Một số ứng dụng của lượng giác

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học, nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn. Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng “chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán. Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác. Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng của lượng giác” . Chuyên đề được chia thành 4 phần:  Phần thứ nhất: Mở đầu.  Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.  Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.  Phần thứ tư: Kết luận

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sựliên hệ giữa cạnh và góc của nó Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học,nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số vàGiải tích Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú Việc pháthiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn.Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng

“chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học Nhưng có những dạng toánnếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếunhư không muốn nói là bế tắt Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bảnchất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trởthành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu Bên cạnh đó, thông qua chuyên đềnày tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượnggiác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán

Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không nhữngđưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổingôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác

Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng

của lượng giác”

Chuyên đề được chia thành 4 phần:

 Phần thứ nhất: Mở đầu.

 Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.

 Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.

 Phần thứ tư: Kết luận

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và hệ thống việc ứng dụng lượng giáctrong đại số, số học, giải tích và trong hình học

- Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa, các bài tập tự giải được sử dụngphương pháp lượng giác nhằm nâng cao trình độ tư duy và kỹ năng giảitoán cho học sinh.

- Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mớiphương pháp có hiệu quả

III ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Thông qua các bài toán tích phân, dãy số, phươngtrình, hệ phương trình, tính góc và cạnh của tam giác, nhận dạng tam giác

- Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình sách giáo khoa toán hiện hành

và trong nội dung đề thi CĐ-ĐH, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi họcsinh giỏi máy tính cầm tay

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu tài liệu, sách và báo liên quan đến đề tài

- Điều tra và khảo sát thực tế học sinh

- Trao đổi cùng đồng nghiệp trong và ngoài tổ chuyên môn

- Tích lũy, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

IV THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1) Khó khăn:

 Do khối lượng công thức lượng giác là khá nhiều và học sinhkhông hiểu bản chất của lượng giác Vì vậy khi gặp các bài toán lượnggiác học sinh thường ngán, ngại bỏ qua Đó là chưa nói đến ứng dụng củalượng giác

 Điều đáng nói là cho đến nay vẫn thiếu những tài liệu ứng dụngcủa lượng giác trong đại số, giải tích và trong hình học, nếu có cũng chưa

có tính hệ thống Hơn nữa, học sinh chưa có thói quen tự học, tự nghiêncứu

2) Số liệu thống kê: Sau đây là kết quả kiểm tra 60 phút tự luận của 2

lớp

12 trong năm học 2013-2014 (trước khi áp dụng SKKN )

I Công thức lượng giác

1.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

−α π −α π +α

2

π α− π α2+

cos cosα −cosα −cosα sinα −sinα

sin −sinα sinα −sinα cosα cosα tan −tanα −tanα tanα cotα −cotα

cot −cotα −cotα cotα tanα −tanα

1.2 Hằng đẳng thức lượng giác

2tan cotx x 1x kπ k 

a Công thức nhân đôi

sin 2x=2sin cosx x

tan3

1 3tan

x x

1

t x

t

=+ ;

2 2

1cos

1

t x

1

t x

1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

cos cosa b= cos a b+ + cos a b− 

1 2

sin sina b= − cos a b+ − cos a b− 

1 2

sin cosa b= sin a b+ + sin a b− 

II Một số dấu hiệu chuyển bài toán qua dạng lượng giác.

Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều, nên khi chuyển bàitoán qua lượng giác thì đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức lượnggiác, kĩ thuật biến đổi, tính tuần hoàn và tính bị chặn của các hàm số lượng

giác Hơn nữa trong bài toán phải có dấu hiệu đặc trưng của lượng giác vềbiểu thức, đẳng thức hoặc biến x tham gia trong bài toán Sau đây là một số

dấu hiệu cơ bản

2.9 Nếu bài toán chứa biểu thức (x a b x− )( − ) thì có thể đặt:

21

x x

+ hoặc 2

21

x x

3

1 3

x x x

α α β π πβ

● 4x3 −3x=4cos3α−3cosα =cos3α

● x3−3 x=(2cosα)3−3 2cos( α) =8cos3α−6cosα =2.cos3α

● 8x4−8x2−1=8cos4α−8cos2α−1 cos4= α

● 16x5−20x3+5x=16cos5α−20cos3α +5cosα =cos5α

● 32x6−48x4+18x2 −1=32cos6α−48cos4α+18cos2 α −1=cos6α

III Phương trình bậc ba.

