Ma trận xác định dương: Bài toán bảo toàn tuyến tính và tính đơn điệu của trung bình nhâ: Khóa luận toán học

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      HUỲNH ĐÌNH TUÂN MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG: BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TRUNG BÌNH NHÂN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Đại số Cán bộ hướng dẫn PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU Huế, tháng 5 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tục tìm hiểu toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy. Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy cô đã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Huỳnh Đình Tuân ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 3 CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN 5 1 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG 6 1.1 Ma trận đối xứng - ma trận Hermite - ma trận trực giao - ma trận Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ma trận nửa xác định dương - ma trận xác định dương . . . . . . . 8 1.3 Một số phép toán trên không gian các ma trận . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Căn bậc hai của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Một số bất đẳng thức ma trận và các tính chất liên quan đến ma trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận xác định dương . . . . 18 1.7 Phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH 21 2.1 Bài toán bảo toàn tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Bảo toàn tuyến tính hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Bài toán bảo toàn định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Bảo toàn tuyến tính chuẩn và tập các ma trận Unita . . . . . . . . 24 2.5 Bảo toàn tuyến tính miền số học và bán kính số học . . . . . . . . . 25 2.6 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính . . . . . . . . . . . . 26 2.7 Toán tử tuyến tính xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số (n, 0, 0) . . . . . . . . . . . . . 29 2.9 Một số kết quả mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 3 TRUNG BÌNH NHÂN CỦA CÁC MA TRẬN 37 3.1 Trung bình của hai ma trận xác định dương và một số tính chất . . 37 3.2 Một số biểu diễn của trung bình nhân hai ma trận . . . . . . . . . . 40 3.3 Mở rộng khái niệm trung bình nhân bằng phương pháp quy nạp . . 43 3.4 Mở rộng khái niệm trung bình nhân dựa vào hình học Riemann . . 49 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết về ma trận xác định dương chiếm một vị trí quan trọng trong đại số tuyến tính. Có nhiều định lý liên quan đến ma trận xác định dương đơn giản song có ứng dụng lớn. Hiện nay, còn rất nhiều bài toán mở liên quan mật thiết đến ma trận xác định dương. Các bài toán bảo toàn tuyến tính là một hướng nghiên cứu sôi động trong lý thuyết ma trận và lý thuyết toán tử. Các bài toán này đề cập đến các toán tử bảo toàn một hàm, một tập con, một quan hệ nào đó trên không gian các ma trận. Hiện nay, lĩnh vực này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Dù đã có hàng trăm công trình trong lĩnh vực này nhưng vẫn còn rất nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu, đặc biệt là bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính. Cho