Chuyªn ®Ị: hƯ thèng ho¸ c¸c d¹ng bµi tËp vỊ tø gi¸c néi, ngo¹i tiÕp ®êng trßn I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) Kh¸i niƯm: B A C O D Mét tø gi¸c cã ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn ®ỵc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn (Gäi t¾t lµ tø gi¸c nét tiÕp) 2) §Þnh lÝ - Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 -NÕu mét tø gi¸c cã tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 180 th× tø gi¸c ®ã néi tiÕp ®êng trßn 3) DÊu hiƯu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø gi¸c néi tiÕp, ngo¹i tiÕp ®êng trßn - Tø gi¸c cã tỉng sè hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø gi¸c cã bãn ®Ønh c¸ch ®Ịu mét ®iĨm(mµ ta cã thĨ x¸c ®Þnh ®ỵc) §iĨm ®ã lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc α - Sư dơng ®Þnh lÝ ®¶o vỊ hƯ thøc lỵng ®êng trßn - Sư dơng ®Þnh lÝ : Tỉng c¹nh ®èi cđa mét tø gi¸c b»ng th× tø gi¸c ®ã ngo¹i tiÕp mét ®êng trßn - Trêng hỵp chøng minh mét ®a gi¸c ngo¹i tiÕp mét ®êng trßn ta ph¶I chøng minh c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa ®a gi¸c ®ã ®ång quy t¹i mét ®iĨm - Dùa vµo ®Þnh nghÜa : Ph¶I chøng minh ®ỵc c¸c c¹nh cđa ®a gi¸c tiÕp xóc víi mét ®êng trßn II) Bµi tËp Bµi to¸n 1.( Bµi to¸n trang 49 – SGK H×nh häc 9) Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa gãc t¹i B vµ C gỈp t¹i S, c¸c ®êng th¼ng chøa ph©n gi¸c cđa gãc ngoµi B vµ C gỈp t¹i E Chøng minh r»ng BSCE lµ mét tø gi¸c néi tiÕp • Ph©n tÝch, t×m lêi gi¶i Mn chøng minh tø gi¸c BSCE néi tiÕp ta cÇn chøng minh theo ®Þnh lÝ : Tø gi¸c BSCE cã tỉng hai gãc ®èi b»ng 1800 • Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt Theo chøng minh trªn th× O n»m trªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC mỈ kh¸c S lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC vµ E lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A cđa tam gi¸c ABC nªn còng cã thĨ diƠn ®¹t nhËn xÐt nh sau: Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng nèi t©m ®êng trßn néi tiÕp víi t©m ®êng trßn bµng tiÕp cđa tam gi¸c bÞ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c Êy chia thµnh hai phÇn b»ng NhËn xÐt Tõ kÕt qu¶ chøng minh ®ỵc ë nhËn xÐt ta cã bµi to¸n sau: Gäi O, O 1,O2 lµ trung ®iĨm cđa c¸c ®o¹n th¼ng nèi t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC víi t©m ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng O, O1,O2n»m trªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC NhËn xÐt Dùa vµo kÕt qu¶ ®· chøng minh ®c ë nhËn xÐt 4, ta thÊy biÕt ®ỵc S vµ E ta x¸c ®Þnh ®ỵc O Gäi T lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC, ta cã TB = TO = TC cã nghÜa lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC x¸c ®Þnh ®ỵc MỈt kh¸c OS = OB = OC lªn suy c¸ch x¸c ®Þnh B,C vµ sau ®ã dƠ dµng x¸c ®Þnh ®ỵc A, ta cã bµi to¸n dung h×nh sau: Dùng tam gi¸c ABC cho biÕt T lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp , S lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp vµ E lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A 2.Bµi tËp Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung Nếu hai hay nhiều tam giác vng có cạnh huyền chung ta chứng minh đa giác tạo thành đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn Ví dụ minh hoạ: Cho đường tròn tâm O đường thẳng xy khơng cắt đường tròn Từ O hạ OA vng góc xy (A ∈ xy); từ A kẻ cát tuyến cắt đường tròn B C; tiếp tuyến đường tròn B C cắt xy D E Chứng minh tứ giác ODAB OCEA nội tiếp Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB vng góc với BD (tiếp tuyến vng góc với bán kính tiếp điểm ) => góc OBD = 90 O C có thêm góc OAD = 900 (gt) => tứ giác ODAB nội tiếp (A B nhìn đoạn OD góc 900 khơng đổi) Dễ dàng tâm đường tròn B ngoại tiếp tứ giác trung điểm DO x A D E -Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp Hãy giải tương tự tập sau: a) Từ điểm M ngồi đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD đường tròn Gọi I trung điểm dây CD Chứng minh điểm M, A, O, I, B thuộc đường tròn b) Chứng minh từ điểm vẽ tiếp tuyến với hai đường tròn đồng tâm tất tiếp điểm tạo thành tứ giác nội tiếp y 3.Bµi tËp Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối 180 tứ giác nội tiếp đường tròn (định lý trang 88 SGK Tốn tập 2) Hay tứ giác có góc ngồi góc đối diện với góc kề tứ giác nội tiếp Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A điểm cung BC từ A2 kẻ G hai dây cung AD AE bất kỳ, cắt BC F G Chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp Gợi ý: Cách 1: Để chứng minh tứ giác A DFGE nội tiếp ta cần chúng minh góc D + góc G1 = 1800 Vậy thử xét quan G B C hệ tổng số đo hai góc với số đo cung có liên quan ? Ta có O góc D = sđ cung AE (số đo góc nội tiếp D E số đo cung bị chắn) => góc D = (sđ cung AC + sđ cung CE) : (vì C thuộc cung AE) (1) Còn góc G1 = (sđ cung AC + sđ cung BDE) : (G góc có đỉnh bên đường tròn) => góc G = (sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung DE) : = (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung DE) : (vì cung AB = cung AC) (2) Cộng vế (1) (2) ta có góc D + góc G1 = 3600 : = 1800 = > DFGE nội tiếp Cách 2: Ta chứng minh góc D = góc G mà góc G1 + G2 = 1800 (hai góc kề bù) => góc D + góc G1 = 1800 => điều phải chứng minh Các em áp dụng phương pháp để làm tập 54, 58 (SGK Tốn tập 2) Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến đường tròn điểm B E F, cắt đường tròn C D Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp Để chứng minh tứ giác CDFE nội C E tiếp ta cần chứng minh góc E2 + góc A O B D2 = 1800 góc D1 + góc D2 = 1800 (hai góc kề bù) Vậy cần chứng minh góc E2 = góc D1 Ta có góc D1 = góc B1 (hai góc nội tiếp chắn cung AC) Như cần chứng minh góc E2 = góc B1 Dễ thấy hai góc phụ với góc A (do góc ACB = 900 góc ABE = 900) D F Bµi tËp Cho tứ giác ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo I giao điểm hai cạnh bên AD BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp IA ID = IB IC Việc chứng minh tốn khơng có khó khăn, việc chứng minh tam đồng dạng suy kết Nhưng qua tốn cho ta ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp chứng minh đẳng thức cạnh Hãy dùng ý tưởng để giải tốn sau: Bài 2: Cho đườn tròn (O), A điểm nằm ngồi đường tròn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn Hướng dẫn giải: Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC Thật ta có: (hệ thức lượng tam giác vng APO) (tam giác APB ACP đồng dạng) Từ ta có , theo ta có điều cần chứng minh Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Hướng dẫn giải Tam giác OCA vng C, CH đường cao nên ta có: Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có Từ ta có ADOE nội tiếp , chứng minh tương tự ta có tứ giác III C¸c bµi tËp yªu cÇu HS vËn dơng kiÕn thøc ®· ®ỵc trang bÞ ®Ĩ lun tËp C¸c bµi tËp cã híng dÉn t×m lêi gi¶i Bài 1: Cho tam giác ABC vng A ( AB< AC ) nội tiếp đường tròn tâm I; bán kính r Gọi P trung điểm AC; AH đường cao tam giác ABC a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp đường tròn tâm K Xác định tâm K đường tròn b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) ( K ) tiếp xúc @ Gợi ý: a/ Chúng minh IP ⊥ AC ⇒ µp = 900 Dựa vào dấu hiệu để chứng minh APIH nội tiếp đường tròn ( ¶H + µP = 1800 ) - Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI góc vng nên P thuộc đường tròn đường kính AI Chứng minh tương tự điểm H Từ xác định tâm K ( trung điểm đoạn AI ) ( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vng đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập trang 85) b/ Nhắc lại kiến thức hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Tiếp xúc ngồi khoảng cách hia tâm tổng hai bán kính OO’ = R + r - Tiếp xúc khoảng cách hai tâm hiệu hai bán kính OO’ = R – r> - Tính IK để kết luận (I) ( K ) tiếp xúc A Bài 2: CHo đường tròn tâm O, đường kính AB cố định Điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN ⊥ AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C khơng trùng với M, N B Nối AC, cắt MN E a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Và chứng minh AM = AE AC c/ Chứng minh AE AC − AI IB = AI @ Gợi ý: câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở Câu b, c : HS tự ch minh * Bài 3: Cho tam giác ABC cân A ( µA < 900 ) Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN ⊥ AC Gọi M trung điểm BC Hai đường thẳng AM EN cắt F a/ Chứng minh tứ giác MCNF AMNE nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ Chứng minh EB phân giác góc AEF @ Gợi ý: a/ Dựa vào dấu hiệu để ch.minh MCNF dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMNE nội tiếp b/ Tính ·AEB + ·MAE = ? tính ·BAM + ·MAE = ? So sánh ·AEB ·BAM So sánh ·BAM ·MAC ( 1) - Tứ giác AMNE nội tiếp nên ·MAC ·MEN với nhau, ( 2) Từ ( 1) ( 2) nêu kết luận Bài 4: Cho hình vng ABCD Kẻ tia Ax Ay cho ·xAy = 450 Tia Ax cắt CB ND E P Tia Ay cắt CD BD F Q a/ Chứng minh EBAQ FDAP nội tiếp đường tròn b/ Chúng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn @ Gợi ý: a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD đường chéo hình vng ABCD nên ·DBC = ? - Dựa vào dấu hiệu để chứng minh EBAQ nội tiếp ( Hướng dẫn HS lập luận sau: Hai đỉnh A B hai góc QAE BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh lại tứ giác EBAQ góc 450 nên EBAQ nội tiếp đường tròn - Chứng minh tương tự tứ giác FPAD b/ Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn HS cần nắm kiến thức sau: Góc ngồi đỉnh tứ giác nội tiếp góc đỉnh đối đỉnh (Định lý) - Góc FQE góc ngồi đỉnh Q tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc EQF góc nào? Và độ? - Góc EPF góc ngồi đỉnh P tứ giác nội tiếp APFD nên góc EPF góc nào? Và độ? - Xét điểm P, Q, C có nhìn đoạn thẳng EF góc vng khơng? Vậy P, Q, C thuộc đường tròn nào? Từ kết luận điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn Bài 5:Cho đường tròn ( O;R) đường thẳng xy cách tâm O khoảng OK= a ( < a < R ) Từ điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) ( B, C