Phương trình là một dạng toán cơ bản nhưng cũng rất quan trọng tronglĩnh vực đại số Chúng ta làm quen với các bài toán về phương trình từ nhữngngày đầu học toán Ở cấp tiểu học, chúng ta được biết đến những bài toán tìm

x…, những năm ở THCS bài toán về phương trình bậc nhất, phương trình bậc

hai, phương trình vô tỉ được xây dựng, Hiện nay, việc giải và biện luận

phương trình bậc nhất, bậc hai đã trở nên rất quen thuộc đối với học sinh ởcấp THPT Học sinh cũng có dịp làm quen với phương trình bậc ba, phươngtrình bậc bốn, tuy nhiên việc giải và biện luận phương trình bậc ba tổng quátchưa được trình bày trong chương trình THPT Tôi xin giới thiệu cách giải vàbiện luận phương trình bậc ba dạng tổng quát.

Phương trình bậc ba dạng tổng quát: 3 2 ( ) ( )

a x +b x +c x d+ = a ≠ ∗mọi phương trình (*) đều đưa về dạng chuẩn tắc x3+ax2+ + =bx c 0

Giải và biện luận phương trình: t3+at2+ + +bt c 0(1)

Lời giải: Đặt x y= −3a Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng

 Nếu p = 0 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất y= 3 q

 Nếu p > 0 thì ta đưa phương trình về dạng Bài toán 1 hoặc Bài toán 2

I.V Công thức, định lý trong hình học phẳng

Trong tam giác ABC ta ký hiệu:

4.4 Độ dài đường cao :

sin sin .sin sin

1 .sin 1 .sin 1 .sin

I Trong chương trình toán học THPT, dãy số là một phần quan trọng của Đại

số & Giải Tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toánliên quan đến dãy số như tính giới hạn hay xác định công thức số hạng tổng

quát của dãy số Khi gặp các con số đặc biệt ; ; ;1 ;

2 2 2

2 3 2 3 có liên quan

đến các giá trị lượng giác thì ta cũng phải nghĩ đến việc sử dụng công cụlượng giác để giải chúng Dưới đây là một số ví dụ ứng dụng của lượng giáctrong dãy số

Bài 1.1 Cho dãy số( )u n có

3 1

1

1

3 2

Bài giải

Nhận xét: Từ công thức truy hồi của dãy, gợi nhớ đến công thức nhân ba của

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

1

3cos6

1

3 2

Nhận xét: Quan sát từ công thức truy hồi của dãy, ta chú ý đến 2 công thức

112

u u

π

πππ

Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính bậc hai để tìm số hạng

22

①Cho hai dãy số ( ) an , ( ) bn được xác định như sau

1

1 2

2 2 1

2

n n

⑦ Cho dãy số( )u n có 1

2

1 3

⑧ Cho dãy số( )u n và ( )v n có :

0 0 1

21

2

n n n

n

u v

u v u

lượng giác

❶ Tính tích phân bằng phương pháp lượng giác ta thực hiện các bước sau

- Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp

- Chuyển các biểu thức đại số sang lượng giác, thực hiện phép đổi cận

- Tính tích phân lượng giác thu được

❷ Một số phép đặt lượng giác thường gặp.

