Một số ứng dụng của Tứ giác nội tiếp.(SKKN)

Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp I/ Đặt vấn đề: Hình học cấp hai là một bộ môn khoa học khó đối với học sinh. Đa số các em ngại học, ngại đầu t, cha say mê với bộ môn này. Đặc biệt với học sinh lớp 9, phần đờng tròn các em đơng chập chững làm quen. Các em luôn gặp khó khăn trớc việc chứng minh một bài toán hình. Các em loay hoay không biết bắt đầu từ đâu, chứng minh nh thế nào? Trớc thực tiễn đó, với trách nhiệm của ngời giáo viên đang trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi đã tìm hiểu nguyên nhân vì sao? Do đâu các em nhận thức lệch lạc về bộ môn này. Theo tôi có một số nguyên nhân sau: Về phía học sinh: + Học sinh cha thật nắm chắc lý thuyết. + Cha biết vận dụng tri thức toán học vào thực hành. + Hiểu bài một cách thụ động, không vững chắc. + Suy luận hình học kém, lập luận đôi khi còn theo cảm tính. + Cha đúc rút đợc kinh nghiệm sau mỗi bài giải. + Cha biết cách khai thác bài toán. + Hình vẽ thiếu chính xác, không rõ ràng. + Ngôn ngữ, ký hiệu tuỳ tiện. Về phía giáo viên: + Cha chú trọng cho học sinh cách giải bài toán hình học. + Bằng lòng và kết thúc công việc giải bài tập hình học khi đã tìm ra cách giải nào đó. + Cha chú trọng cho học sinh cách tìm tòi lời giải. + ít quan tâm đến sự phát triển t duy, sáng tạo của học sinh. + Chú ý đến số lợng bài tập, cha chú trọng đến chất lợng. Trớc những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại môn hình học đặc biệt là chứng minh hình học, thiết nghĩ ngời giáo viên cần: - Nắm vững kiến thức. - Chú ý phát triển t duy học sinh. - Trình bày bài giảng một cách có hệ thống, lô gíc. - Vận dụng dạy học theo phơng pháp đổi mới. - Tìm tòi, hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp để củng cố, khắc sâu một kiến thức, một chủ đề toán học nào đó, nhằm giúp học sinh có phơng pháp chứng minh một bài toán hình học tốt hơn, từ đó tạo cho các em niềm tin, sự h- ng phấn trong học toán hình học. Trong khuôn khổ cho phép, tôi không có tham vọng nêu đợc tất cả các phơng pháp chứng minh hình học mà chỉ thể hiện một đề tài nhỏ về chứng minh toán học, đó là: Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đờng thẳng song song, hai đờng thẳng vuông góc thông qua tứ giác nội tiếp 1 1 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp II/ Nội dung của đề tài Trong quá trình học hình học ở cấp hai, đặc biệt là các lớp 7, 8, 9 các em thờng chứng minh hai góc bằng nhau thông qua hai tam giác bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc cùng phụ, cùng bù vời một góc thứ ba. Hay muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng học sinh hay vận dụng: sử dụng tiên đề Ơclit, hai góc kề bù , chứng minh hai đoạn thẳmg bằng nhau học sinh thờng gắn hai đoạn thẳng đó vào hai tam giác bằng nhau Ngoài các phơng pháp trên để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đờng thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, hai đoạn thẳng bằng nhau thì còn những phơng pháp chứng minh nào nữa? Với kinh nghiệm của bản thân tôi xin đa ra một số bài toán vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh. III/ Đối tợng nghiên cứu - Học sinh khối lớp 9 - Các tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa các lớp 6, 7, 8, 9 và các chuyên đề toán học IV/ Nội dung cụ thể: A. Để vận dụng đợc tứ giác nội tiếp trớc hết học sinh phải nắm vững điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp: Tứ giác ABCD nội tiếp à à A C + = 2v hoặc à à B D+ = 2v và một số cách thờng dùng chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp Cách1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 2v Cách2: Hai điểm B và C cùng nhìn đoạn AD cho trớc dới một góc vuông thì tứ giác ABCD nội tiếp Cách3: Từ hai đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn xuống cạnh qua hai đỉnh kia dới những góc bằng nhau ã ã CBD CAD= thì tứ giác đó nội tiếp 2 2 A D O B C B A C D O Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp Cách4: Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại M mà MA .MC = MB.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh: Từ MA.MC = MB.MD suy ra: MC MD MB MA = . Hai tam giác MAD và MBC có: ả ả 1 2 M M = (Đối đỉnh) MC MD MB MA = . MAD MBC ã ã MAD MBC = hay: ã ã CAD CBD = Tứ giác ABCD nội tiếp Cách5: Tứ giác ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh: Từ MA.MB = MC.MD suy ra: MB MC MD MA = MAC và MDB có: ả M chung: MB MC MD MA = MAC MDB ã ã MCA MBD= . Hay ã ã DCA ABD = Tứ giác ABCD nội tiếp B. Một số dạng toán cụ thể: 1) Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau : Bài toán 1.1: Cho đờng tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đờng tròn (O)(N,P là hai tiếp điểm). Chứng minh: ã ã NMO NPO = H ớng dẫn : Với bài toán này sau khi vẽ hình học sinh sẽ lúng túng không biết sử dụng phơng pháp nào để chứng minh hai góc bằng nhau, gv có thể hớng dẫn học sinh suy nghĩ từng bớc: từ MN, MP là hai tiếp tuyến ta có đợc điều gì? ta dễ dàng chứng minh tứ giác nào trong hình là nội tiếp? Từ đó suy ra điều gì? 3 3 2 1 M C D A B O B A D C C D l A B M O M B C B' A C' O B C H B' A C' A' 1 2 1 1 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp N O P M Chứng minh: Ta có MN, MP là hai tiếp tuyến của (O) ã ã ONM OPM = = 90 0 . Tứ giác ONMP có: ã ã ONM OPM + = 180 0 nên tứ giác ONMP nội tiếp ã ã NMO NPO = ( Hai góc nội tiếp chắn cung NO) Bài toán 1.2: Cho ABC nội tiếp đờng tròn(O). Các đờng cao BB , CC . Chứng minh: ã ã ' ' ' C B B C CB= Nhận xét: ở bài toán này học sinh sẽ không tìm ra cặp tam giác bằng nhau để chứng minh hai góc trên bằng nhau. GV cần hớng dẫn học sinh phân tích bài toán + BB , CC là hai đờng cao suy ra điều gì? + Tứ giác BC B C có ã ã ' ' 0 90BC C BB C = = ta có đợc điều gì? + Từ tứ giác BC B C nội tiếp ta suy ra đợc gì? Chứng minh: Tứ giác BC B C có ã ã ' ' BC C BBC = (Vì CC AB, BB AC) tứ giác BC B C nội tiếp đờng tròn đờng kính BC Do đó: ã ã ' ' ' C B B C CB= (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) Bài toán 1.3: Cho ABC. Ba đờng cao AA , BB , CC . Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC là tâm của đ- ờng tròn nội tiếp tam giác A B C GV hớng dẫn học sinh phân tích bài toán theo các câu hỏi sau: 4 4 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp - Hỏi1: Để chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác A B C ta cần chứng minh H là giao điểm của ba đờng nào trong tam giác? - Hỏi2: Vậy ta cần chứng minh những góc nào bằng nhau? - Hỏi3: Có những cách nào để chứng minh: ả ả ' ' 1 2 A A= ? - Hỏi4: (Gợi ý) Cần chứng minh hai góc này cùng bằng một góc hoặc hai góc bằng nhau nào đó ? - Hỏi5: Có thể sử dụng giả thiết AA , BB , CC là các đờng cao nh thế nào? Sơ đồ phân tích: H là tâm đờng tròn nội tiếp A B C b ả ả ả ả ' ' ' ' 1 2 1 2 ;A A B B = = b Tứ giác A BC N nội tiếp ơ ả à ả à ' 1 1 2 1 ;A B A C = = Tứ giác