Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F.. Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N. b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. c) AC son[r]
(1)Chuyên đề: hệ thống hoá dạng tập tứ giác nội, ngoại tiếp đờng tròn I) Các kiến thức cần nhớ
1) Kh¸i niƯm:
O A
B
C
D
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đ-ờng tròn (Gọi tắt tứ giác nột tiếp)
2) Định lí
- Trong mt t giỏc nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 -Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đờng tròn
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đờng trịn.
- Tứ giác có tổng số hai góc đối diện 1800.
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc
- Sử dụng định lí đảo hệ thức lợng đờng trịn
- Sử dụng định lí : Tổng cạnh đối tứ giác tứ giác ngoại tiếp đờng trịn
- Trờng hợp chứng minh đa giác ngoại tiếp đờng tròn ta phảI chứng minh đờng phân giác đa giác đồng quy điểm
- Dựa vào định nghĩa : PhảI chứng minh đợc cạnh đa giác tiếp xúc với đờng trịn
II) Bµi tËp
1 Bµi toán 1.( Bài toán trang 49 SGK Hình häc 9)
(2)
Phân tích, tìm lời giải
Mun chng minh t giác BSCE nội tiếp ta cần chứng minh theo định lí : Tứ giác BSCE có tổng hai góc đối 1800
(3)NhËn xÐt
Theo chứng minh O nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC mặ khác S tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC E tâm đờng tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC nên diễn đạt nhận xét nh sau: Chứng minh đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp với tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác bị đờng tròn ngoại tiếp tam giác chia thành hai phần
NhËn xÐt
Từ kết chứng minh đợc nhận xét ta có toán sau: Gọi O, O1,O2
trung điểm đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác ABC Chứng minh O, O1,O2nằm
trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Nhận xét 5
Dựa vào kết chứng minh đc nhận xét 4, ta thấy biết đợc S E ta xác định đợc O Gọi T tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có TB = TO = TC có nghĩa bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC xác định đợc Mặt khác OS = OB = OC lên suy cách xác định B,C sau dễ dàng xác định đợc A, ta có tốn dung hình sau:
Dựng tam giác ABC cho biết T tâm đờng tròn ngoại tiếp , S tâm đờng tròn nội tiếp E tâm đờng trịn bàng tiếp góc A
2.Bµi tËp
Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung
(4)Ví dụ minh hoạ: Cho đường trịn tâm O đường thẳng xy khơng cắt đường trịn Từ O hạ OA vng góc xy (A xy); từ A kẻ cát tuyến cắt đường tròn B C; tiếp tuyến đường tròn B C cắt xy D E Chứng minh tứ giác ODAB OCEA nội tiếp
Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB vng góc với BD (tiếp tuyến vng góc với bán kính tiếp điểm ) => góc OBD = 900
và có thêm góc OAD = 900 (gt) => tứ giác
ODAB nội tiếp (A B nhìn đoạn OD góc 900 khơng đổi).
Dễ dàng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác trung điểm DO
-Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp
Hãy giải tương tự tập sau:
a) Từ điểm M ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD đường trịn Gọi I trung điểm dây CD Chứng minh điểm M, A, O, I, B thuộc đường tròn
b) Chứng minh từ điểm vẽ tiếp tuyến với hai đường trịn đồng tâm tất tiếp điểm tạo thành tứ giác nội tiếp
3.Bµi tËp 3.
Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800 tứ giác đó
nội tiếp đường trịn (định lý trang 88 SGK Toán tập 2) Hay tứ giác có góc ngồi góc đối diện với góc kề tứ giác nội tiếp
Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A điểm cung BC từ A kẻ hai dây cung AD AE bất kỳ, cắt BC F G Chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp
Gợi ý:
Cách 1: Để chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp ta cần chúng minh góc D + góc G1 = 1800 Vậy thử xét quan
hệ tổng số đo hai góc với số đo cung có liên quan ? Ta có góc D = 12 sđ cung AE (số đo góc nội
y x
O
A
C
B
E D
2 G
C
D
E A
B
O .
