Hiện tượng Gibbs của hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và tại điểm bất kỳ

Bài viết trình bày nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và mở rộng tại điểm bất kỳ. Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng một họ các nhân xác định đường tổng Cesaro.

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC HIỆN TƯỢNG GIBBS CỦA HÀM TỔNG QUÁT CÓ ĐIỂM GIÁN ĐOẠN TẠI GỐC TỌA ĐỘ VÀ TẠI ĐIỂM BẤT KỲ THE GIBBS PHENOMENON OF THE GENERAL FUNCTION HAS A DISCONTINUITY AT THE COORDINATES AND AT THE WHETHER Nguyễn Kiều Hiên1, Nguyễn Thị Hải Đường1, Lưu Thị Thu Huyền2 Email: nguyenkieuhien@gmail.com.vn Trường Đại học Sao Đỏ Trường Đại học Hùng Vương Ngày nhận bài: 23/8/2017 Ngày nhận sửa sau phản biện: 22/12/2017 Ngày chấp nhận đăng: 28/12/2017 Tóm tắt Trong báo này, nghiên cứu tồn tượng Gibbs hàm có điểm gián đoạn gốc tọa độ mở rộng điểm (xem [2]) Đồng thời khắc phục tượng Gibbs ta sử dụng họ nhân xác định dương tổng Cesaro Từ khóa: Chuỗi Fourier; tượng Gibbs; điểm gián đoạn; tổng Cesaro Abstract In this paper, we research the existence of Gibbs for a function with a discontinuity at the coordinates and at the whether (see [2]) At the same time overcoming the Gibbs phenomenon we will use a they multiplication the positive of Cesaro sum Keywords: Fourier series; Gibbs phenomenon; discontinuity point; Cesaro sum GIỚI THIỆU Năm 1898, J Willard Gibbs nghiên cứu hội tụ chuỗi Fourier hàm gián đoạn phát tượng Gibbs Tuy nhiên, phải đến năm 1906 Maxime Bocher có lời giải chi tiết mặt tốn học Trong báo này, chúng tơi mô tả dáng điệu chuỗi Fourier hàm tổng quát có điểm gián đoạn gốc tọa độ, điểm đồng thời đưa cách khắc phục tượng Gibbs sử dụng tổng Cesaro, trình bày ví dụ khắc phục tượng Gibbs kèm theo hội tụ Nhưng điều xảy tổng riêng gần với điểm gián đoạn? Thác triển tuần hoàn chu kỳ 2π cho h xác định  h ( x ) = nếu= x k 2π ,= x ( 2k + ) π h ( x ) = [ ( 2k + 1) π − x] kπ < x < ( k + ) π Như vậy, hàm h liên tục tất điểm trừ điểm x = 2kπ , với k ∈  Ở π HIỆN TƯỢNG GIBBS h ( kπ + ) = h ( ( k + ) π + ) = Bài tốn: Xét hàm tuần hồn chu kỳ 2π xác định h ( kπ − ) = h ( ( 2k + ) π − ) = − x = 0, 0,  h ( x )= (π − x ) 2, < x < 2π ,  x = 2π 0, Dễ dàng tính được, an = với Do sin ( nx ) , ≤ x ≤ 2π ( h )( x )  ∑ n n =1 N π Xét lân cận phải điểm N sin ( nx ) S N ( h )( x ) = ∑ n n =1 n bn = n , Lấy đạo hàm ta ′ S= N ( h )( x ) N C cos ( nx ) ∑= n =1 : ( 0, π ) Ta có tổng riêng  DN ( x ) − 1 2 sin ( N + ) x = − 2sin ( x ) Ta thấy toán h gián đoạn x = x = 2π nên chuỗi Fourier khơng = sin ( Nx ) Ccos ( N + 1) x  sin ( x ) 58 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC Ở đây, đẳng thức cuối không x = Từ suy S N′ ( h )( x ) = 0, có khơng điểm π + kπ = xkk = , k 0,1, 2, N +1 Hàm số S N′ ( h )( x ) đổi dấu luân phiên hai khoảng liên tiếp điểm chia xk Từ suy xk điểm cực trị S N ( h )( x ) Điểm x0 điểm cực