luận văn thạc sĩ toán học đầy đủ hóa i ADIC và một số ỨNG DỤNG

VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM ———————o0o——————– ĐẦY ĐỦ HÓA I-ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ – HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Phùng Hồ Hải Người thực hiện: ĐẶNG THỊ THƠM Khóa: K20 HÀ NỘI, 5/2014 Mục lục Lời mở đầu i KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Căn Jacobson 1.2 Địa phương hóa tính phẳng 1.3 Môđun Noether 1.4 Hệ ngược giới hạn ngược nhóm Abel 1.5 Điều kiện đủ cho tính khớp giới hạn ngược 1.6 Vành môđun phân bậc ĐẦY ĐỦ HÓA 2.1 Tôpô đầy đủ hóa nhóm Abel 2.2 Đầy đủ hóa môđun 2.3 Đầy đủ hóa I -adic vành 2.4 Vành môđun phân bậc liên kết 2.5 Đầy đủ hóa vành địa phương 3 12 14 24 27 27 42 63 75 82 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 85 i Lời mở đầu Mục đích luận văn nghiên cứu đầy đủ hóa nhóm Abel môđun, đặc biệt đầy đủ hóa I -adic Đầy đủ hóa vành hữu ích đại số giao hoán cho phép mang phương pháp giải tích vào đại số Các nội dung trình bày luận văn, chủ yếu mệnh đề, bổ đề, định lí ví dụ tài liệu tác giả M F Atiyal and I G Macdonald [1], Matsumura [2] Allen Altman and Steven Kleiman [3], trình bày lại cách chi tiết, chứng minh tài liệu tham khảo gợi ý chứng minh không chứng minh Ngoài ra, số tập tài liệu tham khảo trình bày dạng mệnh đề ví dụ luận văn Luận văn gồm chương Chương trình bày số định nghĩa chứng minh chi tiết số kết liên quan tới: Jacobson, địa phương hóa tính phẳng, định lí đồng dư Trung Hoa, hệ ngược giới hạn ngược nhóm Abel, điều kiện đủ cho tính khớp giới hạn ngược, vành môđun phân bậc Trong mục 1.5, để giới hạn ngược không bảo toàn dãy khớp ngắn sử dụng tập trang 114 tài liệu tham khảo [1] Đây kết sử dụng để nghiên cứu nội dung chương luận văn Chương nghiên cứu đầy đủ hóa Phần đầu chương trình bày nhóm Abel tôpô với số tính chất Tiếp theo, định nghĩa đầy đủ hóa nhóm Abel tôpô Luận văn trình bày hai cách khác để định nghĩa đầy đủ hóa nhóm Abel Cách thứ sử dụng dãy Cauchy, cách thứ hai sử dụng giới hạn ngược Sau xây dựng định nghĩa đầy đủ hóa nhóm Abel, ta tìm hiểu số tính chất quan trọng như: điều kiện để nhóm Abel tôpô đầy đủ, điều kiện cho tính khớp đầy đủ hóa, số đẳng cấu đầy đủ hóa Tiếp theo, luận văn trình bày số tính chất đầy đủ hóa môđun: sử dụng lọc I -adic đầy đủ hóa hàm tử khớp môđun hữu hạn sinh vành Noether; đầy đủ hóa I -adic môđun hữu hạn sinh hữu hạn sinh; I ideal cực đại LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng vành Noether A đầy đủ hóa I -adic A vành địa phương Mục 2.4 trình bày vành môđun phân bậc liên kết Kết quan trọng mục là: đầy đủ hóa I -adic vành Noether Noether Phần cuối chương trình bày đầy đủ hóa vành địa phương Ta có đầy đủ hóa m-adic vành địa phương (A, m) vành địa phương đầy đủ hóa m-adic vành nửa địa phương A vành nửa địa phương (với m = JA ) Một số kết quan trọng đại số giao hoán trình bày ứng dụng phương pháp đầy đủ hóa: định lý Krull, bổ đề Hensel Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Phùng Hồ Hải Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người dạy cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn cán bộ, nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để hoàn thành tốt khóa học Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Đặng Thị Thơm ĐẶNG THỊ THƠM K20 Viện Toán Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Căn Jacobson Phần nhắc lại định nghĩa Jacobson định lí