Một số ứng dụng của lượng giác

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học, nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn. Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng “chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán. Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác. Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng của lượng giác” . Chuyên đề được chia thành 4 phần:  Phần thứ nhất: Mở đầu.  Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.  Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.  Phần thứ tư: Kết luận

Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Trang 1 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học, nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn. Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng “chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán. Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác. Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng của lượng giác” . Chuyên đề được chia thành 4 phần:  Phần thứ nhất: Mở đầu.  Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.  Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.  Phần thứ tư: Kết luận II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và hệ thống việc ứng dụng lượng giác trong đại số, số học, giải tích và trong hình học. Trang 2 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa - Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa, các bài tập tự giải được sử dụng phương pháp lượng giác nhằm nâng cao trình độ tư duy và kỹ năng giải toán cho học sinh. - Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới phương pháp có hiệu quả. III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Thông qua các bài toán tích phân, dãy số, phương trình, hệ phương trình, tính góc và cạnh của tam giác, nhận dạng tam giác. - Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình sách giáo khoa toán hiện hành và trong nội dung đề thi CĐ-ĐH, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu, sách và báo liên quan đến đề tài. - Điều tra và khảo sát thực tế học sinh. - Trao đổi cùng đồng nghiệp trong và ngoài tổ chuyên môn. - Tích lũy, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. IV. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1) Khó khăn:  Do khối lượng công thức lượng giác là khá nhiều và học sinh không hiểu bản chất của lượng giác. Vì vậy khi gặp các bài toán lượng giác học sinh thường ngán, ngại bỏ qua. Đó là chưa nói đến ứng dụng của lượng giác.  Điều đáng nói là cho đến nay vẫn thiếu những tài liệu ứng dụng của lượng giác trong đại số, giải tích và trong hình học, nếu có cũng chưa có tính hệ thống. Hơn nữa, học sinh chưa có thói quen tự học, tự nghiên cứu. Trang 3 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 2) Số liệu thống kê: Sau đây là kết quả kiểm tra 60 phút tự luận của 2 lớp 12 trong năm học 2013-2014 (trước khi áp dụng SKKN ). I. Công thức lượng giác 1.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. α − απ − απ + 2 π α − 2 π α + cos cosα cos α − cos α − sin α sin α − sin sin α − sinα sin α − cos α cosα tan tan α − tan α − tanα cot α cot α − cot cot α − cot α − cotα tan α tan α − 1.2 Hằng đẳng thức lượng giác 2 2 sin cos 1x x + = , 2 tan .cot 1 k x kx x π    ÷   ≠ ∈= Z sin tan , cos 2 x x x k k x π π    ÷   = ≠ + ∈Z ( ) 2 2 1 1 cot , sin x x k k x π + = ≠ ∈Z ( ) cos cot , sin x x x k k x π = ≠ ∈Z 2 2 1 1 tan , 2 cos x x k k x π π    ÷   + = ≠ + ∈Z 1.3 Công thức cộng ( ) sin sin cos cos sina b a b a b± = ± ( ) tan tan 1 tan tan tan a b a b a b ± ± = m ( ) cos cos cos sin sina b a b a b± = m ( ) cot cot 1 cot cot cot a b a b b a ± = ± m 1.4 Công thức nhân Trang 4 Góc GTLG Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa a. Công thức nhân đôi sin 2 2sin .cosx x x= 2 2 2 2 cos2 1 1 cos sin 2cos 2sin x x x x x− = = − = − 2 an 2 2tan t 1 tan x x x = − b. Công thức nhân ba 3 sin3 3sin sin 4 x x x− = 3 cos3 cos 3cos 4 x x x − = 3 2 tan3tan tan3 1 3tan xx x x − = − 1.5 Công thức tính theo 2 tan x t = 2 2 sin 1 t x t = + ; 2 2 1 cos 1 t x t − = + ; 2 2 tan 1 t x t = − . 