Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp : Khóa luận tốt nghiệp toán học

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN QUA MA TRẬN PHỤ HỢP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP Ngành học : Toán học Cán bộ hướng dẫn: TS. CAO HUY LINH Huế, Khóa học 2007 - 2011 i LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Cao Huy Linh. Thầy đã luôn động viên và hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Huế, đặc biệt là những Thầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp Toán B, khóa học 2007 - 2011. Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy và các bạn trong nhóm Seminar Đại số tuyến tính, đã giúp tôi có cơ hội thảo luận và trình bày về một số vấn đề trong khóa luận của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Hương ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 LỜI MỞ ĐẦU 2 1 NGHỊCH ĐẢO DRAZIN 4 1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Chỉ số của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Nghịch đảo nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN QUA MA TRẬN PHỤ HỢP 22 2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Mối liên hệ giữa nghịch đảo nhóm và ma trận phụ hợp . . . . . . . 25 2.3 Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Quy tắc Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 1 LỜI MỞ ĐẦU Một ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi hạng của A bằng cấp của nó. Nhằm mở rộng khái niệm nghịch đảo thông thường, Drazin [9] đã đưa ra định nghĩa nghịch đảo suy rộng cho ma trận vuông bất kỳ mà ngày nay được gọi là nghịch đảo Drazin. Nghịch đảo Drazin, A D , của ma trận vuông A cấp n trên trường F là ma trận X thỏa mãn các tính chất A k AX = A k , XAX = X, AX = XA với k là chỉ số của ma trận A. Với định nghĩa này thì nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn luôn tồn tại duy nhất. Lý thuyết nghịch đảo Drazin có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình vi phân, lý thuyết đồ thị, giải tích hàm, lý thuyết mật mã, lý thuyết điều khiển, Vì vậy mà ngay từ khi mới ra đời nó đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới. Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được biểu diễn qua ma trận phụ hợp A −1 = 1 det(A) (  A). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là có hay không một biểu diễn tương tự như thế đối với nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông bất kỳ? Hay nói một cách khác liệu có tồn tại một biểu diễn của nghịch đảo Drazin qua trận phụ hợp? Mục đích chính của khóa luận là tìm câu trả lời cho câu hỏi trên. Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Bapat, Bhaskara, Manjunatha [4], Ben-Israel [5], Cambpbell, Meyer [7] và Ji [11]. Trong trường hợp rank(A) = rank(A 2 ) = 1, Nguyễn Tý [3] đã cho một công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin A D = 1 (T r(A)) 2 A. Trường hợp này nghịch đảo Drazin chính là nghịch đảo nhóm của ma trận. Đây là kết quả khá đẹp đạt được trong khóa luận của mình. Tuy nhiên, tác giả vẫn chưa thấy được mối liên hệ của biểu diễn này với ma trận phụ hợp và công thức này không thể mở rộng cho trường hợp tổng quát. Năm 2010, Kyrchei [12] đã biểu diễn thành công nghịch đảo Drazin của ma trận A qua ma trận phụ hợp trong trường hợp tổng quát. Trong công thức của Kyrchei, khái niệm ma trận phụ hợp đã được mở rộng, nó phụ thuộc vào chỉ số và hạng của ma trận. Trong trường hợp A khả nghịch (ind(A) = 0 và rank(A) = n) thì khái niệm ma trận phụ hợp trong kết quả của Kyrchei lại trùng với ma trận phụ hợp cổ điển. 2 Kết quả đạt được