Chuyên đề Hệ Phương Trình Đại Số luyện thi ĐH

wWw.VipLam.Info Chuyờn : H PHNG TRèNH I S NHNG NI DUNG C BN I H phng trỡnh i xng loi 1: Phn 1- nh ngha chung: Da vo lý thuyt a thc i xng Phng trỡnh n n x1, x2, , xn gi l i xng vi n n nu thay xi bi xj; xj bi xi thỡ phng trỡnh khụng thay i Khi ú phng trỡnh luụn c biu din di dng: x1 + x2 + + xn x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn x1x2 xn H phng trỡnh i xng loi mt l h m ú gm cỏc phng trỡnh i xng gii c h phng trỡnh i xng loi ta phi dựng nh lý Viột * Nu a thc F(x) = a0xn + a1xn1 + an, a0 0, P cú nhgim trờn P l c1, , cn thỡ: a1 c1 + c2 + + cn = a a2 c1c2 + c1c3 + + c1cn + c2 c1 + c2 c3 + + cn -1cn = a0 n an c1c1 cn = ( 1) a0 (nh lý Viột tng quỏt) Phn H phng trỡnh i xng loi hai n: A Lí THUUYT nh lý Viột cho phng trỡnh bc 2: Nu phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = cú hai nghim x1, x2 thỡ: b S = x1 + x2 = a P = x x = c a x1 + x2 = S Ngc li, nu s x1, x2 cú thỡ x1, x2 l nghm ca phng trỡnh X2 SX + P = x1 x2 = P nh ngha: f ( x, y ) = f ( x, y ) = f ( y , x ) , ú g ( x, y ) = g ( x, y ) = g ( y , x ) 3.Cỏch gii: Bc 1: t iu kin (nu cú) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v S P Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh Gii h tỡm S, P ri dựng Viột o tỡm x, y Chỳ ý: + Cn nh: x2 + y2 = S2 2P, x3 + y3 = S3 3SP + ụi ta phi t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv + Cú nhng h phng trỡnh tr thnh i xng loi sau t n ph Bi tp: Loi 1: Gii h phng trỡnh x y + xy = 30 Vớ d Gii h phng trỡnh x + y = 35 Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info GII t S = x + y, P = xy , iu kin S P H phng trỡnh tr thnh: ỡù ùù P = 30 ùỡù SP = 30 ùỡ S = ùỡ x + y = ùỡ x = ùỡù x = ù ùớ ổ S ùớ ùớ ùớ ớ ùù S(S - 3P) = 35 ùù ỗ 90ữ ùù P = ùù xy = ùù y = ùù y = ợ S ợ ợ ợ ợ ữ= 35 ùù Sỗ ữ ố Sứ ùợ ỗ xy ( x y ) = Vớ d Gii h phng trỡnh x y = GII t t = y , S = x + t , P = xt , iu kin S P H phng trỡnh tr thnh: ỡù xt(x + t) = ỡù SP = ỡù S = ỡù x = ỡù x = ùớ ùớ ùớ ùớ ùớ ùù x3 + t3 = ùù S3 - 3SP = ùù P = ùù t = ùù y = - ợ ợ ợ ợ ợ x + y + + = x y Vớ d Gii h phng trỡnh x2 + y + + = x2 y GII iu kin x 0, y 1ử ổ 1ử ùỡù ổ x+ ữ y+ ữ ữ+ ỗ ữ= ỗ ỗ ùù ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố xứ ố yứ ù H phng trỡnh tng ng vi: 2 ùù ổ ổ 1ử 1ử ữ ữ ỗ ỗ y+ ữ ùù ỗx + ữ ỗ ữ +ố ữ=8 ỗ ỗ xứ yứ ùợ ố ổ ổ 1ử ổ 1ử ửổ 1ử x+ ữ y+ ữ x+ ữ y+ ữ ữ+ ỗ ữ, P = ỗ ữỗ ữ, S 4P ta cú: t S = ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữỗ ữ ố ố ố xứ yứ x ứố yứ ỡù ổ ỡù 1ử ổ 1ử ùù ỗ ùù x + = x+ ữ +ỗ y+ ữ =4 ữ ữ ỗ ỗ ỡù S = ỡù S = ữ ữ ỗ ỗ ù ố ứ ố ứ ù x y ùớ x ùớ ùớ ổ ửổ ùù S - 2P = ùù P = ùù ỗ ữỗ 1ữ ùù ợ ợ y + = x + y + = ữỗ ữ ùù ỗ ùù ữ ữ ỗ y ố x ứố yứ ùợ ùợ ỗ ỡ ùớù x = ùù y = ợ 2 x + y + xy = (1) Vớ d Gii h phng trỡnh (2) x + y = GII iu kin x, y t t = xy , ta cú: xy = t2 v (2) ị x + y = 16 - 2t Th vo (1), ta c: t2 - 32t + 128 = - t t = Suy ra: ỡù xy = 16 ỡù x = ùớ ùớ ùù x + y = ùù y = ợ ợ Loi 2: iu kin tham s h i xng loi (kiu) cú nghim Phng phỏp gii chung: + Bc 1: t iu kin (nu cú) + Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v S P (*) Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info + Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh Gii h tỡm S, P theo m ri t iu kin (*) tỡm m Chỳ ý: Khi ta t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv thỡ nh tỡm chớnh xỏc iu kin ca u, v Vớ d (trớch thi H D 2004) Tỡm iu kin m h phng trỡnh sau cú nghim thc: x + y =1 x x + y y = 3m GII x , y iu kin ta cú: ỡù x + y = ỡù x + y = ùớ ùớ ùù x x + y y = - 3m ùù ( x)3 + ( y)3 = - 3m ợù ợù t S = x + y 0, P = xy , S 4P H phng trỡnh tr thnh: ùỡù S = ùỡ S = ùớ ùù S - 3SP = - 3m ùù P = m ợ ợ T iu kin S 0, P 0, S2 4P ta cú Ê m Ê x + y + xy =m Vớ d Tỡm iu kin m h phng trỡnh cú nghim thc x y + xy = 3m GII ùỡù x + y + xy = m ùỡ (x + y) + xy = m ùớ ùù x y + xy = 3m - ùù xy(x + y) = 3m - ợ ợ ùỡ S + P = m t S = x + y, P = xy, S2 4P H phng trỡnh tr thnh: ùớ ùù SP = 3m - ợ Suy S v P l nghim ca phng trỡnh t2 - mt + 3m - = ỡù S = ỡù S = m - ị ùớ ùớ ùù P = m - ùù P = ợ ợ ộ32 4(m - 3) 21 T iu kin ta suy h cú nghim ờ(m - 3)2 12 m Ê m + x + y = Vớ d Tỡm iu kin m h phng trỡnh cú nghim x + y = 3m GII t u = x - 0, v = y - h tr thnh: ỡù u + v = ùù ùù uv = 21 - 3m ùợ 21 - 3m Suy u, v l nghim (khụng õm) ca t2 - 4t + = (*) H cú nghim (*) cú nghim khụng õm ỡù 3m - 13 ùỡù D / ùù ùù 13 ù ớS Ê m Ê ùù ùù 21 - 3m ùù P ùù ợ ùợ ỡù u + v = ùớ ùù u2 + v2 = 3m - ợ Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info x + y + x + y = 10 Vớ d Tỡm iu kin m h phng trỡnh cú nghim thc xy ( x + 4)( y + 4) = m GII ỡù (x2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 ỡù x2 + y2 + 4x + 4y = 10 ùớ ớù ùù xy(x + 4)(y + 4) = m ùù (x + 4x)(y2 + 4y) = m ợ ợ t u = (x + 2)2 0, v = (y + 2)2 H phng trỡnh tr thnh: ùỡù u + v = 10 ùỡ S = 10 ùớ (S = u + v, P = uv) ùù uv - 4(u + v) = m - 16 ùù P = m + 24 ợ ợ ỡù S2 4P ùù iu kin ùớ S - 24 Ê m Ê ùù ùù P ợ Loi 3: Mt s bi toỏn gii bng cỏch a v h phng trỡnh Vớ d Gii phng trỡnh: x + x = GII u+v = u + v = x = u u + v = 2 t: Vy ta cú h: 19 x = v u + v3 = u.v = (u + v) (u + v) 3uv = 36 19 =0 u, v l hai nghim ca phng trỡnh: X - X + 36 9+ x = + ữ 12 ữ u = 12 9- 9- u = x = ữ 12 ữ 12 + Vy phng trỡnh cú hai nghim: {x} = ữ ữ; 12 B BI TP ữ ữ 12 I Gii cỏc h phng trỡnh sau: x + y = 1) 6 x + y = x + y = 2) 2 x x y + y = 13 x + y = 4) x + y + xy = x + x + y + y = 18 5) xy ( x + 1)( y + 1) = 72 1 x + y + x + y = 7) x2 + y + + = x2 y x y + = +1 x x y 8) y x xy + y xy = 78 x y + y x = 30 3) x x + y y = 35 ( x + y ) + ữ = xy 6) x + y + = 49 ữ x2 y ( ) x + y = 9) 2 3 x + y x + y = 280 ( Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s )( ) wWw.VipLam.Info x + y = 10) 3 x x = y y II Gi h phng