đến nay, việc xác định tất cả các toán tử tuyến tính bảo toàn chỉ số (n, 0, 0), tức bảo toàn tập các ma trận xác định dương vẫn nằm ngoài mọi hướng tiếp cận. Trung bình ma trận là sự mở rộng khái niệm trung bình trên tập hợp các số dương sang tập hợp các ma trận xác định dương. Đối với trung bình cộng và trung bình điều hòa, việc mở rộng là đơn giản. Việc xây dựng khái niệm trung bình nhân cho hai ma trận xác định dương đã được thực hiện. Khi người ta tìm cách mở rộng khái niệm trung bình nhân cho trường hợp n ma trận xác định dương thì có nhiều khó khăn nảy sinh. Hiện nay, có hai hướng tiếp cận chủ yếu đối với vấn đề này. Nếu dựa vào phương pháp quy nạp, khái niệm trung bình nhân đưa ra quá phức tạp. Một hướng khác đơn giản hơn là dựa vào hình học Riemann. Tuy vậy, đối với phương pháp này, việc chứng minh tính đơn điệu của trung bình nhân vẫn còn là một vấn đề mở. Khóa luận nhằm mục tiêu tìm hiểu, hệ thống hóa các tính chất của ma trận xác định dương, tổng quan các kết quả đã được nghiên cứu về bài toán bảo toàn tuyến tính, các hướng xây dựng khái niệm trung bình nhân ma trận, phát triển một số kết quả đã có về bài toán bảo toàn tập các ma trận xác định dương. Nội dung của khóa luận chia làm ba chương. Chương một hệ thống hóa các kiến thức về ma trận xác định dương, trình bày một số kiến thức cần thiết cho các chương tiếp theo. Chương hai tổng quan một số kết quả đạt được trong lĩnh vực bảo toàn tuyến 3 tính, các kết quả đạt được trong các đề tài khoa học đã thực hiện. Chương này cũng trình bày một số kết quả mới về bài toán bảo toàn tính xác định dương. Chương ba giới thiệu khái niệm trung bình ma trận, một số loại trung bình và hai phương pháp xây dựng khái niệm trung bình nhân ma trận tổng quát: phương pháp quy nạp và phương pháp dựa vào hình học Riemann. 4 CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN A t Chuyển vị của ma trận A A ∗ Chuyển vị liên hợp của ma trận A Mat m×n (K) Không gian các ma trận cỡ m × n trên trường K Mat n (K) Không gian các ma trận vuông cấp n trên trường K S n (R) Không gian các ma trận đối xứng thực cấp n H n Không gian các ma trận Hermite cấp n S n Không gian S n (R) hoặc không gian H n U n Không gian các ma trận tam giác trên cấp n GL n (K) Nhóm các ma trận khả nghịch cấp n trên trường K với phép nhân ma trận O n Nhóm các ma trận trực giao cấp n U n Nhóm các ma trận Unita cấp n diag(a 1 , ··· , a n ) Ma trận đường chéo với các phần từ a 1 , ··· , a n trên đường chéo chính . 2 Chuẩn phổ . ∗ Chuẩn vết . F Chuẩn Frobenius S(A, B) Tích đối xứng của hai ma trận A, B A ⊗ B Tích Tensor (tích Kronecker) của hai ma trận A, B A ◦ B Tích Hadamard (tích Schur) của hai ma trận A, B AB Trung bình nhân của hai ma trận A, B log A Logarit tự nhiên của ma trận A exp A Lũy thừa cơ số e của ma trận A A ∼ = B A và B tương đương Unita A ∼ B A và B tương đẳng 5 Chương 1 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG Trong chương này, chúng tôi nêu định nghĩa ma trận đối xứng, ma trận Hermite, ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương và một số tính chất cơ bản. Chúng tôi tập trung mô tả một số tính chất đặc trưng của ma trận xác định dương và một số kiến thức liên quan đến ma trận xác định dương như: căn bậc hai của ma trận, phương trình ma trận, bất đẳng thức ma trận, hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận xác định dương. Chúng tôi cũng giới thiệu tích đối xứng, tích Schur, tích Kronecker và các tính chất liên quan đến ma trận xác định dương của chúng. 