bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề CÁC DẠNG TOÁN cơ vật rắn THI HSG QUỐC GIA

Mật độ khối Hai chiếc đĩa tròn đồng chất giống nhau chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang rất nhẵn, theo đường thẳng nối tâm các đĩa, đến gặp nhau.. Tấm gỗ được kéo trên

Trang 1

CÁC DẠNG TOÁN CƠ VẬT RẮN THI HSG QUỐC GIA

VÀ CHỌN QUỐC TẾ

I MỞ ĐẦU:

Trong chương trình ôn thi hsg quốc gia môn vật lý thì cơ vật rắn là một trong nhữngphần khá quan trọng, bài tập phần cơ vật rắn rất đa dạng, áp dụng nhiều kiến thức về toánhọc, vật lý Ở trên thị trường có rất nhiều sách tham khảo nhưng đều cung cấp các kiến thứcchung chung hoặc phổ kiến thức quá rộng đối với các em làm các em dễ sa đà vào nhữngkiến thức quá mở rộng không cần thiết cho kì thi HSG quốc gia Đứng trên kinh nghiệm nàytôi nhận thấy cần phải có một chuyên đề phân loại các dạng toán cơ vật rắn đã thi HSG quốcgia và chọn quốc tế để cho các em có cái nhìn chắt lọc hơn về những kiến thức cần chuẩn bịnhằm phục vụ cho mục tiêu của mình

II NỘI DUNG:

PHẦN 1 TÍNH MÔMEN QUÁN TÍNH – XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM

Bài 1 – HSG QG 2003

Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm

O(hình vẽ) Chứng minh rằng khối tâm G của bán cầu cách tâm O của

nó một đoạn là d = 3R/8

Lời giải :

Do đối xứng, G nằm trên trục đối xứng Ox Chia bán cầu thành nhiều

lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ)

Một lớp ở điểm có toạ độ x= R sin , dày dx= Rcos.d

có khối lượng dm = (Rcos)2dx với R3

xdm

x

2 /

0

3 4 m

Rcos

m4

R

0 4 4

Trang 2

Bài 2 – HSG QG 2011

Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng chất, được uốn theo

dạng lòng máng thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có

trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng,

mảnh, nhẹ Vật 1 có thể quay không ma sát quanh một trục cố định

(trùng với trục ∆) đi qua điểm O Trên hình vẽ, OA và OB là các

thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm

G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng Tìm vị trí khối tâm G của vật 1

Lời giải :

Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường thẳng đứng Oy

(xem hình vẽ) nên chỉ cần tính tọa độ yG = OG của vật Mật độ khối

Hai chiếc đĩa tròn đồng chất giống nhau chuyển

động trên mặt phẳng nằm ngang rất nhẵn, theo đường

thẳng nối tâm các đĩa, đến gặp nhau Các đĩa này quay

cùng chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm của chúng

với các tốc độ góc tương ứng là 1 và 2

Tác dụng của lực ma sát giữa các đĩa và mặt bàn không đáng kể, còn tác dụng của lực

ma sát xuất hiện ở điểm tiếp xúc hai đĩa với nhau thì đáng kể Biết các đĩa có khối lượng m,có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét một lỗ thủnghình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2 Tính mômen quán tính đối với trục quaynói trên của mỗi đĩa

3 1 R

r

2

)rR(



= 8

Trang 3

Một vật hình cầu bán kính R đang

đứng yên trên tấm gỗ mỏng CD Mật độ

khối lượng của vật phụ thuộc vào khoảng

cách r đến tâm của nó theo quy luật:

  là một hằng số dương

Tấm gỗ được kéo trên mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc không đổi a (xemhình vẽ) Kết quả là vật lăn không trượt về phía D được đoạn  và rơi xuống mặt bàn Hệ số

ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k, gia tốc trọng trường là g Tính khối lượng và mô menquán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó

Lời giải : Khèi lîng cña vËt:

Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m,

lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang rồi va vào một bức tường

thẳng đứng cố định (trục của khối trụ luôn song song với mặt sàn

và tường) Biết hệ số ma sát giữa khối trụ và bức tường là ; vận

tốc của trục khối trụ trước lúc va chạm là v0; sau va chạm thành

phần vận tốc theo phương ngang của trục giảm đi một nửa về độ

lớn; mômen quán tính đối với trục của khối trụ là 2 2

5

 (hình vẽ) Bỏ qua tác dụng củatrọng lực trong lúc va chạm và bỏ qua ma sát lăn Biết mật độ khối lượng  tại một điểm củakhối trụ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đó đến trục của nó theo quy luật

Trang 4

- Học sinh phải sử dụng thành thạo phương pháp tính tích phân Cách chia nhỏ vật thể,xác định cận, lập hàm để tính tích phân