A CB H nội tiếp b à à 1 1 B C = b BCB C nội tiếp Chứng minh: Tứ giác BA HC có hai góc đối bù nhau( Vì A = C = 1v) nên tứ giác BA HC nội tiếp đợc ả à ' 1 1 A B = ( Cùng chắn cung HC) Tơng tự : Tứ giác CA HB nội tiếp ả à ' 2 1 A C = ( Cùng chắn cung HB ) Ta lại có BCB C nội tiếp( ã ã ' ' BB C BC C = = 1v) à à 1 1 B C= . Do đó ả ả ' ' 1 2 A A = . Hay A H là tia phân giác của góc B A C . Chứng minh tơng tự: B H là tia phân giác của góc C B A . Vậy H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác A B C Bài toán 1.4:(Bài 5, mục giải toán qua th Tạp chí toán tuổi thơ 2 số 18) Bi 5(18) : Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). O l giao im ca AC v BD. M l trung im ca CD. Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AOD, BOC ct nhau ti K khỏc O. Chng minh rng : ã ã =KOC MOD ; Li gii : 5 5 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp Trờn tia i ca tia MO, ly im I sao cho MI = MO. D thy ODIC l hỡnh bỡnh hnh, DI // OC => ã ã = IOC OID (1). Mt khỏc ta thy : +) AB // CD +) AOKD ; BOKC l cỏc t giỏc ni tip nờn ã ã =OAK ODK ; ã ã =OCK OBK +) ODIC l hỡnh bỡnh hnh nờn OC = DI. Chỳ ý rng ã ã =AKD AOD (vỡ AOKD ni tip) v ã ã AOD = IDO (vỡ AO // DI) suy ra ã ã =AKD IDO . (1) => ã ã =OID DAK => ã ã =OID DOK (vỡ AOKD ni tip) (2) T (1) v (2) suy ra : ã ã IOC = DOK => ã ã KOC = MOD (pcm). 2) Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đ ờng thẳng song song, hai đ ờng thẳng vuông góc Bài toán 2.1: Hai đờng tròn (O) và (O ) giao nhau tại A và B. CD là dây tuỳ ý của (O), CA và BD cắt (O ) tại E và F. Chứng minh EF//CD GV hớng dẫn học sinh phân tích bài toán: CD//EF 6 6 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp b à à C E + = 2v b à ả à à 2 1 ;C B B E= = Tứ giác ABCD nh thế nào? \ _ Tứ giác ABEF nh thế nào? Chứng minh: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) à à 1 C B+ = 2v, mà à ả 1 2 B B + = 2v à ả 2 C B= (1) Chứng minh tơng tự ta có : à à 1 E B = (2) à ả 1 2 B B + = 180 0 (3) Từ (1), (2), (3) à à 0 180E C + = . Do đó EF //CD (đpcm). Bài toán 2.2: Cho đờng tròn (O) và hai đờng kính AB, CD vuông góc với nhau. Một đờng thẳng d qua C cắt AB tại M và cắt đờng tròn (O) tại N. Gọi P là giao điểm của tiếp tuyến tại N của (O) với đờng thẳng vuông góc với AB tại M. Chứng minh OP // d Phân tích bài toán: d //OP b ã ã DOP OCN = b ã ã OPM ONC = (Vì: ã ã ã ã ;DOP OPM OCN ONC = = ) b Tứ giác : OMNP nội tiếp 7 7 C N A D P M O d B d B C B F E D A O' O 1 2 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp Chứng minh: Tứ giác OMNP có: ã OMP =1v(gt); ON NP (Tính chất tiếp tuyến) nên ã ONP = 1v. Do đó tứ giác OMNP nội tiếp ã ã OPM ONM = ( cùng chắn cung OM) (1) Ta lại có: ã ã ONM OCN = ( Vì OCN cân tại O) (2) ã ã DOP OPM = (So le trong vì MP // CD) (3) Từ (1), (2) và (3) ã ã OCN DOP = . Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên: OP //d (đpcm) Bài toán 2.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O;R). Các đờng cao BE, CF cắt nhau tại H và lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm tơng ứng là P và Q. Chứng minh: EF // PQ Hớng dẫn học sinh giải bằng cách trả lời các câu hỏi? Hỏi: Để chứng minh EF // PQ ta cần chứng minh điều gì? Hỏi: Để chứng minh ã ã PQC EFC = ta dựa vào điều gì? Từ đó ta có thể phân tích theo sơ đồ PQ //EF b ã ã EFC PQC = b ã ã ã ã ;PQC PBC EFC PBC = = b Tứ giác BFEC nội tiếp Chứng minh: BE, CF là hai đờng cao của tam giác ABC nên: ã ã 0 90BFC BEC = = tứ giác CBFE nội tiếp. Do đó: ã ã EBC EFC = ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) Mà: ã ã EBC CQP = ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP) ã ã EFC CQP = , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF // PQ (đpcm) Bài toán 2.4: (bài 5, mục giải toán qua th- Tạp chí toán tuổi thơ 2, số 14) 8 8 C B A H Q F E P O P Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp Bi 5(14) : Cho ba im A, B, C thng hng, AB = BC. Mt ng trũn (O) i qua A, B. Cỏc tip tuyn vi (O) k t A, C ct nhau ti S. T l tip im ca SC v (O). SB ct (O) ti E (E khỏc B). Chng minh rng: ET // AB. Li gii : Vỡ SA, ST tip xỳc vi (O) nờn ta cú : ã ã STE = SBT ; ã ã SAE = SBA => STE SBT ; SAE ABA Mt khỏc, vỡ t giỏc AETB ni tip nờn : ã ã TEA = TBC (2) T (1), (2) ta cú : TEA TBC => ã ã EAT = BCT . T ú, vi chỳ ý rng : ã ã EAT = ETS , ta cú : ã ã BCT = ETS => ET // AB (hai gúc ng v bng nhau). Bài toán 2.5: Cho ABC có các đờng cao BB , CC và nội tiếp đờng tròn (O). Chứng minh OA B C H ớng dẫn : GV hớng dẫn học sinh phân tích bài toán theo chiều ngợc lại: OA B C b B C // At b 9 9 B C' A C B' t' t O t Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp ã ã ' ' C B A CAt= b ã ã ' ' C B A ABC= (Vì: ã ã CAt ABC= ) b ã ã ' ' C B C ABC + = 2v b Tứ giác ABCD nội tiếp Dựa vào sơ đồ trên học sinh có thể trình bày lời giải Chứng minh: Ta có: ã ã ' ' 1BB C BC C v = = Tứ giác BC B C nội tiếp trong đờng tròn đờng kính BC. Do đó: ã ã ' ' ABC C B C + = 2v mà ã ã ' ' ' ' C B C C B A + = 2v( hai góc kề bù) ã ã ' ' ABC C B A= (1) Kẻ tiếp tuyến At với đờng tròn (O) ta có: ã ã ABC CAt= (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: ã ã ' ' C B A CAt = . Hai góc này bằng nhau ở vị trí so le trong nên: B C // At. Nhng OA At nên OA B C . Vậy OA B C Bài toán 2.6:(Bài toán 5, mục giải toán qua th- Tạp chí toán tuổi thơ 2 số 31) Bài 5 (31): Cho tam giác ABC. Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác lần lợt tiếp xúc với các cạnh AB, BC theo thứ tự tại P, Q. Phân giác trong của à A cắt tia PQ tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với CE. Lời giải: Có ba trờng hợp cần xem xét. Trờng hợp 1: AB=AC. Dễ thấy E trùng với Q. Vì AB = AC nên AQ CQ 10 10 B C A P O E=Q EQ [...]... 1800 ; O1 + O2 = 1800 b OM ) 2 ON Tứ giác OHNG nội tiếp đờng tròn (O2: ) 2 Tứ giác MEOF nội tiếp đờng tròn (O1; Chứng minh: Vì E, F là hình chiếu của M trên OA và OC nên: ME OA ; MF OC 16 16 B Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp ã ã MEO = MFO = 900 OM ã ã Do đó: MEO + MFO = 1800 Tứ giác MEOF nội tiếp đờng tròn ( O1; ) 2 Chứng minh tơng tự ta có: Tứ giác NHOG nội tiếp đờng tròn Mà OM = ON suy... về tứ giác nội tiếp tơng đối đơn giản Phân tích bài toán ã OK = OE mà BO là phân giác của EBK b A ằ ằ EO = OK E O 15 15 0 60 B K C Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp b Tứ giác BEOK nội tiếp Chứng minh: Tam giác ABC có tổng ba góc bằng 1800 nên: à + C = 1800 B = 1800- 600 = 1200 à A à à +C A à 1200 ã COA = 1800 = 1800 = 1200 Xét OAC ta có: 2 2 ã Mặt khác: EOK = ã AOC = 1200 ( Đối đỉnh) à ã Tứ. .. tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), từ điểm A P P tùy ý trên đờng tròn (khác A, B, C) kẻ PD, PE, PF lần lợt vuông góc xuống BC, CA, AB Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng F Phân tích bài toán: D, E, F thẳng hàng O b B ã DFB = ã AFE D C 12 12 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp b ã ã DFB = DPB ; ã