bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề hệ THỐNG bài tập áp DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI và NGUYÊN lí i NHIỆT ĐỘNG lực học CHO KHÍ lí TƯỞNG

Mục đích của đề tài: Xây dựng hệ thống bài tập “ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ LÍ TƯỞNG” để bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp.. Theo nguyên lí I

CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI NĂM 2013

HỆ THỐNG BÀI TẬP ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ LÍ TƯỞNG

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Việc viết chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi hàng năm là việc làm cần thiết đối với mỗi giáo viên đang giảng dạy ở trường chuyên Hưởng ứng phong trào viết chuyên đề của Hội trường chuyên Duyên hải, tôi xin được trao đổi với các đồng nghiệp về hệ thống bài tập nâng cao trong phần Nhiệt học Các bài tập này được sưu tầm và tích lũy từ nhiều nguồn khác nhau Các bài tập đều có đáp án chi tiết

II Mục đích của đề tài: Xây dựng hệ thống bài tập “ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH

TRẠNG THÁI VÀ NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ LÍ

TƯỞNG” để bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp

B PHẦN NỘI DUNG

Phần 1: Cơ sở lý thuyết

I Phương trình trạng thái

Phương trình Cla pê rôn - Men đê lê ep (phương trình C – M)

RT

m

pV



 ; R: hằng số của các khí R8,31J/mol.K

 Với lượng khí xác định (m,   cosnt ): const

T

pV

II Nguyên lí I

1 Công thức của nguyên lí I

A

Q



U

 : Độ biến thiên nội năng của hệ

Q: Nhiệt lượng mà hệ nhận được

A: Công mà hệ nhận được

2 Công và nhiệt lượng

a Công: Công A’ mà hệ sinh ra trong quá trình đẳng áp

) (

' p V2 V1

A 

Công A’ mà hệ sinh ra trong một quá trình cân bằng bất kì:





2

1

'

V

V

pdV

A

Có thể xác định A’ bằng đồ thị

Công mà hệ nhận được: A  A'

b Nhiệt lượng

+) Nếu truyền nhiệt lượng Qcho hệ làm nhiệt độ của hệ tăng lên dT thì tỉ số

dT

Q

C được gọi là nhiệt dung của hệ

+) C  C1mol; C1mol: nhiệt dung mol

+)C  mc; c: nhiệt dung riêng

+) Nhiệt dung phụ thuộc quá trình biến đổi của hệ VD: đối với 1 mol khí thì nhiệt dung mol đẳng áp Cp khác với nhiệt dung mol đẳng tích CV

3 Ứng dụng của nguyên lý I

a Độ biến thiên nội năng

Áp dụng nguyên lí I cho quá trình đẳng tích  Độ biến thiên nội năng của chất khí khi nhiệt độ của nó thay đổi từ T1 đến T2:

) (T2 T1

C

U  V 

R

i

C V

2

 ; i: Số bậc tự do

Với khí đơn nguyên tử: i 3

Với khí lưỡng nguyên tử: i  5

b) Hệ thức May – e giữa Cp và CV

R

C

C p  V 

c) Quá trình đoạn nhiệt cân bằng

const

pV 

i

i

C

C

V







III Áp dụng nguyên lí I cho chu trình

1 Chu trình là một quá trình mà trạng thái cuối trùng với trạng thái đầu Chu trình cân bằng có thể biểu diễn trên đồ thị bằng một đường cong khép kín Lượng khí biến đổi theo chu trình gọi là tác nhân

2 Theo nguyên lí I: U QAQ A'

mà U  0  Q  A': Tổng đại số nhiệt lượng nhận được Q = tổng đại số công sinh

ra A’

Công A’ mà tác nhân sinh ra có độ lớn bằng diện tích bao quanh bởi đường biểu diễn chu trình trong hệ (p,V), có dấu (+) nếu chu trình diễn biến theo chiều kim đồng hồ trên đường biểu diễn và ngược lại