Hamilton-Cayley mở rộng với hệ Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành, Jacobson A định nghĩa giao tất ideal cực đại A Kí hiệu Jacobson A JA Mệnh đề 1.1.2 Cho A vành, x ∈ JA − xy khả nghịch A với y ∈ A Chứng minh Giả sử − xy không khả nghịch, tồn ideal cực đại m chứa − xy Vì x ∈ JA nên từ − xy ∈ m ta có ∈ m, suy m=A (mâu thuẫn) Vậy giả sử sai, − xy khả nghịch Ngược lại, giả sử tồn ideal cực đại m A cho x ∈ / m Ta có m ⊂ m + (x) ⊆ A, m ideal cực đại nên m+(x) = (1) Do tồn u ∈ m = y ∈ A cho u + xy = 1, hay u = − xy Theo giả thiết ta có − xy khả nghịch, suy u khả nghịch, mà u ∈ m nên điều xảy Vậy x ∈ m với ideal cực đại m A, x ∈ JA Định lí 1.1.3 (Định lí Hamilton-Cayley mở rộng) Cho M môđun hữu hạn sinh vành giao hoán A Giả sử M có hệ sinh gồm n phần tử, I ideal A φ tự đồng cấu A-môđun M cho φ(M ) ⊆ IM Thế tồn ∈ I i với i = 1, , n cho φn + a1 φn−1 + + an idM = Chứng minh Nhận xét rằng, phần tử a ∈ A xem tự đồng cấu M , gọi đồng cấu nhân: LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng a:M →M x → ax Khi vành sở A xem vành đồng cấu nhân M Giả sử φ tự đồng cấu M , ta xét tập A[φ] = {cm φm + cm−1 φm−1 + + c0 idM |c0 , , cm ∈ A, m 0} Khi A[φ] lập thành vành giao hoán có đơn vị tự đồng cấu M Ta trang bị cho M cấu trúc A[φ]-môđun cách đặt f.x = f (x) với f ∈ A[φ] x ∈ M Nếu M môđun φ đồng cấu định lí tầm thường Ta xét M môđun khác Giả sử {x1 , , xn } hệ sinh M Khi φ(xi ) ∈ IM , nên tồn aij ∈ I với i, j n cho φ(x1 ) = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn , φ(x2 ) = a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn , φ(xn ) = an1 x1 + an2 x2 + + ann xn Hệ quy dạng ma trận:  a11 −Φ a12  a1n an2      x2     =        a21 a22 −Φ a2n    an1 x1 ann −Φ xn Đặt  a11 −Φ a12 a1n   a21 a22 −Φ a2n B=   an1       ann −Φ an2 Gọi [Bij ] ma trận phụ đại số B , tức phần tử Bij ma trận phần bù đại số phần tử dòng i cột j ma trận B Khi ta có [Bij ]c B = det(B).E, với [Bij ]c ma trận chuyển vị ma trận [Bij ] E ma trận đơn vị cấp n Từ nhận   x1    x2   det(B)E    = 0,   xn ĐẶNG THỊ THƠM K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng hay  det(B)x1 =      det(B)x =      det(B)xn = Lại {x1 , , xn } hệ sinh M nên từ hệ suy det(B) đồng cấu M Khai triển det(B) ta được: φn + a1 φn−1 + + an idM = 0, ∈ I i với i = 1, , n Hệ 1.1.4 Cho M môđun hữu hạn sinh vành giao hoán A I ideal A thỏa mãn IM = M Khi tồn a≡1 ( mod I) làm cho aM = Chứng minh Áp dụng định lí 1.1.3 cách lấy φ tự đồng cấu đồng M Rõ ràng φ(M ) = M = IM ⊆ IM Do φ thỏa mãn phương trình dạng: φn + a1 φn−1 + + an = 0, với a ∈ I, i = 1, , n Giả sử {x1 , , xn } hệ sinh M , với xi ta có = (φn + a1 φn−1 + + an )(xi ) = φn (xi ) + a1 φn−1 (xi ) + + an (xi ) = xi + a1 xi + + an xi = (1 + a1 + + an )xi Như tồn a = + a1 + + an hay a ≡ ( mod I) cho với xi ta có axi = 0, tức aM = Hệ 1.1.5 (Bổ đề Nakayama) Cho M môđun hữu hạn sinh vành giao hoán A I ideal A chứa Jacobson JA A Thế từ IM = M kéo theo M = Chứng minh Áp dụng hệ 1.1.4 giả thiết IM = M ta có xM = với x ≡ ( mod I), hay x − ∈ I Do I ⊆ JA nên x − ∈ JA ĐẶNG THỊ THƠM (*) K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Theo mệnh đề 1.1.2 ta có từ (*) suy x = − (x − 1)(−1) phần tử khả nghịch A Lại xM = 0, nên M = x−1 xM = Mệnh đề 1.1.6 Cho A vành giao hoán m ideal A chứa Jacobson JA A M A- môđun N A-môđun M 1) Nếu M/N hữu hạn sinh N + mM = M, N = M 2) Giả sử M hữu hạn sinh, m1 , , mn phần tử sinh M m1 , , mn phần tử sinh M := M/mM , ( mi ảnh mi M/mM ) Chứng minh 1) Từ giả thiết M = N + mM ta suy m(M/N ) = M/N Vì M/N hữu hạn sinh m ∈ JA nên theo hệ 1.1.5 ta có M/N = 0, suy M = N 2) Gọi N môđun M sinh m1 , , mn Vì M hữu hạn sinh nên M/N hữu hạn sinh Nếu x1 , , xn phần tử sinh M/mM N + mM = M, áp dụng 1) ta có N = M Suy {x1 , , xn } phần tử sinh M Chiều ngược lại hiển nhiên Vậy {x1 , , xn } hệ sinh M {x1 , , xn } hệ sinh M/mM 1.2 Địa phương hóa tính phẳng Mệnh đề 1.2.1 (Tính phổ dụng địa phương hóa) Giả sử S tập đóng nhân A Khi đó: 1) Ánh xạ tự nhiên ϕ : A → S −1 A đồng cấu vành 2) Với đồng cấu vành ψ : A → B cho ψ(s) khả nghịch B với s ∈ S , tồn đồng cấu vành ψ : S −1 A → B làm cho biểu đồ sau giao hoán: ψ A− →B ϕ S ψ −1 A Chứng minh Thật vậy, giả sử ψ : A → B đồng cấu vành cho ψ(s) khả nghịch B với s ∈ S Xét tương ứng ψ : S −1 A → B ĐẶNG THỊ THƠM K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng a → ψ(a).[ψ(s)]−1 s Trước hết ta chứng minh ψ đồng cấu vành thỏa mãn ψϕ = ψ Thật vậy, b a = S −1 A tồn t ∈ S cho t(ra − sb) = Khi ψ[t(ra − sb)] = 0, s r hay ψ(t)[ψ(r)ψ(a) − ψ(s)ψ(b)] = Do ψ(r), ψ(s), ψ(t) phần tử khả nghịch B nên từ suy ψ(a)[ψ(s)]−1 = ψ(b)[ψ(r)]−1 a b s r ý S −1 A ta có a b phần tử tùy s r Tức ψ( ) = ψ( ) Vậy ψ ánh xạ Tiếp theo với , a b ar + bs ) ψ( + ) = ψ( s r rs = ψ(ar + bs)[ψ(rs)]−1 = (ψ(a)ψ(r) + ψ(b)ψ(s))[[ψ(r)]−1 [ψ(s)]−1 ] = ψ(a)[ψ(s)]−1 + ψ(b)[ψ(r)]−1 a b = ψ( ) + ψ( ), s r a b ab ψ( ) = ψ( ) = ψ(ab).[ψ(rs)]−1 s r sr = ψ(a)[ψ(s)]−1 ψ(b)[ψ(r)]−1 a b = ψ( ).ψ( ), s r ψ đồng cấu vành Mặt khác a ψϕ(a) = ψ( ) = ψ(a)[ψ(1)]−1 = ψ(a) với a ∈ A Do ψϕ = ψ Bây giả sử λ : S −1 A → B đồng cấu vành cho λϕ = ψ Khi với s ∈ S bất kì, ta có s s 1 = ψ(1) = λ( ) = λ( ) = λ( )λ( ) = ψ(s)λ( ) s s s s s Do λ( ) = [ψ(s)]−1 = ψ( ) Từ suy a a 1 a a λ( ) = λ( ).λ( ) = (λϕ(a))λ( ) = ψ( ).ψ( ) = ψ( ), s s s s s với a ∈ S −1 A Vậy λ = ψ s Mệnh đề 1.2.2 Cho M A-môđun Khi khẳng định sau tương đương: ĐẶNG THỊ THƠM K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng i) M = ii) Mp = với ideal nguyên tố p A iii) Mm = với ideal cực đại m A Chứng minh Các kéo theo (i)⇒(ii)⇒(iii) hiển nhiên Bây ta chứng minh (iii)⇒ (i) Giả sử tồn x ∈ M, x = Đặt I = Ann(x) = {a ∈ A|ax = 0} Khi I ideal A Hơn nữa, I = A, ∈ / I Do có ideal cực đại m A cho I ⊆ m Theo giả thiết x/1 = Mm , nên tồn a ∈ /m (do a ∈ / I ) cho ax = 0, tức a ∈ Ann(x) = I , mâu thuẫn Định nghĩa 1.2.3 Một A-môđun M gọi phẳng với đơn cấu A-môđun f : N → N , đồng cấu cảm sinh idM ⊗f : M ⊗ N → M ⊗ N đơn cấu Định lí 1.2.4 Cho A vành M A-môđun Khi đó, M phẳng A với ideal hữu hạn sinh I A, đồng cấu φ : I ⊗A M → A ⊗A M đơn cấu Chứng minh [2, theorem 7.7] Định nghĩa 1.2.5 Cho f : A → B đồng cấu vành, a ideal A Chúng ta định nghĩa mở rộng ae a ideal Bf (a) sinh f (a) B Nếu b ideal B , f −1 (b) ideal A, ta gọi f −1 (b) co rút bc b Định nghĩa 1.2.6 Một A-môđun M gọi hoàn toàn phẳng A với đồng cấu A-môđun f : N → N , f đơn cấu đồng cấu cảm sinh idM ⊗f : M ⊗ N → M ⊗ N đơn cấu ĐẶNG THỊ THƠM K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Ta k Aˆ = lim Z/pZ ← − k Thật vậy, đặt A n := Z/pZ ∼ = Z/ pZ n n , ta xây dựng đẳng cấu φ : lim A n → ← −− n Z/ pZ n Xét đồng cấu chiếu θn+1 : A n+1 → A n n+1 n k=0 k=0 ⊕ ak → ⊕ ak , lim A n = ( an )n ⊂ ← −− n A n |θn+1 ( an+1 ) = an Do đó, phần tử ξ ∈ lim A n có dạng ← −− n ξ = (a0 , a0 ⊕ a1 , a0 ⊕ a1 ⊕ a2 , , a0 ⊕ a1 ⊕ a2 ⊕ ⊕ an , ) , với ∈ Z/pZ Khi ta thu Z/ pZ (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , , an , ) ∈ n Như đồng cấu φ xác định sau: φ : lim A n → ← −− n Z/ pZ n ( a0 , a0 ⊕ a1 , , a0 ⊕ a1 ⊕ ⊕ an , ) → ( a0 ,a1 , a2 , a3 , a4 , , an , ) Dễ dàng thấy φ đẳng cấu Vậy ∼ lim ←− A n = Z/ pZ n Do đó, đầy đủ hóa A tôpô cảm sinh từ tôpô p-adic B n Z/ pZ Mệnh đề 2.3.12 Cho A vành Noether, I ideal A, A đầy đủ hóa I -adic Với x ∈ A, x ảnh x A Khi x không ước A x không ước A ĐẶNG THỊ THƠM 72 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Chứng minh Xét đồng cấu f :A→A y → xy Vì x không ước nên f đơn cấu, ta có dãy khớp f 0→A− → A → A/(x) → Theo hệ 2.1.20 dãy sau khớp f → A → A (x) → 0→A− (*) Hàm f xác định sau fˆ : Aˆ → Aˆ ξ = ( x1 + I, x2 + I , , xn + I n ) → ( x1 x + I, x2 x + I , , xn x + I n , ) Với x = x + I, x + I , , x + I n , ∈ A, ξ = ( x1 + I, x2 + I , , xn + I n , ) ∈ A Thì ξ.x = (x1 x + I, x2 x + I , x3 x + I , xn x + I n ) ∈ A Vậy đồng cấu f viết lại f :A→A ξ → ξ.x Vì dãy (*) khớp nên f đơn cấu, x không ước A Ta có khẳng định cho A miền nguyên A chưa miền nguyên Để khẳng định đúng, ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.3.13 Đặt R = k[x, y], với k trường, I = (x, y) Đầy đủ hóa I -adic R R = k[[x, y]] Xét A = k[x, y]/(y − x2 − x3 ) I = (x, y) ⊂ A Khi A miền nguyên đầy đủ hóa I -adic A không miền nguyên Thật vậy, k trường nên k[x, y] miền nhân tử hóa Do đa thức y − x2 − x3 bất khả quy R nguyên tố Khi A miền nguyên Theo hệ 2.1.23, đầy đủ hóa I -adic A A = k [x, y] y − x2 − x3 ∧ ∼ = k [x, y] y − x2 − x3 ∧ Theo mệnh đề 2.2.27 ta có y − x2 − x3 ĐẶNG THỊ THƠM ∧ = y − x2 − x3 R = (y − x2 − x3 ).RR 73 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng = (y − x2 − x3 )R = y − x2 − x3 Ta lại có đầy đủ hóa (x, y)-adic k[x, y] k[x, y] = k[[x, y]] Khi A = k [x, y ] y − x2 − x3 Lấy f ∈ k[[x, y]] cho f = + x ( tồn hàm f ta chọn √ f = + x khai triển Taylor hàm f điểm x = 1 f = + x − x2 + ∈ k[[x]] ⊂ k[[x, y]]) Như ta có y − x2 − x3 = (y − xf )(y + xf ), điều y −x2 −x3 không nguyên tố k[[x, y]], hay y − x2 − x3 không nguyên tố k[[x, y]] Điều tương đương với k [x, y ] y −x −x không miền nguyên Hay A không miền nguyên Mệnh đề 2.3.14 Cho A vành Noether I ideal A Khi I ⊂ JA ideal cực đại A đóng tôpô I -adic Chứng minh Vì JA = ∩ m, (với m ideal cực đại A) Xét ideal cực đại bất m kì m A, điều cần chứng minh tương đương với I ⊂ m m đóng tôpô I -adic Thật vậy, I ⊂ m A − m = ∪(x +I), x∈A−m tập x + I tập mở tôpô I -adic, A − m tập mở tôpô I -adic, hay m đóng tôpô I -adic Ngược lại, ideal m đóng tôpô I -adic, suy A − m tập hợp mở Vì ∈ A − m nên tồn số nguyên dương n cho + I n ⊂ A − m (*) Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: I n ⊂ m, tồn y ∈ I n y ∈ / m Ta có m ⊂ (y) + m ⊆ A, m ideal cực đại y ∈ / m nên (y) + m = (1) Khi tồn z ∈ A u ∈ m cho yz + u = 1, suy u = − yz ∈ + I n ( y ∈ I n ) Mà u ∈ m nên ĐẶNG THỊ THƠM 74 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng u ∈ m ∩ (1 + I n ) Điều mâu thuẫn với (*) Vậy trường hợp xảy Trường hợp 2: I n ⊂ m Vì m ideal cực đại nên m nguyên tố Từ I n ⊂ m ta suy I ⊂ m Như vậy, với ideal cực đại m I ⊂ m m đóng tôpô I -adic Hay I ⊂ JA ideal cực đại A đóng tôpô I -adic Mệnh đề 2.3.15 Cho R vành Noether, a, b ideal R Giả sử a ⊂ JR Khi bR ideal b ideal Chứng minh Vì R Noether nên b hữu hạn sinh Vì a ⊂ JR nên theo mệnh đề 1.1.6 ta có b ideal b/ab Theo hệ 2.1.23 ta có b/ab ∼ = b/(ab) Vì b = bR nên ta có b/ab ∼ = bR/(ab) Do đó, bR ideal theo mệnh đề 1.1.6 ta có bR/(ab) Do