 2)n = an − bn Do a2n 2b2n = 71 Ma trận hệ truy hồi Như vậy, cặp (an , bn ) nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 2y = Tức phương trình x2 − 2y = có vơ hạn nghiệm nguyên dương (x,y) Ví dụ 4.2.3 Cho dãy số (an ), (bn ), (cn ), (dn ) xác định  a1 = 1, b1 = 1, c1 = 1, d1 =     an+1 = an + 2bn + 5cn , với n ≥ bn+1 = an + bn + 5dn   cn+1 = an + cn + 2dn    dn+1 = bn + cn + dn Chứng minh n lẻ a2n − 19d2n chia hết cho 2n−1 , không chia hết cho 2n Lời giải √ √ Với số nguyên dương n ta biểu diễn biểu thức (1 + + 5)n dạng (1 + √ √ √ √ √ + 5)n = An + Bn + Cn + Dn 10 An , Bn , Cn , Dn ∈ N A1 = a1 = 1, B1 = b1 = 1, C1 = c1 = 1, D1 = d1 = Ta có (1 + √ 2+ √ n+1 √ √ √ √ √ 5) = (1 + + 5)(An + Bn + Cn + Dn 10) √ √ = (An + 2Bn + 5Cn ) + (An + Bn + 5Dn ) + (An + Cn + 2Dn ) √ + (Bn + Cn + Dn ) 10 √ √ √ = An+1 + Bn+1 + Cn+1 + Dn+1 10 Do Dn = dn với n ≥ √ √ Sử dụng tích chất tự đẳng cấu vành Z[ 2, 5] cho đồng thức A n = an , B n = bn , C n = cn , (1 + √ √ √ √ √ + 5)n = an + bn + cn + dn 10 (1 + √ √ √ √ √ + 5)n = an + bn + cn + dn 10 ta nhận √ √ √ √ √ + 5)n = an − bn + cn − dn 10 √ √ √ √ √ (1 + − 5)n = an + bn − cn − dn 10 (1 − 72 Ma trận hệ truy hồi (1 − √ 2− √ √ √ √ 5)n = an − bn − cn + dn 10 Do đó, ta có √ √ √ √ √ 2an + 2dn 10 = (1 + + 5)n + (1 − − 5)n √ √ √ √ √ 2an − 2dn 10 = (1 − + 5)n + (1 + − 5)n Vậy, n lẻ 4a2n − 40d2n = 2n (2 + √ n √ √ √ 5) + (2 − 5)n − (1 − 2)n − (1 + 2)n Hay a2n − 10d2n = 2n−1 [(2n − 1)Cn0 + (2n−2 + (−1)n 2)Cn2 + + + (2n−2k 5k + (−1)n 2)Cn2k + ] Vậy n lẻ a2n − 19d2n chia hết cho 2n−1 , không chia hết cho 2n 73 Ma trận hệ truy hồi KẾT LUẬN cứu vấn đề sau: Luận văn "Ma trận hệ truy hồi" tập trung nghiên (1) Giải hệ dãy truy hồi qua phép biến đổi ma trận: tích ma trận, chéo hóa ma trận (2) Giải hệ truy hồi qua cấp số nhân (3) Giải dãy truy hồi qua đồng cấu Mặc dù cố gắng, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong muốn nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện hơn.Tác giả xin chân thành cảm ơn! 74 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục, 2006 [2] Đàm Văn Nhỉ, Ma trận vuông dãy số, Bản tin Dạy Học trường ĐHSP Hà Nội, 2012 [3] Nguyễn Tài Chung, Chuyên khảo Dãy số, Bồi dưỡng học sinh giỏi toán, chuyên toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,2013 [4] Nguyễn Văn Mậu, Vũ Văn Kiêm, Kỷ yếu hội thảo khoa học:Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2012-2013, Ninh Bình, tháng 3-2013 [5] Nguyễn Văn Mậu(chủ biên) Kỷ yếu hội thảo khoa học:Các chuyên đề toán học đào tạo, bồi dưỡng giáo viên THCS, Cao đẳng Vĩnh Phúc, tháng 10-2011 [6] W.Grobner, Matrizenrechnung, Mannheim 1966 Bibliographishes, Institut AG, [7] Seymour Lipschutz, Ph.D, Linear Algebra, SI(metric) Edition, 1987 75 ... thiểu ma trận A m(x) = (x − 1)(x − 2) 14 Ma trận hệ truy hồi 1.6 Chéo hóa ma trận Mỗi ma trận cấp n trường K đồng dạng với ma trận đường chéo gọi ma trận chéo hóa Tức là, ma trận A ma trận chéo... gọi đa thức tối thiểu ma trận A Ma trận hệ truy hồi 1.4 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.4.1 Ma trận vuông B cấp n gọi ma trận nghịch đảo ma trận vuông A cấp n AB = BA = E Ma trận nghịch đảo B thường... thức ma trận Nội dung chương nhắc lại số kiến thức ma trận: Khái niệm, phép toán ma trận, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng vectơ riêng ma trận; hàm ma trận giá trị riêng hàm ma trận