3 Động cơ nhiệt

a Nguyên tắc hoạt động

Tác nhân nhận nhiệt lượng Q1 từ nguồn nóng biến một phần thành công A’ và tỏa nhiệt lượng Q' 2cho nguồn lạnh

b Hiệu suất

1

2 1

1

' '

Q

Q Q

Q

A

H   

Nhắc lại: Nhiệt lượng trong các quá trình

Nguồn nóng T1

Nguồn lạnh T2

Tác nhân

Q

1

Q

2 ’

A’

+) Quá trình đẳng nhiệt: Q  A'

 Khi dãn đẳng nhiệt thì khí nhận nhiệt , khi nén đẳng nhiệt thì khí tỏa nhiệt

+) Quá trình đẳng tích: Q U

 Khi nung nóng đẳng tích thì khí nhận nhiệt, khi làm lạnh đẳng tích thì khí tỏa nhiệt

+) Quá trình đẳng áp: Q U A' C V(T2 T1)  p(V2 V1)

 Khi nung nóng đẳng áp thì khí nhận nhiệt, khi làm lạnh đẳng áp thì khí tỏa nhiệt

4 Chu trình Các – nô

Chu trình Các – nô là một chu trình gồm có hai quá trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai quá trình đoạn nhiệt

Nếu động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Các – nô thì

1

2 1 1

2 1

1

' '

T

T T Q

Q Q

Q

A

H     

Phần 2: Hệ thống bài tập

I Áp dụng phương trình trạng thái

Bài 1

Người ta chứa 20g khí heli trong một xi lanh có pittong rồi cho lượng khí đó biến đổi chậm từ trạng thái 1 có V1  32l; p1 4 , 1atm sang trạng thái 2 có V2  9l;

atm

p2  15 , 5 Biết trên hệ trục (p,V) đồ thị biểu diễn quá trình biến đổi của khí có dang như hình vẽ

Tìm nhiệt độ lớn nhất mà khí có thể đạt được

Đáp án:

Từ đồ thị có:

b

aV

p  (1)

với a 0 , 5atm/l; b 20atm

Áp dụng phương trình C-M:

RT

m

pV



 (2)

thay (2) vào (1) được

V mR

b V

mR

a

T  2 

 Tmax  490K

Bài 2:

Có ba bình thể tích V 1 V , V2  2V , V3  3V thông với nhau nhưng cách nhiệt đối với nhau Ban đầu các bình chứa khí ở cùng nhiệt độ T0 và áp suất p0 Người ta hạ nhiệt độ bình 1 xuống

2

0 1

T

T  và nâng nhiệt độ bình 2 lên T 2 1 T, 5 0, bình 3 lên

0

T  Tính áp suất mới p?

Đáp án

Gọi n là số mol khí trong ba bình có thể tích V1V2V3 6V , áp suất p0 và nhiệt độ

T0 Ta có

0 0 6

RT

V p

n 

Về sau, bình 1 (thể tích V) chứa n1 mol khí ở áp suất p và nhiệt độ

2 0

T

Ta có

p

V 2

1

1

2

RT

pV

n 

Tương tự có

0 0

2

3

4 5

, 1

2

RT

pV T

R

V p

0 0

3

2

3 2

.

3

RT

pV T

R

V p

Có nn1 n2 n3 

0 0

0 0

0

2

3 3

4 2

6

RT

pV RT

pV RT

pV RT

V p







29

36

p

p 

Bài 3:

Hai bình có thể tích 3

1 40dm

2 10dm

V  thông với nhau bằng ống có khóa ban đầu đóng Khóa này chỉ mở nếu p p 5Pa

2

1   10 p1 là áp suất của khí trong bình 1;

2

p là áp suất của khí trong bình 2 Ban đầu, bình 1 chứa khí ở áp suất p 5Pa

0  0 , 9 10

và nhiệt độ T0  300K Trong bình 2 là chân không Người ta nung nóng đều cả hai bình từ T0 lên T  500K

a) Tới nhiệt độ nào thì khóa sẽ mở?

