Chúng ta giới hạn ở việc xem xét một lớp nghiệm đặc biệt của (3.17). ĐặtX = [0; 1] và A∗ =A\ {0} với A⊂X.
Định nghĩa 3.3.1.
Hàm Archimedean T :X2 →X là một nghiệm của (3.17) liên tục, tăng theo từng
biến và thỏa mãn điều kiện T(0, x) = T (x,0), T (1, x) = T(x,1) = x với ∀x ∈ X
và T (x, x) < x với ∀x ∈ (0,1). Một hàm Archimedean được gọi là kết hợp hoàn
toàn nếu nó tăng nghiêm ngặt đối với mỗi biến trên X∗. Các hàm Archimedean
kết hợp hoàn toàn được viết tắt là “s.A”.
Mọi s.A T đều được cho bởi công thức (xem Aczél[1,§ 6.2.2]):
T(x, y) =ϕ−1(ϕ(x) +ϕ(y)), x, y ∈X∗ T(x,0) =T(0, x) = 0, x∈X
)
(3.18) ở đó ϕ:X∗ →R+ là một song ánh giảm bất kỳ và ϕ được gọi là sinh của T. Chú ý 3.3.2.
Nếu ϕ là sinh của một s.A T thì nó liên tục trên X∗ sinh ϕ sẽ được xác định sai
khác một hằng số nhân. Cho T là một s.A sao cho (3.18) đúng với các phần tử
sinh ϕ1 và ϕ2, đặt φ=ϕ2◦ϕ−11, vì thế φ :R+→R+ là hàm giảm nghiêm ngặt và thỏa mãn phương trình Cauchy:
φ(u+v) =φ(u) +φ(v), u, v ∈R+
kéo theo φ=ku, k >0 (xem Aczél [1,§ 2.3.4], Kuczma [16,§ 13.5]) và chúng ta có
ϕ2=kϕ1.
Bây giờ chúng ta giới thiệu các khái niệm chéo và u – lớp của một hàm Archimedean kết hợp T. Chúng ta xét:
f(x) =T(x, x), x∈X∗ (3.19) thì f(x) được gọi là chéo của T, f có được bằng cách trong (3.18) ta thay y = x, ta cũng để ý rằng f này từ trong phương trình Schr¨oder:
ϕ(f(x)) = 2ϕ(x), x∈X∗ (3.20) Tương tự, chúng ta cố định một u∈(0; 1) và đặt:
g(x) =T (x, u) (3.21)
Khi đó g được gọi là u – lớp của T. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng
ϕ(u) = 1 chúng ta thu được từ (3.18) (bằng cách thay y = u) phương trình Abel:
ϕ(g(x)) = ϕ(x) + 1, x∈X∗ (3.22) Với u cố định thì chéo và u – lớp của s.A T có các tính chất sau.
Bổ đề 3.3.3.
(1) Một tự ánh xạ f trên X là chéo của một s.A T nếu và chỉ nếu nó tăng nghiêm
ngặt trên X và 0< f(x)< x trên (0; 1), f(0) = 0, f(1) = 1.
(2) Một tự ánh xạ g trên X là u – lớp của một s.A T nếu và chỉ nếu nó tăng nghiêm ngặt trên X, ánh xạ X vào [0;u] và 0< g(x)< x trên X∗, g(0) = 0, g(1) =u. Chứng minh.
Điều kiện cần trong cả hai trường hợp là hiển nhiên, xem (3.19), (3.21) và định nghĩa 3.3.1.
Điều kiện đủ: cho f là hàm thỏa mãn các điều kiện của định lý, chúng ta áp dụng chú ý 3.6.3 để thu được một nghiệm giảm nghiêm ngặt ϕ : X∗ → R+ của (3.20) sinh ra T. Tương tự, chúng ta sẽ thu được điều kiện đủ cho trường hợp (2). Định lí 3.3.4.
Cho V là một tập con của X, T0 và T là hai s.A với phần tử sinh tương ứng là
ϕ và ϕ0.
(a) Giới hạn trên V của chéo của T0 và T trùng nhau nếu và chỉ nếu ϕ0 =σ0.ϕ,
ở đó:
σ(2t) = 2.σ(t), t∈ϕ(V+) (3.23)
(b) Cho u ∈ (0,1) bất kỳ cố định, hạn chế trên V của u – lớp của T0 và T trùng
nhau nếu và chỉ nếu ϕ0(u) = ϕ(u) = 1 và ϕ0 =α0ϕ, ở đó:
α(t+ 1) =α(t) + 1, t∈ϕ(V∗) (3.24) Chứng minh.
Với (a) ta chỉ cần áp dụng công thức cho chéo của T là f =ϕ−01(2ϕ)(xem (3.20)). Với (b) ta chỉ cần áp dụng công thức cho u – lớp của T là g =ϕ−01(ϕ+ 1) (Xem (3.22)), với T0 thì ta thay ϕ bằng ϕ0.