2 BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH
2.3 Bài toán bảo toàn định thức
Toán tử tuyến tínhT trênMatn(C)được gọi là bảo toàn định thức nếudet(A) = det(T(A)) với mọi ma trận A∈Matn(C).
Bài toán bảo toàn định thức là bài toán được đề cập đầu tiên trong lĩnh vực bảo toàn tuyến tính và đã được giải quyết triệt để vào năm 1897 bởi Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917).
Định lý 2.3.1. [13] Giả sử T là một toán tử tuyến tính bảo toàn định thức trên
Matn(C), khi đó tồn tại hai ma trận nghịch đảo P và Q với det(P Q) = 1 sao cho
T(A) =P AQ, ∀ A∈Matn(C),
hoặc
T(A) =P AtQ, ∀ A∈Matn(C).
Chúng ta thấy rằng dạng của toán tử tuyến tính bảo toàn định thức và bảo toàn hạng 1trên Matn(C)là hoàn toàn giống nhau. Thực ra hoàn toàn có thể quy bài toán bảo toàn định thức về bài toán bảo toàn hạng 1. Đối với bài toán bảo toàn định thức, người ta còn quan tâm đến những toán tử T thỏa mãn
det(A+λB) = det(T(A) +λT(B)), ∀ A, B ∈Matn(C), ∀ λ∈C. (2.3.1) Năm 2002, Dolinar và Semrl chỉ ra rằng nếu toán tử T toàn ánh và đồng thời thỏa mãn (2.3.1) thì T là tuyến tính. Theo công trình mới của Wang Fei, có thể bỏ đi giả thiết T toàn ánh.
Định lý 2.3.2. [7] Giả sử T : Matn(C) −→ Matn(C) là một toán tử xác định trên không gian Matn(C) sao cho det(A+λB) = det(T(A)) +λT(B)) với mọi
A, B ∈Matn(C) và λ∈C. Khi đó T là tuyến tính.
Bằng cách hạn chế không gian đang xét, người ta thu được một số kết quả khá thú vị. Đây cũng là một hướng nghiên cứu đáng được quan tâm. Chẳng hạn, xét
Un là không gian các ma trận tam giác trên cấp n, ta có
Định lý 2.3.3. [7] Giả sử T là một toán tử tuyến tính đi từ Un vào chính nó và
det(A+λB) =det(T(A) +λT(B)), ∀A, B ∈Un, ∀ λ∈C.
Khi đó tồn tại một hoán vị σ của {1,2,· · · , n} và các số không âm c1, c2,· · · , cn
với Qni=1ci = 1 sao cho với mỗi A∈Un ta có
[T(A)]ii =ci(A)σ(i)σ(i), i= 1,2,· · · , n.
Đồng thời, người ta còn quan tâm đến việc mô tả những toán tử tuyến tính bảo toàn định thức và một tính chất khác nữa. Chẳng hạn, người ta đã chỉ ra rằng nếu toán tử tuyến tínhT trênMatn(C)bảo toàn định thức và vết thìT(A) =P AP−1
với mọi A ∈ Matn(C) hoặc T(A) = P AtP−1 với mọi A ∈ Matn(C), ở đây P là một ma trận khả nghịch.