trỡnh cú tham s: Tỡm giỏ tr ca m: ( x + y ) xy = a) cú nghim x + y xy = m x + y + xy = m + b) cú nghim nht x y + xy = m + ( x + y ) = c) cú ỳng hai nghim x + y = ( m + 1) x + xy + y = m (1II) x + y = m a Gii h phng trỡnh m = b Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim x + xy + y = m (7I) x y + xy = 3m a Gii h phng trỡnh m = 7/2 b Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim x + xy + y = m + (40II) x y + xy = m a Gii h phng trỡnh m=2 b Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x;y) vi x >0, y >0 III Gii phng trỡnh bng cỏch a v h phng trỡnh: Gii phng trỡnh: x + 18 x = Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim: a x + + x = m b m x + m + x = m c x + + x = m Phn H phng trỡnh i xng loi ba n: (c thờm) a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với phơng trình hệ đối xứng b Định lý Vi-et cho phơng trình bậc 3: x + y + z = Cho số x, y, z có: xy + yz + zx = xyz = Thì x, y, z ;à nghiệm phơng trình X3 - X2 + X - = (*) Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = [ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = X3 - X2 + X - = (*) có nghiệm x, y, z phơng trình X3 - X2 + X - = có nghiệm x, y, z c.Cách giải: + Do phơng trình hệ đối xứng nên ta viết đợc dới dạng , , x + y + z = Khi ta đặt xy + yz + zx = xyz = Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info Ta đợc hệ , , + Giải phơng trình X3 - X2 + X - = (1) tìm đợc nghiệm (x, y, z) hệ Chú ý: (1) có nghiệm hệ vô nghiệm (1) có nghiệm kép hệ có nghiệm (1) có nghiệm : nghiệm kép, nghiệm đơn hệ có nghiệm (1) có ngiệm hệ có nghiệm d Bài tập: x + y + z = 2 VD1: Giải hệ: x + y + z = x + y3 + z3 = Giải: áp dụng đẳng thức ta có: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz Vậy = 22 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2 t = x, y, z nghiệm phơng trình:t3 - 2t2 - t + = t = - t = Vậy hệ có cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1) x + y + z = (1) VD2: Giải hệ xy + yz + zx = 27 (2) 1 + + =1 (3) y z x xy + yz + zx =1 Giải: ĐK: x, y, z Từ (3) xyz Do (2) xyz = 27 x + y + z = Vậy hệ xy + yz + zx = 27 xyz = 27 Do (x; y; z) nghiệm phơng trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = (X - 3)3 = X = Vậy hệ có nghiệm (3; 3; 3) x + y + z = a VD3: Giải hệ x + y + z = a x + y3 + z3 = a Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = x + y + z = Vậy có: xy + yz + zx = xyz = Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info X = (x; y; z) nghiệm phơng trình: X3 - aX2 = X = a Vậy hệ có nghiệm {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lu ý giải hệ loại + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz hệ hệ nên tìm đợc nghiệm nên thử lại + Vì hệ đối xứng ẩn nên nghiệm có cặp nghiệm có x, y z nên giải hệ theo phơng trình cộng, x + y + z = (1) VD: xy + yz + zx = 27 (2) 1 + + =1 (3) y z x Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = không nghiệm hệ Với x 0, y 0, z 0, nhân hai vế (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4) Từ (2) (4) xyz = 27 (5) Từ (2) x2(y + z) + xyz = 27x (6) Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 - x) + 27 - 27x = x3 - 9x2 + 27x - 27 = (x - 3)3 = x = y + z =6 Thay x = vào (1), (5) ta có: y = z = yz = Vậy hệ có nghiệm x = y = z = II H phng trỡnh i xng loi 2: H phng trỡnh i xng loi hai n: A nh gha: f ( x, y ) = ( ) f ( y , x) = ( ) Cỏch gii: Ly (1) (2) hoc (2) (1) ta c: (xy)g(x,y)=0 Khi ú xy=0 hoc g(x,y)=0 + Trng hp 1: xy=0 kt hp vi phng trỡnh (1) hoc (2) suy c nghim + Trng hp 2: g(x,y)=0 kt hp vi phng trỡnh (1) + (2) suy nghim (trong trng hp ny h phng trỡnh mi tr v h i xng loi 1) v thụng thng vụ nghim B Cỏc vớ d: x3 = x + y ( 1) Vớ d 1: Gii h phng trỡnh (I) y = y + x ( ) GII 2 Ly (1) (2) ta c: (x - y)(x + xy + y + 5) = x = x = 3x + 8y x - 11x = x = 11 Trng hp 1: (I) x = y x = y x = y x +xy+y +5=0 Trng hp 2: (I) (h ny vụ nghim) 3 x +y =11( x+y ) Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim: { (x, y)} = { (0,0); ( } 11, 11); (- 11,- 11) Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info x + y = Vớ d 2: Gii h phng trỡnh y + x = GII t: x - = u 0; 4 y-1 =v0 4 u = x = u + + v = u + v = H phng trỡnh tr thnh (Do u, v 0) v = y = v + + u = v + u = Vy h cú nghim (1,1) x = y y + m Vớ d 2: Cho h phng trỡnh y = x x + m a Tỡm m h phng trỡnh cú nghim b Tỡm m h phng trỡnh cú nghim nht (I) 2 x = y x - y = y - y - x + x 2 x = y - y + m x = y - y + m Gii (I) x = y x = y 2 x = y - y + m x - 2x + m = x=-y x=-y x = y - y + m y + m = x ' - m m m0 a) H phng trỡnh cú nghim ' y - m m x ' = - m = ' y < - m < b) H phng trỡnh cú nghim nht - m < m = x ' < ' - m = y = Vy m = Vớ d 3: Gii phng trỡnh: x3 + = x GII t 2x - = t 2x - = t x + = 2t Ta cú h t + = 2x x + = 2t x - 2x + = 2 (x - t)(x + xt + t + 1) = x = t x = (x - 1)(x + x - 1) = -1 x = t x= -1 Vy phng trỡnh cú nghim: 1; C Bi tp: 1.Gii cỏc h phng trỡnh sau: Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info x + y = x a y + = x y x + y + = d y + x + = x + y = x b y + x = y2 x + y = e y + x = x + = y c y + = x x + + y = g y + + x = x ( x + y ) = 2m Cho h phng trỡnh y ( x + y ) = 2m a Gii h vi m = b Tỡm m h cú nghim nht 2 x = y + x mx Tỡm m h: cú nghim nht 2 y = x + y my Gii cỏc phng trỡnh: a x + x + = b x3 3 x + = Hệ phơng trình đối xứng loại 2, ẩn: (Đọc thêm) A Dùng chủ yếu phơng pháp biến đổi tơng đơng phép cộng Ngoài sử dụng đặc biệt hệ cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải B Ví dụ: x + 2yz = x (1) Giải hệ y + 2zx = y (2) z + 2xy = z (3) Giả cách cộng (1), (2), (3) lấy (1) trừ (2) ta có hệ cho tơng đơng với hệ x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = Hệ đơng tơng với hệ sau: x + 2yz = x x + 2yz = x (I) (II) x + y + z = x + y + z = x =y x + y - 2z - = x + 2yz = x x + 2yz = x (III) (IV) x + y + z = x + y + z = x =y x + y - 2z - = Giải (I): -1 x = x = x + 2yz = x x + 2yz = x x - 4x = x (I) 2y + z = z = - 2x z = - 2x z = - 2x x = y x = y x = y x = y -1 -1 Vậy (I) có nghiệm (0;0;0); ( ; ; ) 3 Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s wWw.VipLam.Info -1 -1 -1 -1 Làm tơng tự (II) có nghiệm ( ; ; );( ; ; ) 3 3 3 1 Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ( ; ; ) 3 Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0) Vậy hệ cho có nghiệm kể x + y2 + z = 2 VD2: Giải hệ phơng trình: x + y + z = x + y + z2 = Giải: Hệ x + y2 + z = (y - z)(y + z - 1) = (x - z)(x + z - 1) = x + y2 + z = (I) y=z x=z x + y2 + z = (III) z + y - = x = z x + y + z = y = z x + z - = x + y + z = z + y - = x + z - = (II) (IV) 1 Giải hệ phơng pháp đợc nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); ; ; ữ 2 VD4: Giải hệ: x2 = y + y = z +1 z2 = x +1 Giải: Xét hai trờng hợp sau: TH1: Trong số có nghiệm số nhau: x2 = x + Giả sử x=y có hệ y = z +1 z2 = x +1 1+ 1+ 1+ 5 Từ có nghiệm hệ (x;y;z) : ; ; ữ ữ; ; ; ữ ữ Tơng tự y=z, z=x ta đợc nghiệm nh TH2 : số x, y, z đôi khác Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 D = [ 1; + ) a) z , x>y>z f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(vô lý) b) z f(y) > f(z) y > z > x mâu thuẫn với (*) Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nh Vậy TH2 - hệ vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm (0; 0; 0) C Bài tập x = y3 + y + y y = z + z + z z = x3 + x + x 2 3(3 x 4) = x Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s 11 wWw.VipLam.Info y = x Hớng dẫn: Đặt z = y y = 3x Đa giải hệ z = y x = 3z xyz = x + y + z yzt = y + z + t ztx = z + t + x txy = t + x + y x = 3z x2 =y + x y =z + y 2z2 =x + z y x + 27 x 27 = z y + 27 y 27 = x z + 27 z 27 = III H phng trỡnh ng cp: F ( x, y ) = A Dng: , ú F ( kx, ky ) = k n F ( x, y ) ; G ( kx, ky ) = k m G ( x, y ) G ( x, y ) = B Cỏch gii: t y = tx (x 0) hoc x = ty (y 0) Vớ d: 2 x xy + y = ( *) Gi h phng trỡnh: 2 x xy + y = GII + Vi x = 0: H phng trỡnh ó cho vụ nghim ( ( ) ) x 2t + 3t = ( 1) + Vi x 0: t y = tx H phng trỡnh tng ng vi Ly (1)ữ(2) ta x 4t + 5t = ( ) c: 15t213t+2=0 t = ; t = Vi t = : ta cú y = x , thay vo (*) ta c nghim (3;2), (3;2) 2 2 1 ; ; ữ, ữ Vi t = : ta cú y = x , thay vo (*) ta c nghim ữ 2 ữ 5 Bi tp: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x + xy + y = 11 x xy y = 56 x3 + x y = 1) 2) 3) 2 x + xy + y = 25 x xy y = 49 y + xy = IV Mt s h phng trỡnh khỏc: Tng hp cỏc kin thc kt hp vi vic suy lun hp lý gii xy + x + y = x y ( x, y Ă ) x y y x = x y HD: Bin i phng trỡnh xy + x + y = x y (x + y)(x 2y 1) = Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s S: x = 5; y = 12 wWw.VipLam.Info x + x3 y + x y = x + ( x, y Ă ) x + xy = x + ( x + xy ) = x + 17 