M.C.Zdun [29] đã xem xét các phương trình Abel đồng thời (
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1
ϕ(g(x)) =ϕ(x) +s (3.57) Với x∈X = (0, a),0< a≤ ∞. Trong trường hợp sau
(i) f và g là các đồng phôi giao hoán từ X vào X và fm(x)6= gn(x) trên X, ở đó (m, n)∈Z2\ {(0,0)}.
Cho L là tập các điểm giới hạn của C(x) = {fm◦gn(x) : m, n∈Z} với x ∈ X. Trong Zdun [29] đã chứng minh được rằng L không phụ thuộc vào X và hoặc L là tập không đâu trù mật hoàn toàn hoặc L= [0, a].
Mệnh đề 3.6.3.
Giả sử (i) đúng, khi đó có chỉ một s∈ R sao cho hệ (3.57) có một nghiệm liên
tục ϕ:X →R, s này là vô tỷ thì nghiệm liên tục của (3.57) là duy nhất sai khác
một hằng số cộng, là đơn điệu và ánh xạ L∩X vào R. Hơn nữa, nó khả nghịch
Trong luận văn này em đã trình bày những nội dung sau:
Tổng hợp đầy đủ các kiến thức về tính chất nghiệm của phương trình hàm tuyến tính. Từ đó áp dụng vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình Schr¨oder và Abel. Các tính chất chính quy nghiệm của các phương trình Schr¨oder và Abel như tính tính lồi (lõm), tính khả vi, tính đơn điệu, tính trơn, tính giải tích, .... của nghiệm đã được thể hiện đầy đủ trong luận văn này.
Trình bày một số áp dụng liên quan của các phương trình Schr¨oder và Abel. Trong luận văn này đã đưa ra hai ví dụ tiêu biểu, một ví dụ áp dụng phương trình và hệ phương trình Abel để tìm phép biến đổi đưa phương trình vi phân với lệch biến về phương trình vi phân với lệch hằng, một ví dụ áp dụng phương trình và hệ phương trình Schr¨oder để chứng minh một đặc tính của chuẩn các dãy số thực hoặc phức trong không gian lp. Mặc dù số lượng ví dụ đưa ra trong luận văn không nhiều nhưng nó đã thể hiện được mục tiêu kiến thức mà luận văn đề cập tới, thể hiện được một số vấn đề thiết thực trong toán học giải tích.
[1] ACZÉL J. (1966), Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, NewYork.
[2] BARNA B. (1960), Uber die Iteration reeller Funktionen. I, II, Math. De- brecen.
[3] BODEWADT U.T. (1944),Zur Iteration reeller Funktionen, Math. Zeitschr. [4] BARVÍNEK E. (1961), On the distribution of zeroes both of solutions to the linear differential equation y00 = Q(t)y and of their derivatives, Acta. Fac. Nat. Univ. Comenian.
[5] CHOCZEWSKI J. (1963), On differentiable solutions of a functional equa- tion, Ann. Polon. Math.
[6] CLARK W.E - MUKHERJEA A. [1] (1980), Comments on a functional
equation, Real Anal. Exchange.
[7] DIAMOND PH. (1981), The Schr¨oder and Abel functional equation and
nonautonomous differential equations, preprint, University of Queensland.
[8] DUBUC S. (1982), Etude théorique et numérique de la fonction de Karlin-
McGregor, Journal d’Anal. Math.
[9] DARSOW W.F. - FRANK M.J. (1983), Associative functions and Abel-
Schr¨oder systems, Publ. Math. Debrecen.
[10] HARTMAN PH. (1960), On local homeomorphims of Euclidean spaces, Bol. Soc. Mat. Mexicana.
[11] HARTMAN PH. (1964), Ordinary differential equations, John Wiley & Sons. NewYork.
[12] FATOU P. (1919),Mémoire sur les équations fonctionnelles, Bull. Soc. Math. France.
[13] KOENIGS G. (1884), Recherches sur les intégrales de certaines équations
fonctionnelles, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.
[14] KUCZMA M. (1973), Quelques observations à propos de l’équation pré-
Schr¨oder, Ann. Polon. Math.
[15] KUCZMA M. (1974), Note on linearization, Ann. Polon. Math.
[16] KUCZMA M. (1985), An introduction to the theory of funcional equations
and inequalities. Cauchy’s equation and Jensen’s inequality, Polish Scientific
Publishers, Warsaw.
[17] KARLIN S. - MCGREGOR J. (1968), Embedding iterates of analytic func-
tions with two fixed points into continuous groups, Trans. Amer. Math. Soc.
[18] LACZKOVICH M. - ZÉVESZ SZ. (1986), Decomposition into periodic func-
tions belonging to a given Banach space, manuscript, University of Budapest.
[19] MATKOWSKI J. (1983), On a characterization of norms in Lp and func-
tional equations, Proceedings of the International Conference on Functional
Equations and Inequalities.
[20] NEUMAN F. (1981), On transformations of differential equations and sys-
tems with deviating argument, Szechoslovak Math.
[21] NEUMAN F. (1982), Simultaneous solutions of a system of Abel equations
and differential equations with several deviations, Szechoslovak Math.
[22] ROTA G. C. (1990), Interative Function Equations, volume 32, Cambridge. NewYork.
[23] SIEGEL C. L. (1956), Vorlesungen uber Himmelsmechanik, Spinger Verlag. Berlin.
[24] SMAJDOR W. (1968), Local analytic solutions of the functional equation
ϕ(z) =h(z, ϕ[f(z)]) in multidimensional spaces, Aequationes Math.
[25] SENETA E. (1969), On Koenigs’ ratios for iterates of real functions, J. Aus- tral. Math. Soc.
[26] STERNBERG S. (1957), Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer. J. Math.
[27] STERNBERG S. (1958), On structure of local homeomorphisms of euclidean
n-spaces, Amer. J. Math.
[28] TARGONSKI GY. (1970), P 63, Aequations Math.