Phương trình Schr¨oder (2.13) không thể có các nghiệm thú vị trong trường hợp
s=f0(0) = 1, nhưng phương trình Abel:
lại đặc biệt hữu ích trong trường hợp này. Ở đây, chúng ta đề cập tới trường hợp khác khi |s| ≤1. Chúng ta bắt đầu với s không là căn của đơn vị và với các giả thiết sau:
(i) X ⊂C là một lân cận của gốc.
(ii) f :X →C là một hàm giải tích, f(0) = 0, s =f0(0).
Trước hết các công thức của định lý 2.2.6 và 2.2.7 cho chúng ta thấy thấy rằng các nghiệm α của (2.39) là đa trị. Phương trình (2.39) được hiểu là với mọi x sao cho x và f(x) cùng thuộc miền xác định của α và với mọi giá trị của α tại f(x), một nhánh của α có thể được chọn sao cho (2.39) đúng.
Định lí 2.2.6.
Với các giả thiết (i), (ii) và giả sử rằng hoặc 0<|s|<1 hoặc s∈S, ở đó S là tập
Siegel thì phương trình (2.39) có một họ nghiệm duy nhất α xác định trên một
lân cận của gốc sao cho:
α(x) = logx/logs+ϕ(x) (2.40) Ở đó là một hàm giải tích trên một lân cận của gốc. Các nghiệm này cũng được cho bởi:
α(x) = logσ(x)/logs (2.41)
Ở đó σ là một nghiệm LAS không tầm thường của phương trình schroder (2.13)
và logs là một giá trị bất kỳ của logarit tại s.
Chứng minh.
Đặt ψ(x) = ϕ(x).logs, nếu α có dạng (2.40) và thoả mãn phương trình (2.39) trong một lân cận của x= 0 thì hàm σ cho bởi:
σ(x) = exp[α(x).logs] =x.exp (ψ(x))
là một nghiệm LAS của phương trình (2.13). Đảo lại, nếu σ là một nghiệm như mong đợi của (2.13) thì theo định lý 2.1.12 ta có σ0(0) = 0 và vì vậy α được cho bởi (2.41) có tính chất (2.40) và thoả mãn (2.39). Theo định lý 2.1.12 và 1.2.23 nghiệm LAS σ của (2.13) được xác định duy nhất sai khác một hằng số nhân, vậy α sai khác một hằng số cộng.
Lập luận tương tự với định lý 2.1.11 ta thu được định lý sau Định lí 2.2.7.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn và giả sửs 6= 1 là một căn bậc p của đơn
vị thì phương trình (2.39)có các nghiệm α dạng (2.40) với ϕ là một hàm giải tích
Chú ý 2.2.8.
Chúng ta chú ý rằng không nghiệm đơn trị nào của (2.39) tồn tại trong một miền
chứa điểm cố định của f có bậc bất kỳ. Cho ví dụ, phương trình α(−x) = α(x) + 1
không thể có nghiệm đơn trị, bằng cách áp dụng 2 lần phương trình này chúng ta được α(x) = α(−x) + 2. Tuy nhiên, cả hai phương trình này đều được thoả mãn bởi hàm đa trị α(x) = (πi)−1logx.
Xét phương trình Abel với nghiệm phức:
α(f(x)) = α(x) + 1 (2.42) trong đó s =f0(0) = 1.
Định lí 2.2.9.
Cho f có khai triển (1.20), f giải tích trong một lân cận của gốc. Khi đó, phương
trình (2.42) có nghiệm α xác định trong một lân cận của gốc sao cho:
α(x) = c0.logx+ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
m−1
X
i=1
ci.x−i+ϕ(x), c0, c1, ..., cm−1 ∈C (2.43)
ở đó ϕ là một hàm giải tích trong một lân cận của gốc, α được xác định duy nhất
sai khác một hằng số dương và được cho bởi công thức:
α(x) = c+ Z x x0 " Z f(x0) x0 dt f∗(t) #−1 dt f∗(t) (2.44)
Ở đó c là một hằng số bất kỳ, x0 là một điểm bất kỳ cố định trong một lân cận V
của gốc, tích phân được lấy theo một đường cong bất kỳ nối x0 và f(x0) và x0 và
x, f∗ là logit (f). Chứng minh.
Choα xác định trên một lân cận của gốc là một nghiệm của (2.42) với thuộc tính (2.43). Do (2.42) không thể có một nghiệm giải tích ở gốc toạ độ nào nên không có ci nào bằng 0.
Vì vậy, λ(x) = 1/λ0(x) giải tích tại gốc toạ độ và thoả mãn phương trình (1.21). Theo định lý 1.1.15, chúng ta có λ(x) =δ.f∗(x) với một δ 6= 0. Từ f∗(x) =xmϕ(x) với ϕ(0) =bm 6= 0, hàm 1/λ giải tích trong một lân cận V của gốc và có một cực điểm bậc m tại 0. Do đó trong V ta có:
α(x) = c+ Z x x0 dt λ(t) =c+δ −1 Z x x0 dt f∗(t) (2.45)
Ở đó x0∈V là bất kỳ và tích phân lấy trên đường tuỳ ý trong V nối x0 với x. Do α thoả mãn (2.42)), chúng ta có: Z f(x0) x0 dt f∗(t) = Z f(x0) x0 α0(t)dt =δ[a(f(x0))−α(x0)] = δ
Và như vậy (2.44) thu được từ (2.45).
Bây giờ chúng ta giả sử rằng f∗ là một hàm giải tích trong một lân cận của gốc thì trong một lân cận của x = 0 chúng ta có f∗(x)6= 0, f(x)6=−x và:
lim x→0 Z f(x) x dt f∗(t) = limx→0 f(x)1−m−x1−m (1−m)bm = 1 (2.46)
Ở đó, tích phân lấy trên đoạn thẳng nối x và f(x). Vậy chúng ta có thể tìm một lân cận V của gốc sao cho cả f∗ và phần nguyên xuất hiện trong (2.46) không triệt tiêu trên V. Lấy α(x) với x∈V xác định bởi (2.44) trong đó x0 ∈V là một điểm bất kỳ cố định, khi đó dễ dàng thấy rằng α có tính chất (2.43) và thoả mãn phương trình (2.42)).
Một số áp dụng liên quan
Trong chương này chúng ta thảo luận sâu hơn về các vấn đề liên quan tới phương trình Schr¨oder:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.1) phương trình Abel:
α(f(x)) = α(x) + 1 (3.2) và các ứng dụng của chúng. Chúng ta bắt đầu bằng việc giới thiệu về nghiệm chính của phương trình (3.1) và (3.2) và về thuật toán của Lévy và Keonigs. Trong mục 3.2 chúng ta xem xét quan hệ giữa hệ tiền Schr¨oder:
σ[f(x)]n =σ(fn(x)) [σ(x)]n−1; n∈N
và phương trình Schr¨oder (3.1).
Các phương trình Schr¨oder và Abel cùng được đưa ra trong mục 3.3 nhằm xác định các hàm liên kết. Các hệ dạng (3.2) cung cấp các phép biến đổi của các phương trình vi phân với đối số lệch (mục 3.4) và các hệ dạng (3.1) được dùng như một công cụ để nghiên cứu đặc tính của các chuẩn trong một vài không gian hàm và dãy (mục 3.5). Một vài ứng dụng xa hơn được ghi lại trong mục Các chú ý 3.6.
Ở đây chúng ta sẽ chỉ ra các vấn đề liên quan và áp dụng của phương trình (3.1) và (3.2) đã được trình bày ở các chương trước.
3.1. Các nghiệm chính
Trong hầu hết các ứng dụng của phương trình Schr¨oder và Abel đều xuất hiện nghiệm duy nhất được xác định bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp của hàm f. Theo G.Szekeres chúng ta phân biệt một loại nghiệm đặc biệt được gọi là nghiệm chính của phương trình Schr¨oder và Abel.
