Luận văn thạc sĩ phương pháp hàm số ngược để xây dựng và phát triển phương trình đại số

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN VĂN DŨNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SO NGƯeC ĐE XÂY DUNG VÀ PHÁT TRIEN PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS NGUYEN MINH TUAN Hà N®i - Năm 2013 Mnc lnc Lài nói đau Bang kí hi¾u Kien thÉc chuan b% 1.1 Khái ni¾m hàm so 1.1.1 Đ%nh nghĩa 1.1.2 Đo th% hàm so 1.2 Tính đơn đi¾u cna hàm so 1.2.1 Đ%nh nghĩa 1.2.2 Đieu ki¾n đn cho tính đơn đi¾u 1.3 Hàm so ngưoc 1.3.1 Đ%nh nghĩa 1.3.2 Đo th% cna hàm so ngưoc 1.3.3 Đieu ki¾n đn đe m®t hàm so có hàm so ngưoc 1.3.4 Ví du 1.4 Phương trình đai so m®t an .10 1.4.1 Đ%nh nghĩa 10 1.4.2 Nghi¾m cna phương trình 11 1.4.3 Ví du 11 1.5 Phương trình tương đương 11 1.5.1 Đ%nh nghĩa 11 1.5.2 Phép bien đői tương đương 12 1.6 Phương trình h¾ qua .12 1.6.1 Đ%nh nghĩa 12 1.6.2 Phép bien đői h¾ qua 12 1.7 Phương trình vơ ty 12 1.7.1 Đ%nh nghĩa 12 1.7.2 Ví du 13 Xây dEng m®t so phương trình đai so giai bang phương pháp hàm so ngưac 14 2.1 Cơ so cna vi¾c v¾n dung phương pháp hàm ngưoc vào xây dnng phương trình 14 2.2 M®t so dang phương trình đai so mà có the giai bang phương pháp hàm so ngưoc 15 2.2.1 Dang thú nhat .15 2.2.2 Dang thú hai 15 2.2.3 Dang thú ba 16 2.2.4 Dang thú tư 17 2.2.5 Dang thú năm .18 2.3 Các bưóc thnc hi¾n giai phương trình bang phương pháp hàm so ngưoc .18 Các tốn liên quan 20 Ket lu¾n 67 Tài li¾u tham khao 68 Lài nói đau Hàm so giu m®t v% trí trung tâm chương trình tốn o trưịng phő thơng HQc sinh nh¾n biet đ%nh nghĩa nam m®t so tính chat ban cna hàm so o cuoi cap Trung HQc so, HQc Tốn o b¾c Trung HQc phő thơng khái ni¾m hàm so đưoc dan hồn thi¾n có cơng cu mói đao hàm đe nghiên cúu hàm so HQc sinh có qui trình đe khao sát đưoc hàm so ban Bên canh vi¾c khao sát đưoc hàm so ban, đoi vói HQc sinh khá, gioi có the goi ý, hưóng dan đe HQc sinh nam vung tính chat cna hàm so, úng dung chúng giai quyet m®t so tốn khác Vi¾c nam vung tính chat cna hàm so giúp giáo viên có cách nhìn tồn di¾n ve hàm so khai thác đưoc moi liên h¾ giua hàm so vói m®t so tốn liên quan, đong thịi có the sáng tao tốn mói Van đe giai phương trình đai so nói chung phương trình vơ ty nói riêng, biet đen m®t so cách giai khác như: phép bien đői tương đương, phép dùng an phu, phép dùng bien đői liên hop, phương pháp đánh giá Tuy nhiên vói moi phương pháp giai thưịng chi toi ưu vói tùng trưịng hop cu the M¾t khác sâu nghiên cúu ve hàm so ngưoc cna m®t hàm so, tơi nh¾n thay có sn liên quan m¾t thiet giua sn tương giao cna hai hàm so ngoc vúi so nghiắm cna mđt phng trỡnh vụ ty mà có hai ve hai hàm so ngưoc Do v¾y vi¾c giai phương trình vơ ty bang phương pháp hàm so ngưoc m®t van đe múi v can tỡm hieu Mắc dự l mđt phng pháp mói, xong