1.1 Ma trận đối xứng - ma trận Hermite - ma trận trực giao - ma trận Unita Ma trận vuông A trên trường số thực R được gọi là đối xứng nếu A t = A. Ta đã biết tập hợp S n (R) các ma trận đối xứng thực cấp n là không gian con của không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số thực Mat n (R). Tương ứng với khái niệm ma trận đối xứng trên trường số thực là khái niệm ma trận Hermite trên trường số phức. Ma trận vuông A trên trường số phức C được gọi là Hermite nếu A ∗ = A, ở đây ký hiệu A ∗ để chỉ chuyển vị liên hợp của ma trận A. Tương tự tập hợp S n (R), tập hợp H n các ma trận Hermite cấp n tạo thành một không gian con của không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số phức Mat n (C). Các ma trận đối xứng và ma trận Hermite có một tính chất chung rất quan trọng, mọi giá trị riêng của chúng đều là các số thực. Từ nay trở đi, ta sử dụng ký hiệu S n để chỉ một trong hai không gian S n (R) hoặc H n . Để khảo sát các tính chất của ma trận đối xứng và ma trận Hermite cũng như một số tính chất khác, ta cần tìm hiểu thêm về ma trận trực giao và ma trận Unita. Ma trận Q thuộc Mat n (R) được gọi là trực giao nếu Q t Q = I n . Tập hợp O n 6 các ma trận trực giao cấp n trên trường số thực là nhóm con của nhóm GL n (R) các ma trận thực khả nghịch cấp n với phép nhân ma trận. Tương ứng với khái niệm ma trận trực giao trên trường số thực là khái niệm ma trận Unita trên trường số phức. Ma trận U thuộc Mat n (C) được gọi là Unita nếu U ∗ U = I n . Cũng vậy, tập hợp U n các ma trận Unita cấp n trên trường số phức là nhóm con của nhóm GL n (C) các ma trận phức khả nghịch cấp n với phép nhân ma trận. Liên quan đến khái niệm ma trận trực giao và ma trận Unita, hai định lý về chéo hóa ma trận dưới đây đóng vai trò quan trọng. Định lý 1.1.1. [10] (Định lý phân tích SVD đối với không gian phức) Cho ma trận A ∈ Mat m×n (C). Khi đó tồn tại các ma trận Unita U ∈ Mat m (C), V ∈ Mat n (C) và ma trận S ∈ Mat m×n (C), S = diag(σ 1 , ··· , σ p ), σ 1 ≥ σ 2 ≥ ··· ≥ σ p , p = min{m, n} sao cho A = USV . Định lý 1.1.2. [10] (Định lý phân tích SVD đối với không gian thực) Cho ma trận A ∈ Mat m×n (R). Khi đó tồn tại các ma trận trực giao P ∈ Mat m (R), Q ∈ Mat n (R) và ma trận S ∈ Mat m×n (R) S = diag(σ 1 , ··· , σ p ), σ 1 ≥ σ 2 ≥ ··· ≥ σ p , p = min{m, n} sao cho A = P SQ. Các phần tử trên đường chéo của ma trận S trong hai định lý trên được gọi là các giá trị kỳ dị của A. Đây có thể xem là một sự mở rộng khái niệm giá trị riêng của các ma trận vuông. Trên các không gian S n (R) và H n , các định lý về chéo hóa ma trận dưới đây sẽ được sử dụng nhiều trong khuôn khổ khóa luận này. Định lý 1.1.3. [10] Cho A ∈ S n (R). Khi đó tồn tại ma trận trực giao Q ∈ Mat n (R) sao cho Q t AQ là ma trận chéo. Định lý 1.1.4. [10] Cho A ∈ H n . Khi đó tồn tại ma trận Unita U ∈ Mat n (C) sao cho U ∗ AU là ma trận chéo. Dưới đây là một vài tính chất của các ma trận thuộc S n thu được từ các định lý trên và chúng sẽ được nhắc đến trong các phần tiếp