Luận văn thạc sĩ phương trình bất phương trình lượng giác và một số ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - ĐỒN TH± CÚC PHƯƠNG TRÌNH, BAT PHƯƠNG TRÌNH LƯeNG GIÁC VÀ M®T SO ÚNG DUNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH NGUYEN VN MắU H Nđi Nm 2013 Mnc lnc Ma đau Phương trình lưang giác 1.1 Phương trình ban 1.2 Phương trình đưa ve dang đa thúc 1.3 Phương trình đưa ve dang tích 1.4 Phương trình lưong giác giai bang phương pháp so sánh 4 13 18 Bat phương trình lưang giác 2.1 Bat phương trình lưong giác ban 2.2 Su dung tính tuan hồn giai bat phương trình lưong giác 29 29 33 Úng dnng cua phương trình bat phương trình lưang giác 3.1 Úng dung đai so 3.2 Úng dung chúng minh thúc, bat thúc 3.3 Úng dung hình HQc 37 37 58 70 Ket lu¾n 86 Tài li¾u tham khao 87 Ma đau Chuyên đe lưong giác m®t n®i dung quan TRQNG cna chương trình tốn o b¾c Trung HQc phő thơng Các tốn ve "Phương trình, bat phương trình lưong giác" thưịng xuat hi¾n kỳ thi Đai HQc, Cao kỳ thi HQc sinh gioi Vi¾c nâng cao kien thúc giúp HQc sinh giai tot tốn đ®ng lnc đe tơi nghiên cúu đe tài Ban lu¾n văn đưoc chia làm chương Chương Phương trình lưong giác Trong chương này, m®t so kien thúc ban đưoc nhac lai Luắn trỡnh by mđt so phng phỏp giai phương trình lưong giác Chương Bat phương trình lưong giác e chương lu¾n văn đe c¾p đen phương pháp giai bat phương trình lưong giác Chương Úng dung cna phương trình bat phương trình Lu¾n văn trình bày hai úng dung quan TRQNG cna phương trình, bat phương trình lưong giác đai so hình HQc M¾c dù ban thân co gang nghiêm túc HQc t¾p nghiên cúu khoa HQc thịi gian có han, kien thúc ban thân cịn han che nên q trình thnc hi¾n lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sơ suat Rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban Tơi xin chân thành cam ơn HQc viên Đồn th% Cúc Lài cam ơn Tôi xin đưoc bày to lịng kính TRQNG lịng biet ơn sâu sac đen GS.TSKH Nguyen Văn M¾u Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan tơi suot q trình tơi thnc hi¾n đe tài Tơi xin gui tói thay Khoa Tốn-Cơ -Tin hQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2011-2013 tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi hồn thành lu¾n văn cna Tơi xin chân thành cam ơn gia đình ln đ®ng viên tơi suot q trỡnh HQc v lm luắn H Nđi, thỏng 10 năm 2013 HQc viên Đoàn Th% Cúc Chương Phương trình lưang giác Phương trình lưong giác kien thúc quan TRQNG chương trình tốn HQc phő thơng Khơng ton tai m®t phương pháp chung đe giai tat ca tốn ve phương trình lưong giác Ngưịi ta chia phương trình lưong giác (theo cách giai) thành hai loai: Loai Phương trình lưong giác giai thuan túy bang bien đői lưong giác Loai Phương trình lưong giác giai bang phương pháp cna đai so, giai tích Đe giai m®t phương