1.6 Công thức hạ bậc 2 1 cos2 sin 2 x x − = ; 2 1 cos2 cos 2 x x + = ; 2 1 cos2 tan 1 cos2 x x x − = + . 1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2 sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2 cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = 1.8 Công thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( ) 1 2 cos .cos cos cosa b a b a b       = + + − ( ) ( ) 1 2 sin .sin cos cosa b a b a b       = − + − − ( ) ( ) 1 2 sin .cos sin sina b a b a b       = + + − II. Một số dấu hiệu chuyển bài toán qua dạng lượng giác. Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều, nên khi chuyển bài toán qua lượng giác thì đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi, tính tuần hoàn và tính bị chặn của các hàm số lượng Trang 5 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa giác. Hơn nữa trong bài toán phải có dấu hiệu đặc trưng của lượng giác về biểu thức, đẳng thức hoặc biến x tham gia trong bài toán. Sau đây là một số dấu hiệu cơ bản. 2.1 Nếu x a≤ , ta đặt sin , ; 2 2 x a t t π π       = ∈ − hoặc cos , 0;a t tx π     ∈= 2.2 Nếu ( ) 0ax a >≥ , ta đặt ( ) , 0; sin a x t t π = ∈ hoặc , 2 2cos ; a x t t π π    ÷   = −∈ 2.3 Nếu x ∈¡ , ta đặt ; 2 2 ,tanx a t t π π   −  ÷   = ∈ hoặc ( ) 0;,cotx a t t π = ∈ 2.4 Nếu bài toán có chứa đẳng thức ( ) ( ) 2 2 1f x g x+ = , thì có thể đặt ( ) cos ( ) sin f x t g x t      = = hoặc ( ) cos ( ) sin g x t f x t      = = 2.5 Nếu bài toán chứa biểu thức 2 2 a x− thì có thể đặt: | |sin , , 2 2 x a t t π π       = ∈ − hoặc | |cos , 0,x a t t π     = ∈ 2.6 Nếu bài toán chứa biểu thức 2 2 x a− thì có thể đặt: { } | | , , \ 0 sin 2 2 a x t t π π       = ∈ − hoặc | | , 0, \ cos 2 a x t t π π           = ∈ 2.7 Nếu bài toán chứa biểu thức 2 2 a x+ thì có thể đặt: | | tan , , 2 2 x a t t π π    ÷   = ∈ − hoặc ( ) | |cot , 0,x a t t π = ∈ . 2.8 Nếu bài toán chứa biểu thức a x a x + − thì có thể đặt: ( ) 0;cos2 ,x a t t π = ∈ hoặc a x a x − + thì đặt [ ] 0; \ 2 cos2 ,x a t t π π       = ∈ . Trang 6 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 2.9 Nếu bài toán chứa biểu thức ( )( )x a b x− − thì có thể đặt: ( ) 2 sin , 0;x a b a t t π     = + − ∈ 2.10 Nếu bài toán chứa biểu thức 1 x y xy + − hoặc 1 x y xy − + hoặc 2 2 1 x x+ hoặc 2 2 1 x x− hoặc 2 2 1 1 x x − + hoặc 3 2 3 1 3 x x x − − …thì ta có thể đặt tan , ; tan 2 2 x y α π π α β β        ÷   ÷  ÷       = ∈ − = . 2.11 Nhận xét  Với hàm số sin ● 22 1 2sin cos21 2x α α = − =− ● 2 4 42 2 2 1 2 1 2 1 sin sin cos1 x α α α     +  ÷  ÷     = − =− ● 33 3sin 4sin sin33 4x x α α α = − =− ● 2 6 62 2 2 3 4 3 4 1 sin sin cos1 x α α α     +  ÷  ÷     = − =− ● 5 35 3 16 2016 20 sin55 sin sin 5sinxx x α α αα ++ = − =−  Với hàm số cos ● 22 2cos 1 cos22 1x α α = − =− ● 33 4cos 3cos cos34 3x x α α α − − == ● ( ) ( ) 3 33 2cos 3 2cos 8cos 6cos 2.cos33x x α α α α α − = − = − = ● 4 24 2 8 88 8 cos cos 1 cos41x x α α α −− = − =− ● 5 35 3 16 2016 20 cos55 cos cos 5cosxx x α α αα ++ = − =− ● 6 46 4 2 2 32 832 48 18 4 18cos cos6cos cos 11x x x αα α α − −+ += − =− III. Phương trình bậc ba. Phương trình là một dạng toán cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong lĩnh vực đại số. Chúng ta làm quen với các bài toán về phương trình từ những ngày đầu học toán. Ở cấp tiểu học, chúng ta được biết đến những bài toán tìm x…, những năm ở THCS bài toán về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình vô tỉ được xây dựng, Hiện nay, việc giải và biện luận Trang 7 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa phương trình bậc nhất, bậc hai đã trở