tiếp điểm; O B nằm phía với xy) a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) hai điểm D E b/ Chứng minh điểm O, A, B, C, K nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn c/ BC cắt OA OK theo thứ tự M S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp đường tròn @ Gợi ý: Câu b: dựa vào dấu hiệu để chứng minh điểm thuộc đường tròn Câu c: dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMKS nội tiếp Bài 6: Từ điểm A ngồi đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC, lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), có tiếp điểm M; tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn b/ Chứng minh D, B, O, M, K thuộc đường tròn @ Gợi ý: - Câu a/ - So sánh góc MOE góc MBC - So sánh góc MOD góc MBD - Hai điểm O B nhìn đoạn thẳng DM góc Vậy kết luận tứ giác DBOM? - Câub/ Chứng minh B, O, M, K thuộc đường tròn ( dấu hiệu 1) Rồi kết luận điểm B, O, M, K, D thuộc đường tròn Bài tập vận dụng dấu hiệu (Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường tròn.) Bài 7: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O; đường kính AI Gọi E trung điểm AB ;K trung điểm OI; H trung điểm EB a/Chứng minh HK ⊥ EB b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn @ Gợi ý: Câu a/ B thuộc nửa đường tròn đường kính AI ⇒ ·AIB = ?0 - Chúng minh HK đường trung bình hình thang EBOI, từ kết luận HK ⊥ EB Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân K để suy ·BEK = ·EBK (1) - Chứng minh ·EBK = ·AKC (2) - Từ (1) (2) suy ·BEK = ·ACK Góc BEK góc ngồi đỉnh E tứ giác AEKC góc ACK ( góc đỉnh đối đỉnh E) Do đó, vào dấu hiệu 2, kết luận AEKC nội tiếp đường tròn Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường tròn Trên cung PN, lấy điểm Q ( khơng trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự S T a/ Chứng minh NS MN b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường tròn @ Gợi ý: 10 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, cắt hai đường tròn E F (E (O1); F (O2)) 1.Chứng minh AE = AF 2.Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C (O 1); D (O2)) Gọi P giao điểm CE DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng 3.Khi EF quay quanh B I P di chuyển đường nào? Bµi tËp 36 Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh BC, CD lÇn lỵt lÊy ®iĨm E, F cho · EAF = 450 BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H Chøng minh: a) ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b) ∆CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diƯn tÝch b»ng Bµi tËp 37 Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, hai ®iĨm C vµ D thc ®êng trßn, B lµ trung ®iĨm cđa cung nhá CD KỴ ®êng kÝnh BA; trªn tia ®ãi cđa tia AB lÊy ®iĨm S, nèi S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H a Chøng minh: ∠BMD = ∠BAC , tõ ®ã suy tø gi¸c AMHK néi tiÕp b Chøng minh: HK // CD c Chøng minh: OK.OS = R2 Bµi tËp 38 Cho ®êng trßn (O), mét ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, mét ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O cho AI = AO KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN, cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi AC c¾t MN t¹i E a Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b Chøng minh V AME ®ång d¹ng víi V ACM vµ AM2 = AE.AC c Chøng minh AE.AC − AI.IB = AI2 d H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 39 Cho ba ®iĨm A, B, C trªn mét ®êng th¼ng theo thø tù Êy vµ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AC t¹i A VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh BC vµ trªn ®ã lÊy ®iĨm M bÊt k× Tia CM c¾t ®êng th¼ng d t¹i D; Tia AM c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai N; Tia DB c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai P 20 a) Chøng minh: Tø gi¸c ABMD néi tiÕp ®ỵc b) Chøng minh: TÝch CM CD kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ ®iĨm M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chøng minh träng t©m G cđa tam gi¸c MAB ch¹y trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh Bµi tËp 40 Cho ®êng trßn (O) vµ ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn C¸c tiÕp tun víi ®êng trßn kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn ë B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn (M kh¸c B vµ C) Gäi H; K; I lÇn lỵt lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M xng BC; CA; AB a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp · · H = MK b/ Chøng minh: MHI c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK Bµi tËp 41 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A M vµ Q lµ hai ®iĨm trªn (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A C¸c ®êng th¼ng BM vµ BQ lÇn lỵt c¾t ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ N vµ P Chøng minh: TÝch BN.BM kh«ng ®ỉi Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp BÊt ®¼ng thøc: BN + BP + BM + BQ > 8R Bµi tËp 42 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O