Chúng ta sẽ chứng minh một định lý về các nghiệm khả vi σ:X →R của phương trình Schr¨oder:
σ(f(x)) =sσ(x) (2.6)
Giả thiết rằng:
(i) X =|0, a|, 0< a≤ ∞
(ii) f : X → X thuộc lớp C1 trên X, 0 < f(x) < x, f0(x) > 0 trên X\ {0} và
f0(x) = s+O(xδ), x →0, δ >1, 0< s <1. Nhận xét 2.1.3.
Nếu f ∈ C2 trên X và f0(0) = s thì quan hệ tiệm cận (ii) tất nhiên được thoả
mãn.
Định lí 2.1.4.
duy nhất σ :X →R thuộc lớp C1 trên X thoả mãn σ0(0) = 1. Nghiệm này cho bởi công thức:
σ(x) = lim
n→∞s−nfn(x) (2.7)
và là hàm tăng nghiêm ngặt trên X, thoả mãn điều kiện:
σ0(x) = 1 +O(xδ), x→0 (2.8) Chứng minh.
Trước hết chúng ta chú ý rằngσ(0) = 0với bất cứ nghiệmσ:X →Rnào của (2.6). Hơn thế, phương trình (2.6) có nghiệm σ thuộc lớp C1 trên X sao cho σ0(0) = 1 nếu và chỉ nếu phương trình:
ϕ(f(x)) = s
f0(x)ϕ(x) (2.9)
Có nghiệm liên tục ϕ:X →R sao cho ϕ(0) = 1. Rõ ràng, ta có σ(x) =
x
R
0
ϕ(t)dt. Từ f0(x) = s+O(xδ), chúng ta có f(x) =sx+O(x1+δ) và s/f0(x) = 1 +O(xδ) khi
x →0. Chúng ta áp dụng định lý 1.2.17 vào phương trình (2.9), theo đó nghiệm liên tục ϕ:X →R của (2.9) sao cho ϕ(0) = 1 là tồn tại và duy nhất. Vì vậy, điều này cũng đúng cho nghiệm thuộc lớp C1 của (2.6) trên X sao cho σ0(0) = 1. Để chứng minh (2.8) chúng ta tiến hành như sau. Công thức:
b
σ(x) = 1 +xδϕb(x), x∈X\{0}, ϕb(0) = 0
liên kết nghiệm bσ thuộc lớp C1 của (2.6) với nghiệm ϕb thuộc lớp B (với Y = R, xem (1.60)) của phương trình:
b ϕ(f(x)) =bg(x)ϕb(x) +bh(x) (2.10) Ở đó: b g(x) = ( (x/f(x))δS/f0(x), nếux∈X\{0} s−δ, nếux= 0 bh(x) = ( (S/f0(x)−1)δ(f0(x))−δ, nếu x∈X\{0} 0, nếu x= 0 Từ |bg(0)| > 1, từ định lý 1.2.16 chúng ta suy ra rằng phương trình (2.10) có nghiệm duy nhất bσ trong lớp B. Nghiệm tương ứng của (2.6) cũng là duy nhất nhưng bσ thuộc lớp C1 trên X và bσ0(0) = 1 để bσ=σ. Vì vậy nghiệm σ tìm được có tính chất (2.8).
tăng nghiêm ngặt trên X.
Cuối cùng ta chứng minh công thức (2.7), lặp lại (2.6) bằng quy nạp ta thu được:
σ(x) = s−nσ(fn(x)) = s−nfn(x)[σ(fn(x))/fn(x)] Với x∈X\ {0} và n ∈N, vì thế (2.7) kéo theo khi lim
n→∞fn(x) = 0 và σ0(0) = 1, khi
x= 0 thì (2.7) là tầm thường.