Bài 2.1 Tính tích phân

2

2 1

x dx

= +

3

36

3 sin

π

ππ

1 4

3 4

x I

3 7

4 4 5x x

dx I

3 7

dx I

t t

J dt uduu ut

Bài 2.7 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường ( )P y: 2=2x

8

I = ∫ − y dy Đặt y 2 2 sint, t  π π2 2; 

2

4 t t

π π

Vậy 2 8 2 4 ( )

S = − I = π +

Nhận xét: Do vai trò các trục tọa độ như nhau, nên có thể biểu diễn

phương trình các đường giới hạn hình phẳng là các hàm số của biến y và công thức tính tích phân để tính diện tích tương ứng cũng theo biến y

2 0

1 9

III Học sinh được học phương trình khá sớm- nó đưa vào từ chương trình

tiểu học và lưu lượng được trải dài trong ba cấp học Đây cũng là đề tài nhiềungười quan tâm và khai thác rất nhiều góc độ khác nhau

Để giải một phương trình nói chung có rất nhiều cách giải và sâu rộng

về dạng toán, càng lên các lớp trên việc học cách giải phương trình càngmang tính tự thân, có lẽ vì lý do đó mà nó có mặt trong các kỳ thi CĐ-ĐH, thihọc sinh giỏi các cấp Cách phân tích, nhận dạng một phương trình và lựachọn phương pháp giải thích hợp là khó Để có khả năng này chúng ta giảiquyết nhiều phương trình và tự rút ra những nhận xét, kinh nghiệm qua mỗi

lần giải toán Nếu biết kỹ thuật, phân tích nhận dạng được phương trình thì sẽbiết giải được hệ phương trình Trong phần này tôi muốn nhấn mạnh cái “hồnlượng giác” được biểu hiện trong phương trình và hệ phương trình cụ thể là

❶ Dấu hiệu nhận biết qua điều kiện của biến xtham gia trong bài toán

(x a b x− )( − ) (a>0) x a b a= + −( )sin2t

Bài 3.1: Giải phương trình: 4 x3− = − 3 x 1 x2 ( )1

(Trích đề thi Olympic 30/4/2003).

Bài giải:

Nhận xét: Do phương trình có chứa các biểu thức 4 x3−3 x (4cos3t−3cost)

và 1 x− 2 ( 1 cos t− 2 ) ,đồng thời điều kiện x ≤1, nên ta có thể đặt x=cost

( ) 3

2

24cos α 3cosα

Bài 3.3: Giải phương trình 1024x5−320x3+20x− 3 0= ( )3

(Trích đề thi HSG Toán 11_Tỉnh Thanh Hóa_2005).

Bài giải:

 Xét x∈ −∞ −( ; 1) (∪ 1;+∞) thì phương trình ( )3 vô nghiệm

 Xét x∈−1;1, đặt x= 2t , thay vào phương trình ( )3 ta được

1sin ; 1sin2 ; 1sin7 ; 1sin4 ; 1sin

2 15π 2 15π 2 15π −2 15π −2 π3 .

Nhận xét

Trong lời giải trên, phép đặt x= 2t được tìm ra như sau:

Do công thức 16x5−20x3+5x=16sin5α−20sin3α+5sinα =sin5α nên

ta đặt x at= , tìm a bằng cách, thay x at= vào phương trình đã cho ta được

a

⇒ = ± Vậy ta có phép đặt x= 2t

Bài 3.4: Giải phương trình 36x+1 8= x3− 4 x −1 ( )4

(Trích đề thi thử _ THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh_ 2011).