PHẦN 2 ĐỘNG HỌC - ĐỘNG LỰC HỌC

Bài 1 - HSG QG 2003

Một thanh cứng AB có chiều dài L tựa trên hai

mặt phẳng P1 và P2 (Hình vẽ) Người ta kéo đầu A

của thanh lên trên dọc theo mặt phẳng P1 với vận

tốc v 0 không đổi Biết thanh AB và véctơ v 0 luôn

nằm trong mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của

P1 và P2; trong quá trình chuyển động các điểm A, B luôn tiếp xúc với hai mặt phẳng; gócnhị diện tạo bởi hai mặt phẳng là  = 1200 Hãy tính vận tốc, gia tốc của điểm B và vận tốcgóc của thanh theo v0, L,  ( là góc hợp bởi thanh và mặt phẳng P2)

1(

v0   Chọn trục Oy như hình vẽ, A có toạ độ:

y = Lsin  y’= Lcos ’ = v0cos300

Vận tốc góc của thanh:

 = ’ =

cosL

30cos

cosL2



P2



Trang 5

Gia tốc của B: a = dvB

cos2

3

v0 2

3

2 0cosL4

v

Bài 2 - HSG QG 2006

Một vật hình cầu bán kính R đang

đứng yên trên tấm gỗ mỏng CD Tấm gỗ

được kéo trên mặt bàn nằm ngang theo

chiều DC với gia tốc không đổi a(hình vẽ)

Kết quả là vật lăn không trượt về phía D

được đoạn  và rơi xuống mặt bàn Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k, gia tốctrọng trường là g Biết khối lượng và mô men quán tính của vật đối với trục quay qua tâmcủa nó lần lượt là m và 2

1 Hãy xác định thời gian vật lăn trên tấm gỗ và gia tốc tâm O của vật đối với mặt bàn

2. Tại thời điểm vật rơi khỏi tấm gỗ vận tốc góc của vật bằng bao nhiêu?

3 Chứng minh rằng trong suốt quá trình chuyển động trên mặt bàn vật luôn luôn lăn cótrượt

4. Vật chuyển động được một quãng đường s bằng bao nhiêu trên mặt bàn?

Lời giải :

Cách 1:

Xét hệ quy chiếu gắn với tấm gỗ Vật chịu tác dụng

của lực quán tính hướng về phía D: Fma và có

độ lớn F = ma Xét trục quay tức thời đi qua B

Chọn các chiều chuyển động là dương

Viết phương trình chuyển động quay với trục quay qua tâm O:

Gọi F là lực ma sát nghỉ giữa quả cầu và tấm ván, a1 là gia tốc của quả cầu đối với đất:

Trang 6

t =

12

2a

 = 298105a

Vận tốc theo phương ngang của vật khi chạm mặt bàn bằng vận tốc theo phương ngang của

nó khi rời khỏi tấm gỗ: v0 = a1t = 44a 298

149 105a



 0,5 a

Chọn thời điểm vật chạm mặt bàn là thời

điểm ban đầu.Các chiều dương như hình vẽ

Chúng ta có nhận xét là ngay từ thời điểm

này vật đã lăn có trượt, vì v0 R0 Trước

khi đổi chiều quay thì vật luôn lăn có trượt

Muốn vật lăn không trượt, điều kiện cần là vật phải đổi chiều quay

Giả sử đến thời điểm  nào đó vật chuyển động tịnh tiến với vận tốc v’ và quay với vậntốc góc ω’ Sử dụng các định lí biến thiên động lượng và mômen động lượng :

F Rdt= I0(’ – 0) => I0(’ – 0) = mR(v’ – v0) (*)

Thay biểu thức của I0 và 0 vào (*), ta thu được: 2

Trang 7

4 t = v0

kg; s = v0t - kg

2 t2 =

2 0v

2

44 a149.105.kg 0,124a

kg

Bài 3 – HSG QG 2010

Một thanh cứng AB đồng chất, tiết diện đều, khối

lượng M, chiều dài AB = L có gắn thêm một vật nhỏ

khối lượng m = M/4 ở đầu mút B Thanh được treo nằm

ngang bởi hai sợi dây nhẹ, không dãn O1A và O2B (hình

vẽ) Góc hợp bởi dây O1A và phương thẳng đứng là 0

a Tính lực căng T0 của dây O1A

b Cắt dây O2B, tính lực căng T của dây O1A và gia tốc góc của thanh ngay sau khi cắt

Lời giải :

- Hệ thanh và vật nặng có khối tâm G với vị trí được xác định cách A khoảng AG:

8mLI

15

a Khi thanh cân bằng, xét với trục quay qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ

Từ phương trình momen, có: P.BG T Lcos 0  0 0

b Tại thời điểm t = 0 khi dây O2B vừa bị cắt, vì thanh chưa

di chuyển, điểm A có vận tốc bằng 0 Điểm A chỉ có gia tốc

A

a theo phương vuông góc với dây O1A

 0

m M

 0

Trang 8

Xét điểm G, có gia tốc: aG aA aG/A (vì AG=const nên dAG 0

- Phương trình ĐLII Newton: P T (M m)a  G (M m)(a G/A a )A

Chiếu lên phương dây O1A, với aG/A    A AG

(M m)g.cos   T (M m)a  cos (M m) .AG.cos   (3)

Thay (2) vào (3) tính được:

0

2 2

0 G

(M m)g.cosT

(M m)AG cos1

Một con lắc vật lí có khối lượng M, khối tâm tại G và có thể quay

quanh trục nằm ngang đi qua điểm O nằm trên con lắc Momen quán tính

Trang 9

của con lắc đối với trục quay là I Biết khoảng cách OG = d Con lắc được thả từ vị trí có

OG hợp với phương thẳng đứng một góc α0 = 60o (G phía dưới O) Bỏ qua ma sát ở trụcquay và lực cản môi trường

1. Tính độ lớn phản lực của trục quay lên con lắc khi OG hợp với phương thẳng đứngmột góc α

2. Tính gia tốc toàn phần lớn nhất của khối tâm con lắc trong quá trình dao động

Lời giải :

1. Chiếu phương trình động lực học : M g + F = M a lên các phương:

Ox tiếp tuyến với quỹ đạo khối tâm: Mγd = Ft – Mgsinα (1)

Oy trùng với phương GO: Mω2d = Fn – Mgcosα (2)

Phương trình chuyển động quay : Iγ = -Mgdsinα (3)

Từ (1) và (3) suy ra: Ft = Mg(1-A)sinα , với A =

2MdIĐịnh luật bảo toàn năng lượng:

2I2

2 Gia tốc khối tâm:

Dễ dàng thấy hàm có cực đại tại α = 0 với f(0) = 1 và cực tiểu ứng với cosα = 2/3

Tại biên f( ± 600) = 3/4 < 1 , vậy a cực đại khi α = 0 và amax = 2

3

2MgdI

Bài 5 - Chọn đội tuyển dự IPHO 2003 :

Trang 10

Một khối trụ đồng chất , khối lượng M ,

bán kính R, có momen quán tính đối với trục là

2

MR

I

2

 , được đặt lên mặt phẳng nghiêng góc 

= 300 Giữa chiều dài khối trụ có một khe hẹp

trong đó lõi có bán kính R

2 Một sợi dây ABCkhông giãn, khối lượng không đáng kể được quấn nhiều vòng vào lõi rồi vắt qua ròng rọc B(khối lượng không đáng kể) Đầu còn lại của sợi dây mang một vật khối lượng m Phần dây

AB song song với mặt phẳng nghiêng Hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa trụ và mặtnghiêng( cũng là hệ số ma sát trượt ) là 1

2 3

 

a) Tìm điều kiện về M

m để trụ không tịnh tiến trượt mà lăn không trượt trên mặt nghiêngb) Trụ lăn không trượt lên trên Lấy chiều dương của gia tốc aO của O ( trục khối trụ ) vàgia tốc a của m như hình vẽ Tính aO , lực căng dây T 

, lực ma sát F ms

và tìm điều kiện

về M

m để có trường hợp này

c) Trụ lăn không trượt xuống dưới Tính aO , lực căng dây T 

, lực ma sát Fmsvà tìm điều

kiện về M

m để có trường hợp này d) Tìm M

m ứng với cân bằng của hệ Tính T và f

e) Trụ trượt xuống Tìm aO và điều kiện về M

m f) Trụ trượt lên Tìm aO và điều kiện về M

m g) Cuối cùng làm bẳng tổng kết như dưới đây Dòng 1 ghi các giá trị đặc biệt của M

m Dòng 2 ghi tính chất chuyển động của trụ: trượt lên (hay xuống ), lăn không trượt lên (hayxuống ) Dòng 3 ghi biểu thức của aO

AB

C



Trang 11

Bài 6 – Chọn đội tuyển dự IPHO 2004

Một thanh kim loại AB khối lượng m, tiết diện nhỏ đều

đồng chất, chiều dài 2  có thể quay quanh một trục O nằm

ngang cố định có đầu B một khoảng bằng  Đầu A của

thanh có gắn một quả cầu khối lượng M = 2m, kích thước nhỏ

không đáng kể Kéo cho thanh lệch góc α0 (α0 < 900 ) so với

phương thẳng đứng rồi buông ra với vận tốc ban đầu bằng 0

Bỏ qua mọi ma sát và lực cản của không khí Gia tốc trọng trường là g

a) Hãy tính tốc độ góc, gia tốc góc của thanh và cường độ của lực do thanh tác dụng lênquả cầu ở thời điểm thanh hợp với phương thẳng đứng một góc α ≤ α0

b) Tìm gia tốc toàn phần nhỏ nhất, lớn nhất của quả cầu trong quá trình chuyển động theo gvà α0

