Luận văn thạc sĩ phương trình và hệ phương trình đại số

ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRƯèNG ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TR±NH TH± HIEN PHƯƠNG TRÌNH VÀ Hfi PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SO LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I - NĂM 2015 ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRƯèNG ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TR±NH TH± HIEN PHƯƠNG TRÌNH VÀ Hfi PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa PGS TS VŨ ĐŐ LONG HÀ N®I - NĂM 2015 HQC: Mnc lnc Me ĐAU Đai cương ve phương trình hEu ti 1.1 Kien thúc bő tro 1.1.1 Tính đơn đi¾u cna hàm so 1.1.2 Tính chat cna hàm kha vi úng dung 1.2 Phương pháp giai phương trình b¾c ba 1.2.1 Phương pháp phân tích nhân tu 1.2.2 Phương pháp Cardano 1.3 Phương trình b¾c cao .10 1.3.1 Phương trình đoi xúng b¾c n 11 1.3.2 Mđt so bi toỏn bắc cao .11 Phương pháp giai phương trình vơ ti 14 2.1 Phương pháp bien đői tương đương 14 2.1.1 Phương pháp nâng lũy thùa 14 2.1.2 Phương pháp phân tích thành nhân tu 19 2.1.3 Phương pháp nhân liên hop 25 2.2 Phương pháp đ¾t an phu 39 2.2.1 Mđt so cỏch an phu ban 40 2.2.2 Đ¾t an phu đưa ve phương trình tích 41 2.2.3 Đ¾t an phu đưa ve phương trình cap .45 2.2.4 Đ¾t an phu khơng hồn tồn 48 2.2.5 Đ¾t an phu đưa ve h¾ .51 i 2.3 Phương pháp đánh giá .58 2.3.1 Phương pháp dùng hang thúc 58 2.3.2 Phương pháp dùng bat thúc 59 2.4 Phương pháp hàm so .63 2.5 Phương pháp lưong giác hóa 67 Phương trình có chÉa tham so 70 3.1 Phương pháp su dung đao hàm .70 3.2 Phương pháp dùng đieu ki¾n can đn 74 3.2.1 Su dung tính đoi xúng 74 3.2.2 Su dung đ¾c điem thu¾n loi 76 H¾ phương trình đai so 79 4.1 Các loai h¾ phương trình ban .79 4.1.1 H¾ phương trình đoi xúng loai I 79 4.1.2 H¾ phương trình đoi xúng loai II 80 4.1.3 H¾ phương trình cap 82 4.2 Mđt so phng phỏp giai hắ phng trỡnh khác .83 4.2.1 Phương pháp đ¾t an phu 83 4.2.2 Phương pháp h¾ so bat đ%nh 86 4.2.3 Phương pháp bien đői thúc 91 4.2.4 Phương pháp dùng tính đơn đi¾u 94 4.2.5 Phương pháp dùng bat thúc 101 KET LU¾N 105 Tài li¾u tham khao 106 Me ĐAU Phương trình h¾ phương trình m®t nhung phân mơn quan TRQNG nhat cna Đai so có nhung úng dung lón ngành khoa HQc loai tốn thưịng g¾p dang tốn sơ cap Ngay tù đau, sn địi phát trien cna phương trình h¾ phương trình đai so đ¾t dau an quan TRQNG, chúng có súc hút manh me đoi vói ngưịi u tốn, khơng chi o ve đep hình thúc mà ca nhung bí an mang đen ln thơi thúc ngưịi làm tốn phai tìm tịi, sáng tao Ngày nay, phương trình h¾ phương trình đai so van ln chiem m®t vai trị quan TRQNG van thưịng xun xuat hi¾n kì thi Quoc gia, Quoc te, Olympic Là m®t giáo viên THPT, tơi muon nghiên cúu sâu ve phương trình h¾ phương trình nham nâng cao chun mơn phuc vu cho q trình giang day boi dưõng HQc sinh gioi, v¾y nên tơi cHQN đe tài làm lu¾n văn thac sĩ cna là: "Phương trình h¾ phương trình đai so." Muc đích cna lu¾n văn h¾ thong hóa phương pháp giai phương trình h¾ phương trình đai so, giúp nh¾n dang tốn, đe xuat phương pháp giai cHQN phương án toi ưu Ban lu¾n văn đưoc chia làm chương: Chương 1: Đai cương ve phương trình huu ti Trình bày kien thúc chuan b% gom m®t so cách giai phương trỡnh bắc ba, mđt vi bi phng trỡnh bắc cao m®t so tính chat cna hàm so Chương 2: Phương pháp giai phương trình vơ ti Chương trình bày phương pháp thưịng g¾p pham vi chương trình phő thơng e moi phương pháp, tác gia co gang tőng qt hóa dang t¾p mà có the su dung phương pháp này, có kèm theo nh¾n xét, tőng qt hóa dang tốn đong thịi cho m®t so ví du minh HQA vói m®t so tốn tham khao Chương 3: Phương trình có tham so Đe c¾p đen phương pháp giai bi¾n luắn bi toỏn cú tham so, cng nh mđt so tốn thưịng g¾p kỳ thi hQc sinh gioi Chương 4: H¾ phương trình đai so Nhac lai cỏc hắ phng trỡnh c ban v nờu mđt so phương pháp giai h¾ phương trình dang khác M¾c dù có nhieu co gang, xong nhieu yeu to khách quan chn quan, nên trình cHQN LQc t liắu v trỡnh by nđi dung khú trỏnh khoi nhung thieu sót Vì v¾y tơi rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien chi bao cna thay cơ, sn góp ý chân thành cna ban HQ c viên đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Lài cam ơn Tơi xin đưoc bày to lịng kính tRQNg lịng biet ơn sâu sac đen PGS TS Vũ Đo Long, ngưịi thay t¾n tình giang day, truyen thu nhung kien thúc bő ích tao đieu ki¾n đe tơi hồn thành lu¾n văn Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình tơi thnc hi¾n đe tài Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Phòng sau đai hQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i; thay tham gia giang day khóa cao HQc 2013 -2015; Ban giám hi¾u đong nghi¾p trưịng THPT Hong Thỏi, an Phong, H Nđi ó tao ieu kiắn thuắn loi cho tơi hồn thành lu¾n văn cna Cuoi cùng, tơi xin chân thành cam ơn gia đình luụn đng viờn tụi suot quỏ trỡnh HQc nghiên cúu khoa HQc Hà N®i, tháng năm 2015 HQc viên Tr%nh Th% Hien Chương Đai cương ve phương trình hEu ti 1.1 Kien thÉc bo tra 1.1.1 Tính đơn đi¾u cua hàm so Đ%nh nghĩa 1.1 Cho hàm so y = f (x) có đao hàm (a; b) f J (x) = chi vúi mđt so huu han iem Khi ú ã f hàm so tăng (a; b) ⇔ f J (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) • f hàm so giam (a; b) ⇔ f J (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) H¾ qua 1.1 Neu hàm so y = f (x) đơn đi¾u (a; b) phương trình f (x) = có toi a mđt nghiắm 1.1.2 Tớnh chat cua hm kha vi Éng dnng Đ%nh lý Roll Gia su hàm f : [a; b] → R thoa mãn + f liên tuc [a; b] + f kha vi khoang (a; b) + f (a) = f (b) Khi ton tai nhat m®t điem c ∈ (a; b) cho f J (c) = H¾ qua 1.2 Cho hàm so y = f (x) có đao hàm đen cap n phương trình f (n) (x) = có m nghi¾m khoang (a; b), phương trình f (n−1) (x) = có nhieu nhat (m + 1) nghi¾m [a; b] Đ%nh lý Lagrange Cho hàm so y = f (x) liên tuc [a; b] f J (x) ton tai f (b) − f (a) (a; b) ln ∃ c∈ (a; b) cho: f J (c) = b−a 1.2 Phương pháp giai phương trình b¾c ba 1.2.1 Phương pháp phân tích nhân tE Xét phương trình b¾c ba ax3 + bx2 + cx + d = (1.1) Gia su phương trình (1.1) có nghi¾m x = r Khi Σ Σ (1.1) ⇔ (x − r) ax2 + (b + ar) x + c + br + ar2 = Tù ta đưa ve giai phương trình b¾c hai, có nghi¾m √ −b − ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2r2 x= 2a 1.2.2 Phương pháp Cardano Xét phương trình b¾c ba x3 + ax2 + bx + c = Bang cách đ¾t x = y− tac a2 Trong p = b − b 3a (1.2) , phương trình (1.2) ln bien đői đưoc ve dang y3 + py + q = ,q= c 2a3 − 9ab + 27 Ta chi xét p, q ƒ= p = hay q = đưa ve trưịng hop đơn gian Đ¾t y = u + v thay vào (1.3), ta đưoc (u + v)3 + p (u + v) + q = ⇔ u 3+ v + (3uv + p) (u + v) + q = (∗) CHQN u, v cho: 3uv + p = (∗∗) Tù (∗) (∗∗) ta có h¾ phương trình u + v3 3v3 = u−q (1.3) p3 =− 27 t √ t2 + +t √ |t| − t Xét + f (t) = t ft + có (t) = + = t2 + √ √ t2 + t2 + > ≥ 0, ∀t ∈ R Suy hàm so đong bien R Tù (3) ta có f (x − 1) = f (2y) ⇔ x = 2y + Thay vào (1) ta đưoc √ y = y2 +1  − y2⇔  y ≤  ⇒ =   y ;x= y = y= − ;x= − 16 −1 −34 V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = , ; Σ , ; Σ, 4 Q Bài tốn 4.24 Giai h¾ phương trình x5 + xy4 = y10 + y6 (1) √√ 24x +5 + đ¾c y +trưng = 6phai (2) có sn đc lắp cna x v y nhng %nh hỏng Mắc dù hàm so mũ o phương trình (1) cho suy ngh en viắc chia cho mđt bieu thỳc Bieu thúc x5 + xy4 dang cap b¾c ⇒ chia hai ve cna (1) cho y 5 Giai Đieu ki¾n x ≥ − De thay y = khơng nghi¾m cna h¾ phương trình Chia hai ve cna (1) cho y5 ta đưoc = y5 + y (3) Σ5 x x y + y Xét f (t) = t5 + t có f J (t) = 5t4 + > 0, ∀t ∈ R ⇒ Hàm so đong bien R Σ x f (y) ⇔ = y ⇔ x = y2 Tù (3) ⇒ f = y √ y √ > 0, ∀x > Thay vào (2) ⇒ 4x + + x + = √ + √ √ x x+ Xét g (x) = 4x + + x + có g J (x) 4x + = √ −5 −5 Suy hàm so đong bien ; +∞Σ Mà g(1) = ⇒ x = 1; y = ±1 Q V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = {(1; −1) , (1; 1)} Nh¾n xét 4.4 Vói nhung phương trình b¾c cao vi¾c b¾c đ¾t an phu rat huu ích Bài tốn 4.25 Giai h¾ phương trình (√x + y ) (2x − y) + = −√6x − 3y (1) 3x − + (2x + y − + 3y 1) = Đ%nh hưáng Ta thay (2) có dang đơn đi¾u khơng the tìm đưoc hàm đ¾c trưng Như v¾y rõ ràng phai thay đői x ho¾c y → phân tích (1) (1) ⇔ (x + y + 1)(2x − y + 4) = → Rút y theo x Giai Đieu ki¾n x ≥ ; y ≥ (*) (x + y) (2x − y) + = −4 (x + y) − (2x − y) ⇔ (x + y + 1) (2x − y + 4) = ⇔ 2x − y + = (do đk(∗) → x + y + > 0) ⇔y = 2x + √ √ Thay vào (2) ⇒ 3x − + (2x + 1) = 2x + + (2x + 4) √ √ ⇔ (3x − 1) + 3x − = (2x + 3) + 2x + √ Xét f (t) = 2t + t, t ≥ có f J (t) = + > 0, ∀t > √ t Suy hàm so đong bien [0; +∞) (3) Tù (3) ta có f (3x − 1) = f (2x + 3) ⇔ 3x − = 2x − ⇔ x = 4; y = 12 Q V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = (4; 12) Bài tốn 4.26 Giai h¾ phương trình y + 3xy − 17x + 27 = x3 − 3x2 + 13y (1) 2 x + y + xy − 6y − 5x + 10 = (2) Đ%nh hưáng + Sn xuat hi¾n cna xy hai phương trình làm mat sn đc lắp cna hai an Lay (1) 3.