Luận văn thạc sĩ phương trình hàm schrӧder abel và một số áp dụng liên quan

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN NGUYEN ễNG BAC PHNG TRèNH HM SCHROă DER, ABEL V MđT SO P DUNG LIấN QUAN LUắN VĂN THAC SY KHOA HOC Ngành: Tốn Giai tích Mã so: 60.46.01 Ngưài hưáng dan: GS.TSKH NGUYEN VĂN M¾U Hà Nđi - 2012 Li cam n Ban luắn ny đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nghiêm khac chi bao t¾n tình cna GS TSKH Nguyen Văn M¾u Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen ngưịi thay cna Qua đây, tác gia xin gui tói thay Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2010 - 2012, lòi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot q trình giáo duc đào tao cna Nhà trưòng Tác gia xin chân thành cam ơn thay phan bi¾n ĐQc đóng góp nhieu ý kien quý báu cho ban lu¾n văn cna tác gia Cuoi cùng, tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè tat ca MQI ngũi ó quan tõm, tao ieu kiắn, đng viờn c vũ tác gia đe tác gia có the hồn thành luắn cna mỡnh H nđi, thỏng 09 nm 2012 Mnc lnc Lài ma đau Lài cam ơn Các ký hi¾u quy ưác .5 Chương Các kien thÉc chuan b% .6 1.1 Phương trình hàm tuyen tính 1.1.1 Phương trình hàm tuyen tính tőng qt 1.1.2 Dãy xap xi liên tiep 1.1.3 Đ%nh lý Banach - Schauder 10 1.1.4 Các ánh xa liên hop 10 1.1.5 Các chuoi liên hop hình thúc 12 1.2 Nghi¾m cua phương trình tuyen tính 13 1.2.1 .Nghi¾m đơn đi¾u cna phương trình 1.2.2 .Nghi¾m loi (lõm) cna phương trình 1.2.3 Nghi¾m liên tuc cna phương trình 1.2.4 Nghi¾m kha vi cna phương trình 1.2.5 .Nghi¾m giai tích cna phương trình tuyen tuyen tuyen tuyen tuyen tính 13 tính 17 tính 20 tính 25 tính 26 Chương Phng trỡnh Schrăoder v Abel 29 2.1 Phương trình Schroder 29 2.1.1 Nghiắm n iắu cna phng trỡnh Schrăoder 2.1.2 Nghi¾m loi cna phương trỡnh Schrăoder 2.1.3 Nghiắm kha vi cna phng trỡnh Schrăoder 2.1.4 .Nghiắm trn cna phng trỡnh Schrăoder RN 2.1.5 Nghi¾m giai tích cna phương trỡnh Schrăoder 29 30 30 32 33 2.2 Phng trỡnh Abel 36 2.2.1 Nghi¾m loi cna phương trình Abel 36 2.2.2 Nghi¾m kha vi cna phương trình Abel 37 2.2.3 Nghi¾m giai tích cna phương trình Abel 40 Chương M®t so áp dnng liên quan 44 3.1 Các nghi¾m 44 3.2 H¾ tien Schroder 46 3.2.1 H¾ tương đương hàm tn đong cau 47 MUC LUC Mnc lnc 3.2.2 Sn tương đương cna phng trỡnh Schrăoder v hắ tien Schrăoder 48 3.3 Hắ Schroder-Abel phương trình ket hap 49 3.3.1 Các hàm Archimedean ket hop hoàn toàn 49 3.3.2 Ket hop cỏc phng trỡnh Schrăoder v Abel 51 3.3.3 .Sn ton tai cna phan tu sinh 52 3.3.4 .Nghi¾m cna h¾ Abel – Schrăoder 54 3.4 Hắ Abel v cỏc phng trỡnh vi phân có l¾ch 57 3.4.1 .Nhóm phép bien đői 57 3.4.2 .H¾ phương trình Abel đong thịi 60 3.5 H¾ Schroder đ¾c tính cua chuan 61 3.5.1 Đ¾c tính cna chuan 61 3.5.2 Hắ cỏc phng trỡnh Schrăoder ong thòi 62 3.6 Các ý 64 3.6.1 Nghi¾m cna h¾ tien Schrăoder 64 3.6.2 Các tn cau tăng 65 3.6.3 Đ%nh lý 3.3.4 65 3.6.4 Các phương trình