của khóa luận là tổng quan lại một cách hệ thống các khái niệm, tính chất cơ bản liên quan đến nghịch đảo Drazin và trình bày lại một cách chi tiết về biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong bài báo của Kyrchei: "Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules, arXiv:1004.4761v1[math. RA] 2010". Khóa luận được chia làm hai chương. Mục đích chính của Chương 1 là trình bày định nghĩa và một số tính chất của nghịch đảo Drazin. Phần này đã được trình bày khá kỹ trong khóa luận của Nguyễn Tý (2010), vì vậy chúng tôi chỉ trình bày lại và bổ sung thêm một số tính chất. Các tính chất đã có trong khóa luận Nguyễn Tý chúng tôi không trình bày chứng minh, một số tính chất bổ sung được tổng quan từ một số tài liệu liên quan được trình bày phần chứng minh cụ thể. Chúng tôi cũng đã đưa nhiều ví dụ minh họa để độc giả thấy rõ ràng hơn. Một số ví dụ được trình bày nhờ sự trợ giúp của phần mềm Maple. Mục đích chính của Chương 2 là cho một biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp. Chúng tôi sẽ trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trong bài báo "Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules" của Kyrchei (2010). Trước hết chúng tôi sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa nghịch đảo Drazin và ma trận phụ hợp trong các trường hợp đặc biệt, tức là trường hợp chỉ số của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng 1. Sau đó mới đề cập đến trường hợp tổng quát hơn với ma trận vuông bất kỳ. Một ứng dụng của công thức biểu diễn này là quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính qua nghịch đảo suy rộng cũng sẽ được trình bày trong chương này. Vì thời gian có hạn và với tầm của một sinh viên chắc chắn sẽ còn nhiều hạn chế và sai sót. Rất mong nhận được những sự góp ý từ Thầy Cô và các bạn. 3 Chương 1 NGHỊCH ĐẢO DRAZIN 1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu 1. Chúng ta ký hiệu các vô hướng bởi λ, µ, Ta thường làm việc với các trường số phức C và số thực R, nói chung ta gọi là trường F. Vectơ được ký hiệu bởi x, y, Ta có thể đồng nhất không gian vectơ n chiều trên trường F với F n , một phần tử của nó có dạng x =     x 1 . . . x n     , hay x = (x i ), i = 1 n, x i ∈ F. Vectơ đơn vị e i thứ i là vectơ có thành phần thứ i bằng 1 còn các thành phần khác đều bằng 0. Tập hợp ε n = {e 1 , e 2 , , e n } được gọi là cơ sở chính tắc của F n . 2. Tổng của hai tập L, M trong C n được xác định như sau: L + M = {y + z|y ∈ L, z ∈ M}. Nếu L và M là các không gian con của C n thì L + M cũng là không gian con của C n . Nếu có thêm điều kiện L ∩ M = {0} thì L + M được gọi là tổng trực tiếp của L và M, được ký hiệu bởi L ⊕ M. Hai không gian con L và M của C n được gọi là bù nhau nếu C n = L ⊕ M. Trong trường hợp này, mỗi vectơ x ∈ C n được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z, y ∈ L, z ∈ M. Ta gọi y là ảnh của phép chiếu x lên L. 4 3. Tập hợp các ma trận cấp m × n trên C được ký hiệu là C m×n . Một ma trận A ∈ C m×n với m = n được gọi là ma trận vuông. Cho ma trận A = (a ij ) m,n ∈ C m×n . Ma trận A được gọi là ma trận chéo nếu a ij = 0 với mọi i = j. Đường chéo của ma trận A cấp m × n được ký hiệu là A = diag(a 11 , a 22 , , a pp ) trong đó p = min{m, n}. Cho ma trận A = (a ij ) ∈ C m×n + Ma trận chuyển vị của nó ký hiệu là A T ∈ C n×m . + Ma trận liên hợp của nó ký hiệu là A ∗ = (a ∗ ji ) ∈ C n×m với a ∗ ji = a ij với mọi i = 1, , m và j = 1, , n. Một ma trận vuông A được gọi là - Hermit nếu A = A ∗ . Đặc biệt, A là ma trận thực thì A là Hermit nếu A = A T . - Chuẩn nếu AA ∗ = A ∗ A. - Trực giao nếu A ∗ = A −1 . Đặc biệt, A là ma trận thực thì A trực giao nếu A T = A −1 . 