Xét nghiệm của phương trình Julia:
λ(f(x)) =f0(x).λ(x) (2.24) trong lớp hàm
D={ϕ: X →R, ϕ liên tục trên X và khả vi tạix= 0}
Chúng ta giả thiết rằng: (i) X =|0, a|, 0< a≤ ∞
(ii) f : X → X thuộc lớp C1 trên X, 0 < f(x) < x, f0(x) > 0 trên X\ {0} và
f0(x) = s+O(xδ), x →0, δ >1, 0< s <1.
(iii) f :X →X là lồi hoặc lõm và thuộc lớp C1 trên X, 0 < f(x) < x và f(0) 6= 0 trên X\ {0}.
Chúng ta tiếp tục đặt s=f0(x0), theo (iii) ta có 0≤s ≤1. Chúng ta chứng minh được rằngλ∈Dlà nghiệm của (2.24) nếu và chỉ nếu ϕ(x) = λ(x)/x, (ϕ(0) =λ0(0)) là nghiệm liên tục của phương trình
ϕ(f(x)) =g(x)ϕ(x) (2.25) Định lí 2.2.3.
Với các giả thiết (i) và (ii) nhưng với quan hệ tiệm cận được thay thế bởi:
f0(x) = 1−b(m+ 1)xm+O(xm+δ), x→0, (2.26)
ở đó b, m, δ là các hằng số dương thì phương trình (2.24) có một họ nghiệm liên
tục duy nhất λ :X →R sao cho:
λ(x) =xm+1(c+O(xτ)), x→0, c∈R (2.27) ở đó τ = min(m, δ), các nghiệm này cho bởi công thức:
λ(x) = clim
Chứng minh. Chúng ta đặt
λ(x) =xm+1ϕ(x). (2.29) với mỗi nghiệm λ:X →Rcủa phương trình (2.24) có các tính chất đã được phát biểu trong định lý có tương ứng một nghiệm liên tục ϕ:X →R của phương trình (2.25) sao cho ϕ(x) =c+ O(xτ), x→0 ở đó:
g(x) =xm+1f0(x)(f(x))−m−1, x ∈X\{0}, g(0) = 1
và ngược lại hai nghiệm được liên hệ với nhau theo (2.29).
Để giải phương trình (2.25) với g trên, ta chú ý rằng quan hệ (2.26) ngụ ý rằng
f(x) =x−bxm+1+O(xm+1+δ) (2.30) Do đó, theo định nghĩa của g
g(x) = 1 +O(xm+τ), x →0
theo định lý 1.2.18 (xem thêm định lý 1.2.13) phương trình (2.25) có một họ nghiệm liên tục duy nhất ϕ:X →R, chúng được cho bởi công thức:
ϕ(x) = c. lim n→∞ n−1 Y i=0 g(fi(x))−1 =c. lim n→∞ x−m−1(fn(x))m+1/(fn)0(x) và chúng có tính chất ϕ(x) =c+ O(xτ), x → 0. Hàm λ xác định bởi (2.29) thoả mãn các điều kiện của định lý.
Xét phương trình Abel
α(f(x)) = α(x) + 1 (2.31) rõ ràng phương trình (2.31) không thể có nghiệm xác định tại điểm cố định của
f, vì thế 0∈/X. Chúng ta thay thế giả thiết (i) bằng giả thiết (i’) X = (0, a|, 0< a≤ ∞.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu (ii) được thoả mãn thì nghiệm của phương trình (2.31) có thể thu được qua định lý 2.1.4 với sự trợ giúp của nghiệm khả vi của phương trình Schr¨oder.
Định lí 2.2.4.
Với các giả thiết (i’) và (ii) thì phương trình (2.31) có một họ nghiệm duy nhất
α:X →R thoả mãn điều kiện
ở đó lim
x→0ϕ(x) tồn tại và hữu hạn, các nghiệm này cho bởi công thức
α(x) = logσ(x)/logs+c, c∈R, (2.32)
ở đó σ : X ∪ {0} → R là một nghiệm thuộc lớp C1 của phương trình (2.6) trên
X∪ {0} sao cho σ0(0) = 1. Chứng minh.