nên rất quen thuộc đối với học sinh ở cấp THPT. Học sinh cũng có dịp làm quen với phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, tuy nhiên việc giải và biện luận phương trình bậc ba tổng quát chưa được trình bày trong chương trình THPT. Tôi xin giới thiệu cách giải và biện luận phương trình bậc ba dạng tổng quát. Phương trình bậc ba dạng tổng quát: ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 1 00a x b x c x d a ≠ ∗+ + + = mọi phương trình (*) đều đưa về dạng chuẩn tắc 3 2 0x ax bx c+ + + = . Giải và biện luận phương trình: 3 2 0t at bt c+ + + + (1) Lời giải: Đặt 3 a x y= − . Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng 3 2 0 3 3 3 a a a y a y b y c        ÷  ÷  ÷       − + − + − + = Tương đương 3 y py q − = (2) . Trong đó 2 3 a p b= − , 3 27 3 a ab q c = − + +  Nếu p = 0 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất 3 y q =  Nếu p > 0 thì ta đưa phương trình về dạng Bài toán 1 hoặc Bài toán 2 bằng cách đặt 2 3 p y t= ta thu được phương trình dạng 3 4 3 ,t t m− = với 3 3 2 q m p p = (3) + Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos α và phương trình (2) có 3 nghiêm 1 cos 3 t α = ; 2,3 2 cos 3 t α π ± = + Nếu 1m ≥ thì đặt 3 3 1 1 2 m d d    ÷   = + thì phương trình có nghiêm duy nhất là 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 t d m m m m d      ÷  ÷     = + = + + + − +  Nếu p < 0 thì đặt 2 3 p y t − = ta sẽ được phương trình 3 4 3t t m+ = Trang 8 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Đặt 3 3 1 1 2 m d d   = −  ÷   với 3 2 1d m m = ± + . Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất 3 3 2 2 1 1 1 2 t m m m m    ÷   = + − + − − Từ nghiệm t ta tính được nghiệm y và từ đó suy ra nghiệm x 3 3 2 2 1 2 1 1 3 2 3 p a x m m m m    ÷   = + − + − − − . I.V Công thức, định lý trong hình học phẳng Trong tam giác ABC ta ký hiệu: a, b, c tương ứng là độ dài các cạnh , ,BC AC AB S là diện tích , p là nửa chu vi tam giác ABC , , a c b h h h tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ , ,A B C , , a c b m m m tương ứng là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ , ,A B C ,R r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. 4.1 Định lý hàm số sin 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 4.2 Định lý hàm số cos : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − 4.3 Độ dài đường trung tuyến : 2 2 2 2 2 2 a c b a m + − = 4.4 Độ dài đường cao : .sin .sin .sin .sin sin a a B C h b C c B A = = = ; 2 a S h a = . 4.5 Diện tích tam giác : ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c= − − − 4 4 abc abc S R R S = ⇒ = 2 1 .sin .sin . 2 2sin a a B C S a h A = = 2 2 .sin .sin .sinS R A B C= . Trang 9 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa 1 1 1 . . .sin . . .sin . . .sin 2 2 2 S a b C b c A a c B= = = V Đẳng thức lượng giác trong tam giác ( ) sin sinA B C+ = ( ) cos cosA B C+ = − ( ) tan tanA B C+ = − ( ) cot cotA B C+ = − 2 2 sin cos A B C + = 2 2 cos sin A B C + = 2 2 tan cot A B C + = 2 2 cot tan A B C + = . I. Trong chương trình toán học THPT, dãy số là một phần quan trọng của Đại số & Giải Tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến dãy số như tính giới hạn hay xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Khi gặp các con số đặc biệt 1 ; ; ; ; 2 2 2 2 3 2 3 có liên quan đến các giá trị lượng giác thì ta cũng phải nghĩ đến việc sử dụng công cụ lượng giác để giải chúng. Dưới đây là một số ví dụ ứng dụng của lượng giác trong dãy số. Bài 1.1 Cho dãy số ( ) n u có 3 1 1 1 3 2 , 2 4 3 n n n n u u u u − −     − ∀ ≥  = = Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . Bài giải Trang 10 [...]