nam vung đưoc moi quan h¾ giua chúng phương pháp hi¾u qua Trong đe thi Đai HQc thi cHQN hQc sinh gioi tốn dang ln đưoc khai thác Vói mong muon áp dung nhung kien thúc HQc chương trình phő thơng tìm hieu sâu thêm phương pháp giai tốn sơ cap nên tơi manh dan cHQN đe tài nghiên cúu cho lu¾n văn tot nghi¾p cna là: “Phương pháp hàm so ngưac đe xây dEng phát trien phương trình đai so” Ban lu¾n văn gom ba chương, lịi nói đau ket lu¾n Chương Kien thÉc chuan b%: Nhi¾m vu cna chng ny l hắ thong lai mđt so kien thúc ban nhat ve hàm so phương trình đai so làm tien đe đe xây dnng n®i dung cna chương Chương Xây dEng m®t so phương trình đai so giai bang phương pháp hàm so ngưac: Trong chương tác gia xây dnng so cna vi¾c áp dung hàm so ngưoc vào giai tốn, đong thịi xây dnng giai quyet năm tốn tőng quát cna phương trình đai so mà giai bang phương pháp hàm so ngưoc Chương Các toán liên quan: Trong chương giói thi¾u tốn cu the minh HQA cho toán tőng quát đe c¾p đen o chương Sau moi tốn minh hQA, tác gia có nhung nh¾n xét ve cách giai sáng tác m®t phương mói tù m®t phương trình biet Đe hồn thành ban lu¾n văn này, tơi xin chân thành cam ơn tói ngưịi thay kính men PGS.TS Nguyen Minh Tuan dành nhieu thịi gian hưóng dan, chi day suot thịi gian xây dnng đe tài cho đen hoàn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói thay giáo khoa Tốn – Cơ – Tin HQc, Ban giám hi¾u, Phịng sau đai HQc trưịng ĐHKHTN – ĐHQGHN tao đieu ki¾n thu¾n loi suot thịi gian HQc t¾p tai trưịng M¾c dù có nhieu co gang thịi gian lnc cịn han che nên ban lu¾n văn khơng tránh khoi thieu sót, rat mong đưoc thay ban góp ý xây dnng Tơi xin chân thành cam ơn Hà N®i, ngày 18 tháng 11 năm 2013 HQc viên Nguyen Văn Dũng Bang kí hi¾u viet tat R t¾p so thnc R∗+ t¾p so thnc khác R t¾p so thnc dương R− t¾p so thnc âm N t¾p so tn nhiên N∗ t¾p so tn nhiên khác Z t¾p so nguyên + Z t¾p so nguyên dương − Z t¾p so nguyên âm Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 Khái ni¾m hàm so Đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.1 Cho mđt hap khỏc rng D R Hm so f xỏc %nh trờn D l mđt quy tac tương úng mői so x thu®c D vái m®t chs mđt so, kớ hiắu l f (x); so f (x) đưac GQI giá tr% cua hàm so f tai x Vắy hm so l mđt ỏnh xa tự t¾p D cua R vào R viet f :D R x f (x) ã Tắp D oc GQI t¾p xác đ%nh (hay mien xác đ%nh), x đưoc GQI bien so hay đoi so cna hàm f ã Tắp hop tat ca cỏc giỏ tr% f (x) x chay qua D đưoc GQI mien giá tr% cna hàm so f • Khi viet y = f (x) x đưoc GQI bien so đc lắp, y GQI l bien so phu thuđc 1.1.2 Đo th% hàm so Đ%nh nghĩa 1.2 Đo th% cua hàm so y = f (x) xác đ%nh D t¾p hap tat ca điem M (x; f (x)) trờn mắt phang TQa đ vỏi MQI x thuđc D 1.2 1.2.1 Tớnh n iắu cua hm so Đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.3 Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh khoang (a; b) a) Hàm so y = f (x) đưac GQI đong bien (tăng) (a; b) neu ∀x1, x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) b) Hàm so y = f (x) đưac GQI ngh%ch bien (giam) (a; b) neu ∀x1, x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) Chú ý 1.1 Hàm so đong bien ho¾c ngh%ch bien (a; b) đưoc GQI chung hàm so đơn đi¾u (a; b) 1.2.2 Đieu ki¾n đu cho tính đơn đi¾u Đ%nh lí 1.1 Cho hàm so y = f (x) có đao hàm K a) Neu f J (x) > vái MQI x thu®c K hàm so y = f (x) đong bien K b) Neu f J (x) < vái MQI x thu®c K hàm so y = f (x) ngh%ch bien K Sau ta có m®t đ%nh lí mo r®ng cho đ%nh lí sau: Đ%nh lí 1.2 Cho hàm so y = f (x) có đao hàm K a) Neu f J (x) ≥ 0, ∀x ∈ K f J (x) = chs tai m®t so huu han điem hàm so y = f (x) đong bien K b) Neu f J (x) ≤ 0, ∀x ∈ K f J (x) = chs tai m®t so huu han điem hàm so y = f (x) ngh%ch bien K 1.3 1.3.1 Hàm so ngưac Đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.4 Cho hàm so f có t¾p xác đ%nh D(f ) có t¾p giá tr% V (f ) Hàm so g xác đ%nh V (f ) đưac GQI hàm so ngưac cua hàm so f neu (f0 g)(x) = x, ∀x ∈ V (f ) (g0 f )(x) = x, ∀x ∈ D(f ) Nh¾n xét 1.1 Tù đ%nh nghĩa ta có nh¾n xét sau a) Neu hàm so y = f (x) hàm so ngưoc cna hàm so y = g(x) hàm so y = g(x) hàm so ngưoc cna hàm so y = f (x) b) Neu y = f (x) y = g(x) hai hàm so ngưoc t¾p xác đ%nh cna hàm so t¾p giá tr% cna hàm so ngưoc lai 1.3.2 Đo th% cua hàm so ngưac Đ%nh lí 1.3 Trong hắ TQa đ Oxy o th% cua hai hm so ngưac y = f (x) y = g(x) đoi xúng vái qua đưàng phân giác cua góc phan tư thú nhat y = x Chúng minh Xét hàm so f (x) có t¾p xác đ%nh D(f ), có t¾p giá tr% V (f ) có đo th% G(f ) Gia su f có hàm so ngưoc g Xét điem M (a; b) điem M J (b; a) đoi xúng vói M qua đưịng thang y = x Hình 1.1: Ta có: M ∈ G(f ) ⇔ b = f (a) ⇔ g(b) = g(f (a)) ⇔ g(b) = a ⇔ M J ∈ G(g) Đieu chúng to đo th% hàm so y = f (x) y = g(x) đoi xúng qua đưòng thang y = x H¾ qua 1.1 Hai hàm so y = f (x) y = g(x) hai hàm so ngưac giao điem (neu có) cua hai đo th% hàm so y = f (x) y = g(x) nam đưàng thang y = x Hình 1.2: 1.3.3 Đieu kiắn u e mđt hm so cú hm so ngac Đ%nh lí 1.4 MQI hàm so đong bien hay ngh%ch bien t¾p K đeu có hàm so ngưac Chúng minh Gia su hàm so y = f (x) xác đ%nh đong bien K có t¾p giá tr% tương úng T Do T t¾p giá tr% cna y = f (x) nên vói MQI y ∈ T đeu ton tai x ∈ K đe có f (x) = y Bây giị ta chúng minh x nhat Th¾t v¾y, ta gia su ton tai xJ ∈ K, x ƒ= xJ mà f (xJ ) = y Khi đó, xay hai trưòng hop: a) Neu x > xJ, ta suy f (x) > f (xJ) ⇔ y > y đieu vô lý b) Neu x < xJ, ta suy f (x) < f (xJ) ⇔ y < y đieu vơ lý Hai trưịng hop đeu vô lý, nên ton tai nhat x ∈ K đe f (x) = y Do theo đ%nh nghĩa cna hàm so ngưoc, ta suy hàm so y = f (x) có hàm so ngưoc Nh¾n xét 1.2 Trưòng hop hàm so ngh%ch bien đưoc chúng minh tương tn 1.3.4 Ví dn Ví dn 1.1 Hàm so g(x) = x− hàm so ngưoc cna hàm so f (x) = 2x + 1, f (g(x)) = 2g(x) + = x, g(f (x)) = f (x) − = x Ví dn 1.2 Hàm so f (x) = 2x3 + có hàm so ngưoc g(x) = x − f (g(x)) = 2g3(x) + = x, g(f (x)) = f(x) − = x Nh¾n xét 3.55 Hình (3.19) minh HQA cho ket qua cna phương trình (3.102) Nh¾n xét 3.56 Phương trình (3.102) khơng cho o m®t dang phương trình tőng quát nêu Chương 2, nhiên bang bien đői đơn gian ta đưa phương trình (3.102) ve dang (3.103), tù ta thay rang phương trình (3.103) thuđc dang thỳ nm (2.8) Nhắn xột 3.57 Do phương trình (3.103) có hai ve hai hàm so ngưoc cna nên ta su dung phương pháp hàm so ngưoc đe giai quyet Nh¾n xét 3.58 Tù (3.102), neu ta su dung phép đ¾t an phu x = t − tù phương trình (3.102) ta nh¾n đưoc phương trình sau √ t2 − 24t + 39 = 21 − 3t (3.106) Nh¾n xét 3.59 Tù nh¾n xét trên, bang cách thay t boi x ta có tốn mói sau Bài tốn 3.27 Giai phương trình sau √ x2 − 24x + 39 = 21 − 3x (3.107) Nh¾n xét 3.60 Phương trình (3.107) khơng the đưa ve m®t dang phương trình hàm ngưoc trình bày Chương đưoc, nhiên theo Nh¾n xét (3.58) o ta có the ket hop dùng an phu phương pháp hàm so ngưoc đe giai phương trình Lài giai Phương trình (3.107) xác đ%nh vói MQI x ∈ (−∞; 7] Ta có phương trình (3.107) tương đương vói phương trình sau √ (x − 1)2 − 12(x − 1) + 36 = 18 − 3(x − 1) (3.108) Đ¾t t = x − 1, tù phương trình (3.108) ta nh¾n đưoc phương trình sau √ t2 − 12t + 36 = 18 − 3t, t ∈ (−∞; 6] (3.109) Phương trình (3.109) phương trình (3.102) giai o trên, phương trình (3.109) có nghi¾m t1 = 3; t2 = Tù ket qua suy phương trình (3.107) có nghi¾m x1 = 4; x2 = Nh¾n xét 3.61 Phương trình (3.107) m®t nhung phương trình đưoc sáng tác tù phương trình (3.102), bang cách tù phương trình (3.102)ta có the sáng tác nhieu phương trình khác nua Ví du phương trình sau: √ Bài t¾p 3.49 Giai phương trình x2 − 10x − 25 = 15 − 3x √ Bài t¾p 3.50 Giai phương trình 4x2 − 24x + 36 = 18 − √ 6x Bài t¾p 3.51 Giai phương trình 4x2 − 16x + 25 = 15 − 6x Bài tốn 3.28 Giai phương trình sau √ x2 − 2x + = − 2x (3.110) Lài giai Đieu ki¾n xác đ%nh cna phương trình (3.110) x ∈ (−∞; Ta có phương trình (3.110) tương đương vói phương trình sau (x − 1)2 Xét hàm so −2 − = √ − 2x + ] (3.111) f (x) = (x − 1)2 − −2 Hàm f có t¾p xác đ%nh R nên xác đ%nh (−∞; Ta có đao hàm cna hàm f f (x) = − x J De thay f J (x) > vói MQI x ∈ (−∞; ] ] (x − 1)2 − 1 Nên hàm so f (x) = đong bien (−∞; ] −2 (x − 1)2 − Do hàm so f (x) = −2 √ ln có hàm so ngưoc hàm so g(x) = − − 2x + (−∞; ] Đieu chúng to phương trình (3.111) có hai ve hai hàm so ngưoc nên theo Đ%nh lý 2.1 nghi¾m cna phương trình (3.111) nghi¾m cna phương trình sau (x − 1)2 − 1 = x, x ∈ (−∞; ] −2 phương trình Ta có (3.112) tương đương vói x2 − 2x = −2x (3.112) (3.113) Hình 3.20: Giai phương trình (3.113) ta