HD: Bin i h phng trỡnh thnh: S: x = 4; y = x + x2 xy = x + y + x y + xy + xy = x + y + xy ( + x ) = 2 x + y + xy x + y + xy = u = x + y HD: Bin i h phng trỡnh thnh: t: v = xy x + y + xy = x = x = S: y = 25 y = 16 1 x x = y y ( 1) y = x3 + + + ; ; ữ ữ HD: (1) ( x y ) + ữ = S: ( 1;1) , ữ, ữ 2 2 xy log ( y x ) log y = x + y = 25 3y HD: Tỡm cỏch kh logarit c: x = S: ( 3; ) y x = y x x + y = x + y + HD: y x = y x y x y x = S: ( 1;1) , ; ữ 2 y +2 y = x2 x = x + y2 ( ( ( ) ) ) HD: i xng loi S: ( 1;1) x + y = 3log ( x ) log y = HD: Tỡm cỏch kh logarit c: x = y S: ( 1;1) , ( 2; ) Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s 13 wWw.VipLam.Info x + y xy = x + + y + = HD: t t = xy , bỡnh phng hai v phng trỡnh th hai tỡm c t=3 S: ( 3; 3) 1 x + x + y + y = 10 Tỡm m h phng trỡnh ny cú nghim thc x3 + + y + = 15m 10 x3 y3 HD: t u = x + 1 , v = y + , iu kin u 2, v x y S: m 2, m 22 Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s 14 [...]... y = 1 x2 2y Hai phơng trình còn lại tơng tự ta có hệ phơng trình tơng đơng với: z = 2 1 y 2z x = 1 z2 Giả sử x > y > z (*) Xét hàm số: 2t f(t) = xác định trên D = R\ {1} 1 t2 2(t 2 + 1) f(t) = > 0 với mọi tD (1 t 2 ) 2 hàm số đồng biến trên D f(x) > f(y) > f(z) y > z > x mâu thuẫn với (*) Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nh nhau Vậy TH2 - hệ vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất... x = x (Vô địch Đức) Giải: TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau Giả sử x = y ta có hệ x 3 + 2 x x = 0 (1) 2 x z + 2 x z = 0 (2) z 2 x + 2 z x = 0 (3) Từ (1) x = 0, x = -1 x = 0 Thay vào (2), (3) z=0 x = -1 Thay vào (2), (3) vô lý Vậy hệ có nghiệm (0,0,0) Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0) TH2: 3 số đôi 1 khác nhau Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1 2 = 0 (vô lý)... 3 + z 2 + z 2 z = x3 + x 2 + x 2 2 2 3 3(3 x 2 4) 2 4 4 = x Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s 11 wWw.VipLam.Info y = 3 x 2 4 Hớng dẫn: Đặt 2 z = 3 y 4 y = 3x 2 4 Đa về giải hệ z = 3 y 2 4 x = 3z 2 4 xyz = x + y + z yzt = y + z + t 3 ztx = z + t + x txy = t + x + y x = 3z 2 4 2 x2 =y 2 1 + x 2 y 2 =z 5 2 1 + y 2z2 =x 1 + z 2 y 3 9 x 2 + 27 x 27 = 0 ... Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với phơng trình hệ đối xứng b Định lý Vi-et cho phơng trình bậc 3: x + y + z = Cho số x, y, z có: xy + yz + zx = xyz = Thì x, y, z ;à nghiệm phơng trình X3 - X2... đợc hệ , , + Giải phơng trình X3 - X2 + X - = (1) tìm đợc nghiệm (x, y, z) hệ Chú ý: (1) có nghiệm hệ vô nghiệm (1) có nghiệm kép hệ có nghiệm (1) có nghiệm : nghiệm kép, nghiệm đơn hệ có... ) 3 3 3 1 Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ( ; ; ) 3 Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0) Vậy hệ cho có nghiệm kể x + y2 + z = 2 VD2: Giải hệ phơng trình: x + y + z = x + y + z2 = Giải: Hệ x + y2