... sử dụng phép đặt lượng giác nào Thơng qua chun để này tơi xin hệ thống và đưa ra những dấu hiệu nhận biết khi sử dụng phương pháp đổi biến dạng lượng giác ❶ Tính tích phân bằng phương pháp lượng giác ta thực hiện các bước sau - Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp - Chuyển các biểu thức đại số sang lượng giác, thực hiện phép đổi cận - Tính tích phân lượng giác thu được ❷ Một số phép đặt lượng giác. .. thức số hạng tổng qt của dãy số ( un ) Trang 14 u2016 v2016 Một số ứng dụng của lượng giác ⑧ Cho dãy số ( un ) ThS: Phan Thị Thái Hòa u0 = 2  v0 = 1  và ( vn ) có : u = 2un vn Tính  n +1 un + vn  vn +1 = un +1.vn  v2015 và u2016 II Trong chương trình Giải Tích 12, tích phân là một phần quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng lượng giác, ... sau: 1500 = h × cot300 − h × cot350 Từ đó dễ dàng suy ra được h Một vài ứng dụng tương tự khác như đo chiều cao của cây như hình sau: Hay xa phức tạp hơn nữa, tính chiều cao của tháp dưới đây Trang 28 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa ❷ Ứng dụng lượng giác trong việc đo khoảng cách Giả sử chúng ta đang ở bãi biển, và thấy một hòn đảo Nhưng chúng ta lại khơng biết khoảng cách từ đảo... chiều dài của bóng là khơng thể thực hiện được Vì thế lượng giác sẽ phát huy tính hữu hiệu của nó Trang 27 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Cách đo như sau: ứng hai nơi sao cho thẳng hàng với hướng của núi, sau đó dùng dụng cụ đo góc từ vị trí ứng đến đỉnh núi và khoảng cách di chuyển Giả sử như hình trên, và gọi h là chiều cao của ngọn núi, thì chúng ta sẽ có phương trình sau:... tính khoảng cách giữa các hành tinh với nhau ❸ Ứng dụng lượng giác tính độ dài cạnh, góc của tam giác Bài 4.1 Cho tam giác ABC vng tại C, AB=2 Độ dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC bằng 2 3 Tính chu vi tam giác ABC 3 ( Trích đề thi HSG máy tính cầm tay_Tỉnh Đồng Nai_2013) Trang 30 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Bài giải: Cách 1 Đặt AC = x, BC = y, CD = z; điều kiện x,... 12 nπ 3 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính bậc hai để tìm số hạng tổng qt ● Phương trình đặc trưng λ 2 − λ + 1 = 0 có nghiệm phức λ1,2 = 1± i 3 2 1 3 1 π = Ta có A = ; B = ; r = 1; ϕ = arctan 2 2 3 3 ⇒ cơng thức số hạng tổng qt của dãy số có dạng un = C1.cos nπ nπ + C2 sin 3 3 C1 cos 0 + C2 sin 0 = 0  ● C1 , C2 là nghiệm của hệ phương... bãi biển đến hòn đảo đó Lúc này Trang 29 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa lượng giác sẽ giúp chúng ta đo được khoảng cách đó mà khơng cần đến hòn đảo Cách đo như sau: Đầu tiên mình sẽ ứng ở vị trí đâu đó sát bờ biển, rồi dùng dụng cụ để đo góc từ mình đến một vị trí nào đó trên đảo, chẳng hạn như có cái cây trên đảo Sau đó, di chuyển sang một vị trí khác cũng sát bờ biển, rồi tiếp.. .Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa Nhận xét: Từ cơng thức truy hồi của dãy, gợi nhớ đến cơng thức nhân ba của hàm số cosin, bên cạnh đó số Ta có 3 có liên hệ với giá trị lượng góc đặc biệt 2 3 π = cos 2 6 π π 3× π u2 = 4cos3 − 3 cos = cos 6 6 6 u1 = 3.π 3.π 32 × π − 3 cos = cos 6 6 6 u3 = 4cos3 3n −1π Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được un = cos 6... lượng giác Nhờ nó mà con người đã làm được các điều kì diệu ❶ Ứng dụng lượng giác trong việc đo chiều cao Trong bài ứng dụng tam giác đồng dạng, ta đã biết đo chiều cao bằng cách đo chiều dài của bóng, nhưng đơi khi đo khoảng cách bóng là điều rất khó khăn Ngồi việc địa hình trắc trở , việc đo bóng phải từ đo từ tâm nên rất khó để biết được chính xác Để đo chiều cao của ngọn núi việc đo chiều dài của. .. 26 Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa  x3 − 3x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y  c)  2 2 1 x + y − x + y = 2  ( ( ) ) ( ( ) )  2 2 log 2 1 + 3 1 − x = log3 1 − y + 2  d)  log 1 + 3 1 − y 2 = log 1 − x 2 + 2 2 3   IV Lượng giác ra đời từ thế kỷ thứ 3 trước cơng ngun Ban đầu nó là nhánh của hình học và nhằm giải quyết các vấn đề trong thiên văn Cũng như các nhánh khác của