(5)tiếp số đo cung bị chắn) => góc D = (sđ cung AC + sđ cung CE) : (vì C thuộc cung AE) (1) Cịn góc G1 = (sđ
cung AC + sđ cung BDE) : (G góc có đỉnh bên đường trịn) => góc G1 =
(sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung DE) : = (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung DE) : (vì cung AB = cung AC) (2) Cộng vế (1) (2) ta có góc D + góc G1 = 3600 : = 1800 = > DFGE nội
tiếp
Cách 2: Ta chứng minh góc D = góc G2 mà góc G1 + G2 = 1800
(hai góc kề bù) => góc D + góc G1 = 1800 => điều phải chứng minh
Các em áp dụng phương pháp để làm tập 54, 58 (SGK Toán tập 2).
Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến đường tròn điểm B E F, cắt đường tròn C D Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp
Để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp ta cần chứng minh góc E2 + góc
D2 = 1800 góc D1 + góc D2
= 1800 (hai góc kề bù) Vậy cần chứng
minh góc E2 = góc D1
Ta có góc D1 = góc B1 (hai góc nội
tiếp chắn cung AC) Như cần chứng minh góc E2 = góc B1 Dễ
thấy hai góc phụ với góc A1 (do
góc ACB = 900 góc ABE = 900).
Bµi tËp 4.
Cho tứ giác ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo I giao điểm hai cạnh bên AD BC Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp IA ID = IB IC
E
A
C
B
O .
(6)Việc chứng minh tốn khơng có khó khăn, việc chứng minh tam đồng dạng suy kết Nhưng qua toán cho ta ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp chứng minh đẳng thức cạnh
Hãy dùng ý tưởng để giải tốn sau:
Bài 2: Cho đườn trịn (O), A điểm nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn
Hướng dẫn giải:
Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC Thật ta có:
(hệ thức lượng tam giác vuông APO) (tam giác APB ACP đồng dạng)
Từ ta có , theo ta có điều cần chứng minh
(7)Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có
Từ ta có , chứng minh tương tự ta có tứ giác ADOE nội tiếp
III Các tập yêu cầu HS vận dụng kiến thức đợc trang bị để luyện tập
1 Các tập có hớng dẫn tìm lời giải
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A ( AB< AC ) nội tiếp đường trịn tâm I; bán kính r Gọi P trung điểm AC; AH đường cao của tam giác ABC.
a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp đường tròn tâm K Xác định tâm K đường tròn này.
b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) ( K ) tiếp xúc nhau. @ Gợi ý:
a/ Chúng minh IP AC p900 Dựa vào dấu hiệu để chứng minh APIH nội tiếp đường tròn ( H P 1800)
- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI góc vng nên P thuộc đường trịn đường kính AI Chứng minh tương tự điểm H Từ xác định tâm K ( trung điểm đoạn AI ).
( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới góc vng đường trịn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc khoảng cách hia tâm tổng hai bán kính OO’ = R + r
- Tiếp xúc khoảng cách hai tâm hiệu hai bán kính OO’ = R – r>
- Tính IK để kết luận (I) ( K ) tiếp xúc A.
Bài 2: CHo đường tròn tâm O, đường kính AB cố định Điểm I nằm giữa A O cho AI =
2
3AO Kẻ dây MN AB I Gọi C
điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC, cắt MN E.
(8)b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Và chứng minh AM2AE AC
c/ Chứng minh AE AC AI IB AI @ Gợi ý:
câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở trên. Câu b, c : HS tự ch minh
* Bài 3: Cho tam giác ABC cân A ( A900) Đường vuông góc với AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN AC Gọi M trung điểm
của BC Hai đường thẳng AM EN cắt F.
a/ Chứng minh tứ giác MCNF AMNE nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn này.
b/ Chứng minh EB phân giác góc AEF. @ Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu để ch.minh MCNF dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMNE nội tiếp.
b/ Tính AEB MAE ? tính BAM MAE ? So sánh AEB và BAM So sánh BAM MAC( 1)
- Tứ giác AMNE nội tiếp nên MAC MEN với nhau, ( 2)
Từ ( 1) ( 2) nêu kết luận.
