1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

CHUYÊN ĐỀ HỆ THỐNG BÀI TẬP CM TỨ GIÁC NỘI,NGOẠI TIẾP

34 637 7

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 34
Dung lượng 467,5 KB

Nội dung

Chuyên đề: hệ thống hoá các dạng bài tập về tứ giác nội, ngoại tiếp đờng tròn I Các kiến thức cần nhớ 1 Khái niệm: O A - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 18

Trang 1

Chuyên đề: hệ thống hoá các dạng bài tập

về tứ giác nội, ngoại tiếp đờng tròn

I) Các kiến thức cần nhớ

1) Khái niệm:

O A

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác

đó nội tiếp đờng tròn

3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp

đờng tròn.

- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc)

Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc α

- Sử dụng định lí đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn

- Sử dụng định lí : Tổng 2 cạnh đối của một tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó ngoại tiếp một đờng tròn

- Trờng hợp chứng minh một đa giác ngoại tiếp một đờng tròn ta phảI chứng minh các đờng phân giác trong của đa giác đó đồng quy tại một

điểm

Trang 2

- Dựa vào định nghĩa : PhảI chứng minh đợc các cạnh của đa giác tiếp xúc với một đờng tròn

II) Bài tập

1 Bài toán 1.( Bài toán 5 trang 49 – SGK Hình học 9)

Cho tam giác ABC, các đờng phân giác của góc trong tại B và C gặp nhau tại

S, các đờng thẳng chứa phân giác của 2 góc ngoài B và C gặp nhau tại E Chứng minh rằng BSCE là một tứ giác nội tiếp

Phân tích, tìm lời giải

Muốn chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp ta cần chứng minh theo định lí :

Tứ giác BSCE có tổng hai góc đối bằng 1800

Trang 3

Khai thác bài toán

Nhận xét 3.

Theo chứng minh trên thì O nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC mặ khác S là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và E là tâm đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC nên cũng có thể diễn đạt nhận xét 2 nh sau: Chứng minh rằng đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp với tâm

đờng tròn bàng tiếp của tam giác bị đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy chia thành hai phần bằng nhau

Nhận xét 4

Từ kết quả chứng minh đợc ở nhận xét 3 ta có bài toán sau: Gọi O, O1,O2 là trung điểm của các đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với

trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trang 4

Nhận xét 5

Dựa vào kết quả đã chứng minh đc ở nhận xét 4, ta thấy khi biết đợc S và E

ta xác định đợc O Gọi T là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có TB

= TO = TC có nghĩa là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC xác định

đợc Mặt khác OS = OB = OC lên suy ra cách xác định B,C và sau đó dễ

dàng xác định đợc A, ta có bài toán dung hình sau:

Dựng tam giác ABC cho biết T là tâm đờng tròn ngoại tiếp , S là tâm đờng

tròn nội tiếp và E là tâm đờng tròn bàng tiếp trong góc A

2.Bài tập 2

Lợi dụng cỏc tam giỏc vuụng cú cạnh huyền chung

Nếu hai hay nhiều tam giỏc vuụng cú cạnh huyền chung thỡ ta cú thể

chứng minh đa giỏc tạo thành bởi cỏc đỉnh của cỏc tam giỏc đú nội tiếp

trong đường trũn

Vớ dụ minh hoạ: Cho đường trũn tõm O và đường thẳng xy khụng cắt

đường trũn đú Từ O hạ OA vuụng gúc xy (A∈ xy); từ A kẻ một cỏt tuyến

bất kỳ cắt đường trũn tại B và C; tiếp tuyến của đường trũn tại B và C cắt xy

ở D và E Chứng minh cỏc tứ giỏc ODAB và OCEA nội tiếp được

Gợi ý: Xột tứ giỏc ODAB cú OB

vuụng gúc với BD (tiếp tuyến vuụng gúc với

bỏn kớnh tại tiếp điểm ) => gúc OBD = 900

và cú thờm gúc OAD = 900 (gt) => tứ giỏc

ODAB nội tiếp (A và B nhỡn đoạn OD dưới

gúc 900 khụng đổi)