b) Tính áp suất cuối cùng trong mỗi bình

Đáp án:

a) Khóa ban đầu đóng sẽ mở khi p p 5Pa

2

1   10 ; ban đầu p2  0 p p m 5Pa

Từ ban đầu cho đến khi khóa mở, khí trong bình 1 bị nung nóng đẳng tích Có

m

m

T

p T

p



0

0

 T m  333K

Khóa mở, một ít khí ở bình 1 lọt sang bình 2 làm cho áp suất ở bình 1 ( p1) tụt xuống một ít nên pp1  p2 nhỏ hơn 10 5Pa một ít và khóa lại đóng lại Nhưng tiếp tục nung thì p1 lại tăng, khóa lại mở Có thể coi như khóa luôn giữ cho chênh lệch áp suất là p 10 5Pa

b) Tới nhiệt độ T  500K thì áp suất trong bình 2 là p, trong bình 1 là (p  p)

Gọi n là tổng số mol khí, n1 và n2 là số mol khí trong hai bình lúc đó

Lúc đầu: Số mol khí trong bình 1 là n; số mol khí trong bình 2 bằng 0

Áp dụng phương trình trạng thái:

đối với bình 1 lúc đầu p0V1 nRT0 

0

1 0

RT

V p

n 

đối với bình 1 lúc sau

RT

V p p n RT n V p

1 1

1

) (

) (      

đối với bình 2 lúc sau

RT

V p n RT n V

2 2

Có nn1 n2 

RT

V p RT

V p p RT

V

0

1







 Thay số, rút ra p  0 , 4 10 5Pa

Vậy áp suất trong bình 2 là p  0 , 4 10 5Pa; trong bình 1 là p p 1 , 4 10 5Pa

Bài 4:

Hai bình giống nhau nối với nhau bằng một ống có van chỉ cho khí đi từ bình này sang bình kia khi hiệu áp suất p 1 , 1atm Lúc đầu một bình là chân không, bình kia

là khí lí tưởng ở nhiệt độ t 0C

1  27 và áp suất p1  1 , 00atm Sau đó, cả hai bình được

đốt nóng tới nhiệt độ t 0C

2  107 Hãy tìm áp suất của khí trong bình mà trước đó là chân không

Đáp án

Từ phương trình trạng thái suy ra

1

1

RT

V p

m

Tại nhiệt độ T2, bình 1 có

2 1

) (

RT

V p p

m   

và bình 2 có

2 2

RT

pV

m 

Vì m1m2 m



2 2

2

1

T

p p T

p T

p p

T

























T

T

p

p

1

2 1

2

1

Thay số được p 0 , 0833atm

Bài 5:

Hình bên là sơ đồ nén không khí vào

bình có thể tích V bằng bơm có thể tích

v Khi pittông đi sang bên phải thì van

A đóng không cho không khí thoát ra

khỏi bình đồng thời van B mở cho

không khí đi vào xi lanh

Khi pittông đi sang bên trái thì van B

đóng, van A mở, pittông nén không

khí vào bình

a) Ban đầu, pittông ở vị trí 1 và áp suất trong bình là p0, áp suất khí quyển là pk Tính

số lần phải ấn pittông để áp suất trong bình có giá trị cuối pc Người ta ấn chậm để nhiệt độ trong bình không đổi

b) Bố trí lại các van như trong hình bên thì có

thể rút không khí trong bình Ban đầu, pittông

ở vị trí 1 và áp suất trong bình là p0, Tính số

lần cần kéo pittông để áp suất trong bình giảm

đi r lần,

r

p

p c  0 Áp dụng bằng số r  100;

v

V  10

Đáp án

Gọi m là khối lượng khí trong xi lanh (thể tích v, áp suất pk);  là khối lượng mol của không khí Có p k v m RT





Tại một thời điểm nào đó, gọi M là không khí có trong bình (thể tích V, áp suất p) thì pV M RT



 (2)

Mỗi lần ấn pittông, đưa vào bình một lượng không khí có khối lượng m  khối lượng khí trong bình là (M  m) và áp suất tăng thêm p Phương trình trạng thái sau lần ấn pittông p p V M m RT









 )

Đặt (1), (2) vào vế phải của (3) được

A B

A B

v p pV V p

V

v p

p k.