vi phân có l¾ch 66 3.6.5 Áp dung đ%nh lý 3.4.5 66 3.6.6 Đ%nh lý 3.5.2 67 3.6.7 .Hắ phng trỡnh Schrăoder 67 3.6.8 Phng trỡnh Schrăoder, Abel v phng trình vi phân 67 3.6.9 Nua nhóm xap xi liên tuc 68 3.6.10 .Các phương trình Abel đong thịi 69 Ket lu¾n 70 Tài li¾u tham khao .71 Các ký hi¾u quy ưác * * * * * N - t¾p so nguyên dương N0 = N ∪ {0} - t¾p so tn nhiên R = [−∞; + ∞] - t¾p so thnc mo r®ng R+ = [0, + ∞) - t¾p so thnc khơng âm x = (ξ1, , ξn) ∈ K n chuan cna x chuan Euclide n ‚.Σ i= |x| = , | i| * Vúi ma trắn A Kmìn thỡ chuan cna A chuan cna tốn tu tuyen tính tương úng túc ǁAǁ = sup |Ax| |x|=1 * cl(A) - bao đóng cna t¾p A * int(A) - phan cna t¾p A * [0, a| ký hi¾u chung cho [0, a] [0, a), ý |a, ∞| |a, ∞) * F(X, Y ) HQ ánh xa tù X vào Y, F(X) = F(X, X) * Cr(X, Y ), r ∈ N0 t¾p tat ca ánh xa kha vi liên tuc tói cap r tù X vào Y, C r (X) = C r(X, X), r ∈ N , C(X, Y ) = C 0(X, Y ), C(X) = C 0(X, X) * Cho X m®t khơng gian tơpơ, Y m®t khơng gian mêtric ta nói dãy hàm fn : X → Y, n ∈ N h®i tu hau đeu (h®i tu a.u) tói hàm f : X → Y X neu h®i tu đeu tói f MQI t¾p compact cna X * Ký hi¾u f∗ dùng đe ký hi¾u cho logit(f ) (xem muc 1.1.5) * LAS viet tat cna "nghi¾m giai tích đ%a phương" * FPS viet tat cna "chuoi lũy thùa hình thúc" Chương Các kien thÉc chuan b% Trong chương này, se nghiên cúu kien thúc ban ve phương trình tuyen tính đe phuc vu cho vi¾c nghiên cúu phương trỡnh Schrăoder v phng trỡnh Abel o chng sau Ve tőng the chương gom hai phan: ♦ Phan 1: Các khái ni¾m kien thúc liên quan ♦ Phan 2: Nghi¾m cna phương trình tuyen tính e phan 1, ta nhac lai mđt so khỏi niắm v mđt so ket qua se đưoc dùng phan như: dãy xap xi liên tiep, t¾p Siegel, khái ni¾m liên hop ánh xa tính chat cna e phan 2, ta trình bày ket qua ve nghi¾m cna phương trình tuyen tính tőng qt phương trình tuyen tính thuan nhat đnc bi¾t tính quy nghi¾m cna phương trình tuyen tính tőng qt Tính quy nghi¾m bao gom tính chat cna nghi¾m như: tính liên tuc nghi¾m, tính kha vi cna nghiắm, tớnh trn cna nghiắm v mđt so tớnh chat khác 1.1 1.1.1 Phương trình hàm tuyen tính Phương trình hàm tuyen tính tong qt Phương trình hàm tőng qt có dang: F (x, ϕ(x), ϕ (f1 (x)) , , ϕ (fn (x))) = ϕ hàm chưa biet (hàm an) hàm lai hàm cho, chi so n o phương trình đưoc GQI b¾c cna phương trình Như v¾y, phương trình hàm b¾c có dang: F (x, ϕ(x), ϕ (f (x))) = Chương Các kien thúc chuan b% Phương trình hàm tuyen tính tőng qt phương trình hàm có dang: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.1) ϕ hàm chưa biet f g hàm cho Trong trưịng hop đ¾c bi¾t h ≡ (1.1) tro thành: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) (1.2) (1.2) đưoc GQI phương trình hàm tuyen tính thuan nhat tőng qt Hau het phương trình tuyen tính quan TRQNG đeu thu®c phương trình Schroder phương trình Abel Phng trỡnh Schrăoder l phng trỡnh cú dang: (f (x)) = s.