AFE = ã APE _ \ Tứ giác PFDB nội tiếp tứ giác AFPE nội tiếp b ã DPB = ã APE b ã ã APB = EPD b Tứ giác. .. giác AEMO nội tiếp 14 14 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp A E M O N B D C Chứng minh: ã ã Tứ giác AEMO nội tiếp ( Vì có: OEA = OMA = 1v ) à A ã Suy ra: OME + = 1800 2 ã ã Mặt khác ta có: AMB = ANB = 90 0 (gt) (1) à A ã ã Tứ giác ABNM nội tiếp suy ra : BMN = BAN = ( Hai góc nội tiếp cùng chắn 2 cung BN) (2) ã ã ã Từ (1) và (2) suy ra: OME + BMN = 1800 NME = 1800 (3) Chứng minh tơng tự ta có: ba... Tứ giác ACPB và tứ giác EPDC nội tiếp Chứng minh: à Ta có tứ giác APBC nội tiếp đờng tròn (O) nên: ã (1) APB + C = 1800 ã à ã ã Tứ giác EPDC nội tiếp ( Vì PEC = PDC = 900 ) nên: EPD + C = 1800 (2) ã ã Từ (1) và (2) suy ra: ã APE = BPD APB = EPD ã ã ã Tứ giác BPFD nội tiếp (vì có: BFP = BDP = 900 ) (a) ã ã Suy ra: BFD = BPD (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD) (b) ã ã Tứ giác PAEF nội tiếp (Vì có:... 13 13 M C Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp ã QNC = 1800 b ã ã QND = 1v; DNC = 1v b ã Tứ giác AQND nộitiếp: DNQ = 1v Chứng minh: Tứ giác AQND nội tiếp ã ã DAQ + DNQ = 1800 ã ã Mà: DAQ = 1v ( Vì ABCD là hình vuông) nên: DNQ = 1v (1) ã Mặt khác : DNC = 1v (Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) (2) ã ã Từ (1) và (2) suy ra: DNQ + DNC = 2v Hay ba điểm Q, N, C thẳng hàng Bài toán 3.4: Cho tam giác ABC Gọi... CE, DF cắt AB lần lợt tại M và N Chứng minh IM = IN 18 18 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp V/ Kết luận : Trên đây chỉ là một số bài toán vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đờng thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, hai đoạn thẳng bằng nhau mà các em thờng gặp Với các bài toán trên giúp cho giáo viên có hớng chung khi dạy học sinh chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn... Cho tam giác ABC cân tại A và à < 900 Đờng vuông góc với AB tại A cắt đờng A thẳng BC ở D Kẻ DE vuông góc với AC Gọi H là trung điểm của BC Chứng minh: AH = EH A B 2 H C 1 C E Phân tích bài toán HA = HE b ẳ = EH AH ẳ b 0 0 ã à ã à à ả à ã Mà: ã ADH = EDH (Vì: ADH = 90 B; EDH = 90 C1; mà: C1 = C2 = B ) b Tứ giác AHED nội tiếp Chứng minh: 17 17 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp à à Tam giác ABD... < AC Dễ thấy E thuộc tia đối của tia PQ Tơng tự trờng hợp 2 ta có tứ giác OQEC nội tiếp Suy ra AE CE Tóm lại, trong cả ba trờng hợp, ta đều có AE CE A P O C B Q 11 11 E Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp 3 Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài toán 3.1: Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và A, một cát tuyến d bất kỳ qua A cắt (O) tại B và cắt (O) tại C.Qua B và... bất kỳ theo thứ tự cắt (O) và (O) tại B và C Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Phân tích bài toán: A, B, C thẳng hàng B b A' C ã ' AB ' + ã ' AC ' = 1800 A A O' O b ã ' AB ' + B = 1800 ; ã ' AC ' + C = 1800 à à A A B' b b C' A Tứ giác AABB nội tiếp Tứ giác AACC nội tiếp Chứng minh: à Tứ giác ABBA nội tiếp (O) ã ' AB ' + B = 1800 A à Tứ giác AACC nội tiếp (O) ã ' AC ' + C = 1800 A Mà B + C . 2 A OME + = [ ] Tứ giác AMNB nội tiếp Tứ giác AEMO nội tiếp 14 14 Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp ( Vì có: ã. Q A Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp ã 0 180QNC = b ã ã 1 ; 1QND v DNC v = = b Tứ giác AQND nộitiếp: ã 1DNQ v = Chứng minh: Tứ giác AQND nội tiếp