2 BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH
2.6 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính
Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính là một bài toán quan trọng trong lĩnh vực bảo toàn tuyến tính. Đây là một trong những mảng còn có nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Trong mục này, ta quan tâm đến không gian các ma trận đối xứng trên trường số thực Sn(R)và không gian các ma trận Hermite Hn.
Các ma trận đối xứng trên trường số thực và các ma trận Hermite luôn có các giá trị riêng thực, do đó ta có thể đưa ra định nghĩa sau
Định nghĩa 2.6.1. Ma trậnA được gọi là có chỉ số quán tính (r, p, q) nếuA có r
Ký hiệuG(r, p, q)là tập các ma trận với chỉ số quán tính (r, p, q). Ta thấy ngay
G(n,0,0) = Pn. Toán tử tuyến tính T được gọi là bảo toàn chỉ số (r, p, q)nếu
T(G(r, p, q)) ⊂G(r, p, q). (2.6.1) Vấn đề bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính là một vấn đề khó và còn nhiều bài toán mở. Đặc biết hiện nay, người ta còn đang gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết được bài toán trong trường hợp (n,0,0).
Kết quả quan trọng đầu tiên trong quá trình giải quyết bài toán bảo toàn tập các ma trận xác định dương được đưa ra vào năm 1965 bởi Schneider. Tác giả đã hoàn toàn xác định được lớp các phép biến đổi tuyến tính biến tập tất cả các ma trận nửa xác định dương thành chính nó.
Định lý 2.6.1. [20] Cho T là phép biến đổi tuyến tính trên Hn. Nếu T(Pn) =Pn
thì T có dạng
T(A) =X∗AX, ∀A∈ Hn, (2.6.2)
hoặc
T(A) =X∗AtX, ∀A∈ Hn (2.6.3)
trong đó X là một ma trận phức khả nghịch cấp n×n.
Mở rộng kết quả của Schneider, trong [8], Johnson và Pierce đã xác định được các toán tử tuyến tính biến tậpG =G(k, n−k,0) vào chính nó. Nếu k6=n−k và
T là một toán tử tuyến tính trênMatn(C)biếnG thành chính nó thìT sẽ có dạng nêu trong Định lý 2.6.1, trong đó ma trận A được lấy trên không gian Matn(C). Trong trường hợp k=n−k thìT biến G thành chính nó nếu và chỉ nếuT có dạng
T(A) =εX∗AX, ∀A ∈Matn(C) (2.6.4) hoặc
T(A) =εX∗AtX, ∀A ∈Matn(C) (2.6.5) với ε∈ {−1,1}, X là một ma trận phức khả nghịch cấp n×n.
Tuy vậy ở đây, giả thiết T(G) = G là mạnh hơn rất nhiều so với (2.6.1). Tiếp tục mở rộng kết quả này, trong [9] Johnson và Pierce tiếp tục xác định được tất cả các toán tử tuyến tính không suy biến bảo toàn các lớp chỉ số quán tính ngoại trừ bốn trường hợp (n,0,0),(0, n,0),(0,0, n),(n
2,n2,0). Cụ thể, giả sử ta có r, s, t là những số nguyên không âm thỏa mãn r +s + t = n và (r, s, t) ∈/ {(n,0,0),(0, n,0),(0,0, n),(n
2,n2,0)} và T là một toán tử tuyến tính không suy biến trên Hn bảo toàn chỉ số (r, s, t). Nếu r 6=s thìT có dạng nêu trong Định lý
2.6.1. Nếu r = n−r thì T có dạng (2.6.4) hoặc (2.6.5), trong đó ma trận A
được lấy trên không gian Hn.
Không những thế, trong [9], vấn đề bảo toàn tuyến tính các lớp chỉ số(n−1,1,0)
và(k+1, k,0)đã được giải quyết triệt để. Nếu(r, s, t)∈ {(n−1,1,0),(k+1, k,0)}
và T là toán tử tuyến tính trên Hn bảo toàn chỉ số (r, s, t) thì T cũng sẽ có dạng nêu trong Định lý 2.6.1.
Phải đến năm 1988, Stephen Pierce và Leiba Rodman mới xác định được các toán tử tuyến tính không suy biến bảo toàn lớp chỉ số (n
2,n2,0).
Định lý 2.6.2. [19] Giả sử n= 2k, k ∈N, k ≥2 và T là toán tử tuyến tính không suy biến trên Hn bảo toàn chỉ số (k, k,0). Khi đó T có dạng
T(A) =εX∗AX, ∀A ∈ Hn
hoặc
T(A) =εX∗AtX, ∀A ∈ Hn
với ε∈ {−1,1}, X là một ma trận phức khả nghịch cấp n×n.
Định lý 2.6.3. [19] Giả sử Dr,s :H2 −→ H2 được xác định bởi
Dr,s : Ã a u+iv u−iv b ! −→ Ã a ru+siv ru−siv b ! .
Nếu T là toán tử tuyến tính không suy biến trên H2 bảo toàn chỉ số (1,1,0) thì T
là tích của các toán tử có dạng được đưa ra trong Định lý 2.6.2và toán tử có dạng
Dr,s với |r|,|s| ≥ 1.