Phương pháp hàm số ngược để xây dựng và phát triển phương trình đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN DŨNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ NGƯỢC ĐỂ XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Lời nói đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị hàm số 1.2 Tính đơn điệu hàm số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu 1.3 Hàm số ngược 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Đồ thị hàm số ngược 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số có hàm số 1.3.4 Ví dụ 1.4 Phương trình đại số ẩn 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Nghiệm phương trình 1.4.3 Ví dụ 1.5 Phương trình tương đương 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Phép biến đổi tương đương 1.6 Phương trình hệ 1.6.1 Định nghĩa 1.6.2 Phép biến đổi hệ 1.7 Phương trình vơ tỷ 1.7.1 Định nghĩa 1.7.2 Ví dụ ngược 6 6 6 7 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 13 Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược 14 2.1 Cơ sở việc vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây dựng phương trình 14 2.2 2.3 Một số dạng phương trình đại số mà giải phương pháp hàm số ngược 2.2.1 Dạng thứ 2.2.2 Dạng thứ hai 2.2.3 Dạng thứ ba 2.2.4 Dạng thứ tư 2.2.5 Dạng thứ năm Các bước thực giải phương trình phương pháp hàm số ngược 15 15 15 16 17 18 18 Các toán liên quan 20 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 Lời nói đầu Hàm số giữ vị trí trung tâm chương trình tốn trường phổ thơng Học sinh nhận biết định nghĩa nắm số tính chất hàm số cuối cấp Trung học sở, học Tốn bậc Trung học phổ thơng khái niệm hàm số dần hoàn thiện có cơng cụ đạo hàm để nghiên cứu hàm số học sinh có qui trình để khảo sát hàm số Bên cạnh việc khảo sát hàm số bản, học sinh khá, giỏi gợi ý, hướng dẫn để học sinh nắm vững tính chất hàm số, ứng dụng chúng giải số tốn khác Việc nắm vững tính chất hàm số giúp giáo viên có cách nhìn tồn diện hàm số khai thác mối liên hệ hàm số với số toán liên quan, đồng thời sáng tạo tốn Vấn đề giải phương trình đại số nói chung phương trình vơ tỷ nói riêng, biết đến số cách giải khác như: phép biến đổi tương đương, phép dùng ẩn phụ, phép dùng biến đổi liên hợp, phương pháp đánh giá Tuy nhiên với phương pháp giải thường tối ưu với trường hợp cụ thể Mặt khác sâu nghiên cứu hàm số ngược hàm số, tơi nhận thấy có liên quan mật thiết tương giao hai hàm số ngược với số nghiệm phương trình vơ tỷ mà có hai vế hai hàm số ngược Do việc giải phương trình vơ tỷ phương pháp hàm số ngược vấn đề cần tìm hiểu Mặc dù phương pháp mới, xong nắm vững mối quan hệ chúng phương pháp hiệu Trong đề thi Đại học thi chọn học sinh giỏi tốn dạng ln khai thác Với mong muốn áp dụng kiến thức học chương trình phổ thơng tìm hiểu sâu thêm phương pháp giải tốn sơ cấp nên tơi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp là: “Phương pháp hàm số ngược để xây dựng phát triển phương trình đại số” Bản luận văn gồm ba chương, lời nói đầu kết luận Chương Kiến thức chuẩn bị: Nhiệm vụ chương hệ thống lại số kiến thức hàm số phương trình đại số làm tiền đề để xây dựng nội dung chương Chương Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược: Trong chương tác giả xây dựng sở việc áp dụng hàm số ngược vào giải toán, đồng thời xây dựng giải năm tốn tổng qt phương trình đại số mà giải phương pháp hàm số ngược Chương Các toán liên quan: Trong chương giới thiệu toán cụ thể minh họa cho toán tổng quát đề cập đến chương Sau tốn minh họa, tác giả có nhận xét cách giải sáng tác phương từ phương trình biết Để hồn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn tới người thầy kính mến PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn dành nhiều thời gian hướng dẫn, dạy suốt thời gian xây dựng đề tài hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo khoa Tốn – Cơ – Tin học, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập trường Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian lực hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong thầy bạn góp ý xây dựng Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013 Học viên Nguyễn Văn Dũng Bảng kí hiệu viết tắt R R∗ R+ R− N N∗ Z Z+ Z− tập tập tập tập tập tập tập tập tập các các các các số số số số số số số số số thực