Hiện tượng gibbs của chuỗi fourier

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYEN TH± GIANG HIfiN TƯeNG GIBBS CUA CHUŐI FOURIER LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYEN TH± GIANG HIfiN TƯeNG GIBBS CUA CHUŐI FOURIER Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NINH VĂN THU LèI CAM ƠN Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Ninh Văn Thu Nhân d%p này, xin bày to lòng biet ơn sâu sac chân thành nhat tói Thay Đưoc làm vi¾c dưói sn hưóng dan cna Thay, tơi thay trưong thành rat nhieu Thay Ngưịi dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng dan, kiem tra giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn đen lãnh đao thay cô khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i ve nhung kien thúc, nhung đieu tot đep mà tơi nh¾n đưoc suot q trình HQ c t¾p tai Khoa Tơi xin gui lịi cam ơn đen Phịng Sau Đai HQ c cna nhà trưịng tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành thn tuc HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Đ¾c bi¾t, tơi xin cam ơn đe tài Nafosted, mã so 101.02-2017.311 ho tro đào tao q trình hồn thi¾n lu¾n văn Cuoi cùng, tơi muon bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân ban bè Nhung ngưịi ln bên canh đ®ng viên nng h® tơi ca ve vắt chat v tinh than cuđc song v HQc t¾p M¾c dù ban thân tơi có nhieu co gang ban lu¾n văn van khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay, ban Hà N®i, tháng năm 2018 Nguyen Th% Giang Mnc lnc NHUNG KIEN THÚC CHUAN B 1.1 Mđt so khỏi niắm c ban .4 1.1.1 Tőng Dirichlet .4 1.1.2 Hàm liên tuc tùng khúc, hàm trơn tùng khúc .7 1.1.3 Đ%nh lý ve sn h®i tu cna chuoi Fourier .8 1.1.4 Khai trien Fourier khoang [−π; π] 1.1.5 Nguyên lý Riemann đ%a phương 10 1.1.6 Đ%nh lý Lebesgue ve sn h®i tu b% ch¾n 12 Hi¾n tưang Gibbs cua chui Fourier 14 2.1 Mđt so thuắt ngu v đ%nh lý 14 2.2 Chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 15 2.3 M®t so ví du cho SN∗ (f ) .22 2.4 Đánh giá chuan L1 cna SN∗ f − f vói thơng tin gián đoan khơng xác 35 TÀI LIfiU THAM KHAO 39 Me ĐAU Trong Toán HQc, hi¾n tưong Gibbs (tai x0 ), đưoc phát hi¾n boi Henry Wilbraham đưoc tái khám phá boi J Willard Gibbs, l mđt cỏch ắc biắt (peculiar manner) tőng riêng cna chuoi Fourier cna hàm tai dãy điem {xn } khơng h®i tu dãy điem {xn } dan đen điem x0 Lu¾n văn trình bày lai mđt so ket qua ve hiắn tong Gibbs dna theo báo "Gibbs phenomenon removal by adding Heaviside functions" cna tác gia Kyung Soo Rim (Đai HQc Sogang, HQ) Beong In Yun (Đai HQc Quoc gia Kunsan, HQ) đưoc đăng tap chí Advances in Computational Mathematics nm 2013 Nđi dung cna luắn oc trỡnh by hai chương: Chương I NhEng kien thÉc chuan b% Trong chương này, chúng tơi trình bày kien thúc ban tőng Dirichlet, đ%nh nghĩa hàm liên tuc, hàm liên tuc tùng khúc, hàm kha vi tùng khúc, đ%nh lý ve sn h®i tu cna chuoi Fourier, khai trien Fourier khoang [−π, π], nguyên lý Riemann đ%a phng, %nh lý Lebesgue ve sn hđi tu b% chắn Chương II Hi¾n tưang Gibbs cua chuői Fourier Trong chương này, đ%nh nghĩa xap xi SN∗ (f ) cho hàm f Tőng SN∗ (f ) đưoc cau tao tù tőng cna phan: tőng Fourier riêng thú N cna f , tőng Fourier riêng cna H0 tőng riêng Fourier cna Hxj Sau đó, chúng tơi chúng minh rang dãy SN∗ (f ) h®i tu đen hàm f (Đ%nh lý 2.1.1) Ket qua nói rang hi¾n tưong Gibbs đưoc loai bo ta su dung dãy SN∗ (f ) thay cho dãy tőng riêng thơng thưịng SN (f ) Ngồi ra, o phan cuoi cna chng ny, chỳng tụi giúi thiắu mđt so ví du đe minh HQA Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 Mđt so khỏi niắm c ban Tong Dirichlet Đ%nh nghĩa 1.1.1 Gia su f hàm kha tích đoan [−π; π] tuan hồn chu kỳ 2π Khi đó, h¾ so an, bn đưac xác đ%nh theo công thúc ∫ π an = π bn = f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, − π ∫ π π −π f (x) sin nxdx, n = 1, 2, , đưac GQI h¾ so Fourier cua hàm f , cịn chuői hàm lưang giác a0 +∞ + Σ (a cos nx + bn n n=1 sin nx) đưac GQI chuői Fourier cua hàm f Gia su f hàm kha tích [−π; π] tuan hồn vói chu kỳ 2π Xét chuoi Fourier cna Σa0+∞ + (an cos nx + bn n=1 sin nx) an, bn đưoc xác đ%nh Đ%nh nghĩa 1.1.1 Σn L¾p dãy tőng riêng Sn(x) = 2a0 + k= (ak cos kx + bk sin kx) ta thnc hi¾n phép bien đői Sn(x) = 2π = ∫ 1∫ π − π 1∫ π =1 π ∫ π π −π f (t)dt + π π f (t) [cos kt cos kx + sin kt sin kx] dt −π k=1 n Σ 1− Σn π cos k(t − Σ Σ k= x) + f (t)dt Dn(t − x)f (t)dt sin n + Dn 1 Σ (t − x)Σ Σn (t − x) = k= cos k(t − x) sin =n, bang phép the u = t−t − x x ta có Theo tính tuan cna f D + hoàn Sn(x) = π ∫ π Dn(u)f (x + u)du (1.1) − π Ve phai cna thúc (1.1) đưoc GQI tích phân Dirichlet cap n, Dn đưoc GQI nhân Dirichlet cap n Bo đe 1.1.1 (Bo đe Riemann) Gia su g hàm kha tích đoan [a; b] Khi đó, ta có a) b) lim ∫ b p→+∞ a lim p→+ ∞ ∫ a b g(t) sin(pt)dt = 0, g(t) cos(pt)dt = Chúng minh a) Cho trưóc ε > Gia su T m®t phân hoach đoan [a; b] vói điem chia a = t0 < t1 < < tn = b Đ¾t mi = ∆ti = ti − ti−1, inf g, [ti−1 ; ti ] Mi = sup g, [ti−1 ;ti ] ω i = Mi − m i , i = 1, 2, , n ∫ b ∫ n Σ ti n = g(t) sin ptdt g(t) sin ptdt a ∫ ti [g(t) Σ −1 − n −1 n i=1 i + ti ti i=1 = m ∫ ti sin ptdt m ] s.in ptdt ti −1 i Σ i= n ≤ Σ i i Σ ω ∆t + = i= Σ Σ + i p |m | i= Theo gia thiet g hàm 1kha tích đoan [a; b] nên ton tai m®t so δ > đoi vói phân hoach T mà d(T ) < δ ta có Σ ε < Co đ%nh δ cHQN co đ%nh phân hoach T cho d(T ) < δ ta cHQN p đn i i= p Σ Σn ε lón đe cho =2 |m | < Vói MQI ε > ton tai m®t so tn nhiên p0 cho vói MQI p > p0 ta có ∫ b Σ Σ ε ε g(t) sin ptdt.≤ < + = + ε hay lim ∫ p→+∞ a b) Tương tn ∫ b b g(t) sin ptdt = .