Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I. Lý thuyết: 1. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đờng tròn. (Tứ giác ABCD nội tiếp) Cách 1. Theo định nghĩa: CM có một điểm cách đều 4 điểm (Có O: OA = OB = OC = OD) Cách 2. Theo tính chất: à à A C + = 180 0 (Hoặc Góc A bằng góc ngoài của tứ giác tại C) Cách 3. Theo quỹ tích cung chứa góc: ã ABD = ã ACD . Cách 4: AB cắt CD tại I và thoả mãn: IA.IB = IC.ID Chú ý: Cần chú ý trờng hợp: à à 0 90A C = = hoặc ã ABD = ã ACD = 90 0 Các loại tứ giác đã học ở lớp 8, từ giác nào nội tiếp đợc một đờng tròn ? 2. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đờng tròn: Cách 1. CM có một điểm cách đều các điểm đã cho (Có O: OA = OB = OC = OD = ) Cách 2. Ghép 4 điểm trong các điểm đó, chứng minh tứ giác nội tiếp. Tiếp đó ghép 4 điểm khác (trong đó có 3 điểm trớc), chứng minh tứ giác nội tiếp rồi lại tiếp tục làm nh trên. Chú ý: a. Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đờng tròn. b. Có duy nhất một đờng tròn nhận một đoạn thẳng cho trớc làm đờng kính. II. Bài tập: Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AC BD. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng: a. Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc một đờng tròn, xác định tâm O của đờng tròn đó. b. Biết AC = 19cm, BD = 98cm. Tính diện tích của đờng tròn (O). Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M, N, P, Q là giao điểm của các đờng phân giác trong của tứ giác. Chứng minh rằng 4 điểm: M, N, P, Q cùng thuộc một đờng tròn. Bài 3. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại 2 điểm A, B. Các đờng thẳng AO, AO cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai E, F. Chứng minh rằng: a. Ba điểm B, C, D thẳng hàng. b. Tứ giác CDEF nội tiếp đợc một đờng tròn. c. A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH và vẽ đờng tròn đờng kính AH, đ- ờng tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp. Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Lấy AB làm cạnh huyền dựng tam giác vuông AEB ra phía ngoài hình vuông. Chứng minh rằng phân giác góc E chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Bài 6. Cho tam giác MNP vuông tại M (MN < MP) và nội tiếp đờng tròn tâm (O, R). Gọi K là trung điểm của MP và MI là đờng cao của tam giác MNP. a. Chứng minh tứ giác MIOK nội tiếp đợc trong một đờng tròn (O). Xác định tâm O của đờng tròn đó. b. Xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn (O) và (O). c. Đờng tròn (O) cắt MN tại E. Chứng minh 3 điểm E, O, K thẳng hàng. Bài 7. Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE tới đờng tròn. Gọi I là trung điểm của DE. a. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn. b. Chứng minh rằng IA là tia phân giác của góc BIC. Bài 8. Cho tam giác ABC cân là A nội tiếp đờng tròn (O). Hai điểm H, K trên cạnh BC, AH, AK thứ tự cắt đờng tròn tại P, Q. Chứng minh rằng: a. Tứ giác KHPQ nội tiếp đợc một đờng tròn. b. AH.AP = AK.AQ. Bài 9. Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn. Gọi I là một điểm nằm trên dây BC, đờng thẳng vuông góc với OI tại I cắt AB, AC thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, đờng tròn đờng kính BC cắt AB, AC thứ tự tại D, E. AE cắt BD tại H. Chứng minh rằng: a. Tứ giác ADHE nội tiếp đợc một đờng tròn (O). b. AI BC và OO DE. Bài 11. a. Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I. Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn. b. Cho hai đoạn thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau tại I (A nằm giữa I,B; C nằm giữa I, D). Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn. Bài 12. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Một đờng thẳng qua A cắt hai đ- ờng tròn tại P, Q. Các tiếp tuyến của hai đờng tròn tại P, Q cắt nhau tại T. CMR: a. Góc PBQ không đổi khi đờng thẳng MN quay quanh A. b. Tứ giác TPBQ nội tiếp đợc một đờng tròn. . Ghép 4 điểm trong các điểm đó, chứng minh tứ giác nội tiếp. Tiếp đó ghép 4 điểm khác (trong đó có 3 điểm trớc), chứng minh tứ giác nội tiếp rồi lại tiếp tục làm nh trên. Chú ý: a. Qua 3 điểm. Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I. Lý thuyết: 1. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đờng tròn. (Tứ giác ABCD nội tiếp) Cách 1. Theo định nghĩa: CM có một điểm cách đều 4 điểm (Có. minh rằng: a. Ba điểm B, C, D thẳng hàng. b. Tứ giác CDEF nội tiếp đợc một đờng tròn. c. A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH và vẽ đờng