đưoc nghi¾m x = So sánh vói đieu ki¾n x ∈ (−∞; ], phương trình (3.110) có nghi¾m x = Nh¾n xét 3.62 Hình (3.20) minh HQA cho ket qua cna phương trình (3.110) Nh¾n xét 3.63 Tù phương trình (3.110) ta có the sáng tác đưoc m®t so phương trình sau đây: √ Bài t¾p 3.52 Giai phương trình x2 + = 2x − √ Bài t¾p 3.53 Giai phương trình x2 − 4x + = √ − 2x Bài t¾p 3.54 Giai phương trình 4x2 + = 4x − Bài toán 3.29 Giai phương trình sau 2x2 − 4x + = − 3x (3.114) Lài giai Đieu ki¾n xác đ%nh cna phương trình (3.114) x ∈ (−∞; ] Ta có phương trình (3.114) tương đương vói phương trình sau − 3x (x − 1)2 + (3.115) −3 − Xét hàm so = f (x) = (x − 1)2 − −3 Hàm f có t¾p xác đ%nh R nên xác đ%nh (−∞; Ta có đao hàm cna hàm f f J (x) =− ] De thay f J (x) > vói MQI x ∈ (−∞; Nên hàm so ln đong bien (−∞; ] Do (−∞; ] hàm so 4(x − 1) ] (x − 1)2 − f (x) = −3 f (x) = (x − 1)2 − −3 ln có hàm so ngưoc hàm so g(x) = − − 3x + Đieu chúng to phương trình (3.115) có hai ve hai hàm so ngưoc Hình 3.21: nên theo Đ%nh lý 2.1 nghi¾m cna phương trình (3.115) nghi¾m cna phương trình sau (x − 1)2 − 2 = x, x ∈ (−∞; ] −3 (3.116) Ta có (3.116) tương đương vói phương trình (3.117) 2x2 − x = Giai phương trình (3.117) ta đưoc nghi¾m x = 0,2x = V¾y phương trình (3.114) có t¾p nghi¾m S = ,0; , Nh¾n xét 3.64 Hình (3.21) minh HQA cho ket qua cna phương trình (3.114) Nh¾n xét 3.65 Tù phương trình (3.114) ta có the sáng tác đưoc m®t so phương trình sau đây: 3x − Bài t¾p 3.55 Giai phương trình 2x2 + = − 2x2 − 8x + = Bài t¾p 3.56 Giai phương trình 3x √ Bài t¾p 3.57 Giai phương trình 8x2 − 8x + = − 3x Bài tốn 3.30 Giai phương trình sau − 5x 3x2 − 12x + 18 = (3.118) Lài giai Đieu ki¾n xác đ%nh cna phương trình (3.118) x ∈ (−∞; Ta có phương trình (3.118) tương đương vói phương trình sau (x − 2) −5 − 4 − 5x = + Xét hàm so f (x) = (x − 2)2 − −5 Hàm f có t¾p xác đ%nh R nên xác đ%nh (−∞; Ta có đao hàm cna hàm f f J (x) =− De thay f J (x) > vói MQI x ∈ (−∞; Nên hàm so ] f (x) = 6(x − 2) (x − 2)2 − −5 ] ] (3.119) đong bien (−∞; Do khoang (−∞; ] 45 ] hàm so (x − 2) − −5 f (x) = ln có hàm so ngưoc hàm so g(x) = − − 5x + Đieu chúng to phương trình (3.119) có hai ve hai hàm so ngưoc Hình 3.22: nên theo Đ%nh lý 2.1 nghi¾m cna phương trình (3.119) nghi¾m cna phương trình sau (x − 2)2 − 4 = x, x ∈ (−∞; ] −5 (3.120) 3x2 − 7x + = (3.121) Ta có (3.120) tương đương vói phương trình Do phương trình (3.121) vơ nghi¾m nên phương trình (3.118) vơ nghi¾m Nh¾n xét 3.66 Hình (3.22) minh HQA cho ket qua cna phương trình (3.118) Bài tốn 3.31 Giai phương trình sau √ x2 − 4x + = − 3x (3.122) Lài giai Đieu ki¾n xác đ%nh cna phương trình (3.122) x ∈ (−∞; ] Ta có phương trình (3.122) tương đương vói phương trình sau Xét hàm so (x − 2)2 −3 − = √ − 3x + f (x) = (x − 2)2 − −3 Hàm f có t¾p xác đ%nh R nên xác đ%nh (−∞; Ta