Dễ dàng chỉ ra được tõm đường trũn

ngoại tiếp tứ giỏc này là trung điểm của DO

-Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp

được

Hóy giải tương tự 3 bài tập sau:

a) Từ một điểm M ở ngoài đường trũn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB

và cỏt tuyến MCD của đường trũn đú Gọi I là trung điểm của dõy CD

Chứng minh 5 điểm M, A, O, I, B thuộc một đường trũn

b) Chứng minh rằng nếu từ một điểm vẽ cỏc tiếp tuyến với hai đường

trũn đồng tõm thỡ tất cả cỏc tiếp điểm tạo thành một tứ giỏc nội tiếp

y x

Trang 5

Gợi ý:

Cách 1: Để chứng minh tứ giác

DFGE nội tiếp được ta cần chúng minh

góc D + góc G1 = 1800 Vậy thử xét quan

hệ giữa tổng số đo hai góc này với số đo

các cung có liên quan như thế nào ? Ta có

góc D =

2

1

sđ cung AE (số đo góc nội tiếp

bằng nữa số đo cung bị chắn) => góc D =

(sđ cung AC + sđ cung CE) : 2 (vì C

thuộc cung AE) (1) Còn góc G1 = (sđ

cung AC + sđ cung BDE) : 2 (G là góc có

đỉnh ở bên trong đường tròn) => góc G1 =

(sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung

DE) : 2 = (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung

DE) : 2 (vì cung AB = cung AC) (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có góc D +

góc G1 = 3600 : 2 = 1800 = > DFGE nội

tiếp được

Cách 2: Ta có thể chứng minh góc D = góc G2 mà góc G1 + G2 = 1800

(hai góc kề bù) => góc D + góc G1 = 1800 => điều phải chứng minh

Các em có thể áp dụng phương pháp này để làm các bài tập 54, 58 (SGK Toán 9 tập 2).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B ở E và F, cắt đường tròn ở C và D Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được

Để chứng minh tứ giác CDFE nội

tiếp được ta cần chứng minh góc E2 + góc E

C

O .

1 G 2

Trang 6

Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai

đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên

AD và BC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD

b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA ID = IB IC

Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh

Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:

Bài 2: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn Một cát

tuyến qua A cắt (O) tại B và C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn

Hướng dẫn giải:

Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC

Thật vậy ta có:

Trang 7

(hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng APO)(tam giỏc APB và ACP đồng dạng).

Từ đú ta cú , theo bài 1 ta cú điều cần chứng minh

Bài 3: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC) Đường trũn tõm O tiếp xỳc với

AB tại B và tiếp xỳc với AC tại C Gọi H là giao điểm của OA và BC Vẽ dõy cung DE của (O) đi qua H Chứng minh rằng tứ giỏc ADOE nội tiếp

Hướng dẫn giải

Tam giỏc OCA vuụng tại C, CH là đường cao nờn ta cú:

Dõy cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nờn ta cú

Từ đú ta cú , chứng minh tương tự bài 1 ta cú tứ giỏc ADOE nội tiếp

III Các bài tập yêu cầu HS vận dụng kiến thức đã đợc trang bị để luyện tập

1 Các bài tập có hớng dẫn tìm lời giải

Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong đường trũn tõm I; bỏn kớnh r Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giỏc ABC.

a/ Chứng minh tứ giỏc APIH nội tiếp được trong đường trũn tõm

K Xỏc định tõm K của đường trũn này.

b/ Chứng minh hai đường trũn ( I ) và ( K ) tiếp xỳc nhau.

@ Gợi ý:

a/ Chỳng minh IP AC ⇒àp= 90 0 Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường trũn ( H P+ =à 1800)

Trang 8

- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính

AI Chứng minh tương tự đối với điểm H Từ đó xác định được tâm K ( là trung điểm đoạn AI ).

( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB

dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2

trang 85)

b/ Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:

- Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hia tâm bằng tổng hai bán kính OO’ = R + r

- Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính OO’ = R – r> 0

- Tính IK để kết luận (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.

Bài 2: CHo đường tròn tâm O, đường kính AB cố định Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 23AO Kẻ dây MN AB tại I Gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC, cắt MN tại E.

a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn Xác định tâm đường tròn này.

b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Và chứng minh AM2 =AE AC

c/ Chứng minh AE AC AI IB AI − = 2

@ Gợi ý:

câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở bài 1 ở trên.

Câu b, c : HS tự ch minh

* Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A ( µA<900) Đường vuông góc với

AB tại A cắt đường thẳng BC tại E Kẻ EN AC Gọi M là trung điểm của BC Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.

a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong đường tròn Xác định tâm các đường tròn này.

b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.

