SKKN "Tổng kết một số PP c/m tứ giác nội tiếp"

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Phòng giáo dục và đào tạo bình xuyên trờng THCS Lý Tự Trọng ====***==== Sáng kiến kinh nghiệm Đề Tài: Tổng kết một số phơng pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp một đờng tròn Ngời thực hiện: Nguyễn Hữu Tài Giáo viên tổ KHTN Trờng THCS Lý Tự Trọng Tháng 03 năm 2008 1 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Phần I: phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn, . Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đờng tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, . Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chơng III hình học 9 . Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh. b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo Tứ giác nội tiếp Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên cha đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn. Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại đợc các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác . Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài Tứ giác nội tiếp một đờng tròn Với tên gọi: Tổng kết một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn 2. Phạm vi, đối tợng mục đích của đề tài: a) Phạm vi của đề tài : Là phơng pháp chứng minh hình học THCS ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức về góc, đẳng thức tích các đoạn thẳng, Tuy nhiên về ứng dụng của nó thì cũng khá rộng rãi . b) Đối tợng của đề tài: Là học sinh đại trà lớp 9 THCS, giáo viên mới ra nghề dạy ở bậc THCS. 2 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài c) Mục đích của đề tài: Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phơng pháp để hớng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên một đờng tròn và các bài toán có sử dụng chiều ngợc lại của tứ giác nội tiếp. Rèn học sinh kỹ năng phân tích tự tìm lời giải bằng các cách khác nhau, kỹ năng nhận biết nhanh một tứ giác nội tiếp. * * * * * Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khả năng t duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng góp xây dựng. Xin chân thành cảm ơn ! Phần 2: nội dung của đề tài 3 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài A. Nội dung: I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài: Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận khoa học sau: 1, Về phơng pháp chúng ta dùng phơng pháp phân tích tổng hợp : Giả sử A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán: Để chứng minh A B, ta chứng minh rằng A A 1 A 2 . B. Các quan hệ kéo theo nói trên đợc trình bày dới dạng: A 1 A 2 (lí do) hoặc: (lí do) A 1 A 2 Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta thờng: a - Khai thác giả thiết của bài toán : Từ A A 1 , từ A 1 A 2 , Và cuối cùng suy ra A m b - Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán: Để chứng minh B ta có thể chứng minh B 1 , để chứng minh B 1 ta có thể chứng minh B 2 , , cuối cùng ta có thể chứng minh B n Nếu chứng minh đợc A m B n thì bài toán chứng minh A B đợc chứng minh với sơ đồ sau: A A 1 A 2 A m B n . B 2 B 1 B. 2, Một số phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau. * Phơng pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) do hai đờng thẳng song song * Phơng pháp 2: áp dụng định lý góc có cạnh tơng ứng song song hay vuông góc. * Phơng pháp 3: Là hai góc tơng ứng của hai tam giác đồng dạng. * Phơng pháp 4: (Tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp tuyến và một dây cung) Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phơng pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù để chứng minh hai góc bằng nhau. 3, Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc. Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho AMB = 1V , trong đó AB là một đoạn cho trớc là đờng tròn đờng kính AB. Bài toán 2: Quỹ tích các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho trớc một AMB có số đo không đổi bằng (0 o < < 180 o ) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB . 4 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài 4, Định lý thuận, đảo về Tứ giác nôị tíêp một đờng tròn Trang 87, 88 SGK Toán 9 tập 2. 5, Tính chất của tam giác đồng dạng . 6, Dựa vào định nghĩa đờng tròn. II. Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài này là: 1, Về con ngời : - Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để học hỏi trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu. - Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : Tại sao lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp nh thế ? Trong một bài toán cụ thể - Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp 9 THCS. 2, Về kiến thức: Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối tợng kiến thức tôi chọn ở đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói về tứ giác nội tiếp , quỹ tích cung chứa góc . Nghiên cứu chủ yếu cách tìm phơng pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn để phục vụ cho kết luận của bài toán có sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp . III. Nội dung phơng pháp nghiên cứu . * Về ph ơng pháp nghiên cứu . - Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán của GV THCS. - Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dỡng ôn thi học sinh đại trà lớp 9 , những năm trớc đây thấy học sinh rất ít em phát hiện đợc tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay đợc tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 o . Hay HS cứ phải đa về tổng hai góc đối diện bằng 180 0 nên dài, nhiều khi dẫn đến sai. - Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phơng pháp chứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp trớc khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180 o trong các bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp . - Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy cô dạy toán giỏi trong Huyện. 5 x A B C D A B C D A B C D A B Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài - Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, các buổi ôn toán thi vào lớp 10 THPT, bồi dỡng học sinh giỏi . - Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp . Từ các phơng pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra đợc kinh nghiệm nhỏ trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán bởi nội dung cụ thể nh sau: * Nội dung nghiên cứu: - Khi dạy xong bài Tứ giác nội tiếp một đờng tròn Trang 87,88 SGK Toán 9 tập 2. Học sinh tự rút ra đợc một cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: Nếu tứ giác ABCD có : A+C=2V hoặc B+D=2V Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đờng tròn Khai thác: 1, Sử dụng tính chất của hai gó kề bù gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn giả sử xAD = BCD thế thì vì xAD + DAB = 2V (kề bù) BCD + BAD = 2V => tứ giác ABCD nội tiếp Đặc biệt hoá bài toán tứ giác ABCD có BAD = BCD = 90 o Thế thì BAD + BCD = 90 o +90 o =180 o =>Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính BD. Đây là cách đơn giản nhất. Không phải lúc nào cũng có nh vậy chẳng hạn nh: 2, Xét tứ giác ABCD có DAC = DBC Với A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp . Thật vậy, giả sử DAC = DBC = (0 o < < 180 o ) vì do DC cố định nên A, B nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc ) Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp . Vậy là ta có cách thứ t để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp. Đặc biệt hoá góc để có cách nhận biết nhanh 6 C d A B C D M B Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài tứ giác nội tiếp . Khi cho = 90 o ta có DAC = DBC = 90 o Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính DC. 3, Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn : Giả sử AB cắt DC tại M ta suy ra đợc ABD = ACD vậy là tam giác MAC và MDB đồng dạng Đảo lại: Nếu tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng với A thuộc đoạn BM và D thuộc đoạn MC thì tứ gíac ABCD nội tiếp. Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB suy ra ABD = DCA => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dới hai góc bằng nhau ) + Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, A BM, D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp. + Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB suy ra: MB MD MC MA = MA . MB = MC . MD Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức: MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp . 4, Nh vậy với cách nghiên cứu nh trên cùng với định nghĩa đờng tròn ta có một số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp nh sau: Tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn nếu nó thoả mãn một trong những hệ thức sau: bảng hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn Thứ tự cách chứng minh Hệ thức Hình vẽ minh hoạ 7 A C D A B C D x A B C D A B C D D A B C S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi C¸ch 1 OA = OB = OC = OD C¸ch 2 2.a)     =∠+∠ =∠+∠ 0 12 0 180C 180 A DB 2.b) ∠A 1 = ∠C 1 C¸ch 3 ∠A 1 + ∠C 1 = 90 0 + 90 0 C¸ch 4       ∠=∠ ∠=∠ ∠=∠ ∠=∠ 11 22 22 11 CD CB DA BA C¸ch 5 ∠A 1 = ∠B 1 = 90 0 C¸ch 6 MA . MB = MC . MD (H×nh bªn ph¶i tø gi¸c ACBD néi tiÕp) 8 A B C D M A B C D M O 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên. Với cách hệ thống hoá nh trên học sinh đợc ghi nhớ một cách lôgic và từ đó nhận biết nhanh đợc tứ giác nội tiếp một đờng tròn và cũng từ đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học . Ngoài ra, với giáo viên ta cần nhớ thêm một số cách chứng minh từ bài toán về đờng thẳng Simson và định lý P.tôlêmê: Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O); M là điểm bất kỳ. Gọi E, F, K lần lợt là hình chiếu của M xuống AB, BC, CA. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M (O) là E, F, K thẳng hàng (cùng nằm trên đờng thẳng Simson) Nếu M trùng một trong ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì bài toán hiển nhiên đúng. Ta xét trờng hợp M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, các trờng hợp còn lại chứng minh tơng tự. i) Điều kiện cần: M(O) thì E, K,F thẳng hàng (1): (1) <=> 21 KK = (2). Thật vậy, các tứ giác MEAK, MKFC, AMCB, EMFB nội tiếp => 22 KM = (3), 11 KM = (4) 12 MM = (5) (cùng cộng góc AMF và ABC cho 180 0 ). Từ (3), (4), (5) => (2), (1) ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) <=> tứ giác MABC nội tiếp (7) Thật vậy: từ giả thiết và từ các tứ giác MEAK, MKFC và MEBF nội tiếp => 11 KM = , 22 KM = , 21 KK = (đối đỉnh) => 0 21 180 =++=++=+ CBAMFMACBAMFMACBACMA => (7) => (6). Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp một đ- ờng tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD. 9 1 2 1 2 A E B C M K O Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là EA.ED+FA.FB=EF 2 . * Một số ví dụ minh hoạ: Trong phần ví dụ này, mỗi ví dụ đợc trình bày theo hớng phân tích để tìm ra phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp . Phần trình bày lời giải trên cơ sở phân tích nên cho phép tôi không trình bày ở đây . Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O) gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) gặp (O) ở M; Tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) gặp (O) tại N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B . Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đờng tròn. Phân tích: C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đ- ờng tròn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B. Vậy là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đờng trung trực của đoạn AE, và nh thế tâm của đờng tròn này cũng nằm trên trung trực của các đoạn thẳng nào? (Đoạn AN và AM ) Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng cách 1 để sử dụng tính chất của đờng trung trực của một đoạn thẳng suy ra . Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM thì: (1) IA = IN = IE = IM (2). Thật vậy: OI // AO (cùng AN ) và AO // OI (cùng AM ) => AOIO là hình bình hành => OIO = OAO = OBO => OIBO là tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhng OI = AO = OB => OIBO là hình thang cân => IB // OO (3) => IB AB => IB là đờng trung trực của AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) đpcm. Chú ý: cũng có thể chứng minh (3) bằng cách chứng minh OO là đ ờng trung bình của tam giác AIB . Cách 2: (1) <= 0 180 =+ NEMNAM <= 10 [...]... Gọi Q, P lần lợt là giao của OE với BC và BC Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp Phân tích: C/m tứ giác MNPQ nội tiếp (1) Ta có thể sử dụng cách 3 : C/m : P + M = 90o + 90o (2) Thật vậy, vì tứ giác OBAC nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 3 ) OCB = OAB (3) (đảo cách 4) Vì BCBC nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 5 ) OCB = OCB (4) Từ (3)và (4) => Tứ giác MCBA nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 2.b ) O C/ B// Q P E... A3, An cùng thuộc một đờng tròn : Bớc 1: Chọn ra bốn điểm, ví dụ A1, A2, A3, A4 tạo thành một tứ gíac nội tiếp (sử dụng một trong 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp ) Bớc 2: Lại chọn ra bốn điểm khác nhau : A1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạo thành một tứ giác nội tiếp 17 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Cứ tiếp tục chứng minh nh trên, cuối cùng nhận xét các đờng tròn ngoại tiếp các tứ giác trên đều chung... chứng minh một tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để Điều kiện cần và đủ để khai thác các bài toán mới khi dạy bồi dỡng cho HS Cũng từ các cách chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp có thể mở ra hớng nghiên cứu tiếp vẽ hình phụ tạo ra tứ giác nội tiếp, để giải cách khác cho một bài toán cụ thể hoặc đề ra bài toán mới trong quá trình giảng dạy 18 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hữu Tài Phần 3 : Kết luận... (2) =>(1) đpcm Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đờng cao AH Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp đợc Phân tích: C/m Tứ giác BIKC nội tiếp (1) ta có thể dùng một trong hai cách sau đây : Cách 1: Theo giả thiết dễ thấy tứ giác AIHK nội tiếp A Nên I1 = H1 nhng H1 = C1 (cùng phụ với H2) do đó I1 = C1 ta có cách chứng minh thứ nhất C/m (1) theo cách 2.b 1 I B K... góc đối diện của một tứ giác bằng 180o mới nội tiếp Phát huy đợc tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải bởi hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã đợc hình thành và dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hình học - Ngoài kết quả là học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp và nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó... Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đờng thẳng song song, cặp đờng thẳng vuông góc: Ví dụ: (lấy ví dụ 2) Giữ nguyên giả thiết, kết luận chứng minh PQ//AC Thật vậy ( hình vẽ ở ví dụ 2) Tứ giác AQBP nội tiếp => ACB = PAB ( cùng chắn cung AB ) mà PAB = PQB (cùng chắn cung BP của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ACB = PQB => PQ //AC (đồng vị ) ứng dụng 3: Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp... điểm của đờng tròn (I) trên AB, AC Gọi M, N là giao điểm của IB, IC với GK Chứng minh BNMC là tứ giác nội tiếp A Phân tích: C/m BNMC nội tiếp (1) Sử dụng cách 5: Ta thấy BGI = 90o nên phải chứng minh : Tứ giác BNGI và tứ giác IKMC nội tiếp (3) I 1 1 B MIC = MKC (4) với chú ý I là giao 3 phân giác trong tam giác ABC Ta có MIC = B1 + C1 = K M N G (1) BNC = BMC = 90o (2) B + C 180 0 A = 2 2 (5) 180... tổng hợp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thu đợc kết quả khá khả quan Tự mình nhận biết nhanh đợc một tứ giác nội tiếp, để từ đó định hớng phơng pháp hớng dẫn học sinh tìm lời giải Giúp cho việc giải các bài toán hình học có sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp nhanh nhạy Bổ xung thêm cho mình phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, các điểm cùng thuộc một đờng tròn, để không bị bế tắc với các bài khó,... tham khảo với các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp V Giải pháp mới và sáng tạo: Trong đề tài này giải pháp mới và sáng tạo là phân tích để tìm ra cách chứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác hình vẽ của bài toán (định lý) hoặc định hớng phơng pháp theo giả sử các bớc sau : Hớng thứ nhất: ( phân tích đi lên ) Bớc 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn ta chọn phơng pháp A nào... là một trong các hệ thức ở 6 cách ) Bớc 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh Bớc 3: Trình bày lại lời giải bài toán theo hớng phân tích trên Hớng thứ hai: (Tổng hợp ) Bớc 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh các tứ giác nội tiếp ( bằng một trong 6 cách ) Bớc 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có một trong sáu hệ thức của 6 cách chứng minh tứ giác . tôi đa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài Tứ giác nội tiếp một đờng tròn Với tên gọi: Tổng kết một số phơng. minh tứ giác MNPQ nội tiếp. Phân tích: C/m tứ giác MNPQ nội tiếp (1). Ta có thể sử dụng cách 3 : C/m : P + M = 90 o + 90 o (2) Thật vậy, vì tứ giác OBAC nội