b/ab Vậy b ideal Mệnh đề 2.3.16 Cho A vành Noether, I ideal cực đại A, đầy đủ hóa I -adic A A vành địa phương với ideal cực đại I Chứng minh Theo hệ 2.1.23 ta có A I ∼ = A/I , mà A/I trường, nên A I trường Do I ideal cực đại A Theo mệnh đề 2.2.27 ta có I ⊂ JA = ∩ Iα (Iα ideal cực đại A), mà ∩ Iα ⊂ I nên ta có I = JA α α Suy A có ideal cực đại I Vậy A vành địa phương 2.4 Vành môđun phân bậc liên kết Cho trước vành Noether A ideal I A Trong mục này, ta đầy đủ hóa I -adic A vành Noether Cho A vành a ideal A Ta định nghĩa: ∞ n G(A)(= Ga (A)) = ⊕ a an+1 , (với a◦ = A) n=0 n Nếu x ∈ an , y ∈ am xy ∈ am+n Do với x + an+1 ∈ a an+1 m y + am+1 ∈ a am+1 Ta định nghĩa (x + an+1 )(y + am+1 ) = xy + am+n+1 Với phép nhân định nghĩa trên, hiển nhiên G(A) vành phân bậc Khi ta gọi G(A) vành phân bậc liên kết Tương tự, M A-môđun (Mn )n a-lọc M , định nghĩa ∞ G(M ) = ⊕ Mn/Mn+1 n=0 ĐẶNG THỊ THƠM 75 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Kí hiệu Gn (M ) = Mn/Mn+1 Xét b ∈ am x ∈ Mn , (Mn )n a-lọc nên ta có am Mn ⊆ Mm+n Do ta có định nghĩa: (b + am+1 )(x + Mn+1 ) = bx + Mm+n+1 , với phép nhân định nghĩa trên, ta có G(M ) G(A)-môđun phân bậc Khi G(M ) gọi G(A)-môđun phân bậc liên kết Mệnh đề 2.4.1 Cho A vành Noether, a ideal A Khi đó: i) Ga (A) vành Noether ii) Ga (A) Ga A đẳng cấu vành phân bậc iii) Nếu M A-môđun hữu hạn sinh (Mn )n a-lọc dừng M , G(M ) Ga (A)-môđun phân bậc hữu hạn sinh Chứng minh i) Vì A Noether nên a hữu hạn sinh, gọi x1 , x2 , , xs phần tử sinh a, xi ảnh xi a a2 Ta chứng minh G(A) = (A/a)[x1 , x2 , , xs ] Thật vậy, ta có: (A/a)[x1 , x2 , , xs ] = = βα1 α2 αs x1 α1 x2 α2 xs αs , (với (βα1 α2 αs ∈ A/a)) (βα1 α2 αs x1 α1 x2 α2 xs αs + aα1 +α2 + +αs +1 ) (1) Do ta có (A/a)[x1 , x2 , , xs ] ⊆ G(A) (*) n Lấy y ∈ G(A) y = ⊕xn , với xn = xn + an+1 ∈ a an+1 Vì xn ∈ an nên xn = βα1 α2 αs x1 α1 x2 α2 xs αs , ( với βα1 α2 αs ∈ A) Ta có: αi =n xn = xn + an+1 βα1 α2 αs x1 α1 x2 α2 xs αs + an+1 = (2) αi =n βα1 α2 αs x1 α1 x2 α2 xs αs + aα1 +α2 + +αs +1 = αi =n Từ (1) (2) ta có y = ⊕xn = ⊕( αi =n βα1 α2 αs x1 α1 x2 α2 xs αs + aα1 +α2 + +αs +1 ) ∈ (A/a)[x1 , x2 , , xs ] Vậy ta có G(A) ⊆ (A/a)[x1 , x2 , , xs ] ĐẶNG THỊ THƠM 76 (**) K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Từ (*) (**) ta có G(A) = (A/a)[x1 , x2 , , xs ] Vì vành A Noether nên vành thương A/a vành Noether Theo định lí 1.3.3 ta có (A/a)[x1 , x2 , , xs ] vành Noether Do G(A) Noether ii) Bởi mệnh đề 2.2.27 ta có an ˆn n+1 , ∼a an+1 = a ˆ Ga (A) ∼ = Ga (A) iii) Vì M A-môđun hữu hạn sinh A Noether nên M A-môđun Noether Do Mn A-môđun hữu hạn sinh, suy Mn/Mn+1 hữu hạn sinh A Ta Mn/Mn+1 hữu hạn sinh A/a Thật vậy, gọi {x1 , x2 , , xr } phần tử sinh Mn/Mn+1 A, ta có Mn/ Mn+1 = Ax1 + Ax2 + + xr Vì a.Mn/Mn+1 = aMn/Mn+1 = 0, nên Mn/ Mn+1 = Ax1 + Ax2 + + Axr = (Ax1 + ax1 ) + (Ax2 + ax2 ) + + (Axr + axr ) = A/ax1 + A/ax2 + + A/axr Suy {x1 , x2 , , xr } hệ sinh Mn/Mn+1 A/a, hay Mn/Mn+1 hữu hạn sinh A/a Vì (Mn )n a-lọc dừng M nên tồn n0 cho Mn0 +r = ar Mn0 , với r 0, r (a ar+1 )(Mn0/Mn +1 ) = Mn0 +r/Mn +r+1 0 Từ ta có G(M ) = M/M1 ⊕ M1/M2 ⊕ ⊕ Mn0/Mn +1 ⊕ Mn0 +1/Mn +2 ⊕ ⊕ Mn0 +m/Mn +m+1 ⊕ am m+1 Mn0/ a Mn0/ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ a a Mn0 +1 Mn0 +1 +1 = M/M1 ⊕ M1/M2 ⊕ ⊕ Mn0/Mn Một tập hữu hạn phần tử sinh M/M1 ⊕ M1/M2 ⊕ ⊕ Mn0/Mn +1 A/a phần tử sinh G(M ) Ga (A) Mà Mn/Mn+1 hữu hạn sinh A/a nên M/M1 ⊕ M1/M2 ⊕ ⊕ Mn0/Mn +1 hữu hạn sinh A/a Suy G(M ) hữu hạn sinh Ga (A) Hay G(M ) Ga (A)-môđun phân bậc hữu hạn sinh ĐẶNG THỊ THƠM 77 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Bổ đề 2.4.2 Cho φ : A → B đồng cấu nhóm lọc, nghĩa φ(An ) ⊆ Bn , đặt G(φ) : G(A) → G(B), φ : A → B đồng cấu cảm sinh vành phân bậc liên kết nhóm đầy đủ Khi đó: i) Từ G(φ) đơn cấu suy φ đơn cấu ; ii) Từ G(φ) toàn cấu suy φ toàn cấu Chứng minh Xét họ đồng cấu Gn (φ) : An Bn → An+1 Bn+1 xn → φ(xn ) + Bn+1 Khi đó, cảm sinh đồng cấu ∞ Bn An → ⊕ n=0 An+1 n=0 Bn+1 ∞ G(φ) : ⊕ ⊕xn → ⊕Gn (φ) (xn ) Vì G(φ) đơn cấu (toàn cấu) nên Gn (φ) đơn cấu (toàn cấu) với n Ta xét biểu đồ giao hoán dãy khớp → An/An+1 → A/An+1 → A/An → ↓ Gn (φ) ↓ αn+1 ↓ αn → Bn/Bn+1 → B/Bn+1 → B/Bn → Theo bổ đề rắn, ta có dãy khớp sau: → KerGn (φ) → kerαn+1 → Kerαn → CoKerGn (φ) → CoKerαn+1 → → CoKerαn → (*) Vì dãy khớp (*) với giá trị n nên với n = dãy sau khớp → KerG0 (φ) → kerα1 → Kerα0 → CoKerG0 (φ) → CoKerα1 → → CoKerα0 → (∗1 ) Vì Gn (φ) đơn cấu với n, nên KerG0 (φ) = Ta có đồng cấu α0 : A/A → B/B , nên Kerα0 = 0, khớp (∗1 ) có dạng: → → Kerα1 → → CoKerG0 (φ) → CoKerα1 → CoKerα0 → Từ ta có Kerα1 = Với n = 1, khớp (*) có dạng ĐẶNG THỊ THƠM 78 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng → KerG1 (φ) → kerα2 → Kerα1 → CoKerG1 (φ) → CoKerα2 → → CoKerα1 → (∗2 ) Vì KerG1 (φ) = Kerα1 = nên từ tính khớp dãy (∗2 ) ta có Kerα2 = Bằng qui nạp ta có Kerαn = với n, hay đồng cấu αn : A/An → B/Bn đơn cấu với n Xét dãy khớp hệ ngược sau B αn → A/An −→ B/Bn → /Bn Im αn → Theo mệnh đề 1.5.2 ta có dãy B φ → lim A/An − → lim B/Bn → lim /Bn Im αn → ← − ← − ← − n n n khớp, từ ta có φ đơn cấu ii) Thực lí luận quy nạp tương tự phần i) với CoKerGn (φ) = với n Ta có CoKerαn = với moị n Hay đồng cấu αn : A/An → B/Bn toàn cấu với n Do dãy (*) khớp CoKerGn (φ) = nên dãy → KerGn (φ) → kerαn+1 → Kerαn → khớp Do θn+1 : Kerαn+1 → Kerαn toàn cấu, nên hệ ngược (Kerαn , θn+1 ) hệ toàn ánh Xét dãy khớp sau αn → Kerαn → A/An −→ B/Bn → Do hệ (Kerαn , θn+1 ) hệ toàn ánh nên theo mệnh đề 1.5.2 ta có dãy sau φ → lim Kerαn → lim A/An − → lim B/Bn → ← − ← − ← − n n n khớp Hay φ toàn cấu Mệnh đề 2.4.3 Cho A vành, a ideal A M A-môđun (Mn )n a-lọc M Giả sử A đầy đủ a-tôpô M Hausdorff tôpô định nghĩa lọc (Mn )n (nghĩa ∩n Mn = 0) Giả sử G(M ) G(A)-môđun hữu hạn sinh Khi M A-môđun hữu hạn sinh ĐẶNG THỊ THƠM 79 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Chứng minh Gọi { ξ1 , ξ2 , , ξr } hệ sinh hữu hạn G(A)-môđun G(M ) Ta xem ξi thành phần nhất, bậc tương ứng n(i) Với i, đặt xi ∈ Mn(i) cho ξi ảnh xi ánh xạ Mn(i) → Mn(i) M n(i)+1 r Gọi F i môđun A với a-lọc dừng cho Fki = ak+n(i) đặt F = ⊕ F i r Thì F A-môđun tự với a-lọc dừng { Fn = ⊕ i=1 i=1 Fni } Xét đồng cấu A-môđun xác định φi : F i → M → xi Khi ta định nghĩa đồng cấu: φ:F →M r ⊕ yi → φ1 (y1 ) + φ2 (y2 ) + + φr (yr ) = y1 x1 + y2 x2 + + yr xr , yi ∈ i=1 i F Ta r r i=1 i=1 có Fn = ⊕ Fni Lấy z = ⊕ zi ∈ Fn , zi ∈ Fni , r φ(z) = φ( ⊕ zi ) i=1 = φ1 (z1 ) + φ2 (z2 ) + + φr (zr ) =z1 φ1 (1) + z2 φ2 (1) + + zr φr (1) = z1 x1 + z2 x2 + + zr xr Vì xi ∈ Mn(i) zi ∈ Fni = an+n(i) nên zi xi ∈ an+n(i) Mn(i) ⊂ Mn+2n(i) ⊂ Mn Suy φ (z) ∈ Mn với n Do φ(Fn ) ⊂ Mn , với n Vậy ta có φ đồng cấu nhóm lọc Ta có G(φ) : G(F ) → G(M ) đồng cấu G(A)-môđun Bởi cách xây dựng, ảnh G(φ) chứa phần tử sinh G(M ), G(φ) toàn cấu Bởi bổ đề 2.4.2 ta có φ toàn cấu Xét biểu đồ giao hoán φ F − →M α↓ ↓β φ F − →M Vì M Hausdorff nên Kerβ = ∩ Mn = 0, β đơn cấu Vì A ∼ = A nên n F ∼ = F , α đẳng cấu Ta φ toàn cấu Thật vậy, lấy x ∈ M β(x) ∈ M , φ toàn cấu nên tồn ξ ∈ F cho φ(ξ) = β(x) Vì α đẳng cấu nên tồn y ∈ F cho α(y) = ξ Từ biểu đồ giao hoán với α đẳng cấu, β đơn cấu ta có φ(y) = x Do φ toàn cấu Theo cách xác định φ ĐẶNG THỊ THƠM 80 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng có φ toàn cấu nên { x1 , x2 , , xr } hệ sinh M , hay M A-môđun hữu hạn sinh Hệ 2.4.4 Với giả thiết mệnh đề 2.4.3 G(M ) G(A)-môđun Noether, M A-môđun Noether Chứng minh Chúng ta môđun M M hữu hạn sinh Thật vậy, đặt Mn = M ∩ Mn , ta có a(M ∩ Mn ) ⊆ aM ∩ aMn ⊆ M ∩ Mn+1 , nên aMn ⊆ Mn+1 Do (Mn )n a-lọc M Xét M n+1 → Mn/Mn+1 x+M n+1 → x + Mn+1 φn : M n Với x + Mn+1 = y + Mn+1 ta x − y ∈ Mn+1 Mn+1 = M ∩ Mn+1 nên x − y = Mn+1 , suy x + Mn+1 = y + Mn+1 Vậy ánh xạ φn định nghĩa tốt Dễ kiểm tra φn đồng cấu A-môđun Ta có K er φn = { x + M n+1 |x ∈ M n ∩ Mn+1 } = { x + M n+1 |x ∈ M ∩ Mn ∩ Mn+1 } = {x + M n+1 |x ∈ M ∩ Mn+1 } = {x + Mn+1 |x ∈ Mn+1 } = {0} Vậy φn đơn cấu, từ ta có φ = ⊕ φn : G(M ) → G(M ) đơn cấu, nên ta có n thể coi G(M ) môđun G(M ) Vì G(M ) G(A)-môđun Noether nên G(M ) G(A)-môđun hữu hạn sinh Ta có ∩ Mn = ∩(M ∩ Mn ) = M ∩ (∩ Mn ) = M ∩ = 0, n n nên M Hausdorff Do đó, theo mệnh đề 2.4.3 ta có M A-môđun hữu hạn sinh Vậy M A-môđun Noether Định lí 2.4.5 Nếu A vành Noether, I ideal A, đầy đủ hóa I -adic A A Noether Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.1 ta có GI (A) vành Noether, GI (A) GI (A)-môđun Noether Bây ta áp dụng mệnh đề 2.4.3 hệ 2.4.4 cho vành đầy đủ hóa A áp dụng cho M = A, ta có A A-môđun Noether hay A vành Noether ĐẶNG THỊ THƠM 81 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Hệ 2.4.6 Nếu A vành Noether, B = A[[x1 , x2 , , xn ]] Noether Đặc biệt với k trường k[[x1 , x2 , , xn ]] Noether Chứng minh Bởi định lí sở Hilbert ta có A vành Noether A[x1 , x2 , , xn ] vành Noether, theo định lý 2.4.5 ta có đầy đủ (x1 , x2 , , xn )-adic A[x1 , x2 , , xn ] Noether Theo ví dụ 2.3.4 ta có đầy đủ hóa (x1 , x2 , , xn )-adic A[x1 , x2 , , xn ] đẳng cấu với vành A[[x1 , x2 , , xn ]] Do A[[x1 , x2 , , xn ]] vành Noether Trong trường hợp k trường k vành Noether, áp dụng chứng minh ta có k[[x1 , x2 , , xn ]] Noether 2.5 Đầy đủ hóa vành địa phương Xét vành địa phương (A, m) (không thiết phải Noether) Cho A có tôpô m-adic kí hiệu A đầy đủ hóa m-adic Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.5.1 Xét đồng cấu tự nhiên θ : A → A Khi đó: i) A vành địa phương với ideal cực đại m A Nếu thêm giả thiết m hữu hạn sinh thì: ii) m = mA iii) Tôpô A tôpô m-adic iv) A Noether Chứng minh i) Ta có m = lim m m ∩ mi = ← − i (xi ) ∈ A = lim A mi | x1 = ← − i Theo nhận xét 2.2.10 ta có m ideal A Ngoài ra, theo hệ 2.1.23 ta có A/m ∼ = A m Mà A/m trường, nên A m trường Do m ideal cực đại A Tiếp theo ta m tập hợp phần tử không khả nghịch A Thật vậy, lấy x = (xi ) ∈ A − m x1 = Do xi = với i Gọi yi ∈ A cho ảnh yi A mi xi Ta có y1 − yi ∈ m với i > 1, mà x1 = nên y1 ∈ / m Do yi ∈ / m với i Vì (A, m) vành địa phương nên với i, tồn zi cho yi zi = Lại (xi ) ∈ A nên yi − yi+1 ∈ mi với i, zi − zi+1 = zi zi+1 (yi+1 − yi ) ∈ mi với i Do với i, gọi ti ảnh zi A mi t0 = (ti ) ∈ A Vì yi zi = nên ta có (xi ).