Sau mỗi lần ấn pittông thì áp suất trong bình tăng thêm p Vậy số lần cần ấn

pittông bằng

v p

V p p p

p p

n

k

c c

.

) ( 0









b) Gọi p là áp suất trong bình trước khi kéo pittông, M là khối lượng không khí trong

đó Có pV M RT



 (4)

Khi kéo, thể tích V thành (V  v); áp suất thành p'; khối lượng không khí vẫn là M Ta có p V v M RT





 ) (

Đặt (4) vào vế phải của (5) được

pV v V

p' (  )  

v V

V p

p



 '

Tức là sau mỗi lần kéo pittông, áp suất khí lại giảm theo tỉ số 











v V

V

Nếu pn

là áp suất sau khi kéo n lần thì

n

n n n

n n

v V

V p

p p

p p

p p

p























1 2 1 1 0

.

Nếu

r

p

p n  0 thì r V V vn









 











 



V

v V

r n

log log

Áp dụng bằng số được n 48lần

Bài 6:

Một xi lanh kín hình trụ chiều cao h, tiết diện

2

100cm

S  đặt thẳng đứng Xi lanh được chia thành hai

phần nhờ một pittông cách nhiệt khối lượng m 500g,

kích thước pittông không đáng kể Khí trong hai phần là

cùng loại ở cùng nhiệt độ 27 0C và có khối lượng là m1,

2

m với m 2 2m1 Pittông cân bằng khi cách đáy dưới

đoạn 2 35

h

h 

a) Tính áp suất khí trong hai phần của xi lanh Lấy g 10m/s2

b) Để pittông cách đều hai đáy xi lanh thì phải nung

nóng phần nào, đến nhiệt độ bao nhiêu? (Phần còn lại

giữ ở nhiệt độ không đổi)

Đáp án:

a) Có h2  0 , 6h h1 0 , 4h

C

1  27  T1  300K

Áp dụng phương trình Men đê lê ép – Cla pê rôn cho khí trong hai phần ở nhiệt độ

K

T1  300

1

1

1

p



  p1 0 , 4hS m1 RT1





1 2

2

p



  p2 0 , 6hS m1 RT1





1

m

2

m

1

h

2

Chia vế cho vế được

2

1 6

,

0

4

,

0

2

1

2

1





m

m

p

p

3

4

p

p  (1)

Khi pittông cân bằng: p2 p1mg S (2)

Giải hệ hai phương trình (1) và (2) được

) ( 1500

3

S

mg

p   ; 2 4 2000 (Pa)

S

mg

b) Do h 1 h2 nên phải nung nóng phần khí ở trên (m1)

Với khối khí ở dưới có nhiệt độ không đổi nên:

2 2

2

2V p ' V'

p   p2Sh2 p ' Sh2 '2

mà h2  0 , 6h; h'2 0 , 5h

5

6

'2 p2 Pa

Có 1' 2' 1900 (Pa)

S

mg p

Áp dụng phương trình trạng thái cho khối khí ở trên:

1

1 1

1

1

1

'

' '

T

V

p

T

V

p

hS

hS p

p T V p

V p

4 , 0

5 , 0 ' '

'

1

1 1 1 1

1 1

1 202

' 

Bài 7:

Một xilanh đặt thẳng đứng, kín cả hai đầu, được chia thành hai phần bằng nhau bởi một pittông khối lượng M, cách nhiệt Pittông có thể di chuyển không ma sát Người

ta đưa vào phần trên khí hiđrô ở nhiệt độ T , áp suất p; phần dưới khí oxi ở nhiệt độ

T

2 Lật ngược đáy lên trên Để pittông vẫn ở vị trí chia xilanh thành hai phần bằng nhau, người ta hạ nhiệt độ khí oxi đến T2 Nhiệt độ của khí hiđrô vẫn giữ như cũ Hãy xác định áp suất khí oxi ở trạng thái ban đầu và lúc sau

ĐS: p p

5

8

5

2

2  Đáp án:

Khí hiđro có nhiệt độ và thể tích không đổi nên áp suất ở hai trạng thái là như nhau Gọi p1, p2 là áp suất của khí oxi ở trạng thái 1 và 2

Phương trình cân bằng của pittong ở hai trạng thái:

Mg

S

p

p  ) 

( 1

Mg

S

p

p ) 

(S: tiết diện của pittong)

 p1p2  2p(1)

Áp dụng phương trình Men đê lê ép – Cla pê rôn cho khí oxi ở hai trạng thái:

T

R

V

p1   2

2

.