theo. Định lý 1.1.5. [10] Cho A ∈ S n (R). Khi đó rank(A) = r khi và chỉ khi A =  r i=1 k i x i x t i , trong đó k i ∈ {−1, 1} ∀ i = 1, 2, ··· , r và x 1 , ··· , x r là các vector độc lập tuyến tính. Chứng minh. Theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q t AQ = D = diag(λ 1 , ··· , λ n ), trong đó λ 1 , ··· , λ n là các giá trị riêng của A. Do rank(A) = r 7 nên tồn tại đúng r giá trị riêng của A khác không. Không mất tính tổng quát, giả sử λ 1 , ··· , λ r là các giá trị riêng khác 0 của A, lúc đó A = QDQ t = r  i=1 Q(λ i e i e T i )Q t = r  i=1 sign(λ i )(  |λ i |Qe i )((  |λ i |Qe i ) t . Đặt x i =  |λ i |Qe i , k i = sign(λ i ), ta có ngay A =  r i=1 k i x i x t i . Do Q khả nghịch và e 1 , ··· , e r độc lập tuyến tính nên x 1 , ··· , x r độc lập tuyến tính. Đảo lại, giả sử A =  r i=1 k i x i x t i , trong đó k i ∈ {−1, 1} ∀i = 1, 2, ··· , r và x 1 , ··· , x r là các vector độc lập tuyến tính. Bổ sung vào hệ {x 1 , ··· , x r } các vector x r +1 , ··· , x n để được cơ sở của R n . Đặt P = [x 1 x 2 ···x n ], ở đây các vector x i được viết theo cột, ta có P khả nghịch và A = Pdiag(k 1 , ··· , k r , 0, ··· , 0)P t . Vậy rank(A) = r. Định lý 1.1.6. Giả sử A ∈ S n (R), đặt W(A) = {x t Ax, ||x|| = 1}, khi đó ta có W (A) = [λ min (A), λ max (A)]. Chứng minh. Giả sử λ min (A) = λ 1 ≤ ··· ≤ λ n = λ max (A) là dãy không giảm các giá trị riêng của A. Khi đó theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q t AQ = D = diag(λ 1 , ··· , λ n ). Đặt y = Q t x = (y 1 ···y n ) t , khi đó y 2 1 + ··· + y 2 n = y t y = (Q t x) t (Q t x) = x t (QQ t )x = x t x = 1. Mặc khác ta có x t Ax = x t QDQ t x = y t Dy = λ 1 y 2 1 + ··· + λ n y 2 n . Từ đây ta suy ra ngay điều cần chứng minh. Nhận xét 1.1.7. Nếu ta thay các cụm từ "ma trận trực giao", "chuyển vị" trong các phát biểu trên không gian thực bởi các cụm từ "ma trận Unita", "chuyển vị liên hợp" đối với không gian phức thì các tính chất trên vẫn còn đúng trên không gian H n . Trong phần lớn các trường hợp thì các kết quả trên hai không gian này là tương tự nhau. Do vậy trong các phát biểu và chứng minh, thông thường ta chỉ xét trên không gian S n (R) hoặc H n mà thôi. Đối với các trường hợp có sự khác biệt giữa hai không gian này, ta sẽ nói rõ cụ thể. 1.2 Ma trận nửa xác định dương - ma trận xác định dương Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A là ma trận trên không gian S n . 1. A được gọi là nửa xác định dương trên S n (R) nếu x t Ax ≥ 0 ∀ x ∈ R n . 8 [...]... Mnh 1.2.9, vi mi ma trn xỏc nh dng A Sn (R) thỡ tr(A( (K )P + M + à N )) > 0 max min tr(A(max (K )P + M + àmax N )) > 0 tr(A( (K )P + M + à N )) > 0 min min tr(A( (K )P + M + à N )) > 0 min max Do vy, nu ký hiu = tr(AM ), = tr(AN ), = tr(AP ) thỡ ta cú (K ) + + à max min > 0 max (K ) + + àmax > 0 (K ) + + à min min > 0 (K ) + + à min max > 0 Do vy max (K ) + min... max (A) min (A) Mnh 2.9.3 Gi s T : Sn (R) Sn (R) l toỏn t tuyn tớnh cú dng T (A) = tr(AM )In + tr(AN )D + tr(AP )K A Sn (R) 33 (2.9.2) trong ú D = diag(à1 , ã ã ã , àn ) > 0, K > 0 v {In , D, K} l h c lp tuyn tớnh Ký hiu àmin = min{ài , i = 1, ã ã ã , n}, àmax = max{ài , i = 1, ã ã ã , n} Nu max (K )P + M + àmin N , max (K )P + M + àmax N , min (K )P + M + àmax N , min (K )P + M + àmin N