4. Cho hai không gian vectơ U, V trên C có số chiều lần lượt là n và m. Ký hiệu L(U, V) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V. Ta đã biết rằng L(U, V) là C− không gian vectơ đẳng cấu với không gian C m×n . Do đó với ma trận A ∈ C m×n , ta có thể đồng nhất với một ánh xạ tuyến tính A : C n −→ C m , với Im(A) = {y ∈ C m : y = Ax, ∀x ∈ C n } được ký hiệu là R(A) và Ker(A) = {x ∈ C n : Ax = 0} ký hiệu là N(A). 5. Cho A ∈ C n×n và λ ∈ C. Nếu trong C n tồn tại x = 0 sao cho Ax = λx thì ta nói λ là một giá trị riêng của A. Khi đó, vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A và được ký hiệu là λ(A). Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập hợp {x ∈ C n : Ax = λx} là một không gian con của C n và được gọi là không gian con riêng của A ứng với λ. 6. Một ma trận vuông A trên C được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch C sao cho B = C −1 AC có dạng chéo. 5 Nếu xem A là một tự đồng cấu tuyến tính trên C n thì có thể nói A chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở S của C n sao cho ma trận của tự đồng cấu A đối với cơ sở S có dạng chéo. 7. Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa Jordan được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho J = P −1 AP =        J 1 J 2 . . . J k        , trong đó J i là các ma trận vuông có dạng J i =           λ i 1 0 0 0 λ i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . λ i 1 0 · · · · · · 0 λ i           . Mỗi ma trận con J i ở trên được gọi là một khối Jordan ứng với giá trị riêng λ i . Ma trận J trong định nghĩa được gọi là biểu diễn chuẩn tắc Jordan của A, hay còn gọi là dạng chuẩn tắc Jordan của A. Rõ ràng một ma trận A chéo hóa được thì ma trận chéo đồng dạng với A là một trường hợp đặc biệt của biểu diễn dạng chuẩn tắc Jordan của A. Người ta có thể chứng minh được rằng mọi ma trận vuông trên C đều có thể chéo hóa Jordan được. 8. Cho A ∈ C m×n , ta xem A là một ánh xạ tuyến tính A : C n −→ C m . - A là đơn cấu khi và chỉ khi rank(A) = n. - A là toàn cấu khi và chỉ khi rank(A) = m. Trường hợp rank(A) = n thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo cột. Nếu rank(A) = m thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo dòng. Gọi P : C n −→ C n / Ker(A) là phép chiếu chính tắc. Lúc đó theo định lý về nhân tử hóa ánh xạ tuyến tính, tồn tại duy nhất đơn cấu tuyến tính Q : C n / Ker(A) −→ C m sao cho A = QP . Do P là toàn cấu nên có thể xem P là ma trận đầy đủ hạng theo dòng và Q là đơn cấu nên có thể xem Q là ma trận đầy đủ hạng theo cột. Như vậy với mỗi ma trận A ∈ C m×n , luôn luôn tồn tại duy nhất một cách phân tích thành nhân tử A = QP . Lúc đó, ta nói A được phân tích 6 thành nhân tử hóa đầy đủ hạng P và Q. 9. Chuẩn của ma trận A ∈ C m×n , ký hiệu A là một hàm: C m×n −→ R thỏa mãn các điều kiện sau: A ≥ 0, A = 0 ⇔ A = 0 , αA = |α|A, A + B ≤ A + B, với mọi A, B ∈ C m×n , α ∈ C. Nếu thỏa mãn thêm điều kiện AB ≤ AB thì  được gọi là chuẩn nhân. Sau đây là một số mệnh đề và bổ đề mà chúng ta sẽ sử dụng đến trong các phần sau. Giả sử L là không gian con bù của M trong C n , tức là C n = L ⊕ M và A ∈ C n×n . Ta có thể xem A là tự đồng cấu tuyến tính trên C n . Với mỗi x ∈ C n , tồn tại duy nhất (y, z) ∈ L × M sao cho x = y + z, nếu Ax = y thì ta nói A là phép chiếu của C n lên L. Ta dễ dàng nhận thấy rằng A 2 = A. Một cách tổng quát, một ma trận vuông A được gọi là ma trận phép chiếu nếu A 2 = A. Một tính chất mà chúng ta đều biết qua đại số tuyến tính đó là nếu A là