Σ n ∫ ti n = g(t) cos ptdt g(t) cos ptdt a ∫ ti [g(t) Σ −1 −1 n = i=1 i + ti ti i=1 m ∫ ti cos ptdt m ] c.os ptdt − n ti −1 i Σ i= n ≤ Σ i i Σ ω ∆t + i= = Σ + Σ i p1 |m | i= so tn nhiên p0 cho vói MQI p > p0 ta có Vói MQI ε > ton tai m®t ∫ b Σ Σ ε ε g(t) cos ≤ < + = + ε ptdt 2 ∫ hay lim b p→+∞ a g(t) cos ptdt = H¾ qua 1.1.2 Dãy h¾ so Fourier {an} {bn} cua hàm kha tích [−π; π] có giái han bang n → ∞ 1.1.2 Hàm liên tnc tÈng khúc, hàm trơn tÈng khúc Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Hàm liên tic) i) Cho t¾p hap A ⊂ R, hàm so f : A → R điem x0 ∈ A Neu vái MQI ε > cho trưác bao già ton tai δ > (phn thu®c vào ε) cho vái MQI x ∈ {x ∈ A : |x − x0 | < δ} ta đeu có |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói hàm f liên tnc tai điem x0 ii) Neu f liên tnc tai MQI điem x ∈ A ta nói f liên tnc A Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Hàm liên tic đeu) Hàm so f : A → R đưac GQI liên tnc đeu A neu vái MQI ε > cho trưác bao già ton tai δ > (phn thu®c vào ε) cho vái MQI x, xJ ∈ A thóa mãn |x − xJ | < δ ta đeu có |f (x) − f (xJ )| < ε Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Điem gián đoan loai m®t) Cho hàm so f : [a; b] → R Gia su x0 ∈ (a, b) Neu ton tai đong thài hai giái han huu han lim f (x) lim f (x) nhat m®t hai giái han khác f (x0) x→x+ x→x− x0 đưac GQI điem gián đoan loai m®t Đ%nh nghĩa 1.1.5 (Hàm liên tic tÙng khúc) Cho hàm f xác đ%nh đoan [a; b] Neu ta có the chia đoan [a; b] thành huu han đoan [ai; bi], (i = 1, 2, , k) bái điem chia: a = a1 < b1 < < ak < bk = b cho mői khoang (ai; bi) hàm f liên tnc ton tai giái han huu han limx→a+0 f (x) = f (ai + 0) limx→b−0 f (x) = f (bi − 0) vái MQI i = 1, 2, , k ta i i nói hàm f liên tnc tùng khúc [a; b] Đ%nh nghĩa 1.1.6 (Hàm trơn tÙng khúc) Cho T = [−π, π] , gia su f m®t hàm tuan hồn vái chu kì 2π trnc so thnc Ta nói f m®t hàm trơn tùng khúc T neu f có huu han điem gián đoan loai m®t tai xj ∈ T , vái −π = x0 < x1 < < xn < xn+1 = π ak = π bk = −2 π x π ) Σ =  Ta có: H−π (x) =  1 H 0( ) sin(kx)dx = π neu −π3 < x ≤ π −0 neu − π ≤ x < , π sin(kx)dx = 0, Khai trien Fourier cho H π−3(x), ta có ∫ π a0 = π ∫ H−π (x)dx = π , − π π π − dx = 3 ∫ ak = π ∫ − H−π (x) cos(kx)dx = π ) sin( kπ π cos(kx)dx = π ∫−ππ cos( kπ ) − (−1)k ∫3 , kπ π bk = H−π (x) sin(kx)dx = π −π N Σ ) SN (H−π )(x) = k= sin( π π kπ cos( kπ sin(kx)dx = cos(kx) + kπ , kπ Σ ) − (−1)k sin(kx) kπ 0 neu − π ≤ x < + π , Ta có: H 2π (x) = 1 neu 2π3 < x ≤ π Khai trien Fourier cho H 2π3 (x), ta có ∫ ∫ π a0 = π −π H 2π (x)dx = ∫ ak = π π dx = , π H 2π (x) cos(kx)dx π = π −π π 2π ∫ π π H = −πN 2π (x) sin(kx)dx π − sin( ) cos(kx)dx = ∫ , kπ 2π ∫ bk = 2k π cos( 2kπ ) − (−1)k sin(kx)dx = Σ , π − sin( 2kπ ) SN (H=2π )(x) + 3 kπ k=1 V¾y, SN∗ (f1 )(x) =SN (f1 )(x) − + SN Σ − 44 π H− Σ cos( 2kπ ) − (−1)k 2π 3 +cos(kx) sin(kx) kπ ΣS (H )(x) − S (H )( )Σ N x (x) − H−π (x) 2N − Σ 25 SN (x) − H 2π (x) H 2π Σ Σ Khi N = 20, S20 (f1 ), S2∗0 (f1 )đưac ve hình (2.5) (2.6) Ví dn 2.3.3 Cho f2 hàm Lipschitz