(Trích đề thi số 5 _ Toán học và tuổi trẻ_ năm 2015)

Bài giải:Điều kiện y+ +5x 2≥ 0

Suy ta f ( )t đồng biến trên R, mà f ( )3x = −f ( )y

Từ ( )∗ suy ra 3x= −y, thay vào (1) ta được : ( ) ( ) ( )3

2x −3 2x = 2x +2 (3)ĐK: x≥1, đặt t=2 ,x t≥ −2 ta được phương trình t3−3t= t+2

− = +

IV Lượng giác ra đời từ thế kỷ thứ 3 trước công nguyên Ban đầu nó là

nhánh của hình học và nhằm giải quyết các vấn đề trong thiên văn Cũng nhưcác nhánh khác của toán học, xuất phát từ thực tế Đầu tiên là thời Ai Cập cổđại, họ đã phát triển lượng giác sơ khai để có thể xây dựng được Kim TựTháp, tạo ra đồng hồ mặt trời để xem thời gian Xa hơn nữa họ còn dùnglượng giác để tính toán thiên văn như: đo khoảng cách đến các ngôi sao Sau này, lượng giác ngày càng phát triển thì tính ứng dụng của nó trải khắpcác ngành khác như địa lý, lý thuyết âm nhạc, kinh tế học, điện tử học, lýthuyết xác suất thống kê, sinh học, y học, vật lý học, đồ hoạ máy tính Đặc

biệt là nghành trắc địa sẽ vô nghĩa nếu không có lượng giác Nhờ nó mà con

người đã làm được các điều kì diệu

❶ Ứng dụng lượng giác trong việc đo chiều cao

Trong bài ứng dụng tam giác đồng dạng, ta đã biết đo chiều cao bằngcách đo chiều dài của bóng, nhưng đôi khi đo khoảng cách bóng là điều rấtkhó khăn Ngoài việc địa hình trắc trở , việc đo bóng phải từ đo từ tâm nên rấtkhó để biết được chính xác Để đo chiều cao của ngọn núi việc đo chiều dàicủa bóng là không thể thực hiện được Vì thế lượng giác sẽ phát huy tính hữu hiệu của nó

Cách đo như sau: Đứng hai nơi sao cho thẳng hàng với hướng của núi, sau

đó dùng dụng cụ đo góc từ vị trí đứng đến đỉnh núi và khoảng cách di chuyển.Giả sử như hình trên, và gọi h là chiều cao của ngọn núi, thì chúng ta sẽ cóphương trình sau: 1500= ×h cot300 −h×cot350

Từ đó dễ dàng suy ra được h

Một vài ứng dụng tương tự khác như đo chiều cao của cây như hình sau:

❷ Ứng dụng lượng giác trong việc đo khoảng cách

Giả sử chúng ta đang ở bãi biển, và thấy một hòn đảo Nhưng chúng talại không biết khoảng cách từ đảo đến bờ biển có xa không? Vì thế bài toánđặt ra làm sao tính được khoảng cách từ bãi biển đến hòn đảo đó Lúc này

lượng giác sẽ giúp chúng ta đo được khoảng cách đó mà không cần đến hònđảo

Cách đo như sau: Đầu tiên mình sẽ đứng ở vị trí đâu đó sát bờ biển, rồi dùng

dụng cụ để đo góc từ mình đến một vị trí nào đó trên đảo, chẳng hạn như cócái cây trên đảo Sau đó, di chuyển sang một vị trí khác cũng sát bờ biển, rồitiếp tục đo góc từ mình đến điểm lúc nãy

Giả sử chúng ta dùng số liệu như trong hình, đầu tiên là 400 sau đó là

300 và khoảng cách di chuyển là 50m Chúng ta thấy khoảng cách di chuyển

là 2 đoạn nhỏ cộng lại bằng 50m nên ta có phương trình sau:

50= ×d cot 400 +h×cot300

Với d là khoảng cách cần tìm, và chúng ta dễ dàng suy ra được d

Hoặc trong thiên văn, người ta có thể tính khoảng cách giữa các hành tinh vớinhau

❸ Ứng dụng lượng giác tính độ dài cạnh, góc của tam giác

Bài 4.1 Cho tam giác ABC vuông tại C, AB=2 Độ dài đường phân giác trong AD

của tam giác ABC bằng 2 3

3 Tính chu vi tam giác ABC

Trong tam giác ABC, ta có AC=2.cos2x

Trong tam giác ACD, ta có AC=2 3

Suy ra AC =1;BC = 3 Vậy chu vi tam giác ABC là 1+ 3+2≈4.732050808

Nhận xét: Trong bài 4.1 nếu biết sử dụng công cụ lượng giác để giải thì lời giải trở nên đơn giản và nhẹ nhàng, điều đó lại một lần nữa khẳng định lượng giác có thế mạnh và tầm quan trọng trong toán học

A

CAD BAD x = =

Bài 4.2 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện tan 2cot

2

B+ C= Chứng

minh: Tam giác ABC cân.