thực khác thực dương thực âm tự nhiên tự nhiên khác nguyên nguyên dương nguyên âm Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm số 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp khác rỗng D ⊂ R Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f (x); số f (x) gọi giá trị hàm số f x Vậy hàm số ánh xạ từ tập D R vào R viết f :D→R x → f (x) • Tập D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số hay đối số hàm f • Tập hợp tất giá trị f (x) x chạy qua D gọi miền giá trị hàm số f • Khi viết y = f (x) x gọi biến số độc lập, y gọi biến số phụ thuộc 1.1.2 Đồ thị hàm số Định nghĩa 1.2 Đồ thị hàm số y = f (x) xác định D tập hợp tất điểm M (x; f (x)) mặt phẳng tọa độ với x thuộc D 1.2 1.2.1 Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) a) Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) (a; b) ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) b) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) (a; b) ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Chú ý 1.1 Hàm số đồng biến nghịch biến (a; b) gọi chung hàm số đơn điệu (a; b) 1.2.2 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu Định lí 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f (x) > với x thuộc K hàm số y = f (x) đồng biến K b) Nếu f (x) < với x thuộc K hàm số y = f (x) nghịch biến K Sau ta có định lí mở rộng cho định lí sau: Định lí 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f (x) đồng biến K b) Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f (x) nghịch biến K 1.3 1.3.1 Hàm số ngược Định nghĩa Định nghĩa 1.4 Cho hàm số f có tập xác định D(f ) có tập giá trị V (f ) Hàm số g xác định V (f ) gọi hàm số ngược hàm số f (f0 g)(x) = x, ∀x ∈ V (f ) (g0 f )(x) = x, ∀x ∈ D(f ) Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa ta có nhận xét sau a) Nếu hàm số y = f (x) hàm số ngược hàm số y = g(x) hàm số y = g(x) hàm số ngược hàm số y = f (x) b) Nếu y = f (x) y = g(x) hai hàm số ngược tập xác định hàm số tập giá trị hàm số ngược lại 1.3.2 Đồ thị hàm số ngược Định lí 1.3 Trong hệ tọa độ Oxy đồ thị hai hàm số ngược y = f (x) y = g(x) đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ y = x Chứng minh Xét hàm số f (x) có tập xác định D(f ), có tập giá trị V (f ) có đồ thị G(f ) Giả sử f có hàm số ngược g Xét điểm M (a; b) điểm M (b; a) đối xứng với M qua đường thẳng y = x Hình 1.1: Ta có: M ∈ G(f ) ⇔ b = f (a) ⇔ g(b) = g(f (a)) ⇔ g(b) = a ⇔ M ∈ G(g) Điều chứng tỏ đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) đối xứng qua đường thẳng y = x Hệ 1.1 Hai hàm số y = f (x) y = g(x) hai hàm số ngược giao điểm (nếu có) hai đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) nằm đường thẳng y = x Hình 1.2: 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số có hàm số ngược Định lí 1.4 Mọi hàm số đồng biến hay nghịch biến tập K có hàm số ngược Chứng minh Giả sử hàm số y = f (x) xác định đồng biến K có tập giá trị tương ứng T Do T tập giá trị y = f (x) nên với y ∈ T tồn x ∈ K để có f (x) = y Bây ta chứng minh x Thật vậy, ta giả sử tồn x ∈ K, x = x mà f (x ) = y Khi đó, xẩy hai trường hợp: a) Nếu x > x , ta suy f (x) > f (x ) ⇔ y > y điều vô lý b) Nếu x < x , ta suy f (x) < f (x ) ⇔ y < y điều vô lý Hai trường hợp vô lý, nên tồn x ∈ K để f (x) = y Do theo định nghĩa hàm số ngược, ta suy hàm số y = f (x) có hàm số ngược Nhận xét 1.2 Trường hợp hàm số nghịch biến chứng minh tương tự 1.3.4 Ví dụ Ví dụ 1.1 Hàm số g(x) = x−1 hàm số ngược hàm số f (x) = 2x + 1, f (g(x)) = 2g(x) + = x, g(f (x)) = f (x) − = x Ví dụ 1.2 Hàm số f (x) = 2x3 + có hàm số ngược g(x) = x−1 f (g(x)) = 2g (x) + = x, g(f (x)) = f (x) − = x ... Chương trình bày sở để vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây dựng phương trình đưa số phương trình dạng tổng quát mà giải phương pháp hàm ngược 2.1 Cơ sở việc vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây. .. Chương Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược: Trong chương tác giả xây dựng sở việc áp dụng hàm số ngược vào giải toán, đồng thời xây dựng giải năm toán tổng quát phương trình. .. Các phương trình sau phương trình vơ tỷ √ Phương trình x − x − = Phương trình 7x2 + 7x = 4x + 28 √ Phương trình x3 − 3 + 3x = 13 Chương Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược