skkn một số ứng dụng của lượng giác

Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Trang Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác nhánh tốn học để tìm hiểu tam giác liên hệ cạnh góc Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học, “càng lớn lên” chúng lại khốc cho áo Đại số Giải tích Vì mà ứng dụng vơ phong phú Việc phát ứng dụng đa dạng lượng giác ln vấn đề khó hấp dẫn Thơng thường tốn đại số, số học, hình học giải “chất liệu” tương ứng đại số, số học, hình học Nhưng có dạng tốn giải phương pháp gặp khơng khó khăn khơng muốn nói bế tắt Tuy nhiên, phát chất lượng giác biểu tốn lượng giác trở thành cơng cụ đắc lực hữu hiệu Bên cạnh đó, thơng qua chun đề tơi muốn giới thiệu “lượng giác góc nhìn khác” thấy lượng giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng cơng cụ đa giải tốn Để nâng cao hiệu dạy học phần lượng giác THPT khơng đưa tập lượng giác túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi ngơn ngữ đại số, giải tích hình học sang lượng giác Với lí nêu mà chun đề mang tên “Một số ứng dụng lượng giác” Chun đề chia thành phần:  Phần thứ nhất: Mở đầu  Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị  Phần thứ ba: Một số ứng dụng lượng giác  Phần thứ tư: Kết luận II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh có nhìn tồn diện hệ thống việc ứng dụng lượng giác đại số, số học, giải tích hình học Trang Một số ứng dụng lượng giác - ThS: Phan Thị Thái Hòa Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa, tập tự giải sử dụng phương pháp lượng giác nhằm nâng cao trình độ tư kỹ giải - tốn cho học sinh Giúp thân đồng nghiệp nâng cao trình độ chun mơn, đổi phương pháp có hiệu III ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Thơng qua tốn tích phân, dãy số, phương - trình, hệ phương trình, tính góc cạnh tam giác, nhận dạng tam giác Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình sách giáo khoa tốn hành nội dung đề thi CĐ-ĐH, đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu, sách báo liên quan đến đề tài - Điều tra khảo sát thực tế học sinh - Trao đổi đồng nghiệp ngồi tổ chun mơn - Tích lũy, đúc kết rút kinh nghiệm q trình giảng dạy IV THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1) Khó khăn:  Do khối lượng cơng thức lượng giác nhiều học sinh khơng hiểu chất lượng giác Vì gặp tốn lượng giác học sinh thường ngán, ngại bỏ qua Đó chưa nói đến ứng dụng lượng giác  Điều đáng nói thiếu tài liệu ứng dụng lượng giác đại số, giải tích hình học, có chưa có tính hệ thống Hơn nữa, học sinh chưa có thói quen tự học, tự nghiên cứu Trang Một số ứng dụng lượng giác 2) ThS: Phan Thị Thái Hòa Số liệu thống kê: Sau kết kiểm tra 60 phút tự luận lớp 12 năm học 2013-2014 (trước áp dụng SKKN ) I Cơng thức lượng giác 1.1 Bảng giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt π −α π +α π +α −α π −α cos cosα − cos α − cos α sin α − sin α sin − sin α sinα − sin α cos α cosα tan − tan α − tan α tanα cot α − cot α cot − cot α − cot α cotα tan α − tan α Góc GTLG 2 1.2 Hằng đẳng thức lượng giác  sin x + cos x = tan x.cot x = 1 x ≠  kπ  , k ∈ Z÷  tan x =  sin x  π  x ≠ + kπ , k ∈Z ÷ cos x   + cot x = ( x ≠ kπ , k ∈Z) sin x cot x = cos x ( x ≠ kπ , k ∈Z) sin x + tan x =   π x ≠ + kπ , k ∈Z ÷  cos x   1.3 Cơng thức cộng Trang Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b tan ( a ± b ) = tan a ± tan b cos ( a ± b ) = cos a cos b msin a sin b cot ( a ± b ) = cot a cot b m cot b ± cot a m tan a tan b 1.4 Cơng thức nhân a Cơng thức nhân đơi sin x = 2sin x.cos x cos x = cos2 x − sin x = 2cos2 x −1 = − 2sin x tan x = tan x − tan x b Cơng thức nhân ba sin3x = 3sin x − sin x cos3x = cos x − 3cos x tan3x = 3tan x − tan x − 3tan x 1.5 Cơng thức tính theo sin x = t = tan x 2t 1+ t ; cos x = 1− t 1+ t ; tan x = 2t 1− t 1.6 Cơng thức hạ bậc sin x = − cos x ; cos2 x = + cos x ; 1.7 Cơng thức biến đổi tổng thành tích Trang tan x = − cos x + cos x Một số ứng dụng lượng giác cos a + cos b = cos sin a + sin b = sin ThS: Phan Thị Thái Hòa a+b a −b cos 2 cos a − cos b = −2 sin a +b a −b cos 2 sin a − sin b = cos a+b a−b sin 2 a+b a −b sin 2 1.8 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b )  2  sin a.sin b = − cos ( a + b ) − cos ( a − b )  2 sin a cos b =  ( ) ( ) 1 sin a + b + sin a − b    II Một số dấu hiệu chuyển tốn qua dạng lượng giác Do số lượng cơng thức lượng giác nhiều, nên chuyển tốn qua lượng giác đòi hỏi học sinh phải nắm vững cơng thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi, tính tuần hồn tính bị chặn hàm số lượng giác Hơn tốn phải có dấu hiệu đặc trưng lượng giác biểu thức, đẳng thức biến x tham gia tốn Sau số dấu hiệu  π π x = a sin t , t ∈ − ;    x ≤a   x = a cos t , t ∈ 0;π  2.1 Nếu , ta đặt a x= , t ∈ ( 0;π ) x ≥ a ( a > 0) sin t 2.2 Nếu , ta đặt x=  π π , t ∈ − ; ÷ cos t  2 a Trang Một số ứng dụng lượng giác 2.3 Nếu x ∈¡ , ta đặt ThS: Phan Thị Thái Hòa π π ; ÷  2  x = a tan t , t ∈  − 2.4 Nếu tốn có chứa đẳng thức  f ( x) = cos t   g ( x) = sin t f ( x) + g ( x) =1 x = a cot t , t ∈ ( 0; π ) , đặt  g ( x) = cos t   f ( x) = sin t 2 2.5 Nếu tốn chứa biểu thức a − x đặt:  π π x =| a | sin t , t ∈  − ,     2  x =| a | cos t , t ∈ 0, π  2.6 Nếu tốn chứa biểu thức x= x − a đặt:  π π π  |a| |a| , t ∈  − ,  \ { 0} x= , t ∈ 0, π  \   sin t cos t  2 2 2 2.7 Nếu tốn chứa biểu thức a + x đặt:  π π x =| a | tan t , t ∈  − , ÷  2  x =| a | cot t , t ∈ ( 0, π ) 2.8 Nếu tốn chứa biểu thức a+x a − x đặt: x = a cos 2t , t ∈ ( 0; π ) π a−x x = a cos 2t , t ∈ [ 0; π ] \   a + x đặt 2 Trang Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 2.9 Nếu tốn chứa biểu thức ( x − a)(b − x) đặt: x = a + ( b − a ) sin t , t ∈ 0;π  x+ y x− y 2x 2x 2 − xy + xy 2.10 Nếu tốn chứa biểu thức hoặc + x − x 1− x2 x − x3 2 + x − x …thì ta đặt  x = tan α   y = tan β   π π   α , β ∈  − ; ÷÷  2 ÷   2.11 Nhận xét  Với hàm số sin 2 ● − 2x = − 2sin α = cos 2α ● − x2 = − sin α = sin  α ÷+ cos  α ÷ 2 2 2 3 ● 3x − x = 3sin α − 4sin α = sin 3α ● − x2 = − sin α = sin  α ÷+ cos6  α ÷ 4 2 2 5 ● 16 x − 20 x + x = 16 sin α − 20 sin α + 5sin α = sin 5α  Với hàm số cos 2 ● x −1 = 2cos α −1 = cos 2α 3 ● x − 3x = 4cos α − 3cos α = cos3α − 3x = 2cos α − 2cos α = 8cos3 α − 6cos α = 2.cos3α x ( ) ( ) ● Trang Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 4 ● x − x −1 = cos α − cos α −1 = cos 4α 5 ● 16 x − 20 x + x = 16 cos α − 20 cos α + 5cos α = cos5α 6 ● 32 x − 48 x + 18 x −1 = 32 cos α − 48 cos α + 18cos α −1 = cos 6α III Phương trình bậc ba Phương trình dạng tốn quan trọng lĩnh vực đại số Chúng ta làm quen với tốn phương trình từ ngày đầu học tốn Ở cấp tiểu học, biết đến tốn tìm x…, năm THCS tốn phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình vơ tỉ xây dựng, Hiện nay, việc giải biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai trở nên quen thuộc học sinh cấp THPT Học sinh có dịp làm quen với phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, nhiên việc giải biện luận phương trình bậc ba tổng qt chưa trình bày chương trình THPT Tơi xin giới thiệu cách giải biện luận phương trình bậc ba dạng tổng qt Phương trình bậc ba dạng tổng qt: a1x + b1 x + c1 x + d1 = ( a1 ≠ ) ( ∗) phương trình (*) đưa dạng chuẩn tắc x + ax + bx + c = Giải biện luận phương trình: Lời giải: Đặt x= y− t + at + bt + c + (1) a Khi phương trình (1) viết dạng  a  a  a  y − ÷ + a  y − ÷ + b  y − ÷+ c =       Tương đương y − py = q (2) Trong p= a2 a ab −b q = − + +c 27 ,  Nếu p = phương trình (2) có nghiệm Trang y=3q Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa  Nếu p > ta đưa phương trình dạng Bài tốn Bài tốn cách đặt y = 2t p ta thu phương trình dạng 4t − 3t = m, với + Nếu m ≤1 m= 3q 2p p (3) ta đặt m = cos α phương trình (2) có nghiêm t1 = cos α ; t2,3 = cos α ± 2π 1  m = d3 + ÷ m ≥1 2 d  phương trình có nghiêm + Nếu đặt 1  1  t =  d + ÷ =  m + m2 + + m − m2 + ÷ 2 d  2   Nếu p < đặt y = 2t −p ta phương trình 4t + 3t = m 1  m = d3 − ÷ 2 d  với d = m ± m +1 Đặt 1  t =  m + m2 − + m − m2 − ÷  Khi phương trình có nghiệm  Từ nghiệm t ta tính nghiệm y từ suy nghiệm x Trang 10 Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là:  2x  1 + x   2y 1 + y Bài 5.3 Giải hệ phương trình  ( 3;1) ( 1;3) =y =x (Trích đề thi thử _ THPT Nguyễn Quang Diệu_ năm 2013) Bài giải: Từ biểu thức vế trái phương trình, ta nhớ đến cơng thức cos2 x = 1 + tan x sin x = 2sin x.cos x  x = tan α  y = tan β Do đó, ta đặt  với  π π α ,β ∈  − ; ÷  2  tan β = tan α  1 + tan β   tan α = tan β  Hệ phương trình trở thành 1 + tan α ⇔ sin 2β = tan α  sin 2α = tan β ( 1) ( 2)  Trường hợp 1: sin α = sin β = , nên ta có x = y =  Trường hợp 2: sin α ≠ sin β ≠ , nhân (1) (2) vế theo vế ta có sin 2α sin β = tan α tan β ⇔ 4cos α cos β = Trang 45 cos α cos β Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa cos α cos β = ⇔ ( 3) π π (do Thay (3) vào (1) ta sin β = sin α ⇒ cos2 α = ⇒ π kπ x = y = tan  + ÷ α , β ∈  − ; ÷ 2  ) β =α ⇔ ⇔ cos 2α = ⇔ 4  α= π kπ + ( k ∈Z) ( k ∈ Z)  x =  x =  x = −1    y =  y = y = −1   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ;   x − y + y 1− x2 =   ( − x ) ( + y ) = Bài 5.4 Giải hệ phương trình  (Trích đề thi thử _ THPT Lê Q Đơn_ năm 2012) Bài giải: Điều kiện x, y ∈  −1;1  x = cos α  y = cos β Đặt  với α , β ∈ 0;π  cos α sin β + cos β sin α =  ( − cosα ) ( + cos β ) = Hệ phương trình trở thành  ( )  sin α + β =  ⇔  cos β − cos α − cos α cos β  π α +β = ⇔   −1 = cos β − cos α − cos α cos β − = ( 1) Trang 46 Một số ứng dụng lượng giác Đặt ( t = cos β − cos α t ≤ Phương trình (1) trở thành t = ● Với ThS: Phan Thị Thái Hòa ) ( nhận ) ( loại ) t =  ⇔  t = −3  t + 2t − =  π sin α − ÷ = 4  ⇔  π α = + k 2π k ∈ Z  α = π + k 2π ( )  x = π  ∀α ∈ 0;π  ⇒ α = , β = y =1 Vậy hệ phương trình có 1nghiệm   x  x + ÷ =1 x −   Bài 5.5: Giải phương trình: (1) (Bài 4.72d, trang114_ BTĐS 10 Nâng cao, xuất năm 2006) Bài giải: ĐK: x ≠  x2  x2 x  x  x  ÷ ⇔ − =1 ( 1) ⇔ x + x x −1 +  x −1 ÷ − x x −1 =  x −1 ÷ x −     Cách 1: Đặt t= x2 x −1 Phương trình trở thành t − 2t −1 = ⇔ t = −  t = + ⇔ ( ( ) )  x2 − 1+ x +1 + =    x − 1− x +1− =  Trang 47 ( pt vô nghiệm ) Một số ứng dụng lượng giác ⇔ x= ThS: Phan Thị Thái Hòa 1 − ± 2 −1  2  x = 1 − ± 2 − 1 2  Do phương trình có nghiệm là: Cách 2: Bài tốn có chứa dạng lượng giác  f ( x) = cos t   g ( x) = sin t f ( x) + g ( x) =1 , đặt  g ( x) = cos t   f ( x) = sin t  x = sin t ≠ (a)   x sin t cos t =  x − = cos t (b) sin t −1 Đặt:  Thay (a) vào (b) ta được: ⇔ sin t + cos t − sin t.cos t = (c) Đặt u = sin t + cos t , đk | u |≤ u = + u − 2u −1 = ⇔   u = 1−  Phương trình (c) trở thành: Với u = − x+ x = 1− x −1 ( loại ) ( nhận ) ⇔ x − (1 − 2) x + − = x = 1 − ± 2 − 1 2  Do phương trình có nghiệm là: Bài 5.6 : Giải phương trình + x + − x + (1 + x)(8 − x) = ( ) (Trích đề thi tuyển sinh 10_THPT chun Lương Thế Vinh, Đồng Nai_2003) Trang 48 Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Bài giải: ĐK: −1 ≤ x ≤ Cách 1: Đặt t = 1+ x + − x ( t ≥ 0) (1+ x)(8 − x) = t − ⇒ 2 Phương trình (2) trở thành t + 2t −15 = ⇔ Với t = 1+ x + − x = ⇔ t =  t = −5 ( loại ) (1 + x)(8 − x) = ⇔ x =1   x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 x =  π t ∈ 0,    (vì hàm số y = sin t tuần hồn có Cách 2: Đặt x = −1 + 9sin t với  π 0,  chu kì π hàm số chẵn nên ta cần xét đoạn   ) 2 2 Phương trình (2) trở thành: 9sin t + 9(1 − sin t ) + 9sin t.9(1 − sin t ) = ⇔ 3(sin t + cos t ) + 9sin t.cos t = (a) π u = sin t + cos t = sin(t + ) ,1 ≤ u ≤ Đặt Ta 9u + 6u −15 = ⇔ u = (nhận) π u = ⇒ sin(t + ) = Với u=− (loại) t = k 2π ⇔  π k ∈Z t = + k 2π  ( Trang 49 ) Một số ứng dụng lượng giác  π t ∈ 0,    nên chọn Vì ThS: Phan Thị Thái Hòa t = t= π , suy x = −1 x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 x = 1 + =2 x − x2 Bài 5.7: Giải phương trình Bài giải: ĐK: x ∈ ( −1;1) \ { 0}  u = x   v = 1− x2 Cách 1: Đặt  u + v = 2  2 2 u + v = u v u = ( u ≠ , v > 0) Hệ phương trình trở thành u + v = 2 ⇔ 2 u v + uv − = ⇔  u = − + 2  v= 6+ v =  ⇔  ( 3) u + v =  uv = 2 u + v =  uv = −4  x = ⇒   1+ x = − 2  (do v > ) π  x = cos α , α ∈ ( 0;π ) \   2 Cách 2: Đặt 1 + =2 2 cos α sin α Phương trình (3) trở thành: ⇔ sin α + cos α Trang 50 = sin2α Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Đặt t = sin α + cos α , − ≤ t ≤ Ta có phương trình   Với t = Với t=− t − t − = ⇔ t = t = − α= 2 π ⇒ x= 11π 1+ α= ⇒ x=− 12 2 Vậy phương trình ( ) có nghiệm là: x= 1+ x=− 2 Bài 5.8: Giải phương trình 64 x − 96 x + 36 x − = ( ) Bài giải:  Xét x∈ ( 1; + ∞ ) y >0 , hàm số y = 64 x − 96 x + 36 x − đồng biến ( ) nên phương trình  Xét x∈ ( −∞ ; −1) y ( −1) > ( 8) vơ nghiệm , hàm số y = 64 x − 96 x + 36 x − nghịch biến nên phương trình ( 8) vơ nghiệm 32 x6 − 48 x + 18 x −1 = 8) x ∈ (  −1;1  Xét , Phương trình viết lại ta đặt x = cos t , t ∈ [ 0, π ] Trang 51 Một số ứng dụng lượng giác Ta phương trình ⇔ ThS: Phan Thị Thái Hòa 32 cos6 t − 48 cos4 t + 18cos t −1 = cos cos6t = cos Vì t ∈ [ 0, π ] nên ta chọn t= π π π π t = ± + k , k ∈Z ⇔ 18 π 5π 7π 11π 13π 17π ,t= ,t= ,t= ,t= ,t= 18 18 18 18 18 18 Vậy phương trình có nghiệm là: cos π 5π 7π 11π 13π 17π ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos 18 18 18 18 18 18 Bài 5.9 Một ngơi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp 9, 651 cm Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếpqua đỉnh ngơi ( Trích đề thi HSG máy tính cầm tay_Tỉnh Đồng Nai_1998 ) Bài giải: B A C O D Ta có sđ¼AE= 360 = 720 E 172 ⇒ ·ACO = × = 180 22 Suy khoảng cách hai đỉnh khơng kề ngơi năm cánh AC = d = 2R cos18o Do bán kính đường tròn ngoại tiếp R= Trang 52 d 2cos18o Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa o o o o 1− sin 18o = cos2 18o = 1+ cos36 = 1+ sin54 = 1+ 3sin18 − 4sin 18 2 Mà o o o hay 4sin 18 − 2sin 18 − 3sin18 +1 = o Suy sin18 nghiệm phương trình: x3 − x2 − 3x +1 = ⇔ ( x −1)(4 x2 + x −1) = (điều kiện < x < ) sin18o = −1+ Vậy cos2 18o = 1− sin 18o =1− Từ ta có:     −1 ÷ ÷ = 10 +162 cos18o = 10 + = 10 + 16 hay R= Vậy d 2d = o 2cos18 10 + ≈ 5,073830963 Nhận xét: Đối với 5.9, sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác góc gần đặc biệt q đơn giản, tơi muốn cho học sinh trở với cuội nguồn lượng giác ① Giải phương trình sau 1+ 2x 1− x2 = 1− x2 a) Trang 53 Một số ứng dụng lượng giác c) ( 3+ 2 ) ( x = ) ThS: Phan Thị Thái Hòa x −1 + d) + x + − x + (4 + x)(6 − x) = ② Giải hệ phương trình sau  log ( y − x) − log y =   x + y = 25  a) (Trích đề thi ĐH_ CĐ, khối A_ năm 2004)  x + y =  x + x + y − 3xy = b)  (CĐ –Kinh Tế Đối Ngoại_2008)  x + y =  x + y + 3xy = + c)  (CĐ Sư Phạm_ Hải Dương_2006) ③ Trong tam giác ABC cân B, đường trung tuyến AD phân giác ADB CE vng góc với ( D ∈ BC , E ∈ AB ) Tính độ lớn góc theo độ, phút, giây ( Trích đề thi HSG máy tính cầm tay_Tỉnh Nghệ An_2012) ④ Cho đường tròn tâm O, o ¼ đặt cung sđ AB = 90 , bán kính R = 11, 25 cm Trên đường tròn cho, sđ ¼BC = 120o cho A C nằm phía BO a) Tính cạnh đường cao AH tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABC Trang 54 Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa ❶ KẾT QUẢ Qua q trình nghiên cứu tiến hành làm sáng kiến kinh nghiệm, tơi đạt số kết sau: - Giúp học sinh củng cố hệ thống kiến thức lượng giác, học sinh biết ứng dụng lượng giác để giải tốn giải phương trình, hệ phương trình, tính tích phân, nhận dạng tam giác - Kết khảo sát chất lượng học sinh kiểm tra 60 phút tự luận lớp 12 hai năm học 2013-2014 2014-2015 trước sau thực sáng kiến kinh nghiệm Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng cộng 10 30 37 86 (11,63 %) (34,88 %) (43,02 %) (10,47%) (100%) 2014-2015 26 46 11 86 (Sau SKKN) (30,23 %) (53,49 %) (12.79 %) (3,49 %) (100%) Xếp loại 2013-2014 (Trước SKKN) Trang 55 Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Trước Sau ❷ KẾT LUẬN Đối với dạng Tốn chuyển đổi ngơn ngữ, phải “ lột lớp vỏ ngụy trang ” bên ngồi để thấy chất bên gì? Để làm điều đòi hỏi giáo viên học sinh phải ln tìm tòi, tự nghiên cứu rút kinh nghiệm qua lần học tốn, bên cạnh phải có niềm say mê với tốn học Hơn nữa, vai trò người thầy việc dẫn dắt học