@ Gợi ý:

a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMNE nội tiếp.

b/ Tính ·AEB MAE+· =? và tính ·BAM MAE+· =? So sánh ·AEB và

·BAM So sánh ·BAM và ·MAC ( 1)

- Tứ giác AMNE nội tiếp nên ·MAC và ·MEN thế nào với nhau, vì sao

( 2)

Từ ( 1) và ( 2) nêu ra kết luận.

Trang 9

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax và Ay sao cho ·xAy=450 Tia

Ax cắt CB và ND lần lượt tại E và P Tia Ay cắt CD và BD lần lượt tại F

và Q.

a/ Chứng minh EBAQ và FDAP nội tiếp được trong đường tròn b/ Chúng minh năm điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.

@ Gợi ý:

a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD là đường chéo của hình vuông ABCD nên ·DBC= ? - Dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh EBAQ nội tiếp ( Hướng dẫn HS lập luận như sau: Hai đỉnh A và B của hai góc QAE và BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh còn lại của tứ giác EBAQ cùng dưới một góc 45 0 nên EBAQ nội tiếp được trong đường tròn.

- Chứng minh tương tự đối với tứ giác FPAD.

b/ Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.

HS cần nắm được kiến thức sau: Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội

tiếp thì bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó (Định lý)

- Góc FQE là góc ngoài tại đỉnh Q của tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc EQF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?

- Góc EPF là góc ngoài tại đỉnh P của tứ giác nội tiếp APFD nên góc EPF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?

- Xét các điểm P, Q, C có cùng nhìn đoạn thẳng EF dưới cùng một góc vuông không? Vậy P, Q, C thuộc đường tròn nào? Từ đó kết luận 5 điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 5:Cho đường tròn ( O;R) và đường thẳng xy cách tâm O một

khoảng OK= a ( 0 < a < R ) Từ một điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) ( B, C là các tiếp điểm; O và B nằm cùng phía với xy)

a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D

Câu c: dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMKS nội tiếp.

Bài 6: Từ một điểm A ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm) Trên tia đối của tia BC, lấy điểm

Trang 10

D Gọi E là giao điểm của DO và AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), có tiếp điểm là M; tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở

a/Chứng minh HK EB

b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được trong một đường tròn.

@ Gợi ý:

Câu a/ B thuộc nửa đường tròn đường kính AI ⇒·AIB=?0

- Chúng minh HK là đường trung bình của hình thang EBOI, từ đó kết luận HK EB

Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân tại K để suy ra ·BEK EBK= ·

(1)

- Chứng minh ·EBK =·AKC (2)

- Từ (1) và (2) suy ra ·BEKACK

Góc BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng góc ACK ( là góc tại đỉnh đối của đỉnh E) Do đó, căn cứ vào dấu hiệu 2, kết luận AEKC nội tiếp được trong đường tròn.

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx và lấy điểm P chính giữa nửa đường tròn Trên cung PN, lấy điểm Q

( không trùng với P, N ) Các tia MP và MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ

tự tại S và T.

a/ Chứng minh NS và MN.

b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.

c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.

@ Gợi ý:

Trang 11

a/ Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn, vậy góc PMN bằng bao nhiêu độ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 đường tròn) Kết luận tam giác MNS là tam giác gì? ( cân?), suy ra điều cần chứng minh.

b/ HS tự chứng minh 2 tam giác đề ra là đồng dạng( trường hợp góc-góc).

c/ Do tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT( ch minh trên)

nên TMN TNQ· =· ( 1) và QNM· =·NTQ ( 1)

Mà góc SPQ có bằng góc QNM không?( nhớ lại định lý về góc ngoài tại 1 đỉnh của tứ giác nội tiếp để trả lời- Tứ giác MPQN nội tiếp phải không?)(2)

Từ (1) và (2) có thể kết luận góc NTQ bằng góc SPQ không? Xét vị trí hai góc này đối với tứ giác PQTS để kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp được hay không ( dựa vào dấu hiệu 2)

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D Trên cung AD lấy một điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.

Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.

@ Gợi ý:

Chứng minh tương tự bài 7.

Bài 10:Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:

Cho đường tròn tâm O Kẻ đường kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ CB EA cắt CD tại F; ED cắt AB tại M.

a/ Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì?

b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E.

- Chứng minh tương tự đối với tam giác EMB.

- Từ đó suy ra EC = EB = EF = EM Dựa vào dấu hiểu để kết luận điều phải chứng minh.

