ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc bằng nhau , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức về diện tích các h×nh, … Ví dụ : Từ kết quả của[r]
(1)b¶ng hÖ thèng ph¬ng ph¸p chøng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn Thø tù c¸ch chøng minh C¸ch HÖ thøc H×nh vÏ minh ho¹ C A OA = OB = OC = OD B D B C¸ch 2.a) ∠ B +∠ D=180 ¿ ∠ A +∠ C 1=1800 ¿ ¿ ¿ ¿ 2.b) A1 = C1 A x 1 D C A C¸ch A1 + C1 = 900 + 900 D B C C¸ch A ∠ A1 =∠B1 ¿ ∠ A =∠ D2 ¿ ∠ B2 =∠C ¿ ∠ D1 =∠C ¿ ¿ ¿ ¿ 2 A1 = B1 = 900 B C D A C¸ch 21 D B C (2) C B C M B C¸ch MA MB = MC MD A O D A (H×nh bªn ph¶iD tø gi¸c ACBD néi tiÕp) M Kết hợp với tính chất tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O là thoả mãn các hệ thức trªn Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) gặp A và B, tiếp tuyến A đờng tròn (O) gặp (O’) M; Tiếp tuyến A đờng tròn (O’) gặp (O) N Lấy điểm E đối xứng với A qua B Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp đờng tròn Ph©n tÝch: C/m tứ giác ANEM nội tiếp đờng trßn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B Vậy là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đờng trung trùc cña ®o¹n AE, vµ nh thÕ tâm đờng tròn này nằm trªn trung trùc cña c¸c ®o¹n th¼ng nµo? (§o¹n AN vµ AM ) Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng cách để sử dụng tính chất đờng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng suy Gäi I lµ giao hai trung trùc cña AN vµ AM th×: (1) IA = IN = IE = IM (2) ThËt vËy: OI // AO’ (cïng AN ) vµ AO // O’I (cïng AM ) => AOIO’ lµ h×nh b×nh hµnh => OIO’ = OAO’ = OBO’ => OIBO’ lµ tø gi¸c néi tiÕp (theo c¸ch 4) nhng OI = AO’ = O’B => OIBO’ lµ h×nh thang c©n => IB // OO’ (3) => IB (3) AB => IB là đờng trung trực AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) ®pcm Chó ý: còng cã thÓ chøng minh (3) b»ng c¸ch chøng minh OO’ lµ ® êng trung b×nh cña tam gi¸c AIB M^ A N +M ^ E N =180 C¸ch 2: (1) <= <= ¿ N^ A E= A ^ M B(4) ^ B (5) N^ E B=E M ¿{ ¿ (4) <= cïng b»ng 1/2 sè ®o cung AB đờng tròng (O) (5) <= Tam gi¸c EBN vµ tam gi¸c MBE đồng dạng <= ¿ BE BN AB BN = ⇐ = (6) BM BE BM AB ^ E=E B ^ M (7) NB ¿{ ¿ (6) <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) (7) <= A B^ N =M ^B A <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) C¸ch 3: A O K H I B N O’ M Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN ’ E E (4) Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt AB kéo dài E’, ta chứng minh E E’ cách chứng minh AB= BE’ (vì E đối xứng với A qua B) Gäi K vµ H lÇn lît lµ giao ®iÓm cña OO’ víi AI vµ AB Ta có KA=KI (do AOIO’ là hình bình hành) và AH=HB (do OO’ là đờng nối hai tâm) Do đó HK//BI BI//OO’ mà ABOO’ suy IBAB , bëi vËy AB=BE’ (do tam gi¸c AIE’ c©n t¹i I), nghÜa lµ E’E VÝ dô 2: Trªn ( O; R ) lÊy ®iÓm A, B cho AB < 2R Gäi giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, B lµ P Qua A, B kÎ d©y AC, BD song song víi nhau, gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD, BC lµ Q Chøng minh tø gi¸c AQBP néi tiÕp đợc Ph©n tÝch: §Ó chøng minh tø gi¸c AQBP néi tiÕp (1) Ta cã thÓ chøng minh: APB + AQB = 1800 (2) A ThËt vËy, theo gi¶ thiÕt cã OAP + OPB = 90o + 90o Tø gi¸c AOBP néi tiÕp P APB + AOB = 1800 C O Vậy để chứng minh ( ) ta chứng minh : Q AQB = AOB (3), chøng minh (3) cã nhiÒu c¸ch B Ch¼ng h¹n AC // BD (gt) nªn AB = CD => AQB = AOB ( cïng b»ng sè ®o D cung AB (O) ) => (3) đợc chứng minh => (2) => (1) đpcm Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đờng cao AH Gọi I, K tơng ứng là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH Đờng thẳng IK cắt AC N Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp đợc Ph©n tÝch: Tõ gi¶ thiÕt dÔ thÊy HIK = A = 90o (1) gi¶ sö tø gÝac HCNK néi tiÕp th× K1 = NCH (2) thì HIK và ABC đồng dạng (3) Chøng minh (3): HAB vµ HCA đồng dạng => HA = AB HC AC A (4) Chứng minh HAS và HCR đồng dạng R Tõ (4) vµ (5) => HI = HK AB AC (6) M I HA HI = HC K HK B gi¸cSHCNK Tõ (1) vµ (6) => (3) => (2) => Tø H néi tiÕp C¸ch 2: Chøng minh C ^ H K= A ^ N K=45 / Trªn c¹nh AB kÊy ®iÓm M , trªn c¹nh AC lÊy N/ cho AM/=AN/=AH Gäi I/, K/ lµ giao ®iÓm cña M/N/ A (5) N C (5) R M/ I/ K/ N/ víi ph©n gi¸c c¸c gãc BAH,BCAH C S H Δ AI❑ M ❑= Δ AI❑ H (c.g.c) / ❑ ❑ ❑ => A ^ H I =A ^ M I =45 => I I / Chøng minh t¬ng tù K K Suy M M/ , N N/ => A ^ H K =A ^ N K =45 => tø gi¸c HCNK néi tiÕp Ví dụ 4: Cho góc xOy Một điểm A góc đó, gọi B, C là hình chiếu vu«ng gãc cña A trªn Ox, Oy; gäi C’ , B’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C, B xuèng Ox, Oy; gäi B’’ , C’’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B’, C’ xuèng Ox, Oy Gäi E lµ giao ®iÓm cña BB’, CC’ Gäi Q, P lÇn lît lµ giao cña OE víi B’C’ vµ B’’C’’ Chøng minh tø gi¸c MNPQ néi tiÕp Ph©n tÝch: C/m tø gi¸c MNPQ néi tiÕp (1) Ta cã thÓ sö dông c¸ch : C/m : P + M = 90o + 90o (2) ThËt vËy, v× tø gi¸c OBAC néi tiÕp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch ) OCB = OAB (3) (đảo cách 4) V× BCB’C’ néi tiÕp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch ) OC’B’ = OCB (4) B C/ Tõ (3)vµ (4) => Tø gi¸c MC’BA néi tiÕp B// ( nhËn biÕt nhanh c¸ch 2.b ) Q E nhng OBA = 90o P O QMN = 90o (5) M ( T/chÊt tø gi¸c néi tiÕp vµ t/chÊt hai gãc kÒ bï ) N A T¬ng tù QPN = 90o (6) C// Tõ (5) vµ (6) => (2) => (1) ®pcm B/ C VÝ dô 5: Cho tam gÝac ABC c©n ( AB = AC ) Trªn AB vµ AC lÊy M vµ N cho AM + AN = AB Dùng h×nh thang c©n ANMI ( AI // MN ) Chøng minh tø gi¸c AIBC néi tiÕp A Ph©n tÝch: §Ó chøng minh tø gi¸c AIBC néi tiÕp (1) Tõ gi¶ thiÕt => IM = MB = AN (2) vµ IN = AM = NC (3) I Tõ (2) vµ (3) => IMA = 2B1 (4) vµ ANI = 2C1 (5) (gãc ngoµi cña tam gi¸c ) MÆt kh¸c IMA = ANI (6) v× ANMI lµ h×nh thang c©n ) VËy tõ (4), (5) vµ (6) ta cã thÓ suy ®iÒu g× ? (suy B1 = C1(7)) Vµ tõ (7) => (1) ®pcm (c¸ch 4) Vậy để giải toán ví dụ ta đã dùng cách N M B C (6) Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác, G, K là các tiết điểm đờng tròn (I) trên AB, AC Gọi M, N là giao điểm IB, IC với GK Chøng minh BNMC lµ tø gi¸c néi tiÕp Ph©n tÝch: C/m BNMC néi tiÕp (1) Sö dông c¸ch 5: (1) BNC = BMC = 90o (2) Ta thÊy BGI = 90o nªn ph¶i chøng minh : Tø gi¸c BNGI vµ tø gi¸c IKMC néi tiÕp (3) MIC = MKC (4) víi chó ý I lµ giao ph©n gi¸c tam gi¸c ABC A I B Ta cã MIC = B1 + C1 = ∠ B +∠C =180 −∠ A K M N G 1 C (5) MÆt kh¸c: MKC = AKG = AGK = 180 −∠ A (6) Tõ (5) vµ (6) suy (4) => (3) => BMC = BNC = BGI = IKC = 90o => (2) =>(1) ®pcm Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đờng cao AH Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc H trên AB, AC Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp đợc Ph©n tÝch: C/m Tø gi¸c BIKC néi tiÕp (1) ta cã thÓ dïng mét hai c¸ch sau ®©y : C¸ch 1: Theo gi¶ thiÕt dÔ thÊy tø gi¸c AIHK néi tiÕp Nªn I1 = H1 nhng H1 = C1 (cïng phô víi H2) đó I1 = C1 ta có cách chứng minh thứ C/m (1) theo c¸ch 2.b A K I 1 B H Cách 2: Chứng minh (1) ta có thể sử dụng cách đợc không? C (1) AI AB = AK AC (2) §Ó chøng minh (2) ta cã thÓ sö dông hÖ thøc lîng gi¸c tam gÝac vu«ng AHC vµ AHB : AI AB = AH2 vµ AK AC = AH2 suy (2) đợc c/m => (1) đợc c/m phân tích để tìm cách chứng minh tứ giác nội trực giác hình vẽ bài toán (định lý) định hớng phơng pháp theo giả sử các bớc sau : Híng thø nhÊt: ( ph©n