Chuỗi fourier và các loại hội tụ của nó

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ THANH KHUYÊN CHUŐI FOURIER VÀ CÁC LOAI H®I TU CUA NĨ Chun ngành: Giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN MINH TUAN HÀ N®I- 2014 Mnc lnc Lài nói đau Chuői Fourier 1.1 Mo đau ve giai tích Fourier 1.2 1.1.1 Nhac lai ve phương trình đao hàm riêng 1.1.2 Phương trình truyen sóng 1.1.3 Phương trình truyen nhi¾t 1.1.4 Phương trình Laplace 17 14 Chuoi Fourier 21 1.2.1 Chuoi Fourier khai tren hàm thành chuoi Fourier 22 1.2.2 Tính nhat cna chuoi Fourier 25 H®i tn cua chuői Fourier 2.1 30 H®i tu điem cna chuoi Fourier 30 2.1.1 Tích ch¾p 30 2.1.2 Phương pháp trung bình c®ng chuoi Fourier 32 2.2 H®i tu cna chuoi Fourier theo nghĩa bình phương kha tích 43 2.2.1 Tích 43 2.2.2 Chúng minh sn h®i tu bình phương kha tích 46 2.3 H®i tu đeu cna chuoi Fourier 53 2.4 Tro lai sn h®i tu điem cna chuoi Fourier 57 2.5 Hi¾n tưong Gibbs 63 2.5.1 Ví du ve hi¾n tưong Gibbs 63 2.5.2 Hi¾n tưong Gibbs cna hàm tőng quát 70 2.5.3 Khac phuc hi¾n tưong Gibbs 77 Ket lu¼n 81 Tài li¼u tham khao .82 LèI NĨI ĐAU Giai tích Fourier m®t nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG cna Tốn HQc nói chung cna Giai tích nói riêng Lý thuyet đưoc hình thành tù nhung yêu cau cna thnc te có nhieu úng dung lĩnh vnc khác Lu¾n văn đe c¾p tói lý thuyet chuoi Fourier v sn hđi tu cna nú Viắc nghiên cúu sn h®i tu cna chuoi Fourier có ý nghĩa rat lón đoi vói úng dung chuoi Fourier vào giai quyet nhung tốn khác Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, phan ket lu¾n v danh muc ti liắu tham khao Chng mđt se nhac lai mđt so khỏi niắm ve phng trỡnh vi phân đao hàm riêng Giói thi¾u tốn tiêu bieu cho phương trình đao hàm riêng thưịng g¾p phương trình truyen sóng, phương trình truyen nhi¾t phương trình Laplace Qua dan ta tói nhung van đe đau tiên ve giai tích Fourier Tiep theo, ta se nghiên cúu ve khái ni¾m chuoi Fourier tính chat ban cna Chương hai se trình bày khái ni¾m tính chat ban cna tích ch¾p, nhân tot, nhân Dirichlet, nhân Poisson, nhân Fejer Tù xét sn h®i tu điem cna chuoi Fourier Tiep sau nghiên cúu sn h®i tu cna chuoi Fourier theo nghĩa bình phương kha tích thơng qua xác đ%nh m®t khơng gian vecto vói tích chuan tương úng, ve sn h®i tu đeu cna chuoi Fourier Cuoi ta se nêu hi¾n tưong Gibbs cna hàm có điem gián đoan cách khac phuc Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Minh Tuan Tồn the ban lãnh đao thay khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa hQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà n®i giúp tơi có thêm nhieu kien thúc đe có the hồn thnh luắn v khúa HQc mđt cỏch tot ep Các thay phịng Sau Đai HQc tao nhung đieu ki¾n thu¾n loi giúp tơi hồn thành thn tuc bao v¾ lu¾n văn HQc t¾p Các thay ban seminar Tốn Giai Tích ve nhung góp ý đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tôi xin chân thành cam ơn tat ca nhung sn giúp đõ đóng góp quý giá ay Tơi rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay ban Hà N®i, tháng 10 năm 2014 Đő Thanh Khuyên Chương Chuői Fourier Trong chng ny, luắn se nhac lai mđt so tốn phương trình đao hàm riêng tiêu bieu phương pháp tìm nghi¾m cna chúng Trong q trình se xuat hiắn mđt vi ieu thỳ v%, nguon cho sn phát trien cna giai tích Fourier Qua ta đưa khái ni¾m ve chuoi Fourier tính nhat cna 1.1 1.1.1 Ma đau ve giai tích Fourier Nhac lai ve phương trình đao hàm riêng Phương trình vi phân đao hàm riêng (hay phương trình đao hàm riêng) đưoc bat nguon tù nhung toán thnc te chuyen đ®ng sóng cna âm thanh, búc xa đi¾n tù, sn lan truyen nhi¾t, Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Phương trình vi phân đao hàm riêng, [1]) Phương trình vi phân đao hàm riêng m®t phương trình liên h¾ giua hàm an u (x1, x2, , xn) đao hàm riêng cna nó, x1, x2, , xn l cỏc bien đc lắp Cu the, phương trình đao hàm riêng có dang ∂ku F , , ∂u , , k ∂xn ∂k1 ∂ n ) = (1.1) ∂u xn x hàm trình u đao có hàm m¾triêng phương trìnhhàm (1.1) Capcna cna phương cap cao nhat cna đao riêng Vớ dn 1.1.1 ã Phng trỡnh cap mđt cna hm hai bien ∂u ∂u F (x, y, u, , ) = ∂x ∂y • Phương trình cap hai cna hàm hai bien ∂u ∂u ∂2u ∂2u ∂ u F (x, y, u, , , ∂x2 ∂xy ) = , , ∂y2 ∂x ∂y Đ%nh nghĩa 1.1.2 Phương trình đao hàm riêng tuyen tính phương trình đao hàm riêng tuyen tính đoi vói an hàm tat ca đao hàm riêng cna Ví dn 1.1.2 ∂2u ∂2u ∂u ∂u ∂2u a(x, y) ∂x2 + 2b(x, y) ∂x∂y + c(x, y) ∂y2 + d(x, y) ∂x + e(x, y) ∂y + f (x, y)u = g(x, y), phương trình đao hàm riêng tuyen tính cap hai trưịng hop hàm hai bien Xét phương trình tuyen tính cap hai vói h¾ so thnc trưịng hop hai bien a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy) = (1.2) Trong lu¾n văn, se chi đe c¾p tói phương trình đao hàm riêng tuyen tính cap hai dang (1.2) Đoi vói phương trình này, ta se nghiên cúu2cu the ve phương trình truyen sóng phương trình truyen nhi¾t R Đây phương trình đao hàm riêng mà ta thưịng g¾p lý thuyet thnc te hai) Xétnghĩa phương1.1.3 trình đao hàmloai riêng tuyen trình tính cap điem tính (x0, cap y0 ) Đ%nh (Phân phương đao hai hàm(1.2) riêngvàtuyen bat k E no ú thuđc R2 ã Phng trình (1.2) thu®c loai phương trình elliptic neu b2(x0, y0) − a(x0, y0)c(x0, y0) < • Phương trình (1.2) thu®c loai phương trình hyperbolic neu b2(x0, y0) − a(x0, y0)c(x0, y0) > ã Phng trỡnh (1.2) thuđc loai phương trình parabolic neu b2(x0, y0) − a(x0, y0)c(x0, y0) = 1.1.2 Phương trình truyen sóng Đe đơn gian vi¾c tính tốn, phan se chi e cắp túi phng trỡnh dao đng cna dõy trưịng hop m®t chieu a Phương trình dao đ®ng cna soi dây Nghiên cúu sn chuyen đ®ng cna m®t soi dây căng thang theo chieu cna truc Ox Nhò m®t tác đ®ng làm cho soi dây dao đng mắt phang thang ỳng Ta coi moi iem cna dây d%ch chuyen thang góc vói truc Ox cựng mđt mắt phang (x, u) GQI u l đ lắch cna cỏc phan tu vắt chat so vúi v% trí cân bang, neu v¾y u = u(x, t), túc là, u hàm phu thu®c thịi gian t v honh đ cna cỏc phan tu vắt chat x Xét soi dây đong chat, khơng có ngoai lnc tác đ®ng vào dây sau thịi điem ban đau Khi hàm u(x, t) thoa mãn phương trình 22 ∂ u ∂2u ∂t =a (1.3) ∂x2 Phương trình (1.3) đưoc GQI phương trình truyen sóng Và thu®c vào loai phương trình hyperbolic T a đưoc v¾n = , lnc căng cnaH¾ soiso dây v GQI l mắt đ toc phõntruyen bo vắtsúng, chatatheo chieu dài soi Tdây b Cơng thúc nghi¾m cna phương trình truyen sóng ρ Nghiên cúu nghi¾m cna phương trình dao đ®ng cna soi dây o phan ta xét Bài tốn Cauchy đoi vói phương trình ∂ 2u ∂t2 = ∂x2 , −∞ < x < +∞ (1.3) a thoa mãn đieu ki¾n ban đau: u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x) Ta se xây dnng cơng thúc nghi¾m cho tốn (1.4) (1.5) Đau tiên, ta su dung phương pháp đői bien đe tìm nghi¾m cna tốn Cauchy Đ¾t ξ = x + at; η = x − at, ∂ u ∂2u ∂2u ∂2u = +2 + , ∂x2 ∂ξ2 ∂ξ∂η ∂η2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂ u 2 ∂ Vói < δ < π ta có ∫ −δ + N f (x0 − uu) − f (xuD ) 2π[SN (f )(x0) −¯ f − ∫ π + f (x0 − u) − f uDN (u)du (x+) u −δ ∫ δ + f (x0 − u) − f0 uDN (u)du+ (x−) ∫ + u 0 f (x0 − u) − f0 uDN (u)du (x−) u δ = J1 + J2 + J3 + nên ta có the J Ta biet nhân Dirichlet có phân tích DN (x) = viet J1 sau ∫ −δ + sin(N +1/2)x sin(x/2) sin(N + 1/2)u − J1 = ∫ −δ = π [f (x0 − u) − f (x0 )] + du sin(u/2) [f (x0 − u) − f (x0 )] [sin(Nu) cos(u/2) sin(u/2) −π + cos(Nu) sin(u/2)]du] =∫ (x0 − u) −δ [f sin(Nu)du − f (x− )] π sin(u/2) + cos (u/2 ) ∫ −δ + [f (x0 − u) − f0(x+)] cos(Nu)du −π ∫ −δ [f (x − u) − f (x )] χ[−π, Σ 0 cos( u/ 2) sin(Nu)d −δ](u) + sin(u/2) u = + − π ∫ −δ Σ + (u) [f (x0 − u) − f0(x )]χ[−π,−δ] −π ∫π = + cos(Nu)du ∫π g(x0, u) sin(Nu)du −π h(x0, u) cos(Nu)du −π = A + B + g(x , u) = [f (x cos(u/2) sin(u/2 − u) − f (x )] ) [−π, −δ] χ h(x0, u) = [f (x0 − u) − f (x+)]χ[−π,−δ](u) (u), Do f ∈ (−π, sin(u/2) −δ] Anên g vàB h eu thuđc L1L (, ).)Tựvú, ỏp dungb% bchắn e ta [−π, thu đưoc → ca N → ∞ Vì v¾y,tn, tích → N → ∞ Tương J phân → Jkhi N → ∞ Xét tích phân J2 ∫ f (x0 − u) − f0(x+) u sin((N + 1/2)u)du |J2| = − u sin(u/2 δ ) + sin(u/2 sin((N + 1/2)u) ∫ u ≤ −0 f (x − u) − f (x ) u δ ) du Do f thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz |f (x)−f (x0 )| ≤ C1 |x−x0 |α neu |x−x0 | < δ nên α |f (x0 − u) − f (x0 )| ≤ C|x0 − u − x0 | = C1 |u| u sin(u/2) Mà | sin((N + 1/2)u)| ≤ limu→0 = nên neu |u| < δ ∫0 |u/ sin(u/2)| ≤ C3 Do C1|u| ∫0 α−1 −δ |u|α−1du du ≤ C −δ |J2| ≤ C3 Tương tn đoi vói J3 ∫ δ f (x0 − u) − f (x+) |J3| = ≤ C3 ∫ δ u C2|u| C α−1 du ≤ u sin((N + 1/2)u)du sin(u/2) ∫ δ |u| α−1 du, C = max{C3C1, C3C2} Vì v¾y ∫ | J2| + |J3| ≤ | α−1 u| du ≤ + = C ∫0 −δ C ∫δ ∫−δ |u|α−1du ∫ δ − δ C |u|α−1du δ u|α−1du + ∫ |u|α−1du δ | =C C |u|α−1du = α δ |u| C = α α δα Vói s cho trưóc, ta cHQN δ N0 choα C δ α < πs |J1 | + |J4 | < πs vói MQI N ≤ N0 Khi ta thu đưoc |S¯N (f )(x0 ) − f (x0 )| < (πs + πs) = s 2π Vói trưịng hop x0 = ±π, l¾p lu¾n tương tn ta chúng minh đưoc SN (f )(x − π) → f¯(x − π) tai x = Đ%nh f thóa mãn đen đieu fki¾n Lipschitz 0MQI δ) tataicóso nguyên dương N m − s ≤ σn(f )(x) ≤ M + s, σN (f )(x) = (f ∗ Kn) (x) Bây giị, ta có the su dung tőng Cesàro ho¾c tőng Abel đe khac phuc hi¾n tưong Gibbs Ta xét ví du sau đe thay rõ đieu Ví dn 2.5.2 Xét hàm h(x) ví du 2.5.1 Ta hàm cóBây điemgiị, giánsuđoan xay racna hi¾n tưong đưoc mơđã ta biet hình 2.2 dungtai tőng Cesàro hàm Gibbs đe khac phuc hi¾n tưong sin(nx) Ta có SN (h)(x) = n= n Do tőng Cesàro thú N ΣN NΣ−1 σN (h)(x) n= 1− n Σ sin(nx) n Hình 2.3: Đo th% hàm h(x), tőng riêng S50(h)(x) tőng Cesàro σ50(h)(x) Ví dn 2.5.3 Xét hàm f (x) tuan hoàn chu kỳ 2π, đưoc cho boi f (x) =  π−x , 0≤x≤π  −π−x , π De dàng tính đưoc, an = vói mQi n bn = n Do ∞ f (x) ∼ ,π n n=1 Σ sin(nx) π x − ≤ Hi¾n tưong Gibbs cna hàm f (x) khac phuc hi¾n tưong Gibbs ≤ Hình 2.4: Đo th% hàm f(x), tőng riêng S50 (f )(x) tőng Cesàro σ50 (f )(x) Ví dn 2.5.4 Xét hàm bưóc nhay f xác đ%nh boi f (x) = Ta có an = bn = π ∫  −1,   1, ≤ x < π f (x) sin(nx)dx π −π ∫0 = π −π < x < ∫π sin(nx)dx − −π + Σ sin(nx)dx =2(1 − (−1)n) nπ Do N n Σ 2(1 − (−1) ) sin(nx) nπ N S (f )(x) = n=1 Và tőng Cesaro thú N NΣ σN (f )(x) −1 −n Σ 2(1 − (−1)n) sin(nx) nπ = n Ta có the quan sát hi¾n tưong Gibbs sn khac phuc bang tőng Cesàro Hình 2.5: Đo th% hàm f , tőng riêng S50 (f )(x) tőng Cesàro σ50 (f )(x) KET LUắN Luắn ó trỡnh by mđt cỏch chi tiet h¾ thong ve lý thuyet chuoi Fourier sn h®i tu cna N®i dung cna luắn bao gom: Khai trien chuoi Fourier cna mđt hàm kha tích, tuan hồn có chu kỳ 2π ho¾c 2Lcna bat kỳ dưói dang chuoi phúc ho¾c chuoi lưong giác Trình bày tính nhat Nêu tính chat ban xét sn h®i tu cna chuoi Fourier (h®i tu đeu, h®i tu điem h®i tu theo nghĩa bình phương kha tích) Cùng vói nêu hiắn tong Gibbs cna mđt hm so tai iem gián đoan, cách khac phuc ví du minh HQA cu the kèm Đóng góp lu¾n văn 1.Chúng minh sn ton tai cna hi¾n tưong Gibbs tai điem gián đoan bat kỳ cna hàm so 2.Trình bày chi tiet ví du kèm Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Thùa Hop (2001), Giáo trình phương trình đao hàm riêng, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [2] Nguyen Manh Hùng (2009), Phương trình vi phân đao hàm riêng, NXB Đai HQc Sư pham, Hà N®i [3] Tran Đúc Long, Nguyen Đình Sang, Hồng Quoc Tồn (2008), Giáo trình Giai tích, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [4] Anders Vretblad (2003), Fourier analysis and its applications, SpingerVerlag, New York [5] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford [6]H-T Shim (1994), On Gibbs’ phenomenon in wavelet subspaces and summability, Ph.D thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee [7]Kourosh Raeen (2008), A study of the Gibbs phenomenon in Fourier series and wavelets, M.A thesis, The University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico ... 17 14 Chuoi Fourier 21 1.2.1 Chuoi Fourier khai tren hàm thành chuoi Fourier 22 1.2.2 Tính nhat cna chuoi Fourier 25 H®i tn cua chuői Fourier 2.1 30 H®i... Lu¾n văn đe c¾p tói lý thuyet chuoi Fourier v sn hđi tu cna nú Viắc nghiên cúu sn h®i tu cna chuoi Fourier có ý nghĩa rat lón đoi vói úng dung chuoi Fourier vào giai quyet nhung tốn khác Bo cuc... câu tra lòi cho van đe thông qua chuoi Fourier 1.2 Chuői Fourier Trong phan bat đau nghiên cúu ky ve chuoi Fourier Đau tiên ta se đ%nh nghĩa the m®t chuoi Fourier, khai trien m®t hàm so thành chuoi,