2 BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH
2.8 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số (n, 0, 0)
Trong phần này, chúng tôi tóm lược một số kết quả thu được trong các đề tài thực hiện vào các năm 2009, 2010.
Như đã biết, bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính, đặc biệt là bảo toàn lớp chỉ số (n,0,0) vẫn còn là một bài toán mở mặc dù ta có thể dễ dàng chỉ ra
nhiều dạng toán tử bảo toàn lớp chỉ số này, chẳng hạnT :Sn(R)−→Sn(R), A −→
Pr
i=1WiAWt
i, ở đây Wi, i = 1,· · · , n là các ma trận khả nghịch. Về những khó khăn trong trường hợp này, có thể thấy trong [13]. Hướng tìm hiểu của chúng tôi là khảo sát bài toán này với một số giả thiết bổ sung. Cụ thể chúng tôi đưa ra dạng của toán tử tuyến tính bảo toàn hạng của các ma trận Eii và bảo toàn lớp chỉ số (n,0,0).
Định lý 2.8.1. [1] Giả sử T : Sn(R) −→ Sn(R) là toán tử tuyến tính bảo toàn hạng của các ma trận Eii, i= 1,2,· · · , n và bảo toàn các ma trận xác định dương trên Sn(R). Khi đó, tồn tại ma trận nửa xác định dương H ∈Sn(R) với các phần tử trên đường chéo chính khác 0, tồn tại ma trận khả nghịch W sao cho
T(A) =W(H ◦A)Wt,∀ A ∈Sn(R).
Từ định lý trên ta suy ra ngay kết quả sau
Mệnh đề 2.8.2. [2] Cho toán tử tuyến tính T :Sn(R)−→Sn(R) xác định bởi
T(A) =
r
X
i=1
Wi(Hi◦A)Wit, ∀A ∈Sn(R),
ở đây Wi, i = 1,· · · , r khả nghịch, Hi ∈ Sn(R), i = 1,· · · , r là các ma trận nửa xác định dương có các phần tử trên đường chéo chính khác 0. Khi đó T bảo toàn lớp chỉ số (n,0,0).
Trong [15], Chi-Kwong-Ly và Hugo J. Woerdeman khảo sát vấn đề tương tự trên không gian Matn(K)và thu được các kết quả sau
Định lý 2.8.3. [15] Giả sử T : Matn(R) −→ Matn(R) là toán tử tuyến tính bảo toàn tập các ma trận nửa xác định dương. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương
1. (T(A))ii = Aii ∀ A∈Matn(R), ∀ 1≤i≤n. 2. T(Eii) =Eii ∀ 1≤i≤n.
3. Tồn tại ma trận nửa xác định dương H với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và toán tử tuyến tính Te:
{X ∈Matn(R) : X =−Xt} −→ {X ∈Matn(R) :Xii = 0, i= 1,· · · , n}
Định lý 2.8.4. [15] Giả sử T : Matn(C) −→ Matn(C) là toán tử tuyến tính bảo toàn tập các ma trận nửa xác định dương. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương
1. (T(A))ii = Aii ∀ A∈Matn(C), ∀ 1≤i≤n. 2. T(Eii) =Eii ∀ 1≤i≤n.
3. T(A) = A◦In+A◦H +At◦K, ∀ A ∈ Matn(C), trong đó H, K ∈ Hn là các ma trận với đường chéo chính bằng 0 thỏa mãn I+D∗KD+DHD∗ ≥0
với mọi ma trận đường chéo Unita D.
Tuy vậy, việc mô tả một cách tường minh điều kiện "H, K ∈ Hn là các ma trận với đường chéo chính bằng 0 thỏa mãn I +D∗KD+DHD∗ ≥0 với mọi ma trận đường chéo Unita D" là rất khó khăn khi n ≥ 3. Hiện nay vấn đề này vẫn chưa được giải quyết triệt để.
Từ Định lý 2.8.1, chúng tôi đưa ra một số lớp toán tử tuyến tính khả nghịch bảo toàn tập các ma trận xác định dương trên Sn(R).