2

T

R

V

p  

 p 1 4 p2(2)

Giải hệ (1) và (2) được: p p

5

8

5

2

2 

Bài 8:

Một pittông nặng có thể dịch chuyển không ma sát trong một

xilanh thẳng đứng Trên và dưới pittông đều chứa một mol của

cùng một chất khí

Khi ở cùng nhiệt độ T, tỉ số các thể tích 2

2

1



V

V

Hỏi cần tăng nhiệt độ lên bao nhiêu lần để tỉ số trên bằng 1,5?

Bỏ qua sự dãn nở của xilanh

Đáp án

Gọi p1, p2, p1', p2', V1, V2 , V1', V2' là áp suất và thể tích của ngăn trên và ngăn dưới ứng với các nhiệt độ T và T’

pt

p p p

p

p2 1 2'  1'  (1)

RT V

p

V

p1 1 2 2   1

2

1 1

V

V p

p   (2) '

' '

'

' 1 2 2

2

1 1

2

3 '

' '

V

V p

' '1 2

2

V     1 '1

3

5 2

3

V

V  (4) Thay (2) và (3) vào (1) được

2

' 1 1

p

p  (5) Nhân (5) với (4) theo vế

1 1 1

6

5

2

3

V p

V

6

5 2

3

RT

10

18 '





T T

Bài 9:

Trong một ống hình trụ thẳng đứng với hai tiết diện khác nhau

có hai pittông nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, luôn căng,

không dãn Giữa hai pittông có 1 mol khí lí tưởng Pittông trên

có tiết diện lớn hơn pittông dưới là S  10cm2 Áp suất khí

quyển bên ngoài là p 5Pa

a) Tính áp suất p của khí giữa hai pittông

b) Phải làm nóng khí đó thêm bao nhiêu độ để các pittông

dịch chuyển lên trên một đoạn l  5cm Biết khối lượng tổng

cộng của hai pittông là m 5kg Khí không lọt ra ngoài

Đáp án

a) Có S1 S2  S và mm1 m2

Điều kiện cân bằng của hai pit tông:

1 1

1

0

S

T S

g

m

p

p    T S1(p p0)  m1g (1)

2

0

2

2

S

T p

S

g

m

p    T S2(p p0) m2g (2)

Từ (1) và (2)  (S1 S2)(p p0)  (m1m2)gmg

S

mg

0  1 , 5 10







b) Khi làm nóng khí thì pittông dịch chuyển lên trên một đoạn l Muốn pittông cân bằng ở vị trí này thì p ' p(p’: áp suất chất khí sau khi dịch pittông)

Theo phương trình C – M:

RT

pV 

) (

)

(

p     

1

V

2

V

 V

R

p V

V T

T    

mà V l S

R

l S p

T   .  0 , 9



Bài 10:

Một bình dạng hình trụ được ngăn thành hai phần bằng nhau bởi pittông nhẹ, dẫn nhiệt Pittông có thể chuyển động không ma sát Một phần của bình chứa không khí, phần kia chứa ít nước và hơi nước

Nung nóng từ từ toàn bộ bình, pittông bắt đầu chuyển động Khi nó dừng lại, các phần thể tích của bình có tỉ lệ 1:3 Hãy xác định tỉ số khối lượng nước và khối lượng hơi nước ban đầu Cho rằng hai phần bình luôn cùng nhiệt độ Thể tích nước rất nhỏ Đáp án