vµ P lµ trung ®iĨm cđa cung AB kh«ng chøa C vµ D Hai d©y PC vµ PD lÇn lỵt c¾t d©y AB t¹i E vµ F C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t t¹i K Chøng minh r»ng: a Gãc CID b»ng gãc CKD b Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc mét dêng trßn c IK // AB Bµi tËp 43 Trªn ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB, lÊy hai ®iĨm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai ®iĨm M, E kh¸c hai ®iĨm A, B) AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D a Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB b Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AB Chøng minh BE.BC = BH.BA c Chøng minh c¸c tiÕp tun t¹i M vµ E cđa ®êng trßn (O) c¾t t¹i mét ®iĨm n»m trªn ®êng th¼ng CD 21 0 d Cho biÕt ∠BAM = 45 vµ ∠BAE = 30 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC theo R Bµi tËp 44 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Mét c¸t tun MN quay xung quanh trung ®iĨm H cđa OB Giäi I lµ trung ®iĨm cđa MN Tõ A kỴ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K Gäi C lµ giao ®iĨm cđa Ax víi tia BI a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt c/ TiÕp tun Bt víi ®êng trßn (O) c¾t tia AM ë E, c¾t tia Ax ë F Gäi D lµ giao ®iĨm thø hai cđa tia Ax víi (O) Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp Bµi tËp 45 Cho ∆ ABC c©n (AB = AC) vµ gãc A nhá h¬n 60 0; trªn tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm D cho AD = AC a) Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao? b) KÐo dµi ®êng cao CH cđa ∆ ABC c¾t BD t¹i E VÏ ®êng trßn t©m E tiÕp xóc víi CD t¹i F Qua C vÏ tiÕp tun CG cđa ®êng trßn nµy Chøng minh: Bèn ®iĨm B, E, C, G thc mét ®êng trßn c) C¸c ®êng th¼ng AB vµ CG c¾t t¹i M, tø gi¸c AFGM lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chøng minh: ∆ MBG c©n Bµi tËp 46 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R, ®êng th¼ng d kh«ng qua O vµ c¾t ®êng trßn t¹i hai ®iĨm A, B Tõ mét ®iĨm C trªn d (C n»m ngoµi ®êng trßn), kỴ hai tiÕp tun CM, CN víi ®êng trßn (M, N thc (O)) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa AB, ®êng th¼ng OH c¾t tia CN t¹i K a Chøng minh ®iĨm C, O, H, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn b Chøng minh KN.KC = KH.KO c §o¹n th¼ng CO c¾t ®êng trßn (O) t¹i I, chøng minh I c¸ch ®Ịu CM, CN vµ MN d Mét ®êng th¼ng ®i qua O vµ song song víi MN c¾t c¸c tia CM, CN lÇn lỵt t¹i E vµ F X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C trªn d cho diƯn tÝch tam gi¸c CEF lµ nhá nhÊt Bµi tËp 47 Cho BC lµ d©y cung cè ®Þnh cđa ®êng trßn (O; R) (0 < BC < 2R) A lµ mét ®iĨm di ®éng trªn cung lín BC cho ∆ ABC nhän C¸c ®êng cao AD; BE; CF c¾t t¹i H (D∈ BC; E∈ CA; F ∈ AB) Chøng minh: Tø gi¸c BCEF néi tiÕp Tõ ®ã suy AE.AC = AF.AB Gäi A' lµ trung ®iĨm cđa BC Chøng minh r»ng: AH = 2OA' 22 KỴ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A §Ỉt S lµ diƯn tÝch ∆ ABC, 2p lµ chu vi ∆ DEF Chøng minh: a d // EF b S = p.R Bµi tËp 48 Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín AD vµ ®¸y nhá BC néi tiÕp ®êng trßn t©m O; AB vµ CD kÐo dµi c¾t t¹i I C¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn t©m O t¹i B vµ D c¾t t¹i ®iĨm K a Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b Chøng minh IK song song víi BC c H×nh thang ABCD ph¶i tho¶ m·n ®iỊu kiƯn g× ®Ĩ tø gi¸c AIKD lµ h×nh b×nh hµnh Bµi tËp 49 Cho ®êng trßn (O;R) vµ mét ®iĨm A n»m trªn ®êng trßn Mét gãc xAy = 900 quay quanh A vµ lu«n tho¶ m·n Ax, Ay c¾t ®êng trßn (O) Gäi c¸c giao ®iĨm thø hai cđa Ax, Ay víi (O) t¬ng øng lµ B, C §êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t AB, AC t¹i c¸c ®iĨm thø hai t¬ng øng lµ M, N Tia OM c¾t ®êng trßn t¹i P Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c AOP Chøng minh r»ng a) AMON lµ h×nh ch÷ nhËt b) MN//BC c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa gãc xAy cho tam gi¸c AMN cã diƯn tÝch lín nhÊt Bµi tËp 50 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O (I kh¸c A vµ O) KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B) Nèi AC c¾t MN t¹i E Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nưa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB vµ hai ®iĨm C, D thc nưa ®êng trßn cho cung AC nhá h¬n 900 vµ gãc COD = 900 Gäi M lµ mét ®iĨm trªn nưa ®êng trßn cho C lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AM C¸c d©y AM, BM c¾t OC, OD lÇn lỵt t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung MB 23 c) Mét ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi nưa ®êngtrßn t¹i M vµ c¾t c¸c tia OC, OD lÇn lỵt t¹i I, K Chøng minh c¸c tø gi¸c OBKM vµ OAIM néi tiÕp ®ỵc d) Gi¶ sư tia AM c¾t tia BD t¹i S H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C vµ D cho ®iĨm M, O, B, K, S cïng thc mét ®êng trßn Bµi tËp 52 Cho ®êng trßn (O) vµ hai ®iĨm A, B ph©n biƯt thc (O) cho ®êng th¼ng AB kh«ng ®i qua t©m O Trªn tia ®èi cđa tia AB lÊy ®iĨm lÊy ®iĨm M kh¸c A, tõ M kỴ hai tiÕp tun ph©n biƯt ME, MF víi ®êng trßn (O) (E, F lµ c¸c tiÕp ®iĨm) Gäi H lµ trung ®iĨm cđa d©y cung AB C¸c ®iĨm K vµ I theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng EF víi c¸c ®êng th¼ng OM vµ OH a) Chøng minh ®iĨm M, O, H, E, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn b) Chøng minh: OH.OI = OK OM c) Chøng minh: IA, IB lµ c¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) Bµi tËp 53 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB CD c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i I Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh BC Bµi tËp 54 Cho ®êng trßn (0) vµ mét ®iĨm A n»m ngoµi ®êng trßn Tõ A kỴ hai tiÕp tun AB, AC vµ c¸t tun AMN víi ®êng trßn (B, C, M, N thc ®êng trßn vµ AM < AN) Gäi E lµ trung ®iĨm cđa d©y MN, I lµ giao ®iĨm thø hai cđa ®êng th¼ng CE víi ®êng trßn a) Chøng minh: Bèn ®iĨm A, 0, E, C cïng thc mét ®êng trßn b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chøng minh: BI // MN d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸t tun AMN ®Ĩ diƯn tÝch tam gi¸c AIN lín nhÊt Bµi tËp 55 Cho ®êng trßn (O) cã t©m O, ®êng kÝnh AB Trªn tiÕp tun cđa ®êng trßn O t¹i A lÊy ®iĨm M (M kh«ng trïng víi A) Tõ M kỴ c¸t tun MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tun thø hai MI (I lµ tiÕp ®iĨm) víi ®êng trßn (O) §êng th¼ng BC vµ BD c¾t ®êng th¼ng OM lÇn lỵt tai E vµ F Chøng minh: a Bèn ®iĨm A, M, I vµ O n»m trªn mét ®êng trßn 24 b ∠IAB = ∠AMO c O lµ trung ®iĨm cđa FE Bµi tËp 56 Cho nưa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M thc cung AB, C thc OA Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB cã chøa M kỴ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB §êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ T×m vÞ trÝ cđa ®iĨm C ®Ĩ tø gi¸c AEFC lµ h×nh b×nh hµnh Bµi tËp 57 Cho ®êng trßn (O) vµ ®êng th¼ng xy ngoµi ®êng trßn §êng th¼ng ®i qua O vu«ng gãc víi xy t¹i H c¾t ®êng trßn (O) t¹i A vµ B M lµ ®iĨm trªn (O), ®êng th¼ng AM c¾t xy t¹i E, ®êng th¼ng BM c¾t xy t¹i F, tiÕp tun t¹i M c¾t xy t¹i I, ®êng th¼ng AF c¾t (O) t¹i K Nèi E víi K a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: ®iĨm E, M, K, F cïng thc mét ®êng trßn c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tun cđa (O) d) T×m tËp hỵp t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AMH M di ®éng trªn (O) Bµi tËp 58 Cho ®êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB; ®iĨm I n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ O KỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i I, ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn (O; R) t¹i M vµ N Gäi S lµ giao ®iĨm BM vµ AN Qua S kỴ ®êng th¼ng song song víi MN, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng AB vµ AM lÇn lỵt ë K vµ H H·y chøng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM 2) KM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O; R) 3) Ba ®iĨm H; N; B th¼ng hµng Bµi tËp 59 Cho ®êng trßn (0; R), mét d©y CD cã trung ®iĨm M Trªn tia ®èi cđa tia DC lÊy ®iĨm S, qua S kỴ c¸c tiÕp tun SA, SB víi ®êng trßn §êng th¼ng AB c¾t c¸c ®êng th¼ng SO ; OM t¹i P vµ Q a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chøng minh OM OQ kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ ®iĨm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) X¸c ®Þnh vÞ ®iĨm S trªn tia ®èi cđa tia DC ®Ĩ C, O, B th¼ng hµng vµ BC // SA 25 Bµi tËp 60 Cho nưa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M lµ mét ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB K thc cung BM ( K kh¸c M vµ B ) AK c¾t MO t¹i I a) Chøng minh : Tø gi¸c OIKB néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cđa M lªn AK Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cđa gãc MOK e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ chu vi tam gi¸c OPK lín nhÊt (P lµ h×nh chiÕu cđa K lªn AB) Bµi tËp 61 Cho tam gi¸c ABC víi ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (0) Tia ph©n gi¸c cđa gãc B, gãc C c¾t ®êng trßn nµy thø tù t¹i D vµ E, hai tia ph©n gi¸c nµy c¾t t¹i F Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i ? d) T×m ®iỊu kiƯn cđa tam gi¸c ABC ®Ĩ tø gi¸c AEFD lµ h×nh thoi ®ång thêi cã diƯn tÝch gÊp lÇn diƯn tÝch tø gi¸c AIFK Bµi tËp 62 Cho ®êng trßn (O), mét ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, trªn ®o¹n OA lÊy ®iĨm I cho OA AI = KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B) Nèi AC c¾t MN t¹i E a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) Chøng minh : C¸c tam gi¸c AME, ACM ®ång d¹ng vµ AM2 = AE AC c) Chøng minh : AE AC - AI IB = AI2 d) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm C cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 63 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O;R)(AB < CD) Gäi P lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AB ; DP c¾t AB t¹i E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I a) Chøng minh: Tø gi¸c CKID néi tiÕp ®ỵc b) Chøng minh: IK // AB c) Chøng