skkn một số ứng dụng của định lí vi ét

Điểm nổi bật trong đề tài này chính là sau mỗi ví dụ đều có bước phân tích tìm tòi lời giải, những lưu ý, nhận xét kèm theo đó là lờigiải chi tiết các ví dụ và hệ thống bài tập tương tự

MỤC LỤC Trang

PHẦN I LỜI MỞ ĐẦU……… …… …… 2

1 Lý do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu đề tài 3 Phạm vi nghiên cứu đề tài 4 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 5 Phương pháp nghiên cứu đề tài PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ……….….……… ….…….…….4

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ……….……… ………… 4

1.1 Định nghĩa 1.2 Một số tính chất về hàm số 1.3 Một số phương pháp đoán nghiệm 2 Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số……….5

2.1 Giải phương trình……… 5

2.2 Giải bất phương trình……….13

2.3 Giải hệ phương trình……… 15

PHẦN III KẾT LUẬN ……… 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….28

PHẦN I LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình môn toán ở trường trung học phổ thông (THPT), mảng kiến

thức về phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) rất quantrọng Đây cũng là một chủ đề hay và khó, thường xuyên có mặt trong các kỳ thichọn học sinh (HS) giỏi, Cao đẳng, Đại học trước đây bây giờ là kỳ thi Tốt NghiệpTrung học phổ thông quốc gia và chúng thuộc câu phân loại trình độ của HS ở mức

độ vận dụng bậc cao

Thực tế HS thường không giải được câu PT, BPT, HPT trong các kỳ thi bởi các lý

do Một là, những kiến thức và phương pháp (PP) giải PT, BPT, HPT được trình bàytrong các sách giáo khoa phổ thông còn khá đơn giản Hai là, thời lượng dành chotừng mảng kiến thức này ở trên lớp rất ít Ba là, PT, BPT, HPT có rất nhiều dạng và

PP giải khác nhau Bốn là, đại đa số HS thường chỉ biết sử dụng kinh nghiệm giảitoán nhờ vào các thuật toán giải đã biết trước đó mà quên mất rằng mọi lời giải toánđều có nguyên do của nó

Để khắc phục những lý do trên, đòi hỏi HS phải linh hoạt nắm bắt các dạng và PP

giải tương ứng Một trong những PP được đề cập trong đề tài này là “ Một số ứng

dụng tính đơn điệu của hàm số” Điểm nổi bật trong đề tài này chính là sau mỗi ví

dụ đều có bước phân tích tìm tòi lời giải, những lưu ý, nhận xét kèm theo đó là lờigiải chi tiết các ví dụ và hệ thống bài tập tương tự nhằm giúp HS không những biếtđược cách giải mà còn khắc sâu những đơn vị kiến thức có liên quan, định hướng

cho HS cách tư duy Đó chính là lý do tôi viết đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu đề tài

Về phía Giáo viên: Trao đổi, rút kinh nghiệm giúp quá trình giảng dạy tốt hơn

Về phía HS: Giúp HS có thêm PP để giải PT, BPT, HPT đồng thời rèn luyện cho

HS kỹ năng phân tích tìm tòi lời giải, định hướng cách tư duy để từ đó các em giảiđược các bài tập từ mức độ nhận biết, thông hiểu đến mức độ vận dụng cao trong

các đề thi

3 Phạm vi nghiên cứu đề tài

Các ví dụ và bài tập trong đề tài này thuộc Chương trình môn toán THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của PP để có thể áp dụng chúng vào giải toán.

Nghiên cứu lời giải các ví dụ và hệ thống bài tập tương tự

Áp dụng PP vào giải toán để thấy hiệu quả của PP so với các PP khác như PP bìnhphương, đặt ẩn phụ, nhân lượng liên hợp,…

5 Phương pháp nghiên cứu đề tài

Từ việc thu thập và nghiên cứu các tài liệu tham khảo thông qua các thao tác tổnghợp, phân tích, đánh giá, so sánh và đúc kết