(2) ta đưoc y3 − 3y2 + 5y − = x3 + 2x (3) + CHQN V P (3) hàm đ¾c trưng → Phân tích V T (3) = g (y) + 2g (y) Đong nhat h¾ so → g(y) = y − Giai H¾ phương trình cho tương đương vói y − 13y + 3xy + 27 = x3 − 3x2 + 17x 3y2 − 18y + 3xy + 30 = −3x2 + 15x Trù theo ve ta đưoc y3 − 3y2 + 5y − = x3 + 2x ⇔ (y − 1) + (y − 1) = x3 + 2x (4) Xét f (t) = t3 + 2t, t ∈ R có f J (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R ⇒ Hàm so ĐB R Tù (4) ⇒ f (y − 1) = f (x) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Thay vào (2) ta có x2 + (x + 1)2 + x (x + 1) − (x + 1) − 5x + 10 = Σ x = 1; y = ⇔3x ⇒ − 8x + = x = 5; y =8 3 V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = ,(1; 2) , ; Σ, 3 4.2.5 Phương pháp dùng bat thÉc Ve ý tưong, dùng bat thúc phương trình h¾ phương trình tương tn Nhưng nhieu h¾, vi¾c đánh giá an se phúc tap nhieu Bài tốn 4.27 Giai h¾ phương trình 4 x +y =2 (1) 2 x − 2x + 2x = y (2) Giai x + y = Σ H¾ phương trình tương đương (x − x2 − x + = y − vói + Neu x > ⇒ (x − 1) x − x + >1) ⇒ y2 >1 ⇒ y4 > ⇒ x4 + y4 > Σ ⇒ H¾ vơ nghi¾m Σ + Neu < x < ⇒ (x − 1) x2 − x + < ⇒ y < 4 Q ⇒ y4 < ⇒ x4 + y4 < ⇒ H¾ vơ nghi¾m + Neu x < ⇒.x3 − 2x2 + 2x < ⇒ y < 0: vô lý y4 = + Tai x = y24 = ⇒ ⇒ 12 y = + Tai x = (vơ nghi¾m) ⇒ y = ±1 y = 1 V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = {(1; 1) , (1; −1)} Q Bài tốn 4.28 (Vơ đ%ch tốn Bungari 1997) Giai h¾ phương trình  2x =y +1 2y2 = z y2 +  2z2   z2 + =x x2 Giai + Ta thay Σ x = y = z = nghi¾m cna h¾ phương trình x ƒ= y ƒ= ⇒ x, y, z > Khi nhân ve cna h¾ phương trình ta z0 có + Neu Σ Σ Σ 8x2y2z2 = (x2 + 1) (y2 + 1) (z2 + 1) x + y + z + = xyz ⇔ 1 8xyz Áp dung bat thúc AM - GM ta có Σ x2 + Σ y2 + Σ z + ≥ 2x.2y.2z = 8xyz (do x, y, z > 0) Đang thúc xay ⇔ x = y = z = (thoa mãn) V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y, z) = {(0; 0; 0) , (1; 1; 1)} Bài tốn 4.29 Giai h¾ phương trình √ √ + 432 √ − x −2y = √x x + 32 − x + 6y = 24 −3 Giai ieu kiắn x 32 Cđng theo ve ta đưoc √ Σ √ √ x+ 32 − x + x+ √4 Σ 32 − x = y − 6y + 21 (1) Q Ta có √4 x+ y2 − 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 ≥ 12 √ √ √ x + 32 − x ≤ (x + 32 − x) = √4 32(∗) − x≤ Σ Σ (2) √ x+ Σ √ √ 32 − x ≤ 2.8 =4 (∗∗) √ √ √ √4 Tù (∗), (∗∗) suy x + 32 − x + x + 32 − x ≤ 12 Ket hop (1), (2), (3) ta có thúc xay chi √ x+ √ Σ 32 − x + √4 x+ Σ √4 (3) 32 − x = y − 6y + 21 = 12 ⇔ y= V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = (16; 3) x = 16 Q Bài toán 4.30 Giai h¾ phương trình 2xy  x+3 = x2 + y (1) √x − 2x + 2xy  y + √ = y2 + x (2) y2 − 2y + Đ%nh hưáng Đây h¾ phương trình đoi xúng loai II neu làm theo cách thơng thưịng se rat khó khăn có sn xuat hi¾n cna b¾c ba + Đe ý rang cđng hai ve phng trỡnh VT xuat hiắn 2xy → VP xuat hi¾n x2 + y2 + Do h¾ phương trình đoi xúng loai II → x = y Tù ta nghĩ tói vi¾c đánh giá 2xy x2 + y2 Giai + Neu x = ⇒ y = + Xét x, y ƒ= C®ng theo ve (1) (2) ta đưoc 2xy √ M¾t khác √ 1 x2 − 2x + + y2 Σ = x2 + y2 ⇒ xy > − 2y + √ ≤1 =  x2 3 = − 2x + y2 − 2y + = (x − 1)2 +8 √3   1 x2 − 2x + √ ≤√ (y − + = 8 1) 1 y − 2y +  ⇒ √3 x2 − 2x + + √ y2 − 2y + ≤1 ⇒2xy √ + √ Σ ≤ 2xy ≤ x2 + y2   Đang thúc xay ⇔ x = y = (thoa mãn) Q V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = {(0; 0) , (1; 1)} Bài tốn 4.31 Giai h¾ phương trình √ √ x2+ √ √ x + + y + = 13 x +y+3 = (2) Giai Đieu ki¾n x ≥ 0; x2 + y + ≥ 0; y + ≥ Tù phương trình (2), su dung bat thúc Cauchy - Schawarz ta có √ 132 = √ (x + + y + 8) ⇒ x + y ≥ y + 8Σ ≤ 13 x+ 4+ (3) Tù phương trình (1), bình phương hai ve ta đươc √ x + y = − x2 − x (x2 + y + 3) ⇒ x + y ≤ (4) Đang thúc tù (3) (4) xay ⇔ √ x+y= √ y+ x+4 = V¾y h¾ phương trình có nghi¾m (x, y) = (0; 1) ⇔ x= y= (thoa mãn) Q KET LU¾N Kien thúc ve phương trình h¾ phương trình đai so đưoc rat nhieu ngưịi nghiên cúu sáng tao; tốn liên quan đen phương trình h¾ phương trình rat đa dang vơ phong phú Lu¾n văn "Phương trình h¾ phương trình đai so" đat đưoc m®t so ket qua sau: Trình bày m®t cách h¾ thong phương pháp giai tőng qt hóa mđt so dang bi ve phng trỡnh v hắ phng trình đai so Trình bày phương pháp giai quyet tốn ve phương trình có chúa tham so ví du minh HQA M®t so hưóng phát trien tiep theo: - Phương pháp sáng tác phương trình h¾ phương trình - Úng dung phương pháp vào đe giai phương trình, h¾ phương trình nói chung M¾c dù rat co gang, trình đ® thịi gian có han, v¾y lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn chinh Tài li¾u tham khao [1] Ho Văn Diên - Mai Văn Chinh, Chinh phnc phương trình, bat phương trình đai so, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [2]Hồng Kỳ (2001), Căn so tốn vơ ts, Nhà xuat ban Giáo duc, Vi¾t Nam [3] Nguyen Vũ Lương - Pham Văn Hùng - Nguyen NGQc Thang, (2000), H¾ phương trình phương trình vơ ts thúc, NXB ĐHQG Hà N®i [4] Nguyen Văn M¾u (2003), Phương pháp giai phương trình bat phương trình, Nhà xuat ban Giáo duc, Vi¾t Nam [5] Nguyen Vn Mắu - Nguyen Vn Tien (2009),Mđt so chuyờn đe Đai so boi dưãng HQc sinh giói THPT, Nhà xuat ban Giáo duc, Vi¾t Nam [6] Tap chí tốn HQc tuői tre (2004), Tuyen t¾p 30 năm tap chí tốn HQc tuői tré, Nhà xuat ban Giáo duc, Vi¾t Nam [7] Tőng t¾p đe thi Olympic 30 tháng láp 10, (2012), Nhà xuat ban ĐH Sư pham Hà N®i ... 4.1.1 H¾ phương trình đoi xúng loai I 79 4.1.2 H¾ phương trình đoi xúng loai II 80 4.1.3 H¾ phương trình cap 82 4.2 M®t so phương pháp giai h¾ phương trình khác .83 4.2.1 Phương. .. 1.2.2 Phương pháp Cardano 1.3 Phương trình b¾c cao .10 1.3.1 Phương trình đoi xúng b¾c n 11 1.3.2 Mđt so bi toỏn bắc cao .11 Phương pháp giai phương trình vơ ti 14 2.1 Phương. .. phương trình h¾ phương trình nham nâng cao chun mơn phuc vu cho trình giang day boi dưõng HQc sinh gioi, v¾y nên tơi cHQN đe tài làm lu¾n văn thac sĩ cna là: "Phương trình h¾ phương trình đai so."