phương trình hàm schrӧder, abel và một số áp dụng liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÔNG BẮC PHƯƠNG TRÌNH HÀM SCHR ¨ ODER, ABEL VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2012 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho bản luận văn của tác giả. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình. Hà nội, tháng 09 năm 2012 2 Mục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các ký hiệu và quy ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Phương trình hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Phương trình hàm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Dãy các xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Định lý Banach - Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4. Các ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Các chuỗi liên hợp hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.Nghiệm của phương trình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 13 1.2.2. Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 17 1.2.3. Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . 20 1.2.4. Nghiệm khả vi của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.5. Nghiệm giải tích của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Phương trình Schr¨oder và Abel . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.Phương trình Schr¨oder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1. Nghiệm đơn điệu của phương trình Schr¨oder. . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2. Nghiệm lồi của phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.3. Nghiệm khả vi của phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.4. Nghiệm trơn của phương trình Schr¨oder trong R N . . . . . . . . . . . 32 2.1.5. Nghiệm giải tích của phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.Phương trình Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1. Nghiệm lồi của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2. Nghiệm khả vi của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3. Nghiệm giải tích của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 3. Một số áp dụng liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.Các nghiệm chính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.Hệ tiền Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1. Hệ tương đương và các hàm tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 MỤC LỤC 3.2.2. Sự tương đương của phương trình Schr¨oder và hệ tiền Schr¨oder . . . . . . 48 3.3.Hệ Schr¨oder-Abel và các phương trình kết hợp . . . . . . . 49 3.3.1. Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.2. Kết hợp các phương trình Schr¨oder và Abel . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.3. Sự tồn tại của các phần tử sinh. . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.4. Nghiệm của hệ Abel – Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.Hệ Abel và các phương trình vi phân có lệch . . . . . . . . . 57 3.4.1. Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.2. Hệ các phương trình Abel đồng thời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.Hệ Schr¨oder và đặc tính của chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5.1. Đặc tính của các chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5.2. Hệ các phương trình Schr¨oder đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6.Các chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.1. Nghiệm của hệ tiền Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.2. Các tự đẳng cấu tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.3. Định lý 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.4. Các phương trình vi phân có lệch . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.5. Áp dụng định lý 3.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.6. Định lý 3.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6.7. Hệ phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6.8. Phương trình Schr¨oder, Abel và phương trình vi phân . . . . . . . . . . 67 3.6.9. Nửa nhóm các xấp xỉ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.6.10. Các phương trình Abel đồng thời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 Các ký hiệu và quy ước * N - tập các số nguyên dương. * N 0 = N ∪ {0} - tập các số tự nhiên. * R = [−∞; + ∞] - tập các số thực mở rộng. * R + = [0, + ∞) - tập các số thực không âm. * x = (ξ 1 , , ξ n ) ∈ K n thì chuẩn của x là chuẩn Euclide |x| =     n  i=1 |ξ i | 2 * Với ma trận A ∈ K m×n thì chuẩn của A chính là chuẩn của toán tử tuyến tính tương ứng tức là A = sup |x|=1 |Ax| . * cl(A) - bao đóng của tập A. * int(A) - phần trong của tập A. * [0, a| là ký hiệu chung cho [0, a] và [0, a), chú ý |a, ∞| luôn là |a, ∞). * F(X, Y ) là họ các ánh xạ từ X vào Y, F(X) = F(X, X). * C r (X, Y ), r ∈ N 0 là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp r từ X vào Y, C r (X) = C r (X, X), r ∈ N, C(X, Y ) = C 0 (X, Y ), C(X) = C 0 (X, X). * Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian mêtric thì ta nói dãy hàm f n : X → Y, n ∈ N hội tụ hầu đều (hội tụ a.u) tới hàm f : X → Y trên X nếu nó hội tụ đều tới f trên mọi tập con compact của X. * Ký hiệu f ∗ dùng để ký hiệu cho logit(f) (xem mục 1.1.5). * LAS là viết tắt của "nghiệm giải tích địa phương". * FPS là viết tắt của "chuỗi lũy thừa hình thức". 5 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phương trình tuyến tính để phục vụ cho việc nghiên cứu phương trình Schr¨oder và phương trình Abel ở chương sau. Về tổng thể chương này gồm hai phần: ♦ Phần 1: Các khái niệm và kiến thức liên quan. ♦ Phần 2: Nghiệm của phương trình tuyến tính. Ở phần 1, ta nhắc lại một số khái niệm và một số kết quả sẽ được dùng trong phần 2 như: dãy các xấp xỉ liên tiếp, tập Siegel, khái niệm liên hợp trên các ánh xạ và các tính chất của nó. Ở phần 2, ta trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình tuyến tính tổng quát và phương trình tuyến tính thuần nhất đực biệt là tính chính quy nghiệm của phương trình tuyến tính tổng quát. Tính chính quy nghiệm bao gồm các tính chất của nghiệm như: tính liên tục nghiệm, tính khả vi của nghiệm, tính trơn của nghiệm và một số tính chất khác. 1.1. Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1. Phương trình hàm tuyến tính tổng quát Phương trình hàm tổng quát có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f 1 (x)) , , ϕ (f n (x))) = 0 trong đó ϕ là hàm chưa biết (hàm ẩn) và các hàm còn lại là các hàm đã cho, chỉ số n ở trong phương trình được gọi là bậc của phương trình. Như vậy, phương trình hàm bậc 1 có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f(x))) = 0 6 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Phương trình hàm tuyến tính tổng quát là phương trình hàm có dạng: ϕ (f(x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.1) trong đó ϕ là hàm chưa biết và f và g là các hàm đã cho. Trong trường hợp đặc biệt khi h ≡ 0 thì (1.1) trở thành: ϕ (f(x)) = g(x)ϕ(x) (1.2) (1.2) được gọi là phương trình hàm tuyến tính thuần nhất tổng quát. Hầu hết các phương trình tuyến tính quan trọng đều thuộc phương trình Schr¨oder và phương trình Abel. Phương trình Schr¨oder là phương trình có dạng: σ(f(x)) = s.