σ(x) (1.3) s m®t thùa so vơ hưóng Phương trình Abel phương trình có dang: α(f (x)) = α(x) + A (1.4) A ƒ= m®t phan tu co đ%nh thu®c mien giá tr% cna α (do tính tuyen tính cna phương trình nên ta thưịng xét trưịng hop A = 1) De dàng thay rang neu ϕ σ nghi¾m cna (1.2) kϕ + lσ, k, l = const cng l mđt nghiắm cna (1.2) Nh vắy, neu (1.2) có nghi¾m có rat nhieu nghi¾m, nghi¾m tao thành tùng HQ nghi¾m o cỏc nghiắm cựng mđt HQ se sai khỏc mđt hang so nhân 1.1.2 Dãy xap xi liên tiep Xét F(X) t¾p hop tat ca tn ánh xa cna mđt X cho trúc, toỏn tu hop J ◦J có tính chat ket hop F(X) nên (F(X), ◦) m®t nua nhóm vói phan tu đơn v% idX Các luy thùa f n , n ∈ N vói f m®t phan tu cna F(X) đưoc GQI dãy xap xi liên tiep cna f Đ%nh lí 1.1.1 Cho X khơng gian tơpơ Hausdorff f : X → X m®t hàm có f n liên tnc Neu vái m®t x ∈ X mà dãy (f n (x))n∈N h®i tn tái x0 ∈ X x0 điem co đ%nh cua f Cho X m®t khơng gian tơpơ f : X → X m®t hàm bat kỳ GQI x0 m®t điem co đ%nh cna f T¾p hop Af (x0) =, x∈ X : lim n→∞ f n (x) = x0 , đưoc gQI mien hút cna x0 M®t điem co đ%nh x0 cna f đưoc GQi hút neu thoa mãn x0 ∈ int Af (x0 ) Như v¾y, điem co đ%nh hút lơi cuon ve phía xap xi liờn tiep cna MQI iem thuđc lõn cắn cna nú Đ%nh lý sau trích tù Fatou [12], Barna [2] Đ%nh lí 1.1.2 Cho f m®t tn ánh xa liên tnc cua không gian tôpô X cho x0 ∈ X m®t điem co đ%nh cua f Khi (a) f Af (x0) ⊂ Af (x0) (b) AfΣ(x0) l mđt mỏ neu x0 l hỳt Xột gia thiet X = [0; a] vói < a ≤ ∞ (1.5) Đ%nh lí 1.1.3 Gia su ta (1.5) có vái MQI f : X → X hàm nua liên tnc bên phai Neu (1.6) f (x) < x; ∀x ∈ X\{0} vái MQI x ∈ X , dãy (f n (x))n∈N dãy giam lim n→+ ∞ (1.7) fn(x) = Hơn the, neu < f (x) < x vái ∀x ∈ X\{0} ∀x ∈ X\{0}, dãy {fn(x)}n∈N dãy giam nghiêm ng¾t Chúng minh Do tính nua liên tuc bên phai cna f vói (1.6) ngu ý rang f (0) = Vì v¾y, f (x) ≤ x; ∀x ∈ X ⇒ f n+1 (x) = f (f n (x) ≤ f n (x); ∀x ∈ X Neu có l = fn(x) > 0, vói ∈xX l = lim f n+1 (x) = lim fn(x)) ≤ lim x→∞ x→∞ n→∞ f (l) < l mđt mõu thuan vỡ vắy ta cú (1.7) Tớnh giam nghiêm ng¾t hien nhiên Đ%nh lí 1.1.4 Gia su vái (1.5) xét m®t khơng gian mêtric (T, ρ) Gia su rang ánh xa f : X×T → X liên tnc f (x, t) < x, ∀(x, t) {X\{0}}ìT gt(x) = f (x, t), (x, t) ∈ X × T dãy (gn(x)) t tien tái hau đeu đoi vái (x, t) ∈ X × T n∈N Đ%nh lí 1.1.5 Cho X m®t t¾p đóng cua KN chúa goc Xét ánh xa liên tnc f : X → X cho |f (x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0} Khi đó, sn h®i tn cua (1.7) hau đeu X Xét gia thiet sau: (i) f m®t ánh xa tù đoan thnc X = [0, a] vào vói < a ≤ ∞ (ii) f (x) = x (s + p(x)) , x ∈ X vói s ∈ [0, 1] , < p(x) + s < 1, x ∈ X lim p(x) = x→0 Bo đe 1.1.6 Cho (xn)n∈N0 (yn)n∈N0 hai dãy so dương s ∈ (0, 1) cho ca hai dãy vái so hang pn = xn+1 − s, qn = yn+1 − s, n ∈ N0 đeu tien tái n → ∞ Neu xn yn pn, qn ∈ (−s, − s), n ∈ N0 ∞ Σ |pn − qn| < ∞ (1.8) n=1 lim xn ton tai thu®c (0, ∞) (1.9) yn Hơn nua, neu hi¾u pn − qn, n ∈ N0 có dau khơng đői tù (1.9) suy (1.8) n→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.7 