Chúng ta lấy X = [ 0;a|, 0 < a ≤ ∞ và f : X → X là một hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt, 0< f(x)< x trong X\ {0}. Định nghĩa 3.1.1. Chúng ta giả sử rằng giới hạn: s := lim n→∞ fn+1(x) fn(x) , x∈X\ {0}
tồn tại và không phụ thuộc vào x. Lấy x0 ∈X\ {0}, nếu giới hạn: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
σ(x) = lim
n→∞
fn(x)
fn(x0), x∈X (3.3)
tồn tại, dương và hữu hạn trong X\ {0} thì nó thỏa mãn:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.4)
và nó được gọi là nghiệm chính của phương trình Schr¨oder (3.4).
Nếu chúng ta thêm x1∈X\ {0} và thay vào vị trí của x0 trong (3.3) thì sẽ thu được giới hạn khác sai khác một hằng số nhân. Vì vậy nghiệm chính của phương trình Schr¨oder là duy nhất sai khác một hằng số.
Trong trường hợp tổng quát, các nghiệm chính được xem xét gần gốc hơn các nghiệm khác của (3.4). Các điều kiện cho sự tồn tại giới hạn (3.3) được bao gồm trong định lý 2.1.1; 2.1.2 và trong bổ đề 1.2.11.
Chú ý 3.1.2.
Nếu tồn tại giới hạn
e
σ(x) = lim
n→∞s−nfn(x), x∈X (3.5)
thì giới hạn (3.3) tồn tại. Điều ngược lại không đúng.
E. Seneta [25] đã chứng minh được rằng điều kiện tồn tại của eσ, 0 <eσ < ∞
là sự hội tụ của tích phân:
δ
Z
0
(f(x)−sx)x−2dx
vớiδ ∈X\ {0}(xem định lý 1.1.9). Công thức (3.5) được gọi là thuật toán Koenigs (xem định lý 2.1.4).
Bây giờ, cho (dn)n∈N là dãy các số thực bất kỳ mà: lim
n→∞ 1
dn
Định nghĩa 3.1.3.
Cho dãy (dn) có tính chất (3.6), nếu tồn tại giới hạn
α(x) := lim n→∞ 1 dn (fn(x)−fn(x0)), x∈X\ {0} (3.7) ở đó x0 ∈X\ {0} thì nó thỏa mãn: α(f(x)) =α(x) + 1 (3.8)
và nó được gọi là nghiệm chính của phương trình Abel (3.8).
Dễ dàng chỉ ra rằng giới hạn (3.7) không phụ thuộc vào việc chọn dãy (dn) thỏa mãn (3.6) và nếu thay thế x0 trong (3.7) bởi x1 ∈X\ {0} chúng ta thu được một giới hạn sai khác một hằng số cộng. Vì vậy, nghiệm chính của phương trình Abel xác định sai khác một hằng số cộng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chú ý 3.1.4.
Nếu (3.6) đúng với dn =fn+1(x0)−fn(x0), ở đó x0 ∈X\ {0} và nếu tồn tại giới hạn: e α(x) = lim n→∞ fn(x)−fn(x0) fn+1(x0)−fn(x0), x∈X\ {0} (3.9) thì nó là nghiệm chính của (3.8).
Công thức (3.9) được gọi là thuật toán Lévy. Định lý 2.2.2 và 2.2.5 đưa ra các điều kiện để thuật toán Lévy có thể thực hiện được.
3.2. Hệ tiền Schr¨oder
Cho X là một tập hợp và hàm f : X → X, các nghiệm σ : X → K của phương trình Schr¨oder:
σ(f(x)) =s.σ(x) (3.10) là các hàm riêng (tương ứng với giá trị riêng s ∈K) của toán tử thay thế T(ϕ) =
ϕ◦f xác định trong không gian các ánh xạ ϕ:X →K.
Chúng ta muốn khử hằng số s trong (3.10), để làm được điều này ta lặp lại n lần biểu thức (3.10) sau đó nâng hai vế của (3.10) lên lũy thừa bậc n, rồi so sánh các kết quả thu được. Chúng ta sẽ đi đến một hệ:
[σ(f(x))]n =σ(fn(x)).[σ(x)]n−1, n∈N (3.11) Hệ này được giới thiệu bởi Gy. Targonski [28] với tên là hệ tiền Schr¨oder.