+) Ban đầu hơi nước ở trạng thái p1V1 m h RT1



2

0 1

V

V  với V0 là thể tích của bình +) Khi nung nóng, nước bay hơi, thể tích hơi nước tăng, pit tong dừng lại khi nước bay hơi hết

Có p2V2 m n m h RT2





4

3 0

2

V

V 

Do đó

2

2 2 1

1 1 ) (

T

V p m T

V p m

m n h  h 

2

2 1

1 2

3 )

(

T

p m T

p m

m n  h  h (1) +) Khí ở phần bình kia:

2

2 0 2 1

1

0

T

V V p T

V

V







2

2 1

1 2

1

T

p T

p

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m n m h  3m h

Vậy  2

h

n

m

m

Bài 11 :

Trong xi lanh đặt thẳng đứng có chứa một lượng khí,

đậy phía trên là một pittông khối lượng m 1kg, diện

tích S  10cm2 Pittông được giữ bằng lò xo L nhẹ,

dài, độ cứng k  100N/m, đầu trên của lò xo có thể

móc vào một trong những cái đinh cố định có độ cao

khác nhau như hình vẽ

Ban đầu, khí trong xi lanh có thể tích 0 , 5lvà nhiệt độ 27 0C Lò xo móc vào điểm

O, đang bị nén một đoạn 10cm

1) Nung nóng khí trong xi lanh đến nhiệt độ 127 0C Để vị trí của pittông trong xi lanh không đổi, cần móc đầu trên của lò xo vào điểm M cách O một đoạn bao nhiêu,

về phía nào?

2) Nung nóng khí trong xi lanh lên đến nhiệt độ 227 0C Để pittông nằm ở vị trí phía trên và cách vị trí ban đầu của nó một đoạn 50cm, phải móc đầu trên của lò xo vào điểm N cách O một đoạn bao nhiêu? Về phía nào? Biết áp suất khí quyển

2 5

0 10 N/m

p  Lấyg 10m/s2

Đáp án:

1) Gọi p là áp suất lúc đầu của khí trong xi lanh

Khi pit tong cân bằng: 1 , 2 10 5 ( / 2 )

p S

l k S mg

p    

pit tong không dịch chuyển nên quá trình biến đổi trạng thái của khí là quá trình đẳng tích

Áp suất của khí lúc sau:

) / ( 10 6

,

1

1

T

T

p 

'

S

l k S

mg

p      l' 50cm

Vậy lúc sau lò xo bị nén 50cm  phải móc lò xo vào điểm M phía dưới O cách O một khoảng OM  40cm

2) Chiều cao ban đầu của cột khí: cm

S

V

h  50 Khi pit tong dịch chuyển lên trên một đoạn 50cm thì thể tích khí tăng gấp hai:

V

V3  2

Từ phương trình trạng thái  10 5 ( / 2 )

3

3

TV

pVT

Khi pit tong nằm cân bằng: 3 3 p0

S

l k S

mg

p      l3   10cm  lò xo dãn 10cm

Vậy phải móc lò xo vào điểm N phía trên và cách O một khoảng

) ( 70 10 10

ON    

II Áp dụng nguyên lí I

Bài 1:

Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử chuyển từ

trạng thái 1(p1  2p0 ;V1 V0) sang trạng thái 2(

0 2

0

p   ) với đồ thị là đoạn thẳng cho trên

hình vẽ

Hãy xác định:

a) Thể tích V’ tại đó nhiệt độ của chất khí lớn nhất

b) Thể tích V* sao cho *

V   thì chất khí thu nhiệt 2

V   thì chất khí tỏa nhiệt

Đáp án

a) paVb

ở trạng thái 1: 2p0 aV0 b

ở trạng thái 2: p0 a2V0 b

0

0V 3 p

V

p

p   

Đối với 1 mol khí pV  RT 

R

pV

T 

 (pV) đạt max  0

2

3

V 

(Suy ra điều này bằng 2 cách:

Cách 1: Xét tam thức bậc 2:

V p V V

p V

f

0

)



vì a 0nên nó đạt max tại 0

2

3 2

a

b

V   

p

V

1

2

0

2 p

0

p

V0 2V0 O