ma trận phép chiếu thì F n = R(A) ⊕ N(A). Điều ngược lại của khẳng định trên là không đúng. Mệnh đề sau đây cho chúng ta biết điều kiện cần và đủ để C n là tổng trực tiếp của hai không gian con R(A) và N(A). Mệnh đề 1.1.1. ([3, Mệnh đề 1.1.2]) Cho A ∈ C n×n . Lúc đó, R(A) và N(A) là các không gian con bù nhau trong C n khi và chỉ khi rank(A) = rank(A 2 ). Bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại một số vấn đề liên quan đến không gian bất biến. Định nghĩa 1.1.2. ([2, Chương 5, Mục 5.2]) Cho E là một không gian vectơ hữu hạn sinh trên trường C và ϕ là một toán tử tuyến tính của E. Một không gian con E  của E được gọi là một không gian bất biến của ϕ nếu ϕ(E  ) ⊆ E  . Không gian {0} và E đều là những không gian bất biến của ϕ. Người ta gọi chúng là các không gian bất biến tầm thường của ϕ. Có thể thấy ngay rằng ker ϕ và Im ϕ cũng là các không gian con bất biến của ϕ. Nếu ϕ không phải là một tự đẳng cấu thì ker ϕ = {0} sẽ là một không gian bất biến không tầm thường của ϕ. 7 Bổ đề 1.1.3. ([2, Bổ đề 5.2.1]) Không gian con E  của E là một không gian bất biến khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E  nằm trong E  . Bổ đề 1.1.4. ([2, Bổ đề 5.2.2]) Cho E  là một không gian con của E với dim E  = r. Giả sử S = {x 1 , , x n } là một cơ sở của E sao cho R = {x 1 , , x r } là một cơ sở của E  . E  là một không gian bất biến của ϕ khi và chỉ khi ma trận A của ϕ theo S có dạng A =  A  B 0 C  với A  là một ma trận vuông cấp r. Khi đó A  là ma trận của ánh xạ thu hẹp ϕ  của ϕ theo R. Bổ đề 1.1.5. Cho A, B là hai ma trận sao cho tích AB xác định. Ta luôn có rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}. Chứng minh. Giả sử A ∈ C m×n và B ∈ C n×p thì AB ∈ C m×p . Với mọi x ∈ C p , Bx = 0. Suy ra ABx = 0. Do đó N(B) ⊂ N(AB), nên dim(B) ≤ dim(AB). Điều này dẫn đến p − rank(B) ≤ p − rank(AB). Suy ra rank(AB) ≤ rank(B). Tương tự ta có rank(B T A T ) ≤ rank(A T ). Nhưng vì rank A T = rank A nên ta suy ra rank(AB) ≤ rank(A). Vậy rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}. Định nghĩa 1.1.6. Cho A ∈ C n×n và 1 ≤ i 1 < < i r ≤ n (r = 1, , n) là một dãy số tùy ý. Lúc đó ma trận gồm các phần tử nằm trên các dòng và các cột i 1 , , i r của A được gọi là ma trận con chính cấp r của A và định thức của ma trận đó được gọi là định thức con chính cấp r của A. Nhận xét 1.1.7. Giả sử d r là tổng các định thức con chính cấp r của A ∈ C n×n . Lúc đó đa thức đặc trưng p A (t) của ma trận A có thể biểu diễn như sau: p A (t) = det(tI − A) = t n − d 1 t n−1 + d 2 t n−2 − · · · + (−1) n d n . 1.2 Chỉ số của ma trận Cho A là một ma trận vuông cấp n trên C. Ta luôn có R(A 0 ) ⊃ R(A) ⊃ · · · ⊃ R(A k−1 ) ⊃ R(A k ) = R(A k+1 ) = R(A k+2 ) = · · · và N(A 0 ) ⊂ N(A) ⊂ · · · ⊂ N(A k−1 ) ⊂ N(A k ) = N(A k+1 ) = N(A k+2 ) = · · · 8 [...]... giữa nghịch đảo Drazin và ma trận phụ hợp Trước hết chúng ta xét trường hợp đặc biệt là nghịch đảo nhóm 2.2 Mối liên hệ giữa nghịch đảo nhóm và ma trận phụ hợp Ta đã biết nghịch đảo nhóm chính là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin trong trường hợp chỉ số của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng 1 và chúng ta cũng đã bàn đến khái niệm ma trận phụ hợp đối với trường hợp này Vậy thì nghịch đảo nhóm sẽ được biểu. .. niệm ma trận phụ hợp nhất thiết phải được mở rộng 2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp Như vậy là chúng ta đã biết khái niệm ma trận phụ hợp trong trường hợp A là ma trận khả nghịch, tức là k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n, còn trong trường hợp A là ma trận suy biến, k = ind(A) > 0 và r = rank(A) < n thì ma trận phụ hợp sẽ được biểu diễn như thế nào? Dựa theo kết quả bài báo "Analogues of the adjoint matrix... 