l cỏc ma. .. cỏc ma trn na xỏc nh dng thỡ A B cng l ma trn na xỏc nh dng 1.4 Cn bc hai ca ma trn Trong mc ny, ta ch tỡm hiu s lc v cn bc hai ca ca ma trn trong mt s trng hp c bit hiu sõu hn lý thuyt v cn bc n ca ma trn tng quỏt, cú th tham kho trong [11] nh lý 1.4.1 [4] Cho A Sn (R) A 0 khi v ch khi tn ti duy nht ma trn B Sn (R), B 0 sao cho A = B 2 Chng minh Theo nh lý 1.1.3 ta cú A = Qt DQ, trong ú Q l ma. .. dng Hn th na, cú th chng minh rng nu A M atn (R) 14 l ma trn chộo húa c cú cỏc giỏ tr riờng khụng õm thỡ tn ti duy nht ma trn B M atn (R) cú cỏc giỏ tr riờng khụng õm A = B 2 Ma trn B trong 1 trng hp ny cng c gi l cn bc hai ca ma trn A, ký hiu A 2 1.5 Mt s bt ng thc ma trn v cỏc tớnh cht liờn quan n ma trn khi Cng nh bt ng thc s, cỏc bt ng thc ma trn l mt lnh vc rt phong phỳ Tuy vy, gia chỳng cng... 1.5.8 [4] Gi s B l ma trn xỏc nh dng v X l ma trn bt k, khi ú ta cú A XB 1 X = min A : X X 0 B H qu 1.5.9 [4] Gi s A, B l cỏc ma trn na xỏc nh dng v X l ma trn bt k, khi ú ta cú A A XB 1 X = max Y : X X B Y O O O Mnh 1.5.10 [4] Gi s A, B l cỏc ma trn xỏc nh dng, khi ú ta cú A+B 2 1 A1 + B 1 2 A Chng minh Theo H qu 1.5.7 ta cú I I A1 0, B I I B 1 0 Do vy A+B 2I cng l ma trn na xỏc nh dng... At P 1 vi mi A M atn (C), õy P l mt ma trn kh nghch 2.4 Bo ton tuyn tớnh chun v tp cỏc ma trn Unita Trong mc ny ta dựng ký hiu T ch toỏn t i ngu ca toỏn t tuyn tớnh T nh ngha 2.4.1 Gi s A M atmìn (C) 1 Chun ph (spectral norm) ca A, ký hiu A A 2 2 c xỏc nh bi max (A A) = max (A), = õy ký hiu max (X ), max (X ) ch giỏ tr riờng ln nht, giỏ tr k d ln nht ca ma trn X 2 Chun vt (trace norm, Ky Fan... vi mi ma trn xỏc nh dng A Sn (R) ta cú tr(AB ) > 0 2 Nu B Pn thỡ tn ti ma trn A Sn (R), A > 0 sao cho tr(AB ) < 0 / Chng minh 1 Theo H qu 1.2.4 tn ti ma trn kh nghch W sao cho A = W W t Ta cú AB W 1 ABW = W t BW Do B l ma trn na xỏc nh dng khỏc 0 nờn W t BW cng l ma trn na xỏc nh dng khỏc 0 Do vy tr(AB ) = tr(W t BW ) > 0 2 Theo nh lý 1.1.3, tn ti ma trn trc giao Q sao cho D = Q1 BQ l ma trn... tớnh, suy ra ma trn A xxt xỏc nh dng Do C 0 nờn A C 0 T ú A B = A (xxt + C ) = A xxt + A C > 0 Vy A B l ma trn xỏc nh dng Mnh 1.3.5 Nu B khụng phi l ma trn na xỏc nh dng trờn Sn (R) thỡ tn ti ma trn A xỏc nh dng trờn Sn (R) sao cho A B khụng phi l ma trn xỏc nh dng Chng minh Do B khụng phi l ma trn xỏc nh dng nờn tn ti x Rn sao cho xt Bx < 0 Vi mi R t A = (1)n + In ,trong ú (1)n l ma trn vuụng... min (B ) min (B ) , } max (A) min (A) Chng minh Ký hiu cỏc ma trn W, P, K, Q tng t chng minh nh lý 1.2.6 Ta cú min (A1 B ) = min (W BW t ) = min xt W BW t x t y = W t x ta cú y t y = t 2 t t x =1 t 2 x P K P x = z K z, trong ú z = P x Hin nhiờn z = 1 Do vy y 2 1 1 [max (K 2 ), min (K 2 )] = [ max (A) , min (A) ] Ta cú min (A1 B ) = min 1 y 2 [ max (A) , 1 (A) ] min y 2 1 { max (A) , min = min{... l tp cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A1 B nh lý 1.2.7 [10] Gi s A, B Sn (R), A > 0 Khi ú ma trn AB chộo húa c v cú s giỏ tr riờng dng, õm, bng khụng nh ma trn B 1 Chng minh Tng t chng minh nh lý 1.2.5, ta t A = (A 2 )2 Khi ú ma 1 1 1 1 trn AB ng dng vi ma trn (A 2 )1 (AB )A 2 = A 2 BA 2 Vi mi vector x Rn 1 1 1 thỡ tn ti vector y x = A 2 y v khi ú xt Bx = y t (A 2 BA 2 )y Vy ma trn AB chộo húa c v cú