Áp dụng định lý 1.2.21 vào phương trình Schr¨oder:
σ(f(x)) =s.σ(x) (2.13) ta thu được một định lý nổi tiếng của G.Koenigs[13]
Định lí 2.1.9.
Cho X ⊂C là một lân cận gốc, f :X→C là một hàm giải tích thoả mãn:
f(0) = 0, f0(0) =s, 0<|s|<1
thì phương trình (2.13) có duy nhất một nghiệm LAS là σ thoả mãn σ0(0) = 1,
nghiệm này cho bởi công thức:
σ(x) = lim
n→∞s−nfn(x) (2.14) Chứng minh.
Vì S(f0(0))k = Sk+1 6= 1, ∀k ∈ N nên hệ (1.73) khi áp dụng cho phương trình (2.13) có nghiệm duy nhất. Do vậy, sự tồn tại duy nhất nghiệm LAS σ của (2.13) được kéo theo từ định lý 1.2.21. Công thức (2.14) thu được bằng lập luận mà chúng ta đã dùng trong chứng minh định lý 2.1.4 (công thức (2.7))
Chú ý 2.1.10.
Nếu một hàm khả nghịch σ thoả mãn phương trình (2.13) thì nghịch đảo của nó
ϕ=σ−1 thoả mãn phương trình Poincaré:
ϕ(sx) = f(ϕ(x))
Trong trường hợp |s| = 1 mà s không là căn của đơn vị thì kết quả thu được từ định lý 1.2.23, còn trường hợp s là căn của đơn vị thì chúng ta có kết quả sau.
Định lí 2.1.11.
Giả sử các điều kiện của định lý 2.1.9 được thoả mãn ngoại trừ s là căn bậc p của
đơn vị thì phương trình (2.13)có một nghiệm LASσ thoả mãn σ(0) = 0, σ0(0) = 1
nếu và chỉ nếu fp =id và khi đó nghiệm này là không duy nhất.
Chứng minh.
Từ (2.13) ta có σ(fp(x)) = σ(x). Vì thế fp = id nếu σ là một nghiệm LAS khả nghịch của (2.13). Đảo lại, nếu fp =id và g :X →C là một hàm giải tích tuỳ ý thì: σ(x) = p−1 X i=0 s−ig(fi(x)) (2.15) là một nghiệm LAS của (2.13). Nếu g(0) = 0 và g0(0) = p−1 thì σ(0) = 0 và
σ0(0) = 1.
Công thức (2.15) với g chạy khắp họ các hàm giải tích tại gốc sẽ cho ta nghiệm LAS tổng quát của phương trình trong trường hợp fp=id. Thực tế mọi nghiệm
σ đều biểu diễn được dưới dạng (2.15) với g(x) =p−1σ(x). Định lí 2.1.12.
Cho X ⊂C là một lân cận của gốc, là một hàm giải tích, f(0) = 0, s =f0(0) 6= 0.
Nếu s không là căn của đơn vị và σ0 là một nghiệm LAS không tầm thường của
phương trình (2.13) thì σ00(0) 6= 0 và nghiệm LAS tổng quát của (2.13) được cho
bởi công thức σ(x) = c.σ0(x) ở đó c∈C là hằng số bất kỳ. Chứng minh.
Giả sửσ00(0) = 0, dos 6= 0nên chúng ta có σ0(0) = 0và vì vậyσ0(x) =xp.ϕ(x), p≥
1, ϕ(0) 6= 0. Vì thế ϕ(f(x)) = s(x/f(x))pϕ(x) và thay x = 0 vào ta được ϕ(0) =
ϕ(0).s1−p ⇒ s1−p = 1 đây là một mâu thuẫn vậy σ00(0) 6= 0. Gọi σ là một nghiệm LAS bất kỳ của (2.13), σ(0) = 0 và vì vậy hàm ω =σ/σ0−c với c =σ0(0)/σ00(0) là một hàm giải tích trong một lân cận của gốc và ω(0) = 0. Hơn nữa, áp dụng (2.13) cho σ và σ0 chúng ta có ω(f(x)) =ω(x) trên X. Tham khảo chú ý 2.1.13 để thấy rằng ω= 0 vì thế σ=c.σ0.
Chú ý 2.1.13.
Dưới giả thiết của định lý 1.2.25 thì phương trình ω(f(x)) =ω(x) chỉ có nghiệm
LAS là hằng số ω = ω(0). Vì nếu ω(x)−ω(0) = xkΩ(x), k ∈ N, Ω(0) 6= 0 thì
(f(x)/x)kΩ (f(x)) = Ω(x) do skΩ(0) = Ω(0) khi x → 0 và sk 6= 1 chúng ta có Ω(0) = 0, đây là một mâu thuẫn.
Cho S là một ma trận, S∈CN×N. Chúng ta ký hiệu hàm chưa biết là σ. Như vậy ta có phương trình Schr¨oder:
σ(f(x)) =S.σ(x) (2.16) Nếu hàm f có điểm cố định tại gốc và khả vi tại đó thì theo định lý 8.1.1 phương trình (2.16) có thể có nghiệm trơn chỉ nếu ma trận S và f0(0) là liên hợp tức là
f0(0) =C.S.C−1. Đặt bσ =c.σ, chúng ta thu được bσ là nghiệm cuả phương trình: b
σ(f(x)) =f0(0).bσ(x).
Vì vậy, trong phần tiếp theo chúng ta sẽ giả sử rằng:
f0(0) =S (2.17)
Để tìm nghiệm giải tích địa phương của phương trình Schr¨oder trong CN chúng ta giả sử:
(i) X là một lân cận của không trong CN và f : X → CN là một hàm giải tích
f(0), f0(0), detS 6= 0.
Đạo hàm hai vế (2.16) và thay x= 0 chúng ta có:
σ0(0).S =S.σ0(0)
điều này được thoả mãn chẳng hạn với η1 = σ0(0) = E, E là ma trận đơn vị cấp
N. Trong trường hợp tổng quát, các ma trận ηp =σ(p)(0), p = 2, 3, ... phải thoả mãn hệ vô hạn các phương trình có được bằng cách đạo hàm (2.16), p lần và sau đó thay x = 0 vào. Với p ≥ 2 thì ηp có thể tồn tại hoặc không. Tuy nhiên, theo kết quả của W.Smajdor [24] về các nghiệm hình thức của các phương trình không tuyến tính thì với mọi p≥2, ηp được xác định duy nhất khi:
sk1...skp 6=si; i, k1, ..., kp = 1, N , p = 2,3, ... (2.18) Ở đó,Sk là các nghiệm đặc trưng của S, điều kiện (2.18) có thể viết lại tương ứng với: sq1 1 ...sqN N 6=si;i= 1, N , q1, ...qN ∈N0 (2.19) Trong đó N P j=1
qj =p, p = 2, 3, . . . .. Định lý sau trên các nghiệm giải tích của (2.16) cũng là một kết quả từ W.Smajdor [24].
Định lí 2.1.14.
Nếu giả thiết (i) được thoả mãn, điều kiện (2.19) và
|si|<1 với i= 1, N
được thoả mãn với s1, ..., sN là các nghiệm đặc trưng của S thì phương trình
(2.16) có duy nhất một nghiệm giải tích địa phương σ : U → CN trong một lân
2.2. Phương trình Abel