minh: Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®ỵc d) Chøng minh: AP2 = PE PD = PF PC 26 e) Chøng minh : AP lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AED f) Gäi R1 , R2 lµ c¸c b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AED vµ 2 BED.Chøng minh: R1 + R2 = 4R − PA Bµi tËp 54 Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a E lµ ®iĨm ®i chun trªn ®o¹n CD (E kh¸c D), ®êng th¼ng AE c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K 1) Chøng minh ∆ABF = ∆ADK tõ ®ã suy ∆AFK vu«ng c©n 2) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa FK, Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn ®i qua A , C, F , K 3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ®iĨm A, B, F, I cïng n»m trªn mét ®êng trßn Bµi tËp 65 Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox, Oy lÇn lỵt lÊy hai ®iĨm A vµ B cho OA = OB M lµ mét ®iĨm bÊt kú trªn AB Dùng ®êng trßn t©m O1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A, ®êng trßn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iĨm thø hai N 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cđa gãc ANB 2) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh M thay ®ỉi 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ kho¶ng c¸ch O1O2 lµ ng¾n nhÊt Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB = AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O §êng ph©n gi¸c cđa gãc A , B c¾t ®êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iĨm hai ®êng ph©n gi¸c lµ I , ®êng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lỵt t¹i M , N 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 27 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung OK điểm BC Tính tỉ số BC tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm HC > HE Tinh HC Bµi tËp 69 Cho (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iĨm cđa OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C Gäi K lµ ®iĨm t ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iĨm cđa AK vµ MM a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh AH.AK theo R X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ (KM+KN+KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã Bµi tËp 70 Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t t¹i A vµ B Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1) , (O2) lÇn lỵt t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iĨm cđa AC vµ AD 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng 2) Gäi M lµ giao diĨm cđa CO vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn mét ®êng trßn 3) E lµ trung ®iĨm cđa IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A T×m tËp hỵp ®iĨm E 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa d©y CD ®Ĩ d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 71 Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t t¹i D Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lỵt t¹i E vµ F 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng 2) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®êng th¼ng qua A ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 72 Cho ®êng trßn t©m O vµ c¸t tun CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) Tõ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung lín AB kỴ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ®êng th¼ng AB t¹i F 28 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73 Cho ∆ ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiÕp tun víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tun nµy c¾t t¹i M Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa O trªn MC CMR a/ MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cđa gãc AHB c/ Qua C kỴ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t MA, MB lÇn lỵt t¹i E, F Nèi EH c¾t AC t¹i P, HF c¾t BC t¹i Q Chøng minh r»ng QP // EF Bµi tËp 74 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i c¸c ®iĨm thø hai F , G Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn c) AC song song víi FG d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy Bµi tËp 75 Cho ®êng trßn t©m O Tõ mét ®iĨm P ë ngoµi ®êng trßn kỴ hai tiÕp tun ph©n biƯt PA, PC (A, C lµ tiÕp ®iĨm) víi ®êng trßn (O) a Chøng minh PAOC lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn b Tia AO c¾t ®êng trßn (O) t¹i B; ®êng th¼ng qua P song song víi AB c¾t BC t¹i D Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? c Gäi I lµ giao ®iĨm cđa OC vµ PD; J lµ giao ®iĨm cđa PC vµ DO; K lµ trung ®iĨm cđa AD Chøng tá r»ng c¸c ®iĨm I, J, K th¼ng hµng Bµi tËp 76 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O M lµ mét ®iĨm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kỴ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp · · = HMK 2) Chøng minh AMB 3) Chøng minh ∆ AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ABE vng cân 29 b, Chứng minh ABF BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh B vµ C ë trªn nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AD, t©m O Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i E Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E xng AD vµ I lµ trung ®iĨm cđa DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH néi tiÕp ®ỵc; b) E lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCH; c) N¨m ®iĨm B, C, I, O, H n»m trªn mét ®êng trßn Bµi tËp 79 Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t t¹i E H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa E trªn AD lµ F §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iĨm thø hai lµ M Giao ®iĨm cđa BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp 80 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC; ∠B > 45 ), mét ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi AB vµ AC lÇn lỵt t¹i B vµ C Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M (M kh«ng trïng víi B vµ C) råi h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, CA, AB a ChØ c¸ch dùng ®êng trßn (O) b Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp c Gäi P lµ giao ®iĨm cđa MB vµ IK; Q lµ giao ®iĨm cđa MC vµ IH Chøng minh PQ ⊥ MI Bµi tËp 81 Cho ∆ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R H¹ c¸c ®êng cao AD, BE cđa tam gi¸c C¸c tia AD, BE lÇn lỵt c¾t (O) t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ M, N Chøng minh r»ng: Bèn ®iĨm A,E,D,B n»m trªn mét ®êng trßn T×m t©m I cđa ®êng trßn ®ã MN// DE Cho (O) vµ d©y AB cè ®Þnh, ®iĨm C di chun trªn cung lín AB Chøng minh r»ng ®é dµi b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆CDE kh«ng ®ỉi 30 Bµi tËp 82 Cho ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn t©m O KỴ hai tiÕp tun AB , AC víi ®êng trßn (B , C lµ tiÕp ®iĨm ) M lµ ®iĨm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa M trªn c¸c ®êng th¼ng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iĨm cđa MB vµ DF ; K lµ giao ®iĨm cđa MC vµ EF 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK 2) T×m vÞ trÝ cđa M trªn cung nhá BC ®Ĩ tÝch MD ME lín nhÊt Bµi tËp 83 Cho ∆ ABC vng cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC H hình chiếu vng góc I đoạn DK a/Tứ giác AIMK hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường tròn Tìm tâm đường tròn c/ B, M, H thẳng hàng Bµi tËp 84 Cho tam gi¸c ABC (cã ba gãc nhän) Hai ®êng cao AD vµ BF gỈp t¹i H a/ Chøng minh tø gi¸c DHFC néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c b/ Gäi CK lµ ®êng cao cßn l¹i cđa tam gi¸c ABC; KD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c DHCF t¹i E Chøng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sư CH = AB TÝnh sè ®o cđa gãc ACB Bµi tËp 85 Cho tø gi¸c ABCD (AB // CD) néi tiÕp ®êng trßn (O) TiÕp tun t¹i A vµ tiÕp tun t¹i D cđa ®êng trßn (O) c¾t t¹i E Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD Chøng minh: ∠CAB = ∠AOD a b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ 31 đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Trªn AC lÊy mét ®iĨm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD a Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®êng trßn b Chøng minh AD.CD = ED.BD c Tõ D kỴ DK vu«ng gãc víi BC Chøng minh r»ng AB, DK, EC ®ång quy t¹i mét ®iĨm vµ ∠DKE = ∠ABE Bµi tËp 88 Tõ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn(O), ta kỴ c¸c tiÕp tun AB, AC tíi ®êng trßn (O) (B, C lµ c¸c tiÕp ®iĨm) M lµ mét ®iĨm trªn cung nhá BC, ( M ≠ B; M ≠ C) Tõ M h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK t¬ng øng xng BC, AC, AB Gäi P lµ giao cđa MB vµ IK; Q lµ giao cđa MC vµ IH a Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn b Chøng minh r»ng tia ®èi cđa tia MI lµ ph©n gi¸c cđa gãc KMH c Chøng minh PQ // BC Bµi tËp 89 Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R vµ hai ®êng kÝnh vu«ng gãc AB vµ CD Trªn AO lÊy ®iĨm E mµ OE = AO, CE c¾t (O) ë M a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø gi¸c MEOD néi tiÕp ®ù¬c X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c c Chøng minh hai tam gi¸c CEO vµ CDM ®ång d¹ng TÝnh ®é dµi ®êng cao MH cđa tam gi¸c CDM Bµi tËp 90 Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t t¹i A vµ B, tiÕp tun chung víi hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) vỊ phÝa nưa mỈt ph¼ng bê O1O2 chøa ®iĨm B, cã tiÕp ®iĨm thø tù lµ E vµ F Qua A kỴ c¸t tun song song víi EF c¾t ®êng trßn (O1), (O2) thø tù t¹i C, D §êng th¼ng CE vµ ®êng th¼ng DF c¾t t¹i I a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD b Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp c Chøng minh ®êng th¼ng AB ®i qua trung ®iĨm cđa EF 32 Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB (C ngồi đường tròn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F 4)Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 5)Chứng minh góc CAE góc MEB 6)Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, vÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F a Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b