I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học, nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn. Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng “chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán. Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác. Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng của lượng giác” . Chuyên đề được chia thành 4 phần: Phần thứ nhất: Mở đầu. Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị. Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác. Phần thứ tư: Kết luận
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trƣờng THPT Bình Sơn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Người thực hiện: Phan Văn Hóa Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học - Lĩnh vực khác: Có đính kèm: Mô hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2014 - 2015 SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: Phan Văn Hóa 2. Ngày tháng năm sinh: 06/05/1979 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: Ấp 1 – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai 5. Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100 ; ĐTDĐ : 0985801064 6. E-mail: phanvanhoabs@gmail.com 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A 2 , 12A 8 , 11A 9 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2004 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Toán học - Số năm có kinh nghiệm : 9 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 9 năm gần đây : + Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán. + Một số sai lầm khi tính tích phân. + Một số sai lầm khi giải phương trình lôgarit. + Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. + Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi của các năm bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hầu như không thể thiếu. Đặc biệt bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một trong những bài toán hay và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có tính sáng tạo cao. Vấn đề đặt ra là làm sao để giảng dạy học sinh học tốt chủ đề này. Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong quá trình dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp học sinh dễ tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hơn. Với những ưu điểm đó nên tôi chọn đề tài : ‘‘Ứng dụng phƣơng pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất’’ để trao đổi với đồng nghiệp. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Định nghĩa: Cho hàm số ()y f x xác định trên DR . Ta có: 00 () max ( ) : ( ) xD f x M M f x x D f x M 00 () min ( ) : ( ) xD f x m m f x x D f x m 2. Định lí: a. Nếu hàm số ()y f x đồng biến trên ;ab thì ; min ( ) ( ) x a b f x f a ; ; ( ) ( ) x a b max f x f b . b. Nếu hàm số ()y f x nghịch biến trên ;ab thì ; min ( ) ( ) x a b f x f b ; ; ( ) ( ) x a b max f x f a . Chú ý: giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có. 2 III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN. 1. PHƢƠNG PHÁP 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ()y f x trên một đoạn ;ab ● Tính '( )fx ● Tìm các điểm 12 , , , n x x x trên khoảng ;ab mà tại đó '( ) 0fx hoặc '( )fx không xác định. ● Tính 12 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b . ● Kết luận: 12 ; ( ) { ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )} n x a b max f x max f a f x f x f x f b ; 12 ; min ( ) min{ ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )} n x a b f x f a f x f x f x f b 2. PHƢƠNG PHÁP 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ()y f x trên một khoảng ;ab (có thể là ; ) ● Tính '( )fx ● Tìm các điểm 12 , , , n x x x trên khoảng ;ab mà tại đó '( ) 0fx hoặc '( )fx không xác định. ● Lập bảng biến thiên. ● Dựa vào bảng biến thiên rồi kết luận ; () x a b max f x ; ; min ( ) x a b fx ; 3 Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ()y f x mà không chỉ rõ trên tập nào thì ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ()y f x trên tập xác định của hàm số ()y f x . 3. VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 () 4 x fx x trên đoạn 1;2 Giải: 2 22 8 '( ) (4 ) xx fx x , 1 ;6 3 x 2 0 1;2 '( ) 0 8 0 8 1;2 x f x x x x 1 1 3 f ; 00f ; 22f Vậy 1;2 ax ( ) 2 2 x m f x f và 1;2 min ( ) 0 0 x f x f Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3 1 3 6f x x x Giải: TXĐ: 1 ;6 3 D 33 '( ) 2 3 1 2 6 fx xx , 1 ;6 3 x 51 '( ) 0 6 3 1 ;6 43 f x x x x 1 57 3 f ; 5 2 19 4 f ; 6 19f Vậy 1 ;6 3 5 ax ( ) 2 19 4 x m f x f và 1 ;6 3 min ( ) 6 19 x f x f 4 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 3 10 20 () 23 xx fx xx Giải: TXĐ: DR 2 22 4 22 10 '( ) ( 2 3) xx fx xx 2 1 '( ) 0 4 22 10 2 5 x f x x x x Bảng biến thiên: Vậy 5 min ( ) 5 2 xR f x f và 1 max ( ) 7 2 xR f x f Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( ) 16f x x x Giải: TXĐ: 4;4D 2 '( ) 1 16 x fx x , 4;4x 2 2 2 2 0 00 '( ) 0 16 2 2 4;4 16 8 22 x xx f x x x x x x x x 44f ; 2 2 4 2f ; 44f f(x) f'(x) -5 - 1 2 - ∞ x 3 0 0 - + - + ∞ 3 7 5 2 5 Vậy 4;4 ax ( ) 2 2 4 2 x m f x f và 4;4 min ( ) 4 4 x f x f Ví dụ 5: Cho a là số thực dương thỏa 3a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 ( 3) 3 aa P aa . Giải: Xét hàm số 22 ( 3) () 3 aa fa aa với 03a 22 54 81 '( ) , 0;3 (3 ) a f a a aa 3 '( ) 0 0;3 2 f a a Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 3 3, 0;3 2 f a f a . Suy ra: 0;3 3 min min ( ) 3 2 a P f a f Vậy min 3P khi 3 2 a B. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN. 1. PHƢƠNG PHÁP: ● Biến đổi hoặc sử dụng bất đẳng thức để chuyển biểu thức ban đầu sang biểu thức mới. Biểu diễn các biến số ban đầu của biểu thức theo một biến số mới. 3 - + 0 a 3 2 f'(a) f(a) 3 0 6 ● Dựa vào điều kiện của các biến số ban đầu để tìm điều kiện cho biến số mới. ● Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số theo biến mới. 2. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG DÙNG: a. Bất đẳng thức Cô – si, với , , 0abc , ta có: 2a b ab ; dấu “=” xảy ra ab . 3 3a b c abc ; dấu “=” xảy ra abc . b. 2 2 2 2 2 22 2 ab a b ab a b ab , với ,a b R ; dấu “=” xảy ra ab . c. 2 3 3 3 ( ) 3 ( ) 4 ab a b a b ab a b , với ,a b R ; dấu “=” xảy ra ab . d. 2 2 2 2 2 2 2 3 abc a b c ab bc ca a b c ab bc ca , với ,,a b c R ; dấu “=” xảy ra abc Hiển nhiên, ta có: 22 22 2 2 ab a b ab ab , với ,a b R Tương tự 22 2 bc bc , với ,b c R ; 22 2 ca ca , với ,a c R Suy ra: 2 2 2 a b c ab bc ca Từ đó, ta có: 2 2 2 2 2 () ( ) 2( ) 3( ) 3 abc a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 () ( ) 2( ) 3( ) 3 abc a b c a b c ab bc ca a b c a b c e. 1 1 4 a b a b , (với 0, 0ab ); dấu “=” xảy ra ab Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2a b ab và 1 1 2 ab ab 7 Suy ra 1 1 1 1 4 4ab a b a b a b f. 1 1 1 9 a b c a b c , (với 0, 0, 0abc ); dấu “=” xảy ra abc . 3. VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện 22xy . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 1 1 xy P yx . Giải: 2 2 2 2 4 2 ( 2 ) 4 2 6 4 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 3 x y x y x y x y xy x y xy P y x xy x y xy x y xy Đặt 2 ( 2 ) 2 1 0 1 4 xy t xy t Xét hàm số 62 () 3 t ft t với 01t 2 12 '( ) 0, 0;1 ( 3) f t t t Suy ra hàm số nghịch biến trên 0;1 nên 1 (1) ( ) (0) 2, 0;1f f t f t Vậy max 2P khi 2; 0xy hoặc 0; 1xy min 1P khi 1 1; 2 xy Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện 3x y xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 33 11 x y xy P x y y x x y . 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) 3( ) 6 3( ) ( ) ( ) 2 14 x y x y xy x y xy x y xy P x y x y xy x y xy x y x y Đặt t x y với 0t , suy ra 3 0 3xy t t . 