Thảo luận, trao đổi, lấy ý kiến với HS và đồng nghiệp

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Để giải được các bài toán bằng cách vận dụng tính đơn điệu của hàm số thì những

kiến thức về hàm số như đạo hàm, sự biến thiên và kĩ năng đoán nghiệm là vô cùngquan trọng Sau đây tôi xin trích một số tính chất, định nghĩa và các PP đoán nghiệmthường được sử dụng và được phép sử dụng trong quá trình viết đề tài này

Trong đề tài này ta luôn giả thiết là một khoảng của

Tính chất 1 Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên Khi đó

Lưu ý Trong Tính chất 1, nếu là một đoạn hoặc một nửa khoảng thì phải bổ

Tính chất 2 Cho hàm số đơn điệu trên và Khi đó

Tính chất 3 Nếu hàm liên tục và đơn điệu trên thì phương trình

( là hằng số) có tối đa một nghiệm trên

Tính chất 4 Nếu hàm số liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên ,

một nghiệm trên

Tính chất 5 Nếu và là hai hàm số dương, cùng đồng biến ( hoặc cùng

biến) trên

1.3 Một số phương pháp đoán nghiệm

a Thế thử một vài giá trị vào phương trình để đoán nghiệm

Dựa vào điều kiện xác định của phương trình, ta có thể nhẩm ngay được nghiệm

b Sử dụng máy tính cầm tay

Ví dụ tìm nghiệm của phương trình

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

2.1 Giải phương trình

trình này bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số, ta thường biến đổi phươngtrình này về một trong các dạng sau đây

Dạng 1 trong đó hàm đơn điệu trên D.

Dạng 2 trong đó hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D và

là hàm nghịch biến ( đồng biến ) trên D.

Dạng 3 trong đó là hàm đơn điệu trên và

Phân tích Để giải phương trình chứa nhiều căn thức đầu tiên ta đặt điều kiện để các

căn thức xác định, sau đó để khử căn ta phải dùng các phép biến đổi tương đương,đặt ẩn phụ, nhân lượng liên hợp,…Tuy nhiên quan sát vế trái của phương trình (1) tathấy khi tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng Từ đó dự đoán vế trái

đây là những điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Lời giải

nghiệm tương tự Ví dụ 1

Lời giải 1

Lời giải 2

Dạng 1 Phương trình dạng

Phương pháp

nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 1 Giải phương trình

Ví dụ 2 Giải phương trình

Nhận xét Kinh nghiệm cho thấy đối với một số phương trình vô tỷ không quá phức

tạp nếu dùng tính đơn điệu giải được thì cũng có thể giải được bằng kĩ thuật nhânlượng liên hợp Tuy nhiên đối với bài toán càng phức tạp thì cách sử dụng tính đơnđiệu để giải cho ta lời giải ngắn gọn hơn

xác định và điều kiện ẩn sâu bên trong mỗi phương trình kết hợp với đánh giá bấtđẳng thức để thu hẹp miền cho ẩn Để hiểu rõ hơn vấn đề này ta xét ví dụ sau

Phân tích Bằng các thao tác chuyển vế và đặt nhân tử chung ta đưa phương trình

của biến để hàm số đơn điệu

Lời giải 1

Ví dụ 3 Giải phương trình

Lời giải 2

và

là hàm số đồng biến trên khoảng Do đó phương trình ( ) có tối đa 1 nghiệm Mặt khác ta có

Nhận xét Trong Ví dụ trên, tôi đã sử dụng tính chất “Tích của hai hàm số dương

cùng đồng biến trên D là một hàm số đồng biến trên D”.

miền của biến để hàm số đơn điệu

Lời giải

Bài tập 1 Giải các phương trình sau

Ví dụ 4 Giải phương trình

Phân tích Với điều kiện thì vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm

cho việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Lời giải

Phân tích Với điều kiện thì cả hai vế đều là hàm số đồng biến Do đó để sửdụng được tính đơn điệu của hàm số ta phải biến đổi phương trình (6) về dạng

Nhận thấy vế trái (*) là hàm số đồng biến, vế phải (*) là hàm nghịch biến, hơn nữa

Lời giải

Dạng 2 Phương trình dạng

Phương pháp

nghịch biến ( đồng biến ) trên D.

duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 5 Giải phương trình

Ví dụ 6 Giải phương trình

Suy ra là hàm số đồng biến và là

phương trình (6)

Bài tập 2 Giải các phương trình sau

Phân tích Bậc cao nhất của phương trình (7) là bậc 3, theo kinh nghiệm ta luôn

phân tích biểu thức bậc lớn (biểu thức ngoài dấu căn) theo biểu thức bậc nhỏ (biểu

Cụ thể

trình (7) giải được

Lời giải Ta có

Dạng 3 Phương trình dạng trong đó là hàm đơn điệu trên

Phương pháp

Nhận xét Bước 1 là bước khó nhất của bài toán, đòi hỏi người giải phải có

kĩ năng, kinh nghiệm biến đổi Để hiểu rõ hơn vấn đề này ta xét ví dụ sau

Ví dụ 7 Giải phương trình

(*)

Phân tích Tương tự Ví dụ 7, ta cần dựa vào biểu thức trong căn để biến đổi Cụ thể

Phân tích Nếu lập phương hai vế để khử căn bậc 3 thì dẫn đến phương trình phức

tạp Tuy nhiên nếu quan sát phương trình (9) thì ta nhận thấy các biểu thức trong

Ví dụ 8 Giải phương trình

Ví dụ 9 Giải phương trình

Phương trình (*) có dạng với Như vậy tới

Phân tích Phương trình (10) có dạng cơ bản Theo kinh nghiệm ta

Ví dụ 10 Giải phương trình

Bằng cách đồng nhất hệ số cùng bậc ta tìm được

Phân tích Phương trình (11) có dạng cơ bản Theo kinh nghiệm

Giải bất phương trình luôn được xây dựng dựa trên nền tảng là giải phương trình

Do đó cũng như giải phương trình, ta biến đổi bất phương trình đã cho về dạng hàmrồi sử dụng các tính chất của hàm đơn điệu để giải

Lời giải

Ví dụ 11 Giải phương trình

Điều kiện Khi đó

Lời giải

Suy ra là hàm đồng biến trên nửa khoảng

Bài tập 4 Giải các bất phương trình sau

2.3 Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số,trước hết ta cần phải hiểu kỹ định nghĩa và các tính chất được nêu trong phần cơ sở

lý thuyết của đề tài

Điểm mấu chốt của phương pháp này ở chỗ là từ các phương trình của hệ ta xây

phương trình trong hệ Sau đây chúng ta tìm hiểu hai loại cơ bản

Loại 1 Xét hàm số đại diện đơn điệu trên tập xác định đã biết trước

Loại này bao gồm các hệ phương trình chỉ dựa vào điều kiện có nghĩa, thậm chí

tục nghiên cứu

(1) Một số dạng chuẩn, cơ bản sử dụng tính đơn điệu hàm số

(2) Một số kỹ thuật tạo ra hàm số đại diện

a Chia hoặc nhân để tạo ra hàm số đại diện

b Cộng (trừ) theo vế hai phương trình trong hệ để tạo ra hàm số đại diện

c Sử dụng phép biến đổi tương đương để tạo ra hàm số đại diện

Loại 2 Xét hàm số đại diện đơn điệu trên tập chưa biết trước

Loại này bao gồm các hệ phương trình cần phải thu hẹp miền của ẩn để hàm đại

điều kiện có nghĩa và điều kiện ẩn sâu bên trong mỗi phương trình kết hợp với việcđánh giá bất đẳng thức

(1) Một số dạng chuẩn, cơ bản sử dụng tính đơn điệu hàm số

Loại 1 Xét hàm số đại diện đơn điệu trên tập xác định đã biết trước

Phân tích Phương trình (1) có dạng đa thức bậc 3 theo , ( theo ) độc lập nhau và

Vì đa thức bậc 3 theo đơn giản nên ta chọn hàm đại diện dựa vào nó, tức là xây

Lời giải

Dạng 1 Hệ chứa đa thức bậc ba dạng

Về nguyên tắc tổng quát ta thường xây dựng hàm đại diện

dựa trên phương trình này Các bước phân tích tìm hàm đại diện tương tựnhư ở phương trình Để hiểu rõ hơn vấn đề này ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ 15 Giải hệ phương trình