Trang 12

2 Các bài tập đề nghị HS về nhà tìm lời giải

Bài tập 1

Cho ∆ABC vuông ở A Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính

MC Kẻ BM cắt đờng tròn tại D Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp

b) A BDã =A CDã

c) CA là phân giác của ãSCB

Bài tập 2

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC

và BD cắt nhau tại E Vẽ EF vuông góc với AD Chứng minh:

a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp

a) CEFD là tứ giác nội tiếp b

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM

c) BE DN = EN BD

Bài tập 4

Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B Đờng tròn

đờng kính BD cắt BC tại E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G Chứng minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn

c) AC song song với FG

Trang 13

d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy

Bài tập 5

Cho tam giác vuông ABC (∠ =A 900; AB > AC) và một điểm M nằm trên

đoạn AC (M không trùng với A và C) Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB Chứng minh:

a Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn

a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn

b/ Chứng minh LA là phân giác của ãMLN

c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA Chứng minh MA2 = AI.AL

d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O) Chứng minh rằng KN // AQ.e/ Chứng minh ∆KLN cân

Bài tập 7

Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH <R Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

1 Chứng minh gúc ABE bằng gúc EAH và tam giỏc ABH đồng dạng với tam giỏc EAH

2 Lấy điểm C trờn d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K Chứng minh AHEK là tứ giỏc nội tiếp

3 Xỏc định vị trớ điểm H để AB= R

Bài tập 8

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao

AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P

Chứng minh rằng:

1 Các tứ giác AEHF, nội tiếp

2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn

3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

4 H và M đối xứng nhau qua BC

Trang 14

5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài tập 9

Cho ∆ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O Gọi

E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M,

N thứ tự là trung điểm của BC, AB Chứng minh:

a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD

b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆HEF

Bài tập 10

Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đờng tròn Vẽ ccs tiếp tuyến

AB, AC và cát tuyến ADE với đờng tròn ( B và C là các tiếp điểm) Gọi Hlà trung điểm của DE

a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn Xác định tâm của

đờng tròn này

b) Chứng minh: HA là tia phân giác ãBHC.

c) Gọi I là giao điểm của BC và DE Chứng minh: AB2 = AI.AHd) BH cắt (O) tại K Chứng minh: AE // CK

Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C

và D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B

Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó Trên nửa mặt phẳng

bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P

1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn

2) Chứng minh AI.BK = AC.CB

Trang 15

3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.

Bài tập 14

Cho ∆ABC vuông tại A Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F

a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật

b) Chứng minh:BEFC là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF

d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC

4 Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)

5 Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm

Bài tập 16

Từ điểm M ngoài đường trũn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB Trờn cung nhỏ AB lấy 1 điểm C Vẽ CD⊥ AB; CE ⊥MA; CF ⊥MB Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF Chứng minh rằng:

a) Tứ giỏc AECD; BFCD nội tiếp được

c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc

d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ?

Bài tập 18

Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên

đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là

Trang 16

trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥

MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB

1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp

2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn

3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2

4 Chứng minh OAHB là hình thoi

5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng

6 Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d

Bài tập 19

Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đờng tròn (O) bất

kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)) Kẻ từ các tiếp tuyến AE

và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC; K là trung

điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D Chứng minh:

1 AE2 = AB.AC

2 Tứ giác AEOF

3 Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn

4 ED song song với Ac

5 Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng thẳng cố định

Bài tập 20

Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và A =à 450 Vẽ đờng cao BD và CE của

∆ABC Gọi H là gia điểm của BD và CE

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp

b) Tính tỉ số

DE BC

c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh OA ⊥ DE

Bài tập 21

Cho tam giác nhọn PBC Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC ờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC ở điểm thứ hai E

Đ-a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn Hãy xác định tâm và bán kính đờng tròn ấy

b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC

c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE

Bài tập 22

Cho tam giác vuông ABC (∠ =A 900); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C) Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ

Trang 17

hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng với D) Chứng minh:

a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC

b Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn

c AC là tia phân giác của góc EAF

Bài tập 23

Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E Gọi I là giao

điểm của hai đờng chéo AC và BD

a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp

1

= +

Bài tập 24

Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I là giao

điểm của Fx và Ey

a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn

b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?

c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào?

Bài tập 25

Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A khác B và C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đ-ờng kính HC cắt AC tại F

a Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?

b Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp

c Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R

Bài tập 26

Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó Một đờng tròn (O) thay đổi

đi qua hai điểm M, N Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O)

a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua

M, N thì T, T’ thuộc một đờng tròn cố định

Ngày đăng: 07/11/2015, 00:33

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w