Chøng minh AE.AB = AF.AC c Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi tËp 93 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BC §iĨm A thc ®o¹n OB (A kh«ng trïng víi O vµ B), vÏ ®êng trßn (O') ®êng kÝnh AC §êng trßn ®i qua trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng AB vµ vu«ng gãc víi AB c¾t ®êng trßn (O) t¹i D vµ E Gäi F lµ giao ®iĨm thø hai cđa CD víi ®êng trßn (O'), K lµ giao ®iĨm thø hai cđa CE víi ®êng trßn (O') Chøng minh: a Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi b AF // BD c Ba ®iĨm E, A, F th¼ng hµng d Bèn ®iĨm M, F, C vµ E cïng thc mét ®êng trßn e Ba ®êng th¼ng CM, DK, EF ®ång quy Bµi tËp 94 Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t t¹i A vµ B §êng tiÕp tun víi (O') vÏ tõ A c¾t (O) t¹i ®iĨm M; ®êng tiÕp tun víi (O) vÏ tõ A c¾t (O') t¹i N §êng trßn t©m I ngo¹i tiÕp tam gi¸c MAN c¾t AB kÐo dµi t¹i P a Chøng minh r»ng tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh b Chøng minh r»ng ®iĨm O, B, I, O' n»m trªn mét ®êng trßn c Chøng minh r»ng: BP = BA Bµi tËp 95 Tõ ®iĨm P n»m ngoµi ®êng trßn (O), kỴ hai tiÕp tun PM vµ PN víi ®êng trßn (O) (M, N lµ tiÕp ®iĨm) §êng th¼ng ®i qua ®iĨm P c¾t ®êng trßn (O) t¹i hai ®iĨm E vµ F §êng th¼ng qua O song song víi PM c¾t PN t¹i Q Gäi H lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n EF Chøng minh r»ng: a Tø gi¸c PMON néi tiÕp ®êng trßn b C¸c ®iĨm P, N, O, H cïng n»m trªn mét ®êng trßn 33 c Tam gi¸c PQO c©n d PM2 = PE.PF e ∠PHM = ∠PHN Trªn ®©y lµ chuyªn ®Ị hƯ thèng c¸c bµi tËp chøng minh tø gi¸c néi ngo¹i tiÕp ®êng trßn mµ b¶n th©n t«I ®· k× c«ng biªn so¹n, chuyªn ®Ị nµy rÊt cã Ých víi b¶n th©n t«I, hy väng sÏ cã Ých víi b¹n bÌ ®ång nghiƯp vµ c¸c em häc sinh Trong qu¸ tr×nh biªn so¹n ch¾c sÏ gỈp sai sãt, rÊt mong ý kiÕn ®ãng gãp cđa c¸c b¹n ®ång nghiƯp Xin ch©n thµnh c¶m ¬n / B¾c k¹n ngµy 15 th¸ng n¨m 2011 Ngêi viÕt Ph¹m V¨n B¶y 34 [...]... góc nội tiếp chăn1/4 đường tròn) Kết luận tam giác MNS là tam giác gì? ( cân?), suy ra điều cần chứng minh b/ HS tự chứng minh 2 tam giác đề ra là đồng dạng( trường hợp góc-góc) c/ Do tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT( ch minh trên) · · · = ·NTQ ( 1) nên TMN = TNQ ( 1) và QNM Mà góc SPQ có bằng góc QNM khơng?( nhớ lại định lý về góc ngồi tại 1 đỉnh của tứ giác nội tiếp để trả lời- Tứ giác MPQN nội. .. gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 27 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung OK điểm của BC Tính tỉ số BC khi tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm ,... Tứ giác MPQN nội tiếp phải khơng?)(2) Từ (1) và (2) có thể kết luận góc NTQ bằng góc SPQ khơng? Xét vị trí hai góc này đối với tứ giác PQTS để kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp được hay khơng ( dựa vào dấu hiệu 2) Bài 9: Cho tam giác ABC vng tại A Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D Trên cung AD lấy một điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC tại F Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp @ Gợi ý: Chứng... Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngồi đường tròn) Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F 4)Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp 5)Chứng minh góc CAE bằng góc MEB 6)Chứng minh: CE .CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa... 2 BC 4 Chøng minh DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) 5 TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm Bµi tËp 16 Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C Vẽ CD ⊥ AB; CE ⊥ MA; CF ⊥ MB Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được b) CD2 = CE.CF c) IK ⊥ CD Bµi tËp 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC néi tiÕp ®êng... ED cắt AB tại M a/ Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì? b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E @ Gợi ý: Câu a: Góc CEF là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn; góc FCE là góc nội tiếp chắn cung ED Lập các biểu thức về số đo các góc đó, so sánh để thấy 2 góc đó bằng nhau Kết luận tam giác CEF là tam giác gì? ( Cân?) - Chứng minh tương tự đối với tam giác EMB - Từ đó suy ra EC... tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A Trên d lấy điểm H khơng trùng với điểm A và AH ... thành tứ giác nội tiếp y 3.Bµi tËp Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối 180 tứ giác nội tiếp đường tròn (định lý trang 88 SGK Tốn tập 2) Hay tứ giác có góc ngồi góc đối diện với góc kề tứ giác nội. .. sau: Góc ngồi đỉnh tứ giác nội tiếp góc đỉnh đối đỉnh (Định lý) - Góc FQE góc ngồi đỉnh Q tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc EQF góc nào? Và độ? - Góc EPF góc ngồi đỉnh P tứ giác nội tiếp APFD nên góc... cắt đường tròn B C; tiếp tuyến đường tròn B C cắt xy D E Chứng minh tứ giác ODAB OCEA nội tiếp Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB vng góc với BD (tiếp tuyến vng góc với bán kính tiếp điểm ) => góc