Dạng 2 Hệ chứa phương trình dạng

Về nguyên tắc tổng quát ta thường dựa vào biểu thức chứa căn để phân tích,

từ đó dự đoán hàm đại diện và biến đổi vế còn lại Để hiểu rõ hơn vấn đề này

ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ 16 Giải hệ phương trình

Phân tích Phương trình (2) mặc dù đơn giản nhưng ta khó tìm được mối quan hệ

17

Dạng 3 Hệ chứa phương trình dạng

Về nguyên tắc tổng quát ta thường nhân lượng liên hợp, từ đó dự đoán hàm

Phân tích Nhận thấy phương trình (1) có dạng

giải được

Lời giải

và biến đổi ta được phương trình

Nhận xét chung Trên đây tôi đã trình bày những dạng chuẩn, cơ bản trong việc sử

dụng tính đơn điệu của hàm số Nhưng trong rất nhiều bài toán, việc phát hiện rahàm đại diện và giải hệ này không hề dễ, tức là hàm đại diện được che dấu khá kỹ

Ví dụ 17 Giải hệ phương trình

Khi đó đòi hỏi người giải cần phải có kinh nghiệm biến đổi để phá vỡ sự che dấu đóđưa về những dạng hệ cơ bản quen thuộc nhất Sau đây, tôi xin trình bày một số kỹthuật tạo ra hàm đại diện cùng với các ví dụ minh họa để làm nguồn minh chứngcho điều này.

(2) Một số kỹ thuật tạo ra hàm số đại diện

a Chia hoặc nhân để tạo ra hàm số đại diện

Phân tích Phương trình (2) mặc dù đơn giản nhưng ta khó tìm được mối quan hệ

phương trình này có dạng đẳng cấp bậc 5 nên ta chia hai vế cho với mục đích

hệ phương trình (18) giải được

Lời giải

phương trình

thì ta cần chia để chúng độc lập, từ đó xây dựng được hàm đại diện Vấn đềđặt ra là chia cho biểu thức nào và dấu hiệu nhận dạng ra sao ? Để hiểu rõhơn vấn đề này ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ 18 Giải hệ phương trình

Với

b Cộng (trừ) theo vế hai phương trình trong hệ để tạo ra hàm số đại diện

Phân tích Đây là hệ đối xứng loại 2 nên ta giải theo phương pháp đã biết là trừ vế

theo vế hai phương trình trong hệ cho nhau ta sẽ được phương trình dạng

Cụ thể lấy (1) trừ (2) vế theo vế và biến đổi cô lập hai biến ta được

(19) giải được

Lời giải

Trong một số bài toán ta phải cộng (trừ) theo vế hai phương trình trong hệ, từ

đó xây dựng được hàm đại diện Vấn đề đặt ra là khi nào cộng, khi nào trừ vàdấu hiệu nhận dạng ra sao ? Để hiểu rõ hơn vấn đề này ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ 19 Giải hệ phương trình

Kết hợp với điều kiện, hệ (19) có một nghiệm là

Phân tích Phương trình (2) là một phương trình bậc 2 theo biến có biệt số delta

không chính phương nên không phân tích được thành phương trình tích Hơn nữanếu biểu thị theo và thế vào (1) thì ta được phương trình bậc 6 khó giải Do đó

ta phải tập trung vào phương trình (1) Tương tự ở phương trình ta phân tích vế phải

, từ đó dự đoán được

đưa về hàm đại diện ở hai vế Khi đó ta nghĩ đến việc kết hợp hai phương trình đểxây dựng hàm đại diện Cụ thể nếu quan sát thấy hệ số của biến ở (1) gấp đôi hệ

phương trình (20) giải được

c Sử dụng phép biến đổi tương đương để tạo ra hàm số đại diện

Ví dụ 20 Giải hệ phương trình

Trong một số bài toán tùy thuộc vào cấu trúc của từng hệ phương trình, đòihỏi người giải phải biến đổi các phương trình của hệ để tìm được mối liên hệgiữa các biến , từ đó xây dựng được hàm đại diện Để hiểu rõ hơn vấn đề này

ta xét ví dụ sau đây

Phân tích Phương trình (2) có cơ số 2, 3 nên khó đưa về cùng một cơ số để giải.