tùng phan dưái đây: √ Σ −π ≤ x < 0, f (x) =  (x − π) − < x ≤ π x + π + Σ Hình 2.6: S2∗0 f1 (x) Hàm f2 có điem gián đoan loai m®t tai Bưác nhay: J(0, f2 ) = f2 (0+ ) − f2 (0− ) √ = π2 − π − Theo (1.2), L( f √  x + π + −π ≤ x < 0, )(x) = (x − π)2 − − (π2 − √π − 2) < x ≤ π √ Tù có đó, ta suy J(−π, L(f2 )) = π − π Khai trien Fourier cho hàm f2 (x), ta ∫ ∫π π2 − π 2− 1 , dx (x − π) a0 = f (x)dx = π ∫−π π Σ = π π ak = f2 (x) cos(kx)dx = π ∫−π π ∫0 bk = π = π −π f2 (x) sin(kx)dx = ∫ π π , (x − π) − cos(kx)dx = k2 Σ (x − π)2 − sin(kx)dx Σ (π2 − 1)k2 − + (k2 + 2)(−1)k πk , N π2 − Σ SN (f2 )(x) = + k =1 6.2 k k Σ 2 cos(kx) + (π − 1)k − + (k + 2)( 1) sin(kx) − πk3 Hình 2.7: log(1 + |S20 f1 (x) − f1 (x)|) (hình trên), log(1 + |S2∗0 f1 (x) − f1 (x)|) (hình dưói)  0 (x) =  Ta có: H0 neu − π ≤ x < 0, neu < x ≤ π Khai trien Fourier cho hàm H0(x), ta đưac N k Σ (−1) − S N (H0)(x) = + sin(kx) k k= π Ta có: H0 x ( )= 0 neu − 2π ≤ x < 0, 1 neu < x 2π .x Σ Khai trien Fourier cho hàm H , ta đưac ≤ (H0 S2N x ) 2Σ = Hình 2.8: f2(x) V¾y, SN∗ (f2 )(x) =SN (f2 )(x) + (π − − (π2 − √ π) ΣSN (H0 )(x) − S2N (H0 )( )Σ x √ π − 2) [SN (H0)(x) − H0(x)] Khi S20 (f2 ), S2∗0 (f2 ) đưac ve hình (2.9) (2.10) N chuan L1 chuan L2 SN (f1 ) − f1 chuan L∞ SN∗ (f1 ) − f1 SN (f1 ) − f1 SN∗ (f1 ) − f1 SN (f1 ) − f1 SN∗ (f1 ) 20 40 60 80 100 120 0.6322 0.0330 0.5264 0.0155 1.5329 0.0332 0.3375 0.0163 0.3634 0.3374 1.5038 0.0107 0.2310 0.0106 0.3017 0.0048 1.5139 0.0071 0.2015 0.0080 0.2618 0.0036 1.5087 0.0084 0.1604 0.0064 0.2323 0.0029 1.5013 0.0043 0.1307 0.0053 0.2135 0.0024 1.5069 0.0036 − f1 Hình 2.9: f2(x) Hình 2.10: S2∗0 f2 (x) N chuan L1 chuan L2 SN (f2 ) − f2 chuan L∞ SN∗ (f2 ) − f2 SN (f2 ) − f2 SN∗ (f2 ) − f2 SN (f2 ) − f2 SN∗ (f2 ) 20 40 60 80 0.8244 0.2962 0.1335 3.1516 0.1550 0.0665 3.1006 0.0955 0.0985 0.7974 0.5686 33 0.4656 0.4746 0.1480 0.3399 0.0443 3.0833 0.0730 0.2673 0.0738 0.4037 0.0331 3.0747 0.0607 − f2 100 0.2214 0.0590 0.3614 0.0265 3.0695 0.0527 Hình 2.11: log(1 + |S20 f2 (x) − f2 (x)|)(hình trên), log(1 + |S2∗0 f2 (x) − f2 (x)|)(hình dưói) 53 Hình 2.12: ||S2∗0 f1 (x) − f1 (x)||L∞ Hình 2.13: ||S2∗0 f2 (x) − f2 (x)||L∞ 2.4 Đánh giá chuan L1 cua SN∗ f − fvái thơng tin gián đoan khơng xác Trong phan này, ta đánh giá SN∗ (f ) − f SN∗ (f ) đưoc xây dnng tù thông tin gián đoan khơng xác Cho x˜j m®t v% trí gián đoan khơng xác J˜(x˜j ; f ) m®t bưóc nhay khơng xác tương úng tai x˜j thoa mãn |xj − x˜j | < s (j = 1, 2, , n), |J(xj ; f ) − J˜(x˜j ; f )| < s (4.16) (j = 0, 1, , n) ˜∗ (f ) sau Trong trưịng hop này, sn khác bi¾t ve ký hi¾u, ta ký hi¾u SN ∗ ˜∗ S J˜(x(f )(x) = S (f )(x) + N ;[SL˜ (f )) (H )(x) − S (H − n Σ 2N N N x )( )] J˜(x˜j , f )[SN (Hx˜j (x) − Hx˜j (x)], (4.17) j=1 f (x) − Σn J˜(x˜j , f )Hx˜ (x) (4.18) L˜ (f )(x) := j= x˜j , j f (x˜j −) − Σj−1 J˜(x˜k , f ) vói j = 