Bài 4: Cho hình vng ABCD Kẻ tia Ax Ay cho xAy450 Tia Ax cắt CB ND E P Tia Ay cắt CD BD F và Q.
a/ Chứng minh EBAQ FDAP nội tiếp đường tròn. b/ Chúng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn.
@ Gợi ý:
a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD đường chéo hình vng ABCD nên DBC? - Dựa vào dấu hiệu để chứng minh EBAQ nội tiếp ( Hướng dẫn HS lập luận sau: Hai đỉnh A B hai góc QAE BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh lại tứ giác EBAQ dưới góc 450 nên EBAQ nội tiếp đường tròn.
- Chứng minh tương tự tứ giác FPAD.
b/ Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn.
HS cần nắm kiến thức sau: Góc ngồi đỉnh tứ giác nội tiếp góc đỉnh đối đỉnh (Định lý)
(9)- Góc EPF góc ngồi đỉnh P tứ giác nội tiếp APFD nên góc EPF góc nào? Và độ?
- Xét điểm P, Q, C có nhìn đoạn thẳng EF góc vng khơng? Vậy P, Q, C thuộc đường trịn nào? Từ kết luận điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn.
Bài 5:Cho đường tròn ( O;R) đường thẳng xy cách tâm O
khoảng OK= a ( < a < R ) Từ điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) ( B, C tiếp điểm; O B nằm phía với xy)
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) hai điểm D và E.
b/ Chứng minh điểm O, A, B, C, K nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn này.
c/ BC cắt OA OK theo thứ tự M S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp đường tròn.
@ Gợi ý:
Câu b: dựa vào dấu hiệu để chứng minh điểm thuộc đường tròn.
Câu c: dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMKS nội tiếp.
Bài 6: Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC, lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), có tiếp điểm M; tiếp tuyến cắt đường thẳng AB ở K
a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn. b/ Chứng minh D, B, O, M, K thuộc đường tròn.
@ Gợi ý: - Câu a/ - So sánh góc MOE góc MBC.
- So sánh góc MOD góc MBD
- Hai điểm O B nhìn đoạn thẳng DM góc nhau Vậy kết luận tứ giác DBOM?
- Câub/ Chứng minh B, O, M, K thuộc đường tròn ( dấu hiệu 1). Rồi kết luận điểm B, O, M, K, D thuộc đường tròn.
Bài tập vận dụng dấu hiệu (Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc trong đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường tròn.)
Bài 7: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O; đường kính AI Gọi E trung điểm AB ;K trung điểm của OI; H trung điểm EB.
(10)b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn.
@ Gợi ý:
Câu a/ B thuộc nửa đường trịn đường kính AI AIB?0 - Chúng minh HK đường trung bình hình thang EBOI, từ kết luận HK EB
Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân K để suy BEKEBK (1)
- Chứng minh EBK AKC (2) - Từ (1) (2) suy BEK ACK
Góc BEK góc ngồi đỉnh E tứ giác AEKC góc ACK ( góc đỉnh đối đỉnh E) Do đó, vào dấu hiệu 2, kết luận AEKC nội tiếp đường tròn.
Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm I, đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường tròn Trên cung PN, lấy điểm Q
( không trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự S T.
a/ Chứng minh NS MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT. c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường tròn.
@ Gợi ý:
a/ Điểm P nằm nửa đường trịn, góc PMN bao nhiêu độ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 đường trịn) Kết luận tam giác MNS tam giác gì? ( cân?), suy điều cần chứng minh.
b/ HS tự chứng minh tam giác đề đồng dạng( trường hợp góc-góc).
c/ Do tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT( ch minh trên) nên TMN TNQ ( 1) QNM NTQ ( 1)
Mà góc SPQ có góc QNM khơng?( nhớ lại định lý góc ngoài đỉnh tứ giác nội tiếp để trả lời- Tứ giác MPQN nội tiếp phải không?)(2)
Từ (1) (2) kết luận góc NTQ góc SPQ khơng? Xét vị trí hai góc tứ giác PQTS để kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp được hay khơng ( dựa vào dấu hiệu 2)
Bài 9: Cho tam giác ABC vng A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC tại F.
Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp. @ Gợi ý:
(11)Bài 10:Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:
Cho đường trịn tâm O Kẻ đường kính AB CD vng góc với Gọi E điểm cung nhỏ CB EA cắt CD F; ED cắt AB M.
a/ Các tam giác CEF EMB tam giác gì?
b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E. @ Gợi ý:
Câu a: Góc CEF góc có đỉnh nằm bên đường trịn; góc FCE góc nội tiếp chắn cung ED Lập biểu thức số đo góc đó, so sánh để thấy góc Kết luận tam giác CEF tam giác gì? ( Cân?)
- Chứng minh tương tự tam giác EMB.
- Từ suy EC = EB = EF = EM Dựa vào dấu hiểu để kết luận điều phải chứng minh.
2. Các tập đề nghị HS nhà tìm lời giải Bài tập
Cho ABC vuông A Trên AC lấy diểm M vẽ đờng tròn đờng kính MC.
Kẻ BM cắt đờng trịn D Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn S Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp b) ABDÃ =ACDÃ
c) CA phân giác SCBÃ Bµi tËp 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc với AD Chứng minh:
a) Tø gi¸c ABEF, tø giác DCEF nội tiếp b) CA phân giác BCF
c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập 3
(12)đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Bµi tËp 4
Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng tròn đ-ờng kính BD cắt BC E Các đđ-ờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đđ-ờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 5
Cho tam giác vuông ABC ( A 900; AB > AC) điểm M nằm trên
đoạn AC (M không trùng với A C) Gọi N D lần lợt giao điểm thứ hai BC MB với đơng trịn đờng kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đờng trịn đờng kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, N B thuộc đờng tròn b CM phân giác góc BCS.
c
TA TC TD TB. Bµi tËp 6
Cho đờng trịn (O) điểm A nằm ngồi đờng trịn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đờng tròn (M, N tiếp điểm) cát tuyến cắt đờng trịn P, Q Gọi L trung điểm PQ
a/ Chứng minh điểm: O; L; M; A; N thuộc đờng tròn b/ Chứng minh LA phân giác ca MLNó
c/ Gọi I giao điểm MN vµ LA Chøng minh MA2 = AI.AL d/ Gäi K giao điểm ML với (O) Chứng minh r»ng KN // AQ e/ Chøng minh KLN c©n
Bµi tËp 7
Cho đường trịn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH <R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B ( E nằm B H)
(13)2 Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB= R
Bµi tËp 8
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P
Chøng minh r»ng:
1 C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài tập 9
Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp đờng trịn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đờng kính AD đờng tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chứng minh:
a) Bốn điểm A,B, H, E nằm đờng tròn tâm N HE// CD b) M tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF
Bµi tËp 10
Cho đờng trịn tâm O điểm A bên ngồi đờng tròn Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đờng tròn ( B C tiếp điểm) Gọi Hlà trung điểm DE
a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn
b) Chøng minh: HA tia phân giác BHC
c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) BH cắt (O) K Chøng minh: AE // CK
Bµi tËp 11
Từ điểm S ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đờng trịn
a) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S,A,E,O,B thuộc đờng trịn
b) NÕu SA = AO th× SAOB hình gì? sao? c) Chứmg minh rằng:
2
AB CD AC BD BC DA
Bµi tËp 12
Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E)
1 Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB
3 Chøng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài tập 13
(14)1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Giả sử A, B, I cố định xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bµi tËp 14
Cho ABC vng A Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng trịn đờng kính AH, đờng tròn cắt AB E, cắt AC F
a) Chứng minh AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh:BEFC tứ giác nội tiếp c) Chøng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gäi M là giao điểm CE BF HÃy so sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC
Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh ED =
1 BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đờng trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bài tập 16
Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MA MB Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB; CE MA; CF MB Gọi I
giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp
b) CD2 = CE.CF
c) IK CD
Bµi tËp 17
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC
a) Chứng minh DMC b) Chứng minh MB + MC = MA
c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc
d) Khi M Di động cung nhỏ BC D di động đờng cố định ?
