Bổ đề 3.4.3 và 3.4.4 gợi ý cho sự tồn tại định lý sau đối với hệ (3.37) (xem Newman [21])
Định lí 3.4.5.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thỏa mãn. Trong hai trường hợp sau sẽ tồn tại
các hằng số ci 6= 0, i = 1, ..., k sao cho hệ (3.37) có nghiệm α : X → R thuộc lớp
Cn trên X và thỏa mãn α0(x)>0 trên X. (tức là khẳng định (iii) đúng).
(a) Tồn tại hàm g : X → X thuộc lớp Cn trên X, thỏa mãn g’(x) > 0, g(x) > x
trên X và có các số nguyên mi6= 0 sao cho fi =gmi, i= 1, ..., k.
(b) Tập G trù mật trong X2, hàm H :G→ R xác định tốt theo (3.39) và có một
mở rộng H∗ : X2 → R thuộc lớp Cn−1 trên X2 đồng thời thỏa mãn phương trình
(3.40) trong X2. Chứng minh.
(a) Từ định lý 1.2.20 chúng ta biết rằng phương trình Abel
α(g(x)) =α(x) + 1
Có một nghiệm α : X → R thuộc lớp Cn trên X thỏa mãn α0(x) > 0 trong X (nghiệm này chứa một hàm bất kỳ). Hàm α thỏa mãn hệ (3.37) với ci =mi từ đó chúng ta có:
α(fi(x)) = α(gmi(x)) = α(x) +mi, i= 1, ..., k
(b) Đầu tiên ta chú ý rằng H* > 0. Thực vậy, H∗|G =H > 0 theo (ii) và (3.39), nếu H* không dương trong X2 thì từ tính liên tục của nó sẽ tồn tại một điểm (u, v) ∈ X2 sao cho H*(u, v) = 0. Nhưng như thế chúng ta sẽ có theo (3.40) với (x, y)∈X2 bất kỳ.
H∗(x, y) =H∗(x, u)H∗(u, v)H∗(v, y) = 0
Đây là một mâu thuẫn. Bây giờ chúng ta cố định x0, y0 ∈X và định nghĩa hàm
ϕ:X→R như sau: α(x) = x Z x0 H∗(s, y0)ds, x∈X
Khi đó, α thuộc lớp Cn trên X, α0(x)>0 trên X. Chúng ta có
α◦fi◦α−1 0
(t) = H∗(fi(x), y0)fi0(x)/H∗(x, y0), x =α−1(t) (3.41) Nhận xét rằng fi∈F do vậy theo (3.39)
Hàm H* là một mở rộng của H. Vì vậy, chúng ta thu được từ (3.41), từ H* thỏa mãn (3.40) (chúng ta lại đặt x=α−1(t)) α◦fi◦α−1 0 (t) =H∗(fi(x), y0)H∗(x, fi(x))/H∗(x, y0) = 1; i= 1, ..., k vì thế α◦fi◦α−1(t) =t+di
Ở đó di = α(fi(x0)) 6= 0 từ α(x0) = 0, fi(x0) 6= x0 và α tăng nghiêm ngặt. Vì vậy khẳng định (iii) đúng cho hệ (3.37) với ci =di.
Chú ý 3.4.6.
Định lý 3.4.5 bao gồm các điều kiện để một phương trình vi phân có lệch với lệch biến có thể biến đổi về dạng khác với lệch hằng.
Phương pháp để chuyển các phương trình vi phân có lệch về dạng đơn giản hơn được đề xuất bởi F. Newman [20], [21]. Phương pháp của ông là tìm nghiệm trơn của các phương trình Abel đồng thời nó dựa vào các kết quả của O.Boruvka liên quan đến nhóm các phép biến đổi một tham số. Để tìm thêm các kết quả về các phương trình hàm được đề cập trong mục này xem ở Bodewadt [3] và Barvínek [4] hoặc Choczewski [5].
3.5. Hệ Schr¨oder và đặc tính của chuẩn
Đặc tính của chuẩn theo các phương trình hàm và các kết quả trong mục này được trích dẫn theo J. Matkowski [19].