Kết quả sau được giới thiệu trong Kuczma [14]. Xét phương trình Schr¨oder:
σ(f(x)) = Sσ(x) (2.11) Ở đó S ∈RN×N, theo định lý 1.1.14 phương trình (2.11) có nghiệm trơn chỉ khi S và f0(0) liên hợp (f0(0) =C.S.C−1) vì thế chúng ta có thể giả sử f0(0) = S. Giả sử rằng
(i) X là một lân cận của không trong RN và f : X → RN là hàm thuộc lớp Cr,
r ≥1, f(0) = 0, f0(0) =S, det(S)6= 0.
(ii) f(r)(x) = f(r)(0) +O|x|δ, x→0, 0≤r≤1. Định lí 2.1.5.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thỏa mãn, các nghiệm đặc trưng s1, s2, ..., sN
của S thỏa mãn 0≤ |s1| ≤ ... ≤ |sN| ≤1, điều kiện
sq1 1 · · ·sqN N 6=si với i= 1, ..., N, q1, ..., qN ∈N0 (2.12) ở đó N P j=1
qj =p, p = 2, ..., r được thỏa mãn và nếu |sN|r+δ < |s1| thì phương trình
(2.11) có duy nhất một nghiệm thuộc lớp Cr là σ : U → RN trong lân cận U của gốc sao cho σ(0) = 0, σ0(0) =E và σ(r)(x) = σ(r)(0) +O
|x|δ, x→0.
Chú ý 2.1.6.
Cho δ = 0 từ định lý 2.1.5 thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm σ của (2.11)
thuộc lớp Cr sao cho σ(0) = 0, σ0(0) =E với giả thiết rằng f là hàm thuộc lớp Cr
trên X, f(0) = 0, f0(0) =S, |sN|r/|s1|<1 và điều kiện (2.12) đúng với p= 2, ..., r
(xem S. Sternberg [26])
Định lý sau được trích từ Hartman [10] và Hartman [11] Định lí 2.1.7.
Nếu giả thiết (i) được thỏa mãn với r ≥2 và |sk| <1 với k = 1, ..., N ở đó sk là
các nghiệm đặc trưng của S thì phương trình (2.11) có nghiệm σ :U →RN thuộc
Nếu không phải mọi nghiệm đặc trưng của S đều nằm bên trong hình tròn đơn vị thì chúng ta có định lý sau (xem Sternberg [27])
Định lí 2.1.8.
Nếu giả thiết (i) được thỏa mãn với r ≥2 và |sk| 6= 1 với k = 1, ..., N ở đó sk là
các nghiệm đặc trưng của S, nếu điều kiện (2.12) được thỏa mãn với p = 2, ..., r
thì phương trình (2.11) có một nghiệm σ :U →RN thuộc lớp Cρ, 1≤ρ≤r trong
lân cận U của gốc thỏa mãn điều kiện σ0(0) =E. Hơn nữa, ρ→ ∞ khi r→ ∞ và
ρ=∞ khi r=∞.