Bµi tËp 18
Cho đờng trịn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD
MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.
(15)5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Bài tập 19
Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đờng tròn (O) qua B C (BC khơng đờng kính (O)) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh:
1 AE2 = AB.AC Tø gi¸c AEOF
3 Năm điểm A; E; O; I; F nằm đờng tròn ED song song với Ac
5 Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc đờng thẳng cố định
Bµi tËp 20
Cho ABC có góc nhọn Aà =450 Vẽ đờng cao BD CE ca
ABC Gọi H gia điểm BD CE a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiÕp b) TÝnh tØ sè
DE BC
c) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh OA DE Bài tập 21
Cho tam giác nhọn PBC Gọi A chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đ-ờng trịn đĐ-ờng kính BC cắt PB, PC lần lợt M N Nối N với A cắt đĐ-ờng trịn đờng kính BC điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: điểm A, B, N, P nằm đờng trịn Hãy xác định tâm bán kính đờng trịn
b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC
c/ Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE
Bµi tËp 22
Cho tam giác vuông ABC ( A 900); đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với điểm A C) Đờng trịn đờng kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng trịn đờng kính DC điểm F (F không trùng với D) Chứng minh:
a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn
c AC tia phân giác góc EAF Bài tập 23
Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD
a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiếp b/ Chứng minh AB//EI
c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tơng øng ë R vµ S Chøng minh:
(16)* AB CD RS
2
1
Bµi tËp 24
Cho đờng trịn (O; R) có hai đờng kính AOB COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a/ Chứng minh I; E; O; F nằm đờng tròn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao?
c/ Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng nào? Bài tập 25
Cho nửa đờng trịn đờng kính BC bán kính R điểm A nửa đờng tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vng góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, nửa đờng trịn đ-ờng kính HC cắt AC F
a Tø giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp
c Hóy xỏc định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R
Bµi tËp 26
Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Một đờng trịn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O)
a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ suy (O) thay đổi qua M, N T, T’ thuộc đờng trịn cố định
b) Gäi giao ®iĨm cđa TT’ víi PO, PM lµ I vµ J K lµ trung ®iĨm cđa MN
Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp
c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi qua M, N TT’ ln qua điểm cố định
d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT’ = 600. Bài tập 27
Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (M≠A C) Vẽ đờng
tròn đờng kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ hai D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh:
a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp
b) Khi M chuyển động AC ADMã có số đo khơng đổi c) AB//ST
Bµi tËp 28
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A, B Đờng vng góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') lần lợt điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng MB với đ-ờng tròn (O') N giao điểm hai đđ-ờng thẳng CM, DN P
(17)c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP
Bµi tËp 29
Cho ABC vuông A (AB < AC) H nằm A C
Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giác KCB Bµi tËp 30
Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E
1 Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE.AC.
4 Chøng minh AE AC - AI.IB = AI2
5 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bµi tËp 31
Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K
a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KHAB
c) Cho BC = R Tính PK Bµi tËp 32
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đ-ờng trịn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK
1 Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O)
3 Tính bán kính đờng trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài tập 33
Cho điểm A bên ngồi đờng trịn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE
đến đờng tròn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đờng tròn
b) Chøng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2 AI.AH d) Cho AB=R vµ
R OH=
(18)Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
c) Chứng minh BAF tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH h×nh thoi
e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài tập 35
Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính cắt A B
Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, cắt hai đường trịn E F (E (O1); F (O2))
1 Chứng minh AE = AF
2 Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C (O 1); D (O 2)) Gọi P
là giao điểm CE DF Chứng minh rằng:
a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P
thẳng hàng
3 Khi EF quay quanh B I P di chuyển ng no? Bài tập 36
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F cho
450
EAF BiÕt BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh:
a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiếp
b) CGH tứ giác GHFE cã diƯn tÝch b»ng Bµi tËp 37
Cho đờng trịn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đờng tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H
a Chứng minh: BMD = BAC, từ suy tứ giác AMHK nội tiếp.