1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin Chúng ta đã biết một ma trận vuông A tồn tại nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi ind(A) ≤ 1 Trong trường hợp tổng quát, tức là với ind(A) = k bất kỳ, người ta đã tìm cách mở rộng khái niệm nghịch đảo của ma trận Năm 1958, nhà toán học Drazin đã mở rộng khái niệm nghịch đảo cho ma trận bất kỳ Ông ta gọi là nghịch đảo suy rộng mà sau đó người ta gọi là nghịch đảo Drazin Định... Nếu ma trận X ∈ Cn×n thỏa mãn Ak XA = Ak , (4) XAX = X, (5) AX = XA (6) thì X được gọi là nghịch đảo Drazin của A và được ký hiệu là AD Ví dụ 1 Nghịch đảo nhóm là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin khi k ≤ 1 Ví dụ 2 Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận 0   1 0 0   Ví dụ 3 Ta xét lại ma trận A = 0 0 1 với ind(A) = 2 Ta đã chứng minh   0 0 0 được A không tồn tại nghịch đảo. .. trường hợp tổng quát, nhà toán học Kyrchei đã đưa ra công thức biểu diễn ma trận phụ hợp như sau: Cho A ∈ Cn×n , nếu ind(A) = k và rank(Ak+1 ) = rank(Ak ) = r ≤ n thì ma trận phụ hợp của A là A gồm các phần tử aij được xác định bởi công thức sau: (k) Ak+1 (a.j ) i aij = β∈Jr,n {i} β β , (∀i, j = 1, n) (10) Lý do vì sao ma trận A được xác định như trên được gọi là ma trận phụ hợp của A chúng ta sẽ được... Kyrchei, sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một khái niệm mở rộng hơn về ma trận phụ hợp Theo khái niệm này thì ma trận phụ hợp được biểu diễn qua các định thức và nó sẽ bao quát hết tất cả các trường hợp Trước tiên chúng ta để ý đến trường hợp A là ma trận không suy biến, tức là k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n Trong trường hợp này A là ma trận phụ hợp của A sẽ gồm các phần tử aij được xác định bởi công thức... trong khóa luận của Nguyễn Tý (2010) Các độc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo [3] Sau đây chúng tôi sẽ bổ sung thêm một số tính chất khác nhằm phục vụ cho việc đi tìm công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp Định lý 1.5.3 Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k > 0 Lúc đó luôn tồn tại một ma trận P không suy biến sao cho A=P 0 P −1 , 0 N C trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận. .. của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột i bởi cột j của ma trận A0 = I a11 a12 0 a1n (0) Thật vậy, ta có |A.i (a.j )| = a21 a22 0 a2n aj1 aj2 1 ajn an1 an2 0 ann 23 = (−1)j+i Dji = aji = aij  1  Ví dụ 2.1.1 Cho ma trận A = 0  1 Lời giải Rõ ràng A là ma trận khả  1 0  1 2 Hãy tìm ma trận phụ hợp của A  0 1 nghịch Ta sẽ đi tìm ma trận phụ hợp của ma trận. .. AXAY = AY 13 Như vậy XA = AX = AY = Y A Suy ra X = XAX = Y AX = Y AY = Y Vậy nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại và duy nhất 1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin Định lý 1.5.1 ([3, Định lý 2.4.5]) (Nghịch đảo Drazin bảo toàn tính đồng dạng của ma trận) Cho B là một ma trận vuông Nếu X là ma trận khả nghịch thì (XBX −1 )D = XB D X −1 Định lý 1.5.2 ([3, Định lý 2.4.6]) Cho... tồn tại thì nó là duy nhất Chứng minh Nếu A là ma trận khả nghịch thì định lý hiển nhiên đúng Ta xét trường hợp A là ma trận suy biến Ta đã biết nghịch đảo của ma trận A tồn tại khi và chỉ khi Cn = R(A) ⊕ N (A) Điều này lại tương đương với chỉ số của ma trận A bằng 1 Ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghịch đảo nhóm Giả sử X, Y là nghịch đảo nhóm của ma trận A Ta có AX = AY AX = Y AXA = Y A 10 Như