có đao hàm cna hàm f f J (x) =− 2(x − 2) (3.123) ] De thay f J (x) > vói MQI x ∈ (−∞; ] Nên hàm so đong bien (−∞; ] f (x) = (x − 2)2 − −3 Do hàm so f (x) = (x − 2)2 − −3 √ ln có hàm so ngưoc hàm so g(x) = − − 3x + (−∞; ] Đieu chúng to phương trình (3.123) có hai ve hai hàm so ngưoc Hình 3.23: nên theo Đ%nh lý 2.1 nghi¾m cna phương trình (3.123) nghi¾m cna phương trình sau (x − 2)2 − 4 = x, x ∈ (−∞; ] −3 (3.124) Ta có (3.124) tương đương vói phương trình (3.125) x2 − x = Giai phương trình (3.125) ta đưoc nghi¾m x = 0, x = So sánh vói đieu ki¾n x ∈ (−∞; ], phương trình (3.122) có t¾p nghi¾m S = {0; 1} Nh¾n xét 3.67 Hình (3.23) minh HQA cho ket qua cna phương trình (3.122) Bài tốn 3.32 Giai phương trình sau − 3x5 2x5 − − x5 = x5 + (3.126) Lài giai Đ¾t t = x5, tù phương trình (3.126) ta thu đưoc phương trình sau 2t − 1 − 3t = (3.127) 3−t Xét hàm so f (t) = t+2 2t − 3−t Hàm ft) có t¾p xác đ%nh D = R\{3} J Ta có f (t) = , suy f J (t) > vói MQI t∈ D (3 − t) Do theo Đ%nh lý 1.4, hàm so f (t) ln có hàm so ngưoc hàm so g(t) = − 3t t+ Đieu chúng to phương trình (3.127) có hai ve hai hàm so ngưoc cna nhau, nên nghi¾m cna phương trình (3.127) nghi¾m cna phương trình sau 2t − 3−t (3.128) = t Giai phương trình (3.128) ta đưoc nghi¾m = t2 1+ √ √ − ; = Σ √ √ − + V¾y phương trình (3.126) có t¾p nghi¾m S = 5 ; t1 Bài toán 3.33 Giai phương trình sau x = − 2013(1 − 2013x2)2 (3.129) Lài giai Tù phương trình (3.129) ta thay MQI x > khơng the nghi¾m cna phương trình (3.129) Do v¾y đe tìm nghi¾m cna phương trình (3.129) ta chi can xét vói x ≤ Ta có (3.129) có the viet lai tương đương vói hai phương trình sau 1−x  − 2013x2 = 2013  1 , vói đieu ki¾n x ∈ Σ− ; 2013 201 Σ   201 1−x − 2013x2 = − , vúi ieu kiắn x ã Xột trũng hop x ∈ Σ− ; 2013 Σ, ta có phương trình (3.129) tương 2013 đưịng vói phương trình sau − x 201 201 3 1 −∞; − Σ ∪ ; 1Σ 2013x2 = 1− (3.130) 2013 De thay rang phương trình (3.130) có hai ve hai hàm so ngưoc cna nên nghi¾m cna phương trình (3.130) nghi¾m cna phương trình sau − 2013x2 = x (3.131) Giai phương trình (3.131) so sánh vói đieu ki¾n xét ta đưoc nghi¾m −1 − √ 8053 4026 1 • Xét trưịng hop x ∈ −∞; − Σ ∪ ; 1Σ, ta có phương trình 2013 2013 x1 = (3.129) tương đưịng vói phương trình sau 1.−2013x − 2= x 1− 2013 (3.132) De thay rang phương trình (3.130) có hai ve hai hàm so ngưoc cna nên nghi¾m cna phương trình (3.130) nghi¾m cna phương trình sau − 2013x2 = x (3.133) Giai phương trình (3.131) so sánh vói đieu ki¾n xét ta đưoc nghi¾m −1 + x2 = √ 8053 4026 V¾y phương trình cho có t¾p nghi¾m S = Σ −1 + 8053 −1 − 8053 √ ; √ 402 402 6 Ket lu¾n Sau thịi gian HQc t¾p tai Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà n®i, đưoc thay giang day đ¾c bi¾t đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna PGS.TS Nguyen Minh