2 BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH
2.7 Toán tử tuyến tính xác định dương
Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số (n,0,0), tức bài toán bảo toàn tính xác định dương có mối quan hệ chặt chẽ với lý thuyết về các toán tử tuyến tính xác định dương. Toán tử tuyến tính T : Matn(K)−→ Matm(K) được gọi là nửa xác định dương (xác định dương) nếu T(A)≥0 (>0) khi A≥0 (> 0). Dễ thấy toán tử tuyến tính nửa xác định dương T là xác định dương khi T(In)>0.
Ví dụ 2.7.1. 1. T(A) = trA là phiếm hàm tuyến tính nửa xác định dương. 2. T(A) = X∗AX với X ∈ Matn×m(K) là toán tử tuyến tính nửa xác định
3. Nếu B là ma trận nửa xác định dương thì T(A) =A⊗B là toán tử nửa xác định dương.
4. Nếu B là ma trận nửa xác định dương thì T(A) = A◦ B là toán tử nửa xác định dương. Nếu B là ma trận nửa xác định dương và diag(B)> 0 thì
T(A) =A◦B là toán tử xác định dương.
Còn nhiều vấn đề mở được đặt ra khi khảo sát các toán tử tuyến tính xác định dương. Chẳng hạn, người ta chứng tỏ được rằng nếu T : Matn(K)−→ Matm(K)
là toán tử tuyến tính nửa xác định dương thì kTk= kT(In)k. Ngược lại, người ta dự đoán rằng toán tử tuyến tínhT thỏakTk =kT(In)k vàT(In)≥0thìT là toán tử nửa xác định dương. Cho đến nay giả thuyết này vẫn chưa được giải quyết.
Một lớp toán tử tuyến tính nửa xác định dương được đặc biệt quan tâm là lớp các toán tử hoàn toàn nửa xác định dương. Xét Matm(Matn(C)) là không gian các m×m ma trận khối [[Aij]] với vị trí thứ i, j là phần tử của Matn(C). Với mỗi toán tử tuyến tính T : Matn(C) −→ Matk(C), ta có toán tử tuyến tính
Tm :Matm(Matn(C)) −→Matm(Matk(C)) xác định bởi
Tm([[Aij]]) = [[T(Aij)]]. (2.7.1) Toán tử T được gọi là m−nửa xác định dương nếu Tm là nửa xác định dương. Dễ thấy các toán tử tuyến tính nửa xác định dương là 1−nửa xác định dương. Nếu Tm nửa xác định dương với mọi m ∈N∗ thì toán tử T được gọi là hoàn toàn nửa xác định dương. Lớp các toán tử tuyến tính hoàn toàn nửa xác định dương đã được mô tả một cách đầy đủ.
Định lý 2.7.2. [4] (Choi, Kraus) Giả sử T : Matn(C) −→ Matk(C) là toán tử tuyến tính hoàn toàn nửa xác định dương. Khi đó tồn tại các ma trận Vi ∈ Matn×k(C), i= 1,· · · , nk sao cho
T(A) =
nk
X
i=1
Vi∗AVi, ∀ A∈Matn(C).