( Trích đề thi Cao Đẳng Sư Phạm TP.HCM_2001 ) Bài giải:

Vậy ABC∆ cân tại A

Bài 4.3 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

1sinA+sinB+sinC= −cosA+cosB+cosC Chứng minh rằng: Tam giác

Trong chương trình sách giáo khoa Đại Số 10, học sinh được làm quen

và biết đến phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1, và mở rộng ra

là hệ phương trình đối xứng loại 2, hệ phương trình đẳng cấp bậc hai Hơn thếnữa, chúng cũng thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh CĐ-ĐH trongnhững năm gần đây Thông qua chuyên đề này tôi muốn giới thiệu cho họcsinh cách nhìn nhận bài toán dưới nhiều lăng kính khác nhau

Bài 5.1 Giải hệ phương trình

12

= , thay vào phương trình

(1) ta được: 8cos2 12sin cos 83sin2 3

3

t+ t t− t= ⇔ 15 3 cos2t+36sin cos 17 3sint t− 2t =0 (3)

Vì cost=0 không thỏa mãn phương trình, nên chia hai vế của phương trình

(3) cho cos t2 ta được: 2

15tan

17 3

17 3 tan 36 tan 15 3 0

51tan

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là:

1791591

x y

x y

x y

(Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2008).

phương trình (1) ta được: 10(cos t + sin ) 10sin cos t + t t = 7 (3)

Đặt u=sint+cost, điều kiện u ≤ 2

Phương trình (3) trở thành 5u2+ 10u− =12 0

2 105

3 105

u u

sin cossin cos

103cos

10

t t

101cos

10

t t

Bài 5.3 Giải hệ phương trình

2 2

2121

x x y y

y x

 Trường hợp 1: sinα =0thì sinβ =0, nên ta có x y= =0.

 Trường hợp 2: sinα ≠0thì sinβ ≠0, nhân (1) và (2) vế theo vế ta có sin 2 sin 2α β =tan tanα β ⇔ 4cos cosα β =cos cosα1 β

x y

x y

Bài giải:

Điều kiện ,x y∈ − 1;1 Đặt cos

cos

x y

αβ

t t

12

Bài 5.6 : Giải phương trình 1+ + − +x 8 x (1+x)(8−x) = 3 ( )2

(Trích đề thi tuyển sinh 10_THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai_2003) Bài giải: ĐK: 1− ≤ ≤x 8

Phương trình (2) trở thành: 9sin2t+ 9(1 sin )− 2t + 9sin 9(1 sin )2t − 2t =3

3(sint cos ) 9sin cost t t 3

Bài 5.7: Giải phương trình 1 1 2 2 2

u v uv

u v uv

1 3

2 2

x x

Đặt t=sinα+cosα ,− 2≤ ≤t 2

 Xét x∈ −∞ −( ; 1) , hàm số y=64x6−96x4+36x2− 3 nghịch biến và

( )1 0

y − > nên phương trình ( )8 vô nghiệm.

 Xét x∈−1;1, Phương trình ( )8 được viết lại 6 4 2 1

cos ; cos5 ; cos7 ; cos11 ; cos13 ; cos17

18π 18π 18π 18π 18π 18π .

Bài 5.9 Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp

là 9,651 cm Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếpqua 5 đỉnh của ngôi sao

( Trích đề thi HSG máy tính cầm tay_Tỉnh Đồng Nai_1998 )