Chúng ta ký hi¾u R HQ hàm đo đưac r : X → R+ cho δ ∫ r(x) dx thu đưoc tù (3.42): ϕ−1 (2ϕ(t)) = tα ϕ−1 (3ϕ(t)) = tβ e α = ϕ−1 (2ϕ(1)) , β = ϕ−1 (3ϕ(1)), v¾y ϕ−1 phai thoa mãn h¾ phương trình Schroder đong thịi (0, ∞) ϕ−1(2t) = αϕ−1(t) Σ ϕ−1(3t) = βϕ−1(t) (3.43) Chúng ta se thay rang h¾ (3.43) chi có nghi¾m hàm lũy thùa câu hoi Theo cách se thu đưoc đ¾c tính cna chuan lp 3.5.2 Hắ cỏc phng trỡnh Schrăoder ong thi Chỳng ta se giai h¾ Σ σ(at) = α.σ(t) σ(bt) = β.σ(t) t > (3.44) e a, b, α, β hang so thnc dương, a ƒ= 1, b ƒ= Đ%nh lí 3.5.1 (a) Cho logb/loga so vơ ts Neu hàm đơn đi¾u nghiêm ng¾t σ : (0, ) R thúa hắ (3.44) thỡ cú mđt c ∈ R\{0} cho σ(t) = ctp vái t > (3.45) p = log α/ log a (3.46) log α log a nua = log β (3.47) log b (b) Neu (3.47) hàm (3.45) vái p cho theo (3.46) bat kỳ c ∈ R se thóa mãn h¾ (3.44) (và đơn đi¾u nghiêm ng¾t c ƒ= p ƒ= 0) Chúng minh Khang đ%nh (b) hien nhiên Chúng ta gia su rang logb/loga m®t so vơ ty σ : (0, ∞) → R m®t nghi¾m đơn đi¾u cna phương trình (3.44) Đői bien neu can thiet, phương trình đau cna h¾ (3.44) có the đưa ve dang (a−1t) = σ−1σ(t) vói a > b > Neu có σ(t0) = vói t0 ∈ (0, ∞) theo (3.44) ta có σ(at0) = = σ(t0) đieu trái ngưoc vói tính kha ngh%ch cna σ Vì v¾y, nói riêng ta có σ(1) ƒ= có the gia su rang σ(1) = (trong trưịng hop ngưoc lai ta se xét nghi¾m σ/σ(1) thay cho σ) Do σ tăng nghiêm ng¾t (0, ∞) nên σ > σ(t) ≥ σ(1) = vói t ≥ neu t0 ∈ (0, 1) ant0 > vói n đn lón v¾y theo (3.44) σ(t0) = σ−nσ(ant0) > α−n > Theo (3.44) thu đưoc α = σ(a) > σ(1) = β = σ(b) > a>1 b>1 L¾p l¾p lai (3.44) hop phương trình ket qua đưoc: σ(anbmt) = αnβmσ(t), t > 0, m, n ∈ Z thay t = ta đưoc: m, n ∈ Z σ(anbm) = σ(a)nσ(b)m, (3.48) Thương logb/loga so vơ ti Vì v¾y, t¾p hop: D = {x ∈ (0, ∞) : x = anbm, n, m ∈ Z} trù m¾t (0, ∞) (nh¾n xét rang anbm = exp (n log a + m log b) áp dung tính chat 3.4.2) Vói p cho boi (3.46) ta có: (3.49) α = σ(a) = ap Chúng minh se đưoc hồn thi¾n neu chi rang σ(b) = bp Tù (3.48) se cho ta σ(t) = D tính trù m¾t cna D (0, ∞) vói tính đơn đi¾u cna σ se ngu ý (3.45) vói c = Đe thu đưoc ket qua, ta lay hai dãy so huu ty xap xi xap xi dưói cna logb/loga: lim pn rn = lim b log = (3.50) n→∞ qn n→∞ sn log a apn/qn < b < arn/sn, n ∈ N (3.51) e pn, qn, rn, sn so nguyên dương (vì a, b > 1) Bat thúc sau thu đưoc tù (3.49), (3.48), (3.51) tính đơn đi¾u cna σ: (ap)pn = σ(a)pn = σ(apn ) < σ(bqn ) = σ(b)qn tương tn ta có (ap )rn > σ(b)sn Do đó: /qn (ap)pn < σ (b) < (ap)rn /sn ,n∈N đieu (3.50) ngu ý rang: b σ (b) = (ap)loga = bp Tù α = ap β = bp (3.47) Trong trưịng hop σ giam nghiêm ng¾t l¾p lu¾n hồn tồn tương tn Cuoi cùng, (3.45) đưoc kéo theo tù tính thuan nhat cna phương trình (3.44) Bây giị san sàng chúng minh đ%nh lý chính: Đ%nh lí 3.5.2 Gia su rang ϕ : R+ → R+ hàm tăng nghiêm ng¾t ϕ (0) = Đe lϕ, ǁ ǁϕ m®t khơng gian đ%nh chuan (vái chuan (3.42)) đieu ki¾n can có Σc > p ≥ cho: ϕ(t) = c.tp vái t ≥ Chúng minh Trong muc chi rang ϕ−1 phai thoa mãn h¾ (3.43) R+ H¾ khơng cịn vói a = 1, b = 3, σ = ϕ−1 Tù log2/log3 vô ty, áp dung đ %nh lý 3.5.1 thu đưoc ϕ−1(u) = duq, u ∈ (0, ∞) o d > q ƒ= Do ϕ(0) = 0, ϕ(t) = ctp R+, c = d−1/q p = q1 Do (3.42) quy ve (vói moi c) chuan thơng thưịng lp, p ≥ Vì v¾y cuoi ϕ(t) = c.tp R+, o c > p ≥ 3.6 3.6.1 Các ý Nghi¾m cua h¾ tien Schrăoder Cỏc nghiắm cna hắ tien Schroder (3.11) khụng thoa mãn bat kỳ phương trình Schroder (3.10) Đe thay oc ieu ny ta lay mđt X, mđt hm f : X → X m®t quy đao C ⊂ X ho¾c khơng chúa điem co %nh cna f hoắc chỳa mđt iem co %nh bắc chan Chúng ta đ%nh nghĩa hàm σ : X → R σ (x) = (−1)p−q vói x ∈ C σ (x) = vói x ∈ X\C e p q so nguyên dương nho nhat cho fp (x) = fq (x0) vói m®t x0 ∈ C co đ%nh cho trưóc Các phương trình (3.12) (3.13) đưoc thoa mãn vói ω(x) đưoc đ%nh nghĩa bang -1 C bang X\C Theo %nh lý 3.2.1, l mđt nghiắm cna (3.11) Nhng khơng thoa mãn (3.10) vói bat kỳ s 3.6.2 Các tE cau tăng Bài tốn sau vói tn cau tăng đưoc giai quyet m®t phan boi M.Laczkovich – Sz Révesz [18] Cho f1, , fn ánh xa giao hốn tù m®t t¾p A bat kỳ vào fi◦fj = fj◦fi Vói ϕ : A → R, đ¾t ∆f ϕ (x) = ϕ (f (x))−ϕ(x) Quan h¾ sau Σ ∆f ∆ fnϕ = có ngu ý rang ton tai hàm ϕi : A → R cau vói fi cho ∆f iϕi = thoa mãn ϕ = ϕ1 + ϕ2 + + ϕn? Các tác gia đưa m®t câu tra lịi rõ ràng cho câu hoi trưòng hop sau: (1) ϕ hàm b% ch¾n fi ánh xa bat kỳ (2) ϕ ∈ Lp, ≤ p < ∞ fi ánh xa đo đưoc vói đ® đo khơng dịi rac (3) ϕ ∈ L∞ (vúi khụng gian đ o -huu han (X, S,à) ) fi ánh xa đo đưoc không ỏnh xa cỏc cú đ o dng thnh có đ® đo khơng 3.6.3 Đ%nh lý 3.3.4 Cho u ∈ [0, 1] f : [u, 1] → [0, 1] hàm tăng nghiêm ng¾t cho < f (x) < x (u, 1), f (1) = 1, f (0) = (neu u = 0) Khi u = 0, phương thúc mo r®ng mà đe c¾p đen chúng minh cna đ%nh lý 3.3.4 ỳng vúi phng trỡnh Schrăoder (3.20) (f (x)) = 2ϕ(x) (3.52) sau Lay m®t x0 ∈ (0, 1) đ¾t xk = fk (x0) , Xk = [xk+1, xk] , k ∈ Z S ∞ (0, 1) Xk ChQn mđt hm giam nghiờm ngắt : X0 → [1, 2] bat kỳ mo = k=− ∞ r®ng lên (0,1] bang đ%nh nghĩa ϕ(x) = 2k ϕ0Σ f −k (x) , x ∈ Xk , k ∈ Z, ϕ(1) = Hàm (giam nghiêm ng¾t) ϕ : [0, 1] → R+ thoa mãn (3.52) phan tu sinh cna m®t s.A T có chéo f Khi u > 0, theo cỏch thỳc cho ta mđt nghiắm liờn tuc, giam nghiờm ng¾t cna (3.52) [u, 1) Nhung can lay x0 = u gia su rang [u, 1) = ∞ S X−n n= (Trong ca hai trũng hop nghiắm thu oc phu thuđc vo mđt hàm bat kỳ) 3.6.4 Các phương trình vi phân có l¾ch Đe minh HQA cho q trình quy phương trình vi phân có l¾ch đưa ví du sau (cái theo F.Neuman [20]) Ví dn Phương trình vi phân: y j (x) = ky (xp ) , x ∈ (1, ∞) k ƒ= 0, p ∈ (0, 1) đưac bien đői thành z j (t) = g(t).z(t + 1) vái phép đői bien t = α(x), y(x) = z(t) = (z ◦ α) (x), α(x) = − (log log x) / log p l mđt nghiắm cua phng trỡnh (xp) = α(x) + g(t) = −k log p exp [exp(−t log p) − t log p] 3.6.5 Áp dnng đ%nh lý 3.4.5 Chúng ta đưa m®t ví du mà đ%nh lý 3.4.5 đưoc áp