trình lưong giác nhìn chung ta thưịng bien đői phương trình can giai ve m®t hay m®t so phương trình lưong giác đơn gian có cách giai 1.1 Phương trình ban Gia su u,v bieu thúc theo x: u = u(x),v = v(x) Khi ta có u=v+ sin u = sin v ⇔ Σ u=π−v+ k2π k2π (k ∈ Z) (k ∈ Z) Σ u=v cos u = cos v ⇔ u = −v + + k2π k2π u ƒ= tan u = tan v ⇔ ⇔ π + kπ u = v + lπ (k, l ∈ Z) cot u = cot v u ƒ= kπ u = v + lπ (k, l ∈ Z) Bài toán 1.1 Giai phương trình sin 7x− 5π π Σ + cos 2x + Σ = (1.1) Lài giai Ta có 5π (1.1) ⇔ sin 7x− Σ = − cos 2x + π 5π π Σ⇔ sin 7x− Σ = sin 2x − Σ 6  5π π 2π k2π  7x − = 2x − + x= + k2π 6 ⇔ 15 ⇔ 6 9 (k ∈ Z)  7x − 5π = 7π − 2x +  x= 2π + k2π = V¾y (T1T2) ln tiep xúc vói (E1) : x2 y2 = + 16 Bài tốn 3.52 Cho Hypebol(H) Elip(E) có phương trình (H) : x2 y x2 y − = 1, (E ) : + = a21 b21 a22 b22 Tù M ∈ (H) ke hai tiep tuyen MT1, MT2 tói (E), T1, T2 tiep điem Gia su MT1, MT2 cat (E1) tai hai điem E1 tai hai điem E1, E2 khác M a Chúng minh rang đưịng thang T1T2 ln tiep xúc vói m®t Hypebol co đ%nh b Chúng minh rang đưịng thang F1F2 ln tiep xúc vói m®t Hypebol co đ%nh Lài giai a Chuyen phương trình cho (H) ve dang tham so t ∈ [0,  a x = = x(t) 2π) \ , , 3π ,  cos t   y = b tan t = y(t) Σ a π 2 Điem M ∈ (H) suy cos t G tiept tuyen T (x1 , y1 ), ta có MQI TQA đ® cna , b tan ∗ Tiep tuyen vói (E) tai T (x1, y1)có dang x.x1 y.y1 a2 + b = Σ∗ a Tiep tuyen qua điem M , b tan t , ta có cos t x + y tan = (1) a cos tb t Nhắn thay TQA đ T1 , T2 eu thoa (1), v¾y phương trình đưịng thang (T1 T2 ) có dang x a cos t + y tan t = ⇔ (T1T2) : bx + ay sin t = ab cos t b GQI N (x, y) điem mà đưịng thang (T1 T2 ) khơng qua vói MQI t, phương trình bx + ay sin t = ab cos t vơ nghi¾m t x2 y ⇔ a b + a y < b x ⇔ − < a b 2 a2 cos2 t 22 2 x2 y2 Ta chúng minh đưịng thang (T1T2) tiep xúc vói Hypebol(H) : − = a b Th¾t v¾y tan t = (luôn đúng) a − b2 b x2 y2 V¾y đưịng thang (T1T2) ln tiep xúc vói Hypebol(H) : − = a b b Viet phương trình đưịng thang F1F2 Chuyen phương trình (H) ve dang tham so t ∈ R a(1 + t 2)  −t x =  y = 2bt − t2 Điem M (x0, y0) ∈ (H) ⇒ M (x(t0), y(t0)) GQI F (x(t), y(t)) giao điem (khác M )cna (H) vói đưịng thang qua M tiep xúc vói (E), ta có • Phương trình đưịng thang MF có dang x y (MF ) : (t0t + 1) − (t0 + t) + t0t − = a b • Đưịng thang MF tiep xúc vói (E) a2 b2 t0 t + t0 + = (t0t − 1)2 ⇔ t 2+ 6t0t + t20 = (2) Σ2 Σ2 t + a b Vì F1(x(t1), y(t1)) F2(x(t2), y(t2)) hai giao điem nên t1, t2 nghi¾m cna phương trình (2), ta đưoc  t1 + t2 = −6t0  t1t2 = t Phương trình đưịng thang F1F2 có dang ⇔ (t0 + 1) a + 6t0 b x y (t1t2 + 1) − (t1 + t2) + t1t2 − = y b2 a x + t0 − = ∗ GQI N (x, y) điem mà F1 F2 không qua vói MQI t0 , x y ( 02t+ 1) + + t02 − = 0, vơ nghi¾m t x a b y x ⇔ + 1Σ t + 6t + − = 0, vơ nghi¾m t 0 b a Σ x x2 y2 + a ⇔ <