AB

O

Trang 12

Một vành trụ mỏng I, đồng chất, khối lượng M, bán kính

R Trong lòng vành trụ có một khối trụ đặc II, đồng chất, khối

lượng m, bán kính r, cùng chiều dài với vành trụ Trong hình

vẽ bên, Oxy là mặt phẳng tiết diện vuông góc với trục vành

trụ, A và B là giao điểm của mặt phẳng Oxy với hai trục Tác

dụng lực có phương đi qua A vào vành trụ sao cho vành trụ

lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo chiều

dương trục Ox Biết khối trụ lăn không trượt trong lòng vành trụ, trục khối trụ luôn songsong với trục vành trụ Ở thời điểm t, góc hợp bởi AB và phương thẳng đứng là ; vận tốccủa A là vA, tốc độ góc của AB quanh trục đi qua A là 

1. Xác định lực ma sát giữa vành trụ và khối trụ, giữa vành trụ và mặt phẳng nằm ngangtheo gia tốc xA′′ của A và gia tốc góc " của đoạn AB ở thời điểm t

2. Giả thiết rằng trục vành trụ chuyển động đều Tìm gia tốc góc " của đoạn AB theo

, R, r, gia tốc của A và gia tốc trọng trường g

Đáp số : 1 Fms = "A

m

M x2

3(R r)



Một hình trụ rỗng bán kính R, mặt trong nhám, được giữ thẳng đứng Một đĩa mỏngđồng chất khối lượng m, bán kính r (r < R), lăn không trượt ở mặt trong của hình trụ sao chotiếp điểm của nó với hình trụ luôn nằm trên một mặt phẳng nằm ngang Gọi  là hệ số masát nghỉ giữa đĩa và hình trụ,là góc nghiêng của đĩa so với phương thẳng đứng Cho gia tốctrọng trường là g, bỏ qua ma sát lăn và lực cản môi trường

1 Giả sử đĩa lăn đều, không trượt và luôn nghiêng một góc  0 không đổi

a) Tính vận tốc góc của khối tâm đĩa trong chuyển động quay quanh trục hình trụ

b) Hỏi0phải nằm trong khoảng giá trị min,maxnào thì điều giả sử trên (lăn khôngtrượt với góc nghiêng không đổi) thỏa mãn?

Trang 13

2 Giả sử khi đĩa đang chuyển động với góc nghiêng 0 nằm trong khoảng min,max,người ta tác động trong thời gian ngắn làm cho đĩa thay đổi góc nghiêng một giá trị nhỏ Biếtrằng trong quá trình chuyển động tiếp theo lực ma sát đủ lớn để giữ cho đĩa tiếp tục lănkhông trượt.

a) Gọi momen quán tính của đĩa đối với trục quay tiếp tuyến với đĩa và nằm trong mặtphẳng của đĩa là Imr 2 Tìm giá trị của .

b) Hãy phán đoán chuyển động tiếp theo của đĩa khi đĩa bị thay đổi góc nghiêng một giátrị nhỏ quanh góc 0.Giải thích

Nhận xét :

- Từ năm 2001 – 2013 có 4 bài cơ vật rắn về động học và động lực học(xác định vậntốc, gia tốc, các lực tác dụng) Có 4 bài thi chọn đội tuyển thi quốc tế Số lượng bàitoán thi hsg quốc gia và thi chọn đội tuyển thi quốc tế thuộc phần kiến thức này lànhư nhau và xuất hiện nhiều Do đó đây là dạng toán quan trọng cần làm kỹ nếumuốn đi tiếp vào vòng trong

- Học sinh phải biết cách phân tích đúng các lực tác dụng, sử dụng tốt công thức cộngvận tốc, cộng gia tốc Nắm được điều kiện lăn có trượt và lăn không trượt của vật rắn

PHẦN 3 VA CHẠM – XUNG LỰC – NĂNG LƯỢNG

Bài 1 – HSG QG 2003

Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm O

Đặt bán cầu trên mặt phẳng nằm ngang.Giả thiết bán cầu đang nằm cân

bằng trên một mặt phẳng nằm ngang khác mà các ma sát giữa bán cầu và

mặt phẳng đều bằng không (Hình vẽ) Tác dụng lên bán cầu trong khoảng

thời gian rất ngắn một xung của lực Xnào đó theo phương nằm ngang, hướng đi qua tâm Ocủa bán cầu sao cho tâm O của nó có vận tốc v 0 Tính năng lượng đã truyền cho bán cầu.Cho biết gia tốc trọng trường là g; mô men quán tính của quả cầu đặc đồng chất khối lượng

M, bán kính R đối với trục quay đi qua tâm của nó là I =2 2

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,41 MB