dung (Neuman [21]) Ví dn a Phương trình vi phân: y j (x) = y(x1/2 ) + y(x4 ), x ∈ X = (1, ∞) Trá thành m®t phương trình vái l¾ch hang t – 1, t + bang phép đői bien t = α(x) Theo đ%nh lý 3.4.5(a) vái f1 (x) = x1/2 f2 (x) = x4 có f1 = g −1 f2 = g g : X → X, g(x) = x2 Hàm α nghi¾m cua phương trình α(x1/2 ) = α(x) + 1, thu®c láp C X, αj (x) > b Phương trình vi phân: y j (x) = y(x1/2 ) + y(x3 ), x ∈ X Cũng có the đưa ve phương trình vái l¾ch hang t− K1 log 2, t + K1 log 3, K1 > t¾p G = {(x, xa) : a = 2p3q, p, q ∈ Z, x ∈ X} trù m¾t X Hàm H (xem (3.39)) đưac cho bái H(x, y) = H(x, xa ) = (xa )j = a.xa−1 G bao gom m®t má r®ng trơn H* lên X đưac xác đ%nh bái H ∗ (x, y) = (y log y) / (x log x) vái (x, y) ∈ X Hap nhat H* vái bien đau tiên thu đưac α(x) = K1 log log x + K2, K1 > 0, theo đ%nh lý 3.4.5(b) phép bien đői mong muon 3.6.6 Đ%nh lý 3.5.2 Khang đ%nh cna đ%nh lý 3.5.2 cho không gian Lϕ gom hàm ϕ-kha tích x : [0, 1] → R vói chuan: ǁxǁϕ = ϕ−1  ϕ (|x(u)|) du  ∫  Vì v¾y, khơng gian Lϕ thnc chat m®t khơng gian Lp vói p– chuan thơng thưịng Hơn nua, đe ǁ ǁ RN ; N ≥ đưoc cho boi: ǁxǁ = ψ−1 N Σ i= ϕ (|xi|)Σ Vói ϕ, ψ : R+ → R+, ψ hàm tăng nghiêm ngắt l mđt chuan ieu kiắn can l (t) = c1.tp, ψ(t) = c2tp, c1, c2 > 0, p > 3.6.7 Hắ phng trỡnh Schrăoder Hắ cỏc phng trỡnh Schrăoder (x + p) = a(x) (x + q) = bϕ(x) (3.53) đưoc xem xét boi W.E.Clark – A.MuKherjea [6] Các hang so a, b so dương p/q so vơ ty M¾nh đe 3.6.1 Neu có nghi¾m khác khơng ϕ : R → R cua hắ (3.53) m dng tai mđt iem, b % chắn trờn mđt khoang thỡ ap = bq ao lai, neu ap = bq MQI nghi¾m đo đưac Lebesgue cua (3.53) đeu tương đương vái ϕ(x) = c.ax/p 3.6.8 Phng trỡnh Schrăoder, Abel v phng trỡnh vi phõn Cỏc phng trỡnh Schrăoder v Abel oc liờn ket vúi phương trình vi phân nonautonomous x (n + 1) = fn (x(n)) , x(0) = x đưoc chi boi PH Diamond [7] Trong tiên đe dưói se dùng dãy xap xi liên tiep tőng quát vói so hang F0 (x) = x, Fn+1 (x) = Fn (fn+1 (x)) , n ∈ N (3.54) e fn+1 (x) thu®c mien xác đ%nh cna Fn , đ¾t Uδ = {x ∈ C : |x| < δ} , δ > M¾nh đe 3.6.2 Cho fn : Uδ → C hàm giai tích Uδ, |fn(x)| < |x| , ∀x ∈ Uδ\ {0} vái khai trien: ∞ Σ fn(x) = s(n).x + ai(n).xi i=2 Và < p ≤ |s(n)| ≤ r < 1, n ∈ N, p ≤ r Gia su rang dãy {fn(x)}n∈N h®i tn đeu Uδ tái hàm f ton tai giái han: n Y Fn (x) s(j)−1 (3.55) σ(x) = lim n→∞ j= h®i tn đeu Uη ⊂ Uδ σ mđt nghiắm giai tớch cua phng trỡnh Schrăoder (f (x)) = s.σ(x) Uη s = f j (0) = s(n) lim 3.6.9 n→∞ NEa nhóm xap xi liờn tnc Phng trỡnh Schrăoder (f (x)) 2= σ(x), f (x) = (x + x2 ), x ∈ X = [0, 1] chúa nghi¾m σ(x) = 2n f n (x), x ∈ X tăng nghiêm ng¾t X Tương tn, lim hàm π(y) = lim n→∞ n→∞ n 32 Σ n Σ f 1− y xác đ%nh giam nghiêm ng¾t R+ thoa mãn phương trình Poincaré π Σ y = f (π(y)) , y ∈ R+ Ca hai hàm có the đưoc dùng đe xác đ%nh nua nhóm xap xi liên tuc (xem muc 1.7) chúa nua Σt nhóm rịi rac {f n , n ∈ N} túc F t = σ −1 ◦ (2−t σ) F t = π ◦ π −1 + , 2t ∈ R Σ Đieu gan vói tốn đưoc xem xét Karlin – McGregor [17] Hai nua nhóm se đong nhat (0, 1) neu chi neu hàm K(y) = ypσ (π(y)) , p = log 2/ log(3/2) (3.56) hang so Tuy nhiên, m¾c dù K(y) = 1.213205784311 vói MQI y > giá tr% cna K(y) se thay đői vói y tù so th¾p phân thú 13 tro Các tính chat cna K trưòng hop f phúc tőng quát đưoc nghiên cúu tri¾t đe boi S Dubuc [8] ngưịi gQI K hàm Karlin – McGregor giai thích đưoc hi¾n tưong thay đői nho cna hàm (3.56) 3.6.10 Các phương trình Abel đong thài M.C.Zdun [29] xem xét phương trình Abel đong thịi ϕ (f (x)) = ϕ(x) + ϕ (g(x)) = ϕ(x) + s (3.57) Vói x ∈ X = (0, a), < a ≤ ∞ Trong trưòng hop sau (i) f g đong phôi giao hoán tù X vào X fm(x) ƒ= gn(x) X, o (m, n) ∈ Z2\{(0, 0)} Cho L t¾p điem giói han cna C(x) = {f m ◦ g n (x) : m, n ∈ Z} vói x ∈ X Trong Zdun [29] chúng minh oc rang L khụng phu thuđc vo X v hoắc L t¾p khơng đâu trù m¾t hồn tồn ho¾c L = [0, a] M¾nh đe 3.6.3 Gia su (i) đúng, có chs m®t s ∈ R cho hắ (3.57) cú mđt nghiắm liờn tnc : X → R, s vơ ty nghi¾m liên tnc cua (3.57) nhat sai khác m®t hang so cđng, l n iắu v ỏnh xa L ∩ X vào R Hơn nua, kha ngh%ch neu chs neu L = [0, a] Ket lu¾n Trong luắn ny em ó trỡnh by nhung nđi dung sau: Tőng hop đay đn kien thúc ve tính chat nghi¾m cna phương trình hàm tuyen tính Tù áp dung vào vi¾c nghiên cúu tính chat nghi¾m cna cỏc phng trỡnh Schrăoder v Abel Cỏc tớnh chat quy nghi¾m cna phương trình Schroder Abel tính tính loi (lõm), tính kha vi, tính đơn đi¾u, tính trơn, tính giai tích, cna nghi¾m đưoc the hi¾n đay đn lu¾n văn Trình bày m®t so áp dung liên quan cna phương trình Schrăoder v Abel Trong luắn ny ó a hai ví du tiêu bieu, m®t ví du áp dung phương trình h¾ phương trình Abel đe tìm phép bien đői đưa phương trình vi phân vói l¾ch bien ve phng trỡnh vi phõn vúi lắch hang, mđt vớ du ỏp dung phng trỡnh v hắ phng trỡnh Schrăoder e chỳng minh mđt ắc tớnh cna chuan cỏc dóy so thnc ho¾c phúc khơng gian lp M¾c dù so lưong ví du đưa lu¾n văn khơng nhieu the hi¾n đưoc muc tiêu kien thúc mà lu¾n văn đe c¾p tói, the hi¾n đưoc m®t so van đe thiet thnc tốn HQ c giai tích 70 Tài li¾u tham khao [1] ACZÉL J (1966), Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, NewYork [2] BARNA B (1960), Uber die Iteration reeller Funktionen I, II, Math Debrecen [3] BODEWADT U.T (1944), Zur Iteration reeller Funktionen, Math Zeitschr [4] BARVÍNEK E (1961), On the distribution of zeroes both of solutions to the linear differential equation yJJ = Q(t)y and of their derivatives, Acta Fac Nat Univ Comenian [5] CHOCZEWSKI J (1963), On differentiable solutions of a functional equation, Ann Polon Math [6] CLARK W.E - MUKHERJEA A [1] (1980), Comments on a functional equation, Real Anal Exchange [7] DIAMOND PH (1981), The Schrăoder and Abel functional equation and nonautonomous differential equations, preprint, University of Queensland [8] DUBUC S (1982), Etude théorique