Định lý 2.8.5. [2] Cho toán tử tuyến tính T : Sn(R)−→ Sn(R) là toán tử tuyến tính. Các mệnh đề sau đây là tương đương
1. T bảo toàn chỉ số (n,0,0) và bảo toàn tập các ma trận suy biến.
2. T bảo toàn chỉ số (n,0,0) và bảo toàn tập các ma trận nửa xác định dương suy biến.
3. T(G(n,0,0)) =G(n,0,0). 4. T(Pn) =Pn.
5. Tồn tại ma trận khả nghịch W ∈Matn(R) sao cho
T(A) =W AWt, ∀A ∈Sn(R).
Một hướng tiếp cận khác của chúng tôi là xác định các toán tử tuyến tính bảo toàn chỉ số(n,0,0) với hạng cụ thể. Trong phần này, gọiλmin(A), λmax(A)lần lượt là các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trậnA. Giả sửT : Sn(R)−→ Sn(R)
là toán tử tuyến tính hạng r và {U1,· · · , Ur} là một cơ sở của Im(T). Dễ thấy rằng nếu T bảo toàn chỉ số (n,0,0) thì U1,· · · , Ur có thể chọn trong tập Pn. Giả sử T(Eii) = Prk=1bkiiUk và T(Eij +Eji) = Prk=1(bkij +bkji)Uk, bkij = bkji, k =
1,2,· · · , r;i, j = 1,2,· · · , n. Đặt Bk = (bk
ij)n×n, khi đó dễ thấy rằng với mọi ma trận A∈Sn(R) ta có T(A) = r X k=1 tr(ABk)Uk. (2.8.1)
Từ Mệnh đề 1.2.9ta suy ra kết quả sau
Mệnh đề 2.8.6. [15] Giả sử T : Sn(R)−→ Sn(R) là toán tử tuyến tính xác định bởi T(A) = r X k=1 tr(ABk)Uk,
trong đó {U1,· · · , Ur} ⊂ Pn là hệ độc lập tuyến tính. Nếu Bk > 0∀ k = 1,· · · , r
thì T bảo toàn chỉ số (n,0,0).
Tuy vậy điều kiện Bk > 0 ∀ k = 1,· · · , r là rất mạnh nên lớp các toán tử thu được trong trường hợp này trở nên hẹp. Chúng tôi đặt vấn đề giảm nhẹ điều kiện trên và thu được một số kết quả trong trường hợp toán tử T có hạng 1, 2. Chúng tôi cũng giải quyết bài toán trong trường hợp hạng T bằng r với một giả thiết bổ sung.
Định lý 2.8.7. [1] Giả sử T : Sn(R)−→ Sn(R) là toán tử tuyến tính hạng 1 bảo toàn chỉ số (n,0,0) trên Sn(R). Khi đó, tồn tại ma trận nửa xác định dương khác không B1∈Sn(R) và ma trận xác định dương U1 ∈Sn(R) sao cho
T(A) = tr(AB1)U1, ∀ A ∈Sn(R).
Định lý 2.8.8. [2] Giả sử T : Sn(R)−→ Sn(R) là toán tử tuyến tính có dạng
T(A) = tr(AB1)U1+ tr(AB2)U2, ∀A ∈Sn(R) (2.8.2)
với U1, U2 ∈Sn(R) là các ma trận xác định dương độc lập tuyến tính. T bảo toàn chỉ số (n,0,0) khi và chỉ khi B1+λmin(U1−1U2)B2, B1+λmax(U1−1U2)B2 là các ma trận nửa xác định dương khác 0.
Mệnh đề 2.8.9. [2] Giả sử T : Sn(R) −→ Sn(R) là toán tử tuyến tính có dạng
(2.8.1) trong đó {U1,· · · , Ur} là hệ các ma trận xác định dương độc lập tuyến tính sao cho tồn tại ma trận khả nghịch W để WtUkW = diag(λ1k,· · · , λnk), k = 1,· · · , r. T bảo toàn chỉ số (n,0,0) khi và chỉ khi Prk=1λikUk, i= 1,· · · , n là các ma trận nửa xác định dương khác 0.