(ti ) = 1, (xi ) khả nghịch A Điều chứng tỏ m tập hợp phần tử không khả nghịch A Vậy A vành địa phương ĐẶNG THỊ THƠM 82 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng với ideal cực đại m ii) Vì m hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 2.2.24 ta có m = θ (m) A Ta lại có θ (m) A = mA nên m = mA iii) Vì m hữu hạn sinh, nên với n ta có mn hữu hạn sinh Áp dụng ii) mn ta có mn = mn A Mà mn A = (mA)n = (m)n nên ta có mn = (m)n Theo nhận xét 2.1.25 ta có tôpô A định nghĩa lọc (mn )n Mà mn = (m)n nên ta có tôpô A định nghĩa lọc (m)n Do tôpô A tôpô m-adic iv) Vì m = mA m hữu hạn sinh nên m hữu hạn sinh Gọi x1 , x2 , , xs phần tử sinh m, xi ảnh xi m (m)2 Chứng minh tương tự theo phần chứng minh mệnh đề 2.4.1 ta có Gm A = A m [x1 , x2 , , xs ] Vì A m trường nên A m vành Noether Do Gm A vành Noether Hay Gm A Gm A -môđun Noether Theo mệnh đề 2.1.26 ta có A đầy đủ m-tôpô A Hausdorrf m-tôpô Do áp dụng mệnh đề 2.4.3 M = A = A đồng thời áp dụng hệ 2.4.4 ta có A A-môđun Noether Hay A vành Noether Mệnh đề 2.5.2 Cho A vành nửa địa phương với m1 , , mn tất ideal cực đại Đặt m = JA Khi A vành nửa địa phương với tất ideal cực đại m1 , , mn , m = JA Chứng minh Theo hệ 2.1.23 ta có A/mi ∼ = A mi Vì A/mi trường nên A mi trường, mi ideal cực đại A Vì mi mi ideal cực đại A A với i n, nên mi + mj = (1) mi + mj = (1) với i, j n Ta có A n A A m1 × × mn ∩ mi = (1) i=1 A/ = A/ × A/ × × A/ m m1 m2 mn Theo bổ đề 2.2.23 hệ 2.1.23 ta có A ĐẶNG THỊ THƠM m= A m1 × × 83 A mn (2) K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic số ứng dụng Từ (1) (2) ta có A m= A n ∩ mi i=1 n Do m = ∩ mi , suy JA ⊂ m Theo mệnh đề 2.2.27 ta có m ⊂ JA , suy i=1 m = JA Cuối cùng, giả sử m ideal cực đại A Thì JA ⊂ m , suy ∩ mi ⊂ m Do tồn i cho mi ⊂ m , mi ideal cực đại nên i m = mi Do m1 , , mn tất ideal cực đại A Suy A vành nửa địa phương với tất ideal cực đại m1 , , mn Mệnh đề 2.5.3 Cho A vành nửa địa phương, với ideal cực đại m1 , , mr I = JA = m1 m2 mr Với Ai = Ami địa phương hóa A mi Ai đầy đủ mi Ami −adic Ai Khi A = A1 × × Ar Chứng minh Vì mi ideal cực đại A với i r, nên mi + mj = (1) với i, j r Với i = j n > , ta có mni + mnj = A Do A/ n = A/ n × × A/ n , ∀ n > m1 mr I Do lấy giới hạn ngược, ta A n A n A n A=← lim ←− /m1 ) × × (lim ←− /mr ) − /I = (lim (1) Mà ta có A/ n = (A/ n ) = Ai mi mi mi (mi Ai )n , A n lim ←− mi đồng với Ai Do từ (1) ta có A = A1 × × Ar ĐẶNG THỊ THƠM 84 K20 Viện Toán Kết luận Nội dung luận văn tìm hiểu đầy đủ hóa nhóm Abel đầy đủ hóa môđun Luận văn trình bày số kết quan trọng sau a) Khi A vành Noether ta có: 1) Hàm tử M → M khớp phạm trù A-môđun hữu hạn sinh 2) Đầy đủ hóa I -adic A vành Noether 3) A ⊗A M ∼ = M , với M A-môđun hữu hạn sinh 4) Đầy đủ hóa I -adic A A-đại số phẳng 5) Với I ideal cực đại A đầy đủ hóa I -adic A vành địa phương b) Khi (A, I) vành địa phương, ta có số kết sau: 1) A vành địa phương với ideal cực đại I 2) A vành Noether c) Khi A vành nửa địa phương, đặt I = JA đầy đủ hóa I -adic A vành nửa địa phương 85 Tài liệu tham khảo [1] Allen Altman and Steven Kleiman, A term of Commutative Algebra Version of September 3, 2012 (http://web.mit.edu/18.705/www/12Nts-2up.pdf) [2] M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison- Wesley, Reading, MA, 1969 [3] Balwant Singh, Completion, formal smoothness and Cohen structure theo- rems (http://www.math.iitb.ac.in/atm/caag1/balwant.pdf) [4] Francis J Sullivan, More on Filtrations and Graded Modules, 2010 (http://www.math.unipd.it/ frank/ALGANT/2010/Notes/ArtinR eesa ndK rull.pdf ) [5] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cam- bridge, 1986 [6] Dương Quốc Việt, Cơ sở lí thuyết môđun, NXB Đại học Sư phạm, 2010 86