et numérique de la fonction de KarlinMcGregor, Journal d’Anal Math [9] DARSOW W.F - FRANK M.J (1983), Associative functions and AbelSchrăoder systems, Publ Math Debrecen [10] HARTMAN PH (1960), On local homeomorphims of Euclidean spaces, Bol Soc Mat Mexicana [11] HARTMAN PH (1964), Ordinary differential equations, John Wiley & Sons NewYork [12] FATOU P (1919), Mémoire sur les équations fonctionnelles, Bull Soc Math France 71 TÀI LI›U THAM KHAO [13] KOENIGS G (1884), Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann Sci Ec Norm Sup [14] KUCZMA M (1973), Quelques observations propos de lộquation prộSchrăoder, Ann Polon Math [15] KUCZMA M (1974), Note on linearization, Ann Polon Math [16] KUCZMA M (1985), An introduction to the theory of funcional equations and inequalities Cauchy’s equation and Jensen’s inequality, Polish Scientific Publishers, Warsaw [17] KARLIN S - MCGREGOR J (1968), Embedding iterates of analytic functions with two fixed points into continuous groups, Trans Amer Math Soc [18] LACZKOVICH M - ZÉVESZ SZ (1986), Decomposition into periodic func- tions belonging to a given Banach space, manuscript, University of Budapest [19] MATKOWSKI J (1983), On a characterization of norms in Lp and functional equations, Proceedings of the International Conference on Functional Equations and Inequalities [20] NEUMAN F (1981), On transformations of differential equations and systems with deviating argument, Szechoslovak Math [21] NEUMAN F (1982), Simultaneous solutions of a system of Abel equations and differential equations with several deviations, Szechoslovak Math [22] ROTA G C (1990), Interative Function Equations, volume 32, Cambridge NewYork [23] SIEGEL C L (1956), Vorlesungen uber Himmelsmechanik, Spinger Verlag Berlin [24] SMAJDOR W (1968), Local analytic solutions of the functional equation ϕ(z) = h (z, ϕ[f (z)]) in multidimensional spaces, Aequationes Math [25] SENETA E (1969), On Koenigs’ ratios for iterates of real functions, J Austral Math Soc [26] STERNBERG S (1957), Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer J Math 72 [27] STERNBERG S (1958), On structure of local homeomorphisms of euclidean n-spaces, Amer J Math [28] TARGONSKI GY (1970), P 63, Aequations Math [29] ZDUN M.C (1989), On simultaneous Abel’s equations, Aequations Math ... trình hàm tuyen tính Phương trình hàm tuyen tính tong qt Phương trình hàm tőng qt có dang: F (x, ϕ(x), ϕ (f1 (x)) , , ϕ (fn (x))) = ϕ hàm chưa biet (hàm an) hàm lai hàm cho, chi so n o phương trình. .. tuyen tính quan TRQNG đeu thu®c phương trình Schroder phương trình Abel Phương trình Schrăoder l phng trỡnh cú dang: (f (x)) = s.(x) (1.3) s m®t thùa so vơ hưóng Phương trình Abel phương trình có... 33 2.2 Phương trình Abel 36 2.2.1 Nghi¾m loi cna phương trình Abel 36 2.2.2 Nghi¾m kha vi cna phương trình Abel 37 2.2.3 Nghi¾m giai tích cna phương trình Abel 40