tÝch ®i lªn ) (7) Bớc 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn ta chọn phơng pháp A nào đó ( phơng pháp A là cách 1, cách …, cách ) thì ta phải chứng minh ®iÒu g× ? ( ®iÒu g× ë ®©y lµ mét c¸c hÖ thøc ë c¸ch ) Bớc 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh Bíc 3: Tr×nh bµy l¹i lêi gi¶i bµi to¸n theo híng ph©n tÝch trªn Híng thø hai: (Tæng hîp ) Bíc 1: Ph©n tÝch gi¶ thiÕt, nhËn biÕt nhanh c¸c tø gi¸c néi tiÕp ( b»ng mét c¸ch ) Bớc 2: Dùng tính chất tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có s¸u hÖ thøc cña c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp Bớc 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bµy lêi gi¶i Cái sáng tạo đây là hệ thống, liên kết chặt chẽ các phơng pháp để có thể nhận biết cách nhanh tứ giác nội tiếp đờng tròn Tự tin häc to¸n ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức diện tích các h×nh, … Ví dụ : Từ kết ví dụ ta có thể dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải bµi to¸n tiÕp theo : Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt vµ bæ xung thªm M lµ giao ®iÓm cña IK víi AB KÕt luËn chøng minh SAMN ≤ SABC (víi SAMN, SABC thø tù lµ ký hiÖu diÖn tÝch tam gi¸c AMN vµ tam gi¸c ABC ) Ta cã thÓ ph©n tÝch gi¶i tiÕp nh sau (h×nh vÏ ë vÝ dô 3) Tø gi¸c HCNK néi tiÕp => ANM = KHC = 45o => AMN lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A => AM = AN (1) Lại chứng minh đợc AKN = AKH (g.c.g) => AN = AH (2) Tõ (1) vµ (2) => AM = AN =AH Do đó SAMN = AM AN = AH2 còn SABC = AB AC 2 XÐt ABC vu«ng t¹i A cã : 1 AB2 + AC2 AB AC = + = ≥ = = 2 2 2 AB AC S ABC AH AB AC AB AC AB AC 1 ≥ Hay: SAMN SABC ( ®pcm) S AMN S ABC ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đờng thẳng song song, cặp đờng thẳng vuông góc: VÝ dô: (lÊy vÝ dô 2) Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt, kÕt luËn chøng minh PQ//AC (8) ThËt vËy ( h×nh vÏ ë vÝ dô 2) Tø gi¸c AQBP néi tiÕp => ACB = PAB ( cùng chắn cung AB ) mà PAB = PQB (cùng chắn cung BP đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ACB = PQB => PQ //AC (đồng vị ) ứng dụng 3: Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, … An cùng thuộc đờng tròn : Bíc 1: Chän bèn ®iÓm, vÝ dô A1, A2, A3, A4 t¹o thµnh mét tø gÝac néi tiÕp (sö dông mét c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ) Bíc 2: L¹i chän bèn ®iÓm kh¸c : A 1, A2, A3, A5 ch¼ng h¹n t¹o thµnh mét tø gi¸c néi tiÕp Cứ tiếp tục chứng minh nh trên, cuối cùng nhận xét các đờng tròn ngoại tiếp các tứ giác trên chung điểm A 1, A2, A3 Do đó các đờng tròn đó phải trùng => A1, A2, A3,…,An cùng thuộc đờng tròn VÝ dô: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®iÓm E thuéc BC, kÎ hai trung trùc cña AB vµ AC gÆp ë I Trung trùc cña AE c¾t hai trung trùc ë F, K Chứng minh điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên đờng tròn Ph©n tÝch : K Chøng minh ®iÓm A, E, F, I, K cùng nằm trên đờng tròn (1) A Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp AKIE C vµ AKIF (cã ®iÓm chung lµ A, K , I) (2) F I ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt => I BC vµ IB =IC (A = 90o) E V× IK lµ trung trùc cña AC, KF lµ trung trùcBcña AEH KA = KC = KE => KAI = KEI (=KCE) Tø gi¸c AKIE néi tiÕp (3) (theo c¸ch 4) ta l¹i cã K1 = K2 = I1= I2 (Các góc nội tiếp cùng chắn cung và tính chất đờng trung trực ) hay K1 = I1 => tø gi¸c AKIF néi tiÕp (theo c¸ch 4) (4) Tõ (3)vµ (4) => (2) => (1) ®pcm Chú ý : ví dụ này kẻ đờng cao AH tam giác ABC Hình vẽ trên là ứng víi ®iÓm E thuéc ®o¹n HC cßn trêng hîp n÷a lµ E thuéc ®o¹n HB vµ E n»m ngoµi ®o¹n BC chøng minh t¬ng tù (9) (10)