sinh tiếp cận kiến thức đó, phương pháp đó, giúp cho em học sinh củng cố, ơn luyện, bồi dưỡng nâng cao kiến thức kỹ khơi dậy tiềm sáng tạo, đồng thời giúp em tìm đến điều lí thú sâu sắc tốn học Sáng kiến kinh nghiệm đề cập tới ứng dụng lượng giác, chủ đề quan trọng nằm nội dung thi tuyển sinh CĐ-ĐH đặc biệt thi học sinh giỏi cấp Những ví dụ phong phú lấy từ nhiều chủ đề nhằm giúp em học sinh có nhìn xun suốt lượng giác, qua cho thấy lượng giác có tầm quan trọng tốn học thực tiễn Chun đề sử dụng để ơn thi cho học sinh chuẩn bị thi vào CĐ-ĐH, thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Trấn Biên thu Trang 56 Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa kết tốt Hi vọng SKKN góp phần nhỏ bé vào việc đổi phương pháp dạy học trường THPT Trấn Biên Mặc dù nỗ lực nghiêm túc nghiên cứu vấn đề song thân hạn chế kinh nghiệm, thời gian nên chắn thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Rất mong nhận đóng góp q báu bạn thầy đồng nghiệp Trước khép lại chun đề này, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường THPT Trấn Biên, q thầy tổ tốn tạo điều kiện tận tình giúp đỡ tơi q trình viết SKKN Biên Hòa, ngày 04/05/2015 XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Tác giả Phan Thị Thái Hòa DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Xn Liêm(2008) “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB Giáo Dục [2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất(2008) “Giải tích 12 ”, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Thái Hòe (1995), Rèn luyện tư qua việc giải tập tốn, NXB Giáo Dục [4] Trần Nam Dũng (2010), Phương trình nữa, NXB Đại Học Quốc Gia Tp.HCM [5] Bài tập đại số 10 Nâng cao, xuất năm 2006 [6] Phạm Tấn Phước(1999) “ Các chun đề lượng giác” NXB TpHCM [7] Võ Thanh Văn(2010) “Chun đề ứng dụng lượng giác giải tốn THPT”, NXB đại học sư phạm [8] Báo tốn học tuổi trẻ năm 2014; 2015 [9] Đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay tỉnh Đồng Nai, Nghệ An,Thanh Hóa Trang 57 Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa [10] Đề thi tuyển sinh đại học đề dự bị đại học Bộ giáo dục đào tạo từ năm 2004 đến 2013 [11] Đề thi thử đại học nước từ năm 2011 đến 2013 [12] Các diễn đàn tốn học: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org ; bachkim.net DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU 1/ Đại học-Cao đẳng: ĐH-CĐ 2/ Học sinh giỏi: HSG 3/ Trung học sở, trung học phổ thơng: THCS, THPT 4/ Sáng kiến kinh nghiệm: SKKN 5/ Điều kiện xác định tốn: ĐK 6/ Nhà xuất bản: NXB 7/ Điều phải chứng minh: đpcm MỤC LỤC PHẦN 1: Mở đầu Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .3 Phương pháp nghiên cứu .3 Thực trạng trước thực đề tài PHẦN 2: Các kiến thức sở .4 Cơng thức lượng giác Một số dấu hiệu chuyển tốn qua dạng lượng giác Phương trình bậc ba Cơng thức, định lý hình học phẳng Đẳng thức lượng giác tam giác PHẦN 3: Một số ứng dụng lượng giác 10 A Phát huy tính tích cực hiệu phương pháp lượng giác .10 B Lượng giác góc nhìn khác 32 PHẦN 4: Kết luận .41 Trang 58 Một số ứng dụng lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Tài liệu tham khảo .43 Danh mục từ viết tắt tài liệu 43 Mục lục 44 Trang 59