σ(x) (1.3) trong đó s là một thừa số vô hướng. Phương trình Abel là phương trình có dạng: α(f(x)) = α(x) + A (1.4) trong đó A = 0 là một phần tử cố định thuộc miền giá trị của α (do tính tuyến tính của phương trình nên ta thường xét trường hợp A = 1). Dễ dàng thấy rằng nếu ϕ và σ là các nghiệm của (1.2) thì kϕ + lσ, k, l = const cũng là một nghiệm của (1.2). Như vậy, nếu (1.2) có nghiệm thì nó có rất nhiều nghiệm, các nghiệm này tạo thành từng họ nghiệm ở đó các nghiệm trong cùng một họ sẽ sai khác một hằng số nhân. 1.1.2. Dãy các xấp xỉ liên tiếp Xét F(X) là tập hợp tất cả các tự ánh xạ của một tập X cho trước, do toán tử hợp  ◦  có tính chất kết hợp trên F(X) nên (F(X), ◦) là một nửa nhóm với phần tử đơn vị id X . Các luỹ thừa f n , n ∈ N với f là một phần tử của F(X) được gọi là dãy xấp xỉ liên tiếp của f. Định lí 1.1.1. Cho X là không gian tôpô Hausdorff và f : X → X là một hàm có các f n liên tục. Nếu với một x ∈ X mà dãy (f n (x)) n∈N hội tụ tới x 0 ∈ X thì x 0 là điểm cố định của f. Cho X là một không gian tôpô và f : X → X là một hàm bất kỳ. Gọi x 0 là một điểm cố định của f. Tập hợp A f (x 0 ) =  x ∈ X : lim n→∞ f n (x) = x 0  7 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị được gọi là miền hút của x 0 . Một điểm cố định x 0 của f được gọi là hút nếu thoả mãn x 0 ∈ int A f (x 0 ). Như vậy, điểm cố định hút lôi cuốn về phía nó các xấp xỉ liên tiếp của mọi điểm thuộc lân cận của nó. Định lý sau trích từ Fatou [12], Barna [2] Định lí 1.1.2. Cho f là một tự ánh xạ liên tục của không gian tôpô X và cho x 0 ∈ X là một điểm cố định của f. Khi đó (a) f  A f (x 0 )  ⊂ A f (x 0 ) (b) A f (x 0 ) là một tập mở nếu x 0 là hút. Xét giả thiết X = [0; a] với 0 < a ≤ ∞ (1.5) Định lí 1.1.3. Giả sử ta (1.5) có và với mọi f : X → X là hàm nửa liên tục trên bên phải. Nếu f(x) < x; ∀x ∈ X\ {0} (1.6) thì với mọi x ∈ X, dãy (f n (x)) n∈N là dãy giảm và lim n→+∞ f n (x) = 0. (1.7) Hơn thế, nếu 0 < f(x) < x với ∀x ∈ X\ {0} thì ∀x ∈ X\ {0}, dãy {f n (x)} n∈N là dãy giảm nghiêm ngặt. Chứng minh. Do tính nửa liên tục trên bên phải của f cùng với (1.6) ngụ ý rằng f(0) = 0. Vì vậy, f(x) ≤ x; ∀x ∈ X ⇒ f n+1 (x) = f(f n (x) ≤ f n (x); ∀x ∈ X. Nếu chúng ta có l = lim n→∞ f n (x) > 0, với x ∈ X thì l = lim x→∞ f n+1 (x) = lim x→∞ f n (x)) ≤ f(l) < l là một mâu thuẫn vì vậy ta có (1.7). Tính giảm nghiêm ngặt là hiển nhiên. Định lí 1.1.4. Giả sử với (1.5) và xét một không gian mêtric (T, ρ). Giả sử rằng ánh xạ f : X×T → X liên tục và f (x, t) < x, ∀(x, t) ∈ {X\{0}}×T . Đặt g t (x) = f(x, t), (x, t) ∈ X × T thì dãy (g n t (x)) n∈N tiến tới 0 hầu đều đối với (x, t) ∈ X × T . Định lí 1.1.5. Cho X là một tập con đóng của K N chứa gốc. Xét ánh xạ liên tục f : X → X sao cho |f(x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0}. Khi đó, sự hội tụ của (1.7) là hầu đều trên X. 8 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Xét các giả thiết sau: (i) f là một ánh xạ từ đoạn thực X = [0, a] vào chính nó với 0 < a ≤ ∞. (ii) f(x) = x (s + p(x)) , x ∈ X với s ∈ [0, 1] , 0 < p(x) + s < 1, x ∈ X và lim x→0 p(x) = 0. Bổ đề 1.1.6. Cho (x n ) n∈N 0 và (y n ) n∈N 0 là hai dãy số dương và s ∈ (0, 1) sao cho cả hai dãy với các số hạng p n = x n+1 x n − s, q n = y n+1 y n − s, n ∈ N 0 đều tiến tới 0 khi n → ∞. Nếu p n , q n ∈ (−s, 1 − s), n ∈ N 0 và ∞  n=1 |p n − q n | < ∞ (1.8) thì lim n→∞ x n y n tồn tại và thuộc (0, ∞) (1.9) Hơn nữa, nếu hiệu p n − q n , n ∈ N 0 có dấu không đổi thì từ (1.9) suy ra (1.8) Định nghĩa 1.1.7. Chúng ta ký hiệu R là họ các hàm đo được r : X → R + sao cho δ  0 r(x) x dx < ∞, δ ∈ (0, a) và với mọi α ∈ (0, 1) tồn tại β ∈ (1, ∞) sao cho hoặc r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.10) hoặc r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.11) Định lí 1.1.8. Với các giả thiết (i) và (ii), nếu f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p(x) = O(r(x)) khi x → 0 với r ∈ R thì với mọi x ∈ X\{0} giới hạn lim n→∞ f n (x) s n tồn tại và thuộc khoảng (0, ∞). 9 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Định lí 1.1.9. Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn, f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p là hàm đơn điệu thì với mọi x ∈ X tồn tại giới hạn: ϕ(x) = lim n→∞ f n (x) s n và hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ = ∞ hoặc ϕ ∈ (0, ∞) với mọi x ∈ X. Trường hợp cuối cùng xảy ra khi và chỉ khi δ  0 p(x) x dx hội tụ với δ ∈ (0, a). Định lí 1.1.10. Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn với s = 1, f là hàm liên tục và lim x→0 sup  − 1 x t p(x)  = C ∈ (0, ∞) (tương ứng lim x→0 inf  − 1 x t p(x)  = c ∈ (0, ∞)) thì với mọi d > C (tương ứng 0 < d < c) và với mọi x ∈ X\ {0} chúng ta có: f n (x) ≥  1 dtn  1/t (tương ứng f n (x) ≤  1 dtn  1/t ) với n ∈ N đủ lớn. Hơn nữa, nếu f là hàm tăng thì với trường hợp sau bất đẳng thức f n (x) ≤ (dtn) −1/t đúng đều với z ∈ X ∩ [0, x]. 1.1.3. Định lý Banach - Schauder Định lí 1.1.11. Cho f là một tự ánh xạ của một không gian metric đầy đủ (X, ρ) và ρ (f(x), f(y)) ≤ θ.ρ(x, y), x, y ∈ X với θ ∈ (0, 1). Khi đó, f có đúng một điểm cố định x 0 ∈ X, hơn nữa miền hút của x 0 trùng với X. Định lí 1.1.12. Cho X là một tập không rỗng, lồi và compact trong một không gian Banach, khi đó mọi tự ánh xạ liên tục trên X đều có một điểm cố định. 1.1.4. Các ánh xạ liên hợp Chúng ta xét phương trình liên hợp: ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) (1.12) 10 [...]... trình Schr¨der và Abel o Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả đã đạt được về phương trình tuyến tính và phương trình tuyến tính thuần nhất vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình Abel và phương trình Schr¨der o 2.1 Phương trình Schr¨der o 2.1.1 Nghiệm đơn điệu của phương trình Schr¨der o Định lí 2.1.1 Cho X = [0; a] , 0 < a ≤ ∞ và giả sử rằng f : X → X là liên tục và tăng nghiêm... : X → X và g : Y → Y được gọi là liên hợp nếu tồn tại nghiệm song ánh ϕ : X → Y của phương trình (1.12) Có một trường hợp quan trọng của phương trình (1.12) (khi X và Y là các tập con của KN ) đó là phương trình Schr¨der: o σ(f (x)) = S.σ(x) Ở đó S ∈ KN xN (1.13) và phương trình Abel: α (f (x)) = α(x) + A, A ∈ KN (1.14) thể hiện rằng f liên hợp với một hàm tuyến tính g(y) = S.y (với phương trình (1.14)... mỗi quan hệ liên hợp là một quan hệ bắc cầu Vì thế, nếu f và g cùng liên hợp với hàm h : X → Y thì chúng sẽ liên hợp với nhau Định lí 1.1.14 Cho X là một lân cận của gốc trong KN và cho các hàm f : X → X và g : X → X khả vi tại 0, f (0) = 0, g(0) = 0 Nếu f và g hoặc C r – liên hợp hoặc A – liên hợp thì ma trận f (0) và g (0) cũng liên hợp, vì thế chúng có cùng dạng Jordan chuẩn tắc Chứng minh Đạo hàm. .. các hàm C r – liên hợp (tương ứng A – liên hợp) nếu tồn tại một hàm ϕ, có đạo hàm xác định và liên