1, 2, , n neu x vói moi j, Tù đó, ta suy |S˜∗ (f )(x) − f (x)| ≤ |S ∗ (f )(x) − f (x)| + |S ∗ (f )(x) − S˜∗ (f )(x)| N N N N := I + II Theo Đ%nh lý 2.1.1, I tri¾t tiêu đeu T , đánh giá II ta có II < | J˜(x0 + n Σ ; L˜ (f )) − J(x0 x ; L(f ))|| (H0 )(x) − S2N (H0)( )| SN |J˜(x˜j ; f )[SN (Hx˜j )(x) − Hx˜j (x)] − J(xj ; f )[SN (Hxj )(x) − Hxj (x)]| j=1 := III + n Σ IV j=1 Theo (4.16), ton tai hang so C1 khơng phu thu®c vào N thoa mãn III ≤ C1s M¾t khác, IV b% ch¾n boi IV ≤ |J˜(x˜j ; f )[SN (Hx˜j )(x) − Hx˜j (x)] − J(xj ; f )[SN (Hx˜j )(x) − Hx˜j (x)]| + |J(xj ; f )||[SN (Hx˜j )(x) − Hx˜j (x)] − [SN (Hxj )(x) − Hxj (x)]| := V + V I Theo (4.16) ton tai hang so C2 không phu thu®c vào N thoa mãn V ≤ C2s, đó, hang so C2 suy tù tính b% ch¾n đeu cna SN (Hx˜j ) Cuoi V I = |J(xj ; f )||SN (Hx˜j − Hxj )(x) − Hx˜j (x) + Hxj (x)| Vì SN (Hx˜j − Hxj )(x) mđt chuoi b% chắn eu nờn theo %nh lý Lebesgue ve mien hđi tu, V I triắt tiờu theo chuan L1 V¾y ta ket lu¾n đ%nh lý sau Đ%nh lý 2.4.1 Vái ký hi¾u phan (4.16), (4.17), (4.18), ton tai m®t hang so C khơng phn thu®c vào N f thóa mãn ∗ ǁS˜N (f ) − f ǁ ≤ Cs, vái N đu lán Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, chúng tơi đat đưoc ket qua sau: • Nhac lai mđt so kien thỳc c ban nh khỏi niắm chuoi Fourier, chúng minh đ%nh lý ve sn h®i tu cna chuoi Fourier cna mđt hm trn tựng khỳc ã Xây dnng tőng riêng SN∗ bang cách c®ng thêm vào dãy tőng riêng SN cna chuoi Fourier hàm Heaviside phù hop chúng minh ket qua ve sn h®i tu cna dãy tőng riêng Tù đó, ta loai bo hiắn tong Gibbs cỏc iem giỏn oan ã a mđt so vớ du minh HQA Ti liắu tham khao [1] Tran Đúc Long, Nguyen Đình Sang, Hồng Quoc Tồn (2010), Giáo Trình Giai Tích t¾p 2, Nhà Xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [2] Tran Đúc Long, Pham Kỳ Anh (2001), Giáo Trình Hàm thnc Giai Tích Hàm, Nhà Xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [3] K S Rim and B I Yun (2013), Gibbs phenomenon removval by adding Heaviside functions, Adv Comput Math 38, no 4, 683–699 [4] G Kvernadze (1998), Detection of the jumps of a bounded function by its Fourier series, J Approx Theory 92, 167–190 [5] A J Jerri (1998), The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations, Kluwer Academic Publ., London ... chuoi Fourier .8 1.1.4 Khai trien Fourier khoang [−π; π] 1.1.5 Nguyên lý Riemann đ%a phương 10 1.1.6 Đ%nh lý Lebesgue ve sn h®i tu b% ch¾n 12 Hi¾n tưang Gibbs cua chui Fourier. .. ve sn h®i tu cna chuoi Fourier, khai trien Fourier khoang [−π, π], nguyên lý Riemann đ%a phng, %nh lý Lebesgue ve sn hđi tu b% chắn Chương II Hi¾n tưang Gibbs cua chuői Fourier Trong chương này,... Fourier riêng thú N cna f , tőng Fourier riêng cna H0 tőng riêng Fourier cna Hxj Sau đó, chúng tơi chúng minh rang dãy SN∗ (f ) h®i tu đen hàm f (Đ%nh lý 2.1.1) Ket qua nói rang hi¾n tưong Gibbs