Tuan, tơi hồn thành lu¾n văn vói đe tài "Phương pháp hàm so ngưac đe xây dEng phát trien phương trình đai so" Lu¾n ó at oc mđt so ket qua: Luắn văn khai thúc đưoc úng dung ve tính chat cna hàm so ngưoc vào xây dnng giai phương trình đai so chương trình tốn phő thơng hi¾u qua cho lịi giai đep, tao đưoc niem đam mê tìm tịi sáng tao HQc t¾p tốn cna HQc sinh Lu¾n văn h¾ thong hóa phân dang đưoc dang tőng quát cna phương trình đai so mà giai đưoc bang phương pháp hàm so ngưoc, đong thòi đưa đưoc 33 toán minh HQA cho moi dang toán tőng qt, tù giói thi¾u 57 t¾p mói giúp ta có nhìn tồn di¾n ve phương pháp hàm so ngưoc, có nhung tốn có m¾t kỳ thi cHQN HQc sinh gioi Toán thi tuyen sinh vào Đai HQc cao ang, mđt so bi toỏn ó xuat hiắn tap chí Tốn HQc tuői tre Vì v¾y ban lu¾n văn có the làm tài li¾u tham khao cho MQI đoi tưong HQc sinh b¾c trung HQc phő thơng Lu¾n văn the hi¾n đưoc hưóng nghiên cúu tìm tịi sáng tao phương pháp mói đe giai tốn phő thơng Tài li¾u tham khao [1] Lê Hong Đúc, Lê Bích NGQc, Lê Huu Trí (2010), Phương pháp giai tốn Đai so, NXB ĐHQG Hà N®i [2] Tran Văn Hao, Vũ Tuan, Dỗn Minh Cưịng, Đo Manh Hùng, Nguyen Tien Tài (2006), Đai so 10, NXB Giáo Duc [3] Hồng Kỳ (2002),Căn so Tốn vơ ty, NXB Giáo Duc [4] Nguyen Văn M¾u, Nguyen Văn Tien (2010), M®t so chuyên đe Đai so boi dưãng HQc sinh giói THPT, NXB Giáo duc Vi¾t Nam [5] Tran Phương (2008), Tuyen t¾p chuyên đe luy¾n thi đai HQc mơn tốn - Hàm so, NXB Hà N®i [6] Đồn Quỳnh, Dỗn Minh Cưịng, Tran Nam Dũng, Đ¾ng Hùng Thang (2012), Tài li¾u chun tốn Bài t¾p Đai so 10, NXB Giáo Duc Vi¾t Nam [7] Đồn Quỳnh, Dỗn Minh Cưịng, Tran Nam Dũng, Đ¾ng Hùng Thang (2012), Tài li¾u chun tốn Đai so 10, NXB Giáo Duc Vi¾t Nam [8] Vũ Tuan, Lê Th% Thiên Hương, Nguyen Tien Tài, Can Văn Tuat (2008), Giai tích 12, NXB Giáo Duc [9] Vũ Tuan, Dỗn Minh Cưịng, Tran Văn Hao, Đo Manh Hùng, Pham Phu, Nguyen Tien Tài (2006), Bài t¾p Đai so 10, NXB Giáo Duc [10] Ban tő chúc kỳ thi (2012), Tőng t¾p Đe thi Olympic 30 tháng - Toán HQc 10, NXB Đai HQc Sư pham [11] Ban tő chúc kỳ thi (2012), Tőng t¾p Đe thi Olympic 30 tháng - Toán HQc 11, NXB Đai HQc Sư pham [12] Tap chí tốn HQc tuői tre, NXB Giáo Duc Vi¾t Nam [13] Tài li¾u tù Internet ... = Chương Xây dEng m®t so phương trình đai so giai bang phương pháp hàm so ngưac Chương se trình bày so đe v¾n dung phương pháp hàm ngưoc vào xây dnng phương trình đưa m®t so phương trình o dang... 13 Xây dEng m®t so phương trình đai so giai bang phương pháp hàm so ngưac 14 2.1 Cơ so cna vi¾c v¾n dung phương pháp hàm ngưoc vào xây dnng phương trình 14 2.2 M®t so dang phương trình. .. giai bang phương pháp hàm ngưoc 2.1 Cơ sa cua vi¾c v¾n dnng phương pháp hàm ngưac vào xây dEng phương trình Đ%nh lí 2.1 Cho hai hàm so y = f (x) y = g(x) hai hàm so ngưac nghi¾m phương trình f