b Chøng minh: HK // CD c Chøng minh: OK.OS = R2. Bµi tËp 38
Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI =
2
3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lín MN, cho C kh«ng trïng víi M, N B Nối AC cắt MN E
a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh AME đồng dạng với ACM AM2 = AE.AC. c Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2.
d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
(19)Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng d vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) Chøng minh: TÝch CM CD kh«ng phơ thc vào vị trí điểm M
c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao?
d) Chng minh trng tâm G tam giác MAB chạy đ-ờng trịn cố định
Bµi tËp 40
Cho đờng trịn (O) điểm A nằm ngồi đờng tròn Các tiếp tuyến với ờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn B C Gọi M điểm tuỳ ý đ-ờng tròn (M khác B C) Gọi H; K; I lần lợt chân đđ-ờng vng góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB
a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp
b/ Chøng minh:MHI· =MKH·
c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK.
Bµi tËp 41
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A Các đ-ờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đđ-ờng tròn (O) điểm thứ hai N P Chứng minh:
1 Tích BN.BM không đổi Tứ giác MNPQ nội tiếp
3 Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài tập 42
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng:
a Gãc CID b»ng gãc CKD
b Tứ giác CDFE nội tiếp đợc dờng tròn c IK // AB
Bµi tËp 43
Trên đờng trịn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D
a Chøng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB
b Gọi H giao điểm CD vµ AB Chøng minh BE.BC = BH.BA
c Chứng minh tiếp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD
d Cho biÕt BAM 450 vµ BAE300 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC theo R
(20)Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H OB Giọi I trung điểm MN Từ A kẻ Ax vng góc với MN K Gọi C giao điểm Ax với tia BI
a/ Chøng minh r»ng: BN// MC
b/ Chøng minh rằng: Tứ giác OIKC hình chữ nhật
c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM E, cắt tia Ax F Gọi D giao điểm thứ hai tia Ax với (O) Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp
Bµi tËp 45
Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC
a) Tam giác BCD tam giác gì? sao?
b) Kéo dài đờng cao CH ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đờng tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn
c) Các đờng thẳng AB CG cắt M, tứ giác AFGM hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh: MBG cân Bài tập 46
Cho đờng trịn (O) bán kính R, đờng thẳng d khơng qua O cắt đờng tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đờng trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt tia CN K
a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đờng tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO
c Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN
d Một đờng thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần lợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
Bµi tËp 47
Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A điểm di động cung lớn BC cho ABC nhọn Các đờng cao AD; BE; CF cắt H (DBC; ECA; FAB)
4 Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp Từ suy AE.AC = AF.AB Gọi A' trung điểm BC Chứng minh rằng: AH = 2OA'
6 Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S diện tích
ABC, 2p lµ chu vi DEF Chøng minh:
a d // EF b S = p.R Bµi tËp 48
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B D cắt điểm K
a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tứ giác nội tiếp b Chứng minh IK song song víi BC
(21)Bµi tËp 49
Cho đờng tròn (O;R) điểm A nằm đờng trịn Một góc xAy = 900 quay quanh A thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng B, C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tơng ứng M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chng minh rng
a) AMON hình chữ nhËt b) MN//BC
c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp
d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn
Bµi tËp 50
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm I nằm A O (I khác A O) Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B) Nối AC cắt MN E Chứng minh:
a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC
c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51
Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC nhỏ 900 góc COD = 900 Gọi M điểm trên nửa đờng tròn cho C điểm cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt E, F
a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: D điểm cung MB
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp đ-ợc
d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Hãy xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đờng tròn
Bµi tËp 52
Cho đờng trịn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đờng thẳng OM OH
a) Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đờng tròn b) Chứng minh: OH.OI = OK OM
c) Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đờng tròn (O) Bài tập 53
Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đờng trịn đờng kính BC I
1 Chøng minh tø gi¸c BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE h×nh thoi Chøng minh BI // AD
4 Chứng minh I, B, E thẳng hàng
(22)Bµi tËp 54
Cho đờng trịn (0) điểm A nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đ-ờng thẳng CE với đđ-ờng tròn
a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C thuộc đờng tròn b) Chứng minh: góc AOC góc BIC
c) Chøng minh: BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài tập 55
Cho đờng trịn (O) có tâm O, đờng kính AB Trên tiếp tuyến đờng trịn O A lấy điểm M (M khơng trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm
giữa M D; tia MC nằm tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thø hai MI (I
là tiếp điểm) với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E F Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, I O nằm đờng tròn b IABAMO.