8 2 2 () 3 4 12 0 2 4 xy x y xy x y t t t Xét hàm số 2 2 3 9 18 3 ( ) 6 2 4 t t t f t t t t với 23t Suy ra hàm số nghịch biến trên 2;3 nên 3 ( ) (2) , 2;3 2 f t f t Vậy 3 max 2 P khi 1xy Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 2 3;1 3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 5 4 1 5 11 4 7 4( 2) xy P x y y x x y . Giải: Từ giả thiết, ta có: 22 22 ( 2)( 3) 5 6 0 5 6 ( 1)( 3) 4 3 0 4 3 x x x x x x y y y y y y Từ đó suy ra: 4 5 11 5 5 5 4 4 4 1 4 2 4 2 y x y x P x y y x x y x y x y Đặt t x y thì 36t , Xét hàm số 1 1 42 t ft t t với 36t 2 2 2 2 ( 1)( 5) 11 ' 1 4 2 4 1 2 tt ft t t t t . 1 3;6 '0 5 3;6 t ft t Bảng biến thiên: 3 2 3 2 2 2 2 2 2 6 9 3 2 12 (2 12) 24 '( ) 2 2 4 4 4 ( 2)(2 3 6) 24 0, 2;3 4 t t t t t f t t t t t t t t t t [...]... phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đã giúp các em chủ động hơn, tự tin hơn Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng kiến thức khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề Kết quả: Số học sinh làm bài Số học sinh đạt yêu cầu Tỷ lệ 76 53 69.74% 29 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến là một dạng toán... tháng 05 năm 2015 Trƣờng THPT Bình Sơn ––––––––––– PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2014 – 2015 Tên sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng phƣơng pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Họ và tên tác giả: Phan Văn Hóa Chức vụ: giáo viên Đơn vị: Trường THPT Bình Sơn Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương... tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành Xếp loại chung: Xuất sắc Khá Đạt Không xếp loại Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn... Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác giả NGƢỜI THỰC HIỆN SKKN (Ký tên và ghi rõ họ tên) XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƢỞNG... giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 0; 2 2 x 2 3x 3 trên đoạn x 1 (Đề thi Đại học khối D năm 2011) 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 2 x 2 12 x x2 2x 3 x 4 18 x 2 81 x2 5 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 2 x 14 5 x 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 2 x... trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 2 x x 4 x 2 7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) (1 x) 1 x 2 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 2 x 5 x (Đề thi Cao đẳng năm 2014) 9 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x2 4 x 21 x2 3x 10 23 (Đề thi Đại học khối D năm 2010) 10 Cho a là số thực dương thỏa a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... giản, nhưng ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến là một dạng toán hay và cũng tương đối khó khăn trong việc phát hiện ra dấu hiệu áp dụng và giải đối với nhiều học sinh Để học sinh vận dụng tốt phương pháp này giáo viên cần cho học sinh rèn luyện nhiều, đồng thời cần phân tích dấu hiệu áp dụng và định hướng cách giải đối với mỗi bài toán Khi áp dụng đề... Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành 1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây) - Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn - Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay... 14 Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x y y 1 x 1 15 Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2 y 2 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3 y3 3xy 16 Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y xy 3 Tìm giá trị lớn x2 y2 1 nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu... các số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 y 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất 1 của biểu thức P 1 x 1 1 y 1 y x 1 (Đề thi thử đại học trường iSCHOOL Nha Trang Khánh Hòa) 18 Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x y xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3 y3 2015 x 2 y 2 y2 x2 19 Cho các số thực dương x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của . - Long Thành - Đồng Nai 5. Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100 ; ĐTDĐ : 0985801064 6. E-mail: phanvanhoabs@gmail.com 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A 2 ,