Chúng ta giả thiết thêm:
(iii) Tồn tại một nghiệm chung α : X → R của (3.37) thuộc lớp Cn trên X và
Từ (iii) kéo theo rằng α(X) = R, lấy x0 ∈X, j ∈ {1, ..., k}
Ta tính được:
lim
m→±∞α fjm(x0)= lim
m→±∞ (α(x0) +mcj) = ±∞
Và nhận xét rằng α là hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên X.
Các phương trình (3.37) cho thấy rằng các hàm fi có thể được nhúng vào nhóm các phép biến đổi một tham số cho bởi công thức α−1(α(x) +c), c∈R. Mọi hợp hữu hạn của fi và các nghịch đảo của nó fi−1 cũng thuộc nhóm này. Ta ký hiệu tập mọi hợp này là:
F=fs1 1 ◦fs2
2 ◦...◦fsk
k :si ∈Z, i= 1, ..., k
Dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của nhóm F. Bổ đề 3.4.1.
Giả sử các giả thiết (i) – (iii) được thỏa mãn khi đó:
(a) Hai phần tử bất kỳ của F là giao hoán và F là một nhóm.
(b) Hai hàm bất kỳ của F mà bằng nhau tại một điểm của X thì đồng nhất trùng
nhau.
Một câu hỏi đặt ra là tập hợp các điểm nằm trên đồ thị của hàm thuộc F là trù mật trong X2 hay không. Đặt
G=(x, y)∈X2 : tồn tại f ∈F sao cho f(x) =y}
Chúng ta nhớ lại điều kiện trù mật đối với các tập con của R. Tính chất 3.4.2.
Giả sử rằng k∈N, k ≥2 và ci ∈R\ {0}, i= 1, ..., k. Tập hợp
M ={x∈R:x=s1c1+...+skck, si ∈Z} (3.38)
trù mật trong R nếu và chỉ nếu có ít nhất một thương ci/cj là số vô tỷ.
Bổ đề 3.4.3.
Nếu các giả thiết (i) – (iii) được thỏa mãn thì:
(a) Tập G trù mật trong X2 nếu và chỉ nếu có ít nhất một cặp (i, j) với i, j ∈
{1, ..., k} sao cho thương ci/cj là số vô tỷ.
(b) Nếu G không trù mật trong X2 thì có một hàm g : X → X thuộc lớp Cn
trên X sao cho g0(x) > 0, g(x) > x trên X và fi là các xấp xỉ liên tiếp của g,
Chứng minh.
(a) phép biến đổi T : X2 → R2, (x, y) → (α(x), α(y)) là một vi phôi do α0(x) > 0 trên X. Vì vậy tập T(G) trù mật trong R2 khi G trù mật trong X2. Nhưng
T(G) = t, t+ k P i=1 sici : t∈R, si∈Z
là trù mật trong R2 nếu và chỉ nếu tập M được định nghĩa bởi (3.38) trù mật trong R. Từ tính chất (3.37) ta có điều phải chứng minh.
(b) Nếu G không trù mất trong R2 thì theo (a) có d > 0 sao cho ci = mid với
mi∈Z. Hàm g :X →X, g(x) = α−1(α(x) +d) có các tính chất mong muốn. Theo khẳng định (b) của bổ đề 3.4.1, hàm H :G→R được cho bởi
H(x, y) =f0(x) ở đó f ∈F và f(x) = y (3.39) là định nghĩa tốt. Nó có các tính chất sau.
Bổ đề 3.4.4.
Giả sử (i) – (iii) đúng. Khi đó:
(a) Hàm H :G→Rđược xác định bởi (3.39)là dương trên G và thỏa mãn phương
trình.
H(x, y)H(y, z) = H(x, z) (3.40) Với (x, y) và (y, z) thuộc G.
(b) Tồn tại một mở rộng H* của H lên X2 là hàm dương, thuộc lớp Cn−1 và thỏa
mãn (3.40) trên X2. Hơn nữa, H có mở rộng duy nhất với điều kiện là G trù mật trong X2.
Chứng minh.
(a) Tính dương của h được kéo theo từ (ii) và định nghĩa của nó. Bây giờ, nếu (x, y),(y, z) ∈ G thì tồn tại h1, h2 ∈ F sao cho h1(x) = y, h1(y) = z. Vì vậy (h1◦h2)(x) =z vàh1◦h2 ∈F, ở đó(x, z)∈G. Theo tính chất(h1◦h2) 0 = h01◦h2h02 và (3.39) chúng ta có (3.40). (b) Chúng ta đặt H∗(x, y) = α0(x)/α0(y) trên X2.
Ở đó α là hàm trong (iii). Hiển nhiên H* là dương, thuộc lớp Cn−1 và thỏa mãn (3.40) trên X2 lấy (x, y)∈ G sao cho f(x) = y với f ∈ F, vì vậy f là hợp của các xấp xỉ liên tiếp của fi, i= 1, . . . , k và theo (iii) chúng ta có α(f(x)) =α(x) +const. Do đó H∗(x, y) = α0(x)/α0(f(x)) = f0(x) = H(x, y) tức là H∗|G = H. Tính duy nhất là hiển nhiên.