tục tới cấp r ≥ 1 (tương ứng xác định và giải tích) trong một lân cận của gốc trong RN ( tương ứng CN ) thoả mãn (1.18) và (1.19) và sao cho (1.17) đúng trong một lân cận của gốc 11 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Mỗi hàm trong lớp các hàm ở định nghĩa 1.1.13 tạo thành một nhóm dưới phép toán trên các hàm. .. R là một nghiệm đơn điệu của n→∞ (1.32) thì: ∞ [h(f n (x)) − h(f n (x0 ))] ϕ(x) = c − (1.33) n=0 x0 ∈ X là một điểm cố định tuỳ ý và c = ϕ(x0 ) là một hằng số Định lí 1.2.7 Nếu hàm h đơn điệu và lim h(x) = 0 thì phương trình (1.32) có một họ nghiệm x→0 đơn điệu duy nhất ϕ : X → R, chúng được cho bởi công thức (1.33) ở đó x0 ∈ X cố định bất kỳ và c ∈ R là một hằng số bất kỳ (tham số) Xét phương trình. .. n=0 là một nghiệm đơn điệu của phương trình: ϕ(f (x)) = ϕ(x) + h(x) Theo định lý 1.2.7, dễ dàng thấy rằng với c ≥ 0, ϕ là hàm giảm và không âm trên (0; x0 ] Vì vậy, hàm ϕ(x) = ϕ0 (x).ϕ(x) thoả mãn phương trình (1.34) và là hàm không âm, giảm trên (0; x0 ] Công thức (1.36) thu được từ (1.37) và (1.29) (với ϕ được thay thế bởi ϕ0 ) 1.2.2 Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính Xét phương trình: ... Hơn nữa, ρ → ∞ khi r → ∞ và ρ = ∞ khi r = ∞ 2.1.5 Nghiệm giải tích của phương trình Schr¨der o Áp dụng định lý 1.2.21 vào phương trình Schr¨der: o σ(f (x)) = s.σ(x) (2.13) ta thu được một định lý nổi tiếng của G.Koenigs[13] Định lí 2.1.9 Cho X ⊂ C là một lân cận gốc, f : X → C là một hàm giải tích thoả mãn: f (0) = 0, f (0) = s, 0 < |s| < 1 thì phương trình (2.13) có duy nhất một nghiệm LAS là σ thoả... ∞ chúng ta thu được (1.58) vì thế ϕ0 = ϕ − y là một hàm liên tục Định lí 1.2.15 Cho các giả thiết (i), (ii), (iv) và giả sử rằng |g(0)| > 1 Khi đó phương trình (1.49) có duy nhất một nghiệm liên tục ϕ : X → Y cho bởi công thức (1.58) với y = h(0)/ (1 − g(0)) Chứng minh Chọn một số ϑ thoả mãn |g(0)| > ϑ > 1 và các số dương a < b và K sao cho |g(x)| > ϑ và h(x) ≤ K trên [0; b] ⊂ X Lấy M > K/(ϑ − 1),... = y + A và với phương trình Bottcher: β (f (x)) = [β(x)]p (1.15) ứng với g(y) = y p và N = 1 Các phương trình (1.13) và (1.15) được coi như các hàm giao hoán dạng: ϕ (f (x)) = f (ϕ(x)) (1.16) Các tính chất của quan hệ liên hợp Xét phương trình: ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) (1.17) Trong rất nhiều trường hợp ta chỉ cần thực hiện biến đổi f thành g chỉ cục bộ trong một lân cận của điểm ξ ∈ X (thường là một điểm... tại và thoả mãn phương trình (1.38) trên X Nó kéo theo từ (1.42) và từ tính chất của f và h mà ϕ là hàm lồi (tương ứng lõm) trên X Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằng ϕ : X → R là một hàm lồi thoả mãn phương trình (1.38) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nó cho bởi công thức (1.42) ứng với một giá trị c nào đó Cố định một x0 ∈ X và lấy x ∈ [f (x0 ), x0 ) thì zn+1 ≤ xn < zn , n ∈ N và từ quan hệ tăng của . là phương trình hàm tuyến tính thuần nhất tổng quát. Hầu hết các phương trình tuyến tính quan trọng đều thuộc phương trình Schr¨oder và phương trình Abel. Phương trình Schr¨oder là phương trình. (f n (x))) = 0 trong đó ϕ là hàm chưa biết (hàm ẩn) và các hàm còn lại là các hàm đã cho, chỉ số n ở trong phương trình được gọi là bậc của phương trình. Như vậy, phương trình hàm bậc 1 có dạng: F (x,. như: tính liên tục nghiệm, tính khả vi của nghiệm, tính trơn của nghiệm và một số tính chất khác. 1.1. Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1. Phương trình hàm tuyến tính tổng quát Phương trình hàm tổng