Chúng ta có thể mở rộngf lênX∪ {0} bằng cách đặtf(0) = 0. Theo định lý 2.1.4 phương trình (2.6) có duy nhất một nghiệm thuộc lớp C1 làσ :X∪ {0} →R thoả mãn điều kiện σ0(0) = 1. Dễ dàng thấy rằng α cho bởi công thức (2.32) với c= 0 có mọi tính chất mong muốn.
Bây giờ gọi α˜ : X → R là một nghiệm khác của phương trình (2.31) thoả mãn ˜
α(x) = loglogxs + ˜ϕ(x), ở đó α˜ có giới hạn hữu hạn khi x → 0 thì hàm ω(x) = ˜
α(x)−α(x) = ˜ϕ(x)−ϕ(x) thoả mãn phương trình ω(f(x)) = ω(x) và có giới hạn hữu hạn tại 0 vì vậy ω =const. Do đó, nghiệm α là duy nhất sai khác một hằng số.
Đạo hàm hai vế của (2.31) chúng ta được:
α0(f(x)).f0(x) = α0(x)
Vì vậy phương trình Julia cũng có mối liên hệ với phương trình Abel. Trong trường hợp s = 1 chúng ta có định lý sau.
Định lí 2.2.5.
Giả sử (i’) và (ii) được thoả mãn nhưng quan hệ tiệm cận được thay thế bởi (2.26) thì phương trình (2.31) có một họ nghiệm duy nhất α : X → R thuộc lớp
C1 trên X và thoả mãn các điều kiện
α0(x) = x−m−1ϕ(x), (2.33)
ở đó lim
x→0ϕ(x) tồn tại hữu hạn. Các nghiệm này giảm nghiêm ngặt trên X và được
cho bởi công thức
α(x) =c+ lim
n→∞
fn(x)−fn(x0)
fn+1(x0)−fn(x0), (2.34)
ở đó x0 ∈X là một điểm cố định bất kỳ và c là một hằng số bất kỳ. Hơn nữa
α0(x) =−b−1x−m−1+O(x−m−1+τ), x→0, (2.35) ở đó τ = min(m, δ).
Chứng minh.
Định lý này được chứng minh phác hoạ như sau. Cố định một x0∈X và đặt
α(x) =r x Z x0 dt λ(t), (2.36)
ở đó λ:X →R được cho bởi (2.28) với c= 1 và có các tính chất được phát biểu trong định lý 2.2.3, hằng số r cần phải xác định. Các công việc sau cần phải được kiểm tra lại:
- Sự hội tụ trong (2.28) là hầu đều trên X.
- Theo định lý 1.1.10, (2.26) và tính đơn điệu của fn ta có: lim
n→∞(nbm)1/mfn(x) = 1, (2.37) - Theo (2.37) công thức (2.28) trở thành λ(x) = lim
n→∞ h
(nbm)−1−1/m/(fn)0(x) i
hội tụ hầu đều trong X, do đó có thể hoán đổi ký hiệulim với ký hiệu tích phân trong (2.36) để được α(x) = r lim n→∞ h (nbm)1+1/m(fn(x)−fn(x0))i, (2.38) - Từ λ thoả mãn (2.24), chúng ta có α(f(x))−α(x) =α(f(x0)) - Theo (2.30) (xem (2.26)), (2.38) và (2.37) ta có α(f(x0)) = −rb. - Trong (2.38) lấy r =−1/b chúng ta được (2.31).
- Công thức (2.34) với c= 0 có được bằng cách dùng (2.38) (r =−1/b) cho cả hai
α(x) và α(f(x0)) = 1 và sau đó đưa chúng về dạng thương.
- Tính chính quy và đơn điệu của α được kéo theo từ (2.36) (r=−1/b).
- Quan hệ (2.35) là hệ quả của (2.33) từ các kết quả của (2.36) (r = −1/b) và (2.27) (c= 1).
Để chứng minh tính duy nhất, ta nhận xét rằng nếu bσ là nghiệm thuộc lớp C1
trong X của phương trình (2.31) thoả mãn (2.33) thì bλ = 1/σˆ (bằng 0 tại gốc) phải là nghiệm liên tục của phương trình (2.24) trongX∪ {0}thoả mãn điều kiện (2.27). Theo định lý 2.2.3 thì λ =q.ˆλ vì vậy αˆ(x) = (q/r)(c+α(x)) và q=r khi αˆ thoả mãn (2.31).