c O trung điểm FE Bµi tËp 56
Cho nửa đờng trịn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vng góc với AB Đờng thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F
a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành Bài tập 57
Cho đờng trịn (O) đờng thẳng xy ngồi đờng trịn Đờng thẳng qua O vng góc với xy H cắt đờng tròn (O) A B M điểm (O), đ-ờng thẳng AM cắt xy E, đđ-ờng thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đờng thẳng AF cắt (O) K Nối E với K
a) Chøng minh: IM = IF
b) Chứng minh: điểm E, M, K, F thuộc đờng tròn
c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tun cđa (O)
d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp AMH M di động (O)
Bµi tËp 58
Cho đờng trịn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vng góc với AB I, đờng thẳng cắt đờng tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H Hãy chứng minh:
1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 2) KM tiếp tuyến đờng tròn (O; R)
(23)Cho đờng tròn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt đờng thẳng SO ; OM P Q
a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC
c) Chứng minh OM OQ không phụ thuộc vào vị trí ®iÓm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam giác ABC cân A
e) Xỏc nh v điểm S tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng BC // SA
Bµi tËp 60
Cho nửa đờng trịn (0) đờng kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I
a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc đờng tròn
b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp
c) Tam giác HMK tam giác ?
d) Chứng minh : OH phân giác gãc MOK
e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB)
Bµi tËp 61
Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đờng trịn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC
a) Chứng minh: tam giác EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? T¹i ?
d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK
Bµi tËp 62
Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho
AI = 3.OA
Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B) Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp
b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng AM2 = AE AC c) Chứng minh : AE AC - AI IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bµi tËp 63
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P điểm cung nhỏ AB ; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I
a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chứng minh: IK // AB
c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC
(24)f) Gọi R1 , R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác AED BED.Chứng minh: R1 + R2 = 4R2 PA2
Bµi tËp 54
Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng vuông góc với AE A cắt đờng thẳng CD K
1) Chứng minh ABF = ADK từ suy AFK vuông cân
2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K
3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ®iĨm A, B, F, I cïng n»m trªn mét ®-êng tròn
Bài tập 65
Cho gúc vuụng xOy , Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A, đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N
1) Chøng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB
2) Chng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn
Bµi tËp 66
Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn
b) Chứng minh HA tia phân giác BHC . c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2 AI.AH. Bµi tËp 67
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N
1) Chøng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ?
Bài tập 68
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D
(25)c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số
OK
BC tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaø HC > HE Tinh HC
Bµi tËp 69
Cho (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM
a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) TÝnh AH.AK theo R
Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
Bµi tËp 70
Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD
1) Chøng minh tø giác O1IJO2 hình thang vuông
2) Gi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm đờng tròn
3) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E
4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn Bài tập 71
Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt E F
1) Chøng minh B , C , D thẳng hàng
2) Chng minh B, C , E , F nằm đờng tròn
3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Bài tập 72
Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đờng trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đ-ờng tròn E , EN cắt đđ-ờng thẳng AB F
1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác néi tiÕp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB
3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73
Cho ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiÕp tuyÕn với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC CMR
a/ MAOH tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM phân giác góc AHB
(26)Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 75
Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P ngồi đờng trịn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đờng tròn (O)
a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đờng tròn
b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì?