Do đó ta phải tập trung vào phương trình (1) Cụ thể

Lời giải

nghịch biến trên Do đó phương trình có tối đa một nghiệm Mặt khác ta có

Phân tích Phương trình (2) mặc dù đơn giản nhưng ta khó tìm được mối quan hệ

nên không phân tích được thành phương trình tích Do đó ta phải tập trung vàophương trình (1) Phương trình này đã cô lập hai biến và hai đa thức cùng bậc nên

trình bằng các phép phân tích ta được

với

Để làm được điều này ta dựa vào phương trình (2)

Ta có

Lời giải

Phương trình

Phân tích Phương trình (2) mặc dù đơn giản nhưng ta khó tìm được mối quan hệ

Ví dụ 23 Giải hệ phương trình

nên không phân tích được thành phương trình tích Do đó ta phải tập trung vào

phương trình (2) Ta có

Lời giải

vào (2) và biến đổi ta được phương trình

Phân tích Phương trình (1) mặc dù đơn giản nhưng ta khó tìm được mối quan hệ

có chứa những biểu thức chung nên trước hết ta thu gọn như sau

Ví dụ 24 Giải hệ phương trình

để tìm được hàm đại diện ta có thể biến đổi phương trình bởi một trong haicách sau

định dấu

Kết hợp điều kiện, hệ phương trình (24) có hai nghiệm là

Nhận xét Qua Ví dụ này, cũng chính là qua đề tài này tôi muốn gởi đến các bạn

thông điệp “ Có nhiều cách xét hàm đại diện cho một bài toán” Tuy nhiên tùy thuộcvào từng bài toán cụ thể mà chúng ta nên lựa chọn hàm đại diện cho phù hợp

Bài tập 5 Giải các hệ phương trình sau

PHẦN III KẾT LUẬN Qua đề tài này tôi đã nêu được cơ sở lý thuyết và một số ứng dụng tính đơn điệu

của hàm số vào giải PT, BPT, HPT Đề tài này gồm các ví dụ và bài tập được chọnlọc và sắp xếp một cách có hệ thống từ mức độ nhận biết đến mức độ vận dụng caonhằm giúp các em HS vừa củng cố được phương pháp vừa nâng cao kỹ năng giảitoán cũng như kỹ năng phân tích tìm tòi lời giải, kỹ năng so sánh đánh giá với cácphương pháp khác.

Một bài toán có thể giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên qua

đề tài này tôi thấy việc vận dụng tính đơn điệu vào giải PT, BPT, HPT cho ta lời giảinhìn chung mạch lạc và nhanh gọn hơn Tuy nhiên một điều mà các em HS nên nhớrằng đây không phải là phương pháp “ vạn năng ” để giải hết được các bài toán PT,BPT, HPT Vì vậy để thấy và làm chủ được phương pháp này cũng như những kỹthuật giải toán đòi hỏi các em HS phải nắm thật chắc phương pháp, lý thuyết vàluyện tập nhiều bài tập

Trong quá trình biên soạn đề tài này, mặc dù bản thân tôi đã hết sức cố gắng, songqua các bước phân tích tìm tòi lời giải rồi đi đến lời giải chi tiết các ví dụ có khichưa phải là phương án tối ưu và cũng có thể còn nhiều thiếu sót Tuy nhiên tôi hyvọng rằng đề tài này một lần nữa sẽ giúp ích phần nào cho các em HS trong quátrình học tập và ôn luyện, đặc biệt là những HS đang chuẩn bị kỳ thi chọn HS giỏicác cấp, kỳ thi THPT quốc gia đã và đang diễn ra với mong muốn đạt điểm cao Mặc dù tôi đã dành nhiều thời gian và tâm huyết cho đề tài này, song do kinhnghiệm, tư duy có hạn nên sự sai sót là điều khó tránh khỏi Tôi rất mong quý thầy

cô giáo đồng nghiệp và các em HS chân thành góp ý để đề tài này ngày một hoànthiện hơn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2016

Người thực hiện

Lê Đức Nhượng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục 2008