c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng Bài tập 76
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC
1) Chøng minh tø giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh AMB HMK
3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK Bài tập 77
Cho nửa đường trịn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ABE vuông cân
b, Chứng minh ABF BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đờng trịn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đờng tròn Bài tập 79
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
(27)Bµi tËp 80
Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B 450), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB AC lần lợt B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh t-ơng ứng BC, CA, AB
a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK ni tip
c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chøng minh PQMI
Bµi tËp 81
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O, bán kính R Hạ đờng cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng:
1 Bốn điểm A,E,D,B nằm đờng trịn Tìm tâm I đờng trịn
2 MN// DE
3 Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đờng trịn ngoại tiếp CDE khơng đổi
Bµi tËp 82
Cho điểm A ngồi đờng trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M B ; M C ) Gọi D , E , F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF
1) Chøng minh :
a) MECF lµ tø giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK
2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn Bài tập 83
Cho ABC vuông cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M bất
kì thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC H hình chiếu vng góc I đoạn DK
a/Tứ giác AIMK hình gì?
b/ A, I, M, H, K thuộc đường trịn Tìm tâm đường trịn c/ B, M, H thẳng hàng
Bµi tËp 84
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) Hai đờng cao AD BF gặp H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn Xác định tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác
b/ Gọi CK đờng cao lại tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh gócEFH = góc KBH
(28)Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đờng tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh:
a
1
CAB AOD
b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB
Bµi tËp 86
Cho đường trịn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường trịn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường trịn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh:
a/ AD // BI
b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI
d/ DM2 = AM.MC
e/ Tứ giác DMBI nội tip Bài tập 87
Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dựng CE vu«ng gãc víi BD
a Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn b Chứng minh AD.CD = ED.BD
c Từ D kẻ DK vng góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm DKEABE.
Bµi tËp 88
Từ điểm A ngồi đờng trịn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC,
M B M; C
Từ M hạ đờng vng góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB Gọi P giao MB IK; Q giao MC IH
a Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC
Bµi tËp 89
Cho đờng trịn tâm O, bán kính R hai đờng kính vng góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE =
1
3AO, CE c¾t (O) ë M. a TÝnh CE theo R
b Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đ-ờng cao MH tam giác CDM
Bµi tËp 90
(29)điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I
a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD
b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
c Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF Bài tập 91
Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB (C đường trịn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F
4) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 5) Chứng minh góc CAE góc MEB
6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92
Cho tam giác ABC vuông A có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng trịn đờng kính HC cắt AC F
a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chøng minh AE.AB = AF.AC
c Chøng minh BEFC tứ giác nội tiếp Bài tập 93
Cho đờng trịn (O) đờng kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O B), vẽ đờng trịn (O') đờng kính AC Đờng trịn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vng góc với AB cắt đờng tròn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đờng tròn (O') Chứng minh:
a Tø giác ADBE hình thoi b AF // BD
c Ba điểm E, A, F thẳng hàng
d Bốn điểm M, F, C E thuộc đờng tròn e Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy
Bµi tËp 94
Cho hai đờng trịn (O) (O') cắt A B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đ-ờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P
a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hµnh
b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đờng tròn c Chứng minh rằng: BP = BA
Bµi tËp 95
Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đờng tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đờng thẳng qua điểm P cắt đờng tròn (O) hai điểm E F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng:
a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn
b Các điểm P, N, O, H nằm đờng tròn c Tam giác PQO cân
(30)Trên chuyên đề hệ thống tập chứng minh tứ giác nội ngoại tiếp đờng trịn mà thân tơI kì cơng biên soạn, chun đề có ích với thân tơI, hy vọng có ích với bạn bè đồng nghiệp em học sinh Trong trình biên soạn gặp sai sót, mong ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn /.
Email:info@123doc.org
http://huynhvumt.violet.vn