đại, hàm số đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm Hơn nữa, S N ( ) = nên x S N ( h )( x ) = ∫ S N′ ( h )( t )dt x =∫ sin ( Nt ) Ccos ( N + 1) t  dt sin ( t ) Do hàm dấu tích phân, hàm mẫu tăng ( 0, π ) hàm tử số đổi dấu luân phiên qua không điểm xk Do đó, giá trị lớn ( 0, π ) S N ( h )( x ) đạt điểm π x0 = Vậy bên phải điểm cực đại x0, biên N +1 độ dao động hàm S N ( h )( x ) giảm dần sau dao động xung quanh giá trị hàm h ( x ) Xét điểm cực đại x0 , h ( x0 ) = π − x0 S N ( h )( x0 ) − h ( x0 ) = ∫ x0 ∫ x0 0 Tích phân bị chặn lân cận gần t = dần tới t → ∞ J ( x0 ) hội tụ N → ∞ Do lim S N= ( h )( x0 ) ∫ N →∞ π lim h ( x0= ) N →∞ π sin u du ≈ 1,85, u ≈ 1,57 Với N cho trước, tổng riêng S N ( h )( x ) có giá trị cực đại ( 0, π ) Khi N → ∞ dãy giá trị cực đại dần tới 1,85, giá trị cực trị khác hàm tổng riêng dao động xung quanh giá trị h Xét lân cận trái điểm 00: ( −π , ) Dáng điệu tương tự xảy S N ( h )( x ) Cụ thể, x dần tới từ bên trái, đồ thị hàm S N ( h )( x ) không dao động mà giảm giá π trị − để đạt giá trị nhỏ − x0 sau tăng liên tục đến bước nhảy bên lân cận phải, vượt π đà giá trị để đạt cực đại x0 sau dao động ổn định xung quanh giá trị h trước điểm gián đoạn kế tiếp, toán điểm 2π Điều gọi tượng bước nhảy Gibbs hay tượng Gibbs Định nghĩa (xem [1]) sin ( N + ) t π dt − 2sin ( t ) Cho hàm f khả tích tuần hoàn với chu kỳ 2π Với N số nguyên dương, tổng riêng thứ N chuỗi Fourier hàm f xác định sin ( N + ) t dt + 2sin ( t ) SN ( f x0  1 π + ∫  −  sin ( N + ) tdt −  2sin ( t ) t  = I ( x0 ) + J ( x0 ) − Trong I ( x0 ) = ∫ x0 = ∫ π J (= x0 ) ∫ x0 π sin ( N + ) t dt 2sin ( t ) sin u du ≈ 1,85, u  1  1  2sin ( t ) − t  sin  N +  tdt   N )( x ) = ∑ fˆ ( n )einx n= − N Định nghĩa (xem [3]) Cho tổng riêng S0 ( f )( x ) , S1 ( f )( x ) , , S N −1 ( f )( x ) Ký hiệu σ N ( f )( x ) tổng Cesaro thứ N ( f )( x ) = chuỗiσFourier σ N ( f )( x ) = S0 ( f N )( x ) + S1 ( f )( x ) + + S N −1 ( f )( x ) N S0 ( f )( x ) + S1 ( f )( x ) + + S N −1 ( f Định nghĩa (xem [2]) N )( x ) Cho hàm f ( x ) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π cho hạn chế ( −π , π ) hàm thuộc L1 ( −π , π ) Khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc α > x0 tồn số C cho Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 59 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC f ( x ) − f ( x0 ) ≤ C x − x0 lân cận x0 điều kiện Lipschitz J + J3 ≤ C ∫ u α −d ≤ f gọi thỏa mãn f ∈ L1 ( −π , π ) hàm tuần hoàn h ∈ C[1α , b ] hàm cho [α , b ] ∈ [ −π , π ] Khi b ∫α f ( x − u ) h ( u ) sin ( lu ) du Ta viết lại l → ∞ −π f ( x0+ ) + f ( x0− ) n → ∞ Hơn nữa, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz lân cận hội tụ đến f lân cận x0 n → ∞ Định lý (xem [4]) Giả sử f thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc < α < ( a, b ) Khi S N ( f ) hội tụ đến f khoảng đóng [c, d ] ⊂ ( a, b ) Chứng minh: d < {c − a, b − d } Theo định lý 2, ta có  S N ( f )( x ) − f ( x ) = 2π Đặt f ( x0 ) = d N − , < d < π , ta có )( x0 ) − f ( x0 ) f ( x0 − u ) − f ( x0+ ) uDN ( u ) du −π u + f ( x0 − u ) − f ( x0 ) +∫ uDN ( u ) du −d u − d f ( x0 − u ) − f ( x0 ) +∫ uDN ( u ) du u f ( x0 − u ) − f ( x0− ) uDN ( u ) du u −d = J1 + J + J + J Suy −∫ −d −π f ( x0+ ) sin ( uN + u ) du sin (u 2) sin ( uN + u ) du sin (u 2) = K1 − K Do ∈ C[1−π ,−d ] sin (u 2) Theo định lý 1, tính trù mật C[1−π , −d ] cho tích phân K1 K1 hội tụ đến l → ∞ −π , b = −d l= N + L1[−π ,−d ] nên với α = Tích phân K hội tụ Do vậy, J1 hội tụ đến N → ∞ Tương tự với J Từ suy điều phải chứng minh Bây giờ, chứng minh tồn tượng Gibbs điểm gián đoạn hàm trơn khúc g Xét hàm g ( x ) trơn khúc với bước nhảy cho = g ( 0+ ) lim+ g ( x ) ≠ ±∞; x →0 =∫ +∫ π ∫ π  f ( x − u ) − f ( x )D ( u ) du f ( x0+ ) + f ( x0− ) 2π  S N ( f J1 J1 = ∫ f ( x0 − u ) Cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz phải trái x0 Khi Lấy du C α −1 C d α −1 u du + u du ∫−d ∫0 −d Định lý (xem [3]) )( x0 ) → α −1 α −1 d C d α −1 u du C u = ∫0 du ∫−d uα d C α d = C= α α Cho SN ( f d du + C ∫ u = Định lý (xem [4]) hội tụ đến α −1 = g ( 0− ) lim− g ( x ) ≠ ±∞ x →0 đó, loại điểm gián đoạn xác định hàm h ( x ) sau  g ( 0+ ) − g ( 0− )   f ( x) h= ( x ) g ( x ) −   π   Trong f ( x ) hàm hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác định x = 0, 0,  f ( x )= (π − x ) 2, < x < 2π , 0, x = 2π  Cho x → 0+ ta 60 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC lim h ( x ) = Tương tự, x → x → 0+  g ( 0+ ) − g ( 0− )   lim+ f ( x ) = lim+ g ( x ) −  x →0   x →0 π   lim− h ( x ) = = g ( 0+ ) + g ( 0− ) lim h ( x ) = h ( ) có 2 với x ≠ hx(j x ) =  1 + −  ∑  g ( x0 ) − g ( x0 )   f ( x − x j ) , π j   1 + −   g ( xx) −= x ∑  g ( x0 ) − g ( x0 )   f ( x − x j ) , với π j j  g x +j + g x −j h ( x) = h ( x) = g ( x) − ( ) ( ) Chứng minh tương tự trường hợp x = x0 ta chứng minh cho tượng Gibbs cho hàm g điểm x1 , , x j KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS Để khắc phục tượng Gibbs ta sử dụng phương pháp xây dựng hàm số không trực tiếp tổng riêng chuỗi mà từ trung bình cộng chúng Phương pháp ưu việt chỗ khơng đem lại tính hội tụ, mà hội tụ tới hàm f Phương pháp gọi phương pháp lấy trung bình cộng hay lấy tổng Cesaro x = x0 g ( x0+ ) + g ( x0− ) Khi f ( x ) hàm tuần hoàn chu kỳ xác định toán 2π x → x ta thu x → x0+  g ( x + ) − g ( x0− )   lim+ f ( x − x0 )   x → x0 π   ( ) Định lý sau tích chập với nhân xác định dương loại bỏ hiệu ứng Gibbs Định lý + 0 lim+ h ( x ) == lim g ( x ) −  x → x0 g ( x0+ ) − g ( x0− ) Trường hợp g có số điểm gián đoạn nhảy hữu hạn x1 , , x j trơn khúc nơi trừ điểm ta xác định h ( x ) g ( 0+ ) + g ( 0− )  g ( x0+ ) − g ( x0− )   f ( x − x0 ) , h ( x) = g ( x) −    π   Ta cho Vậy h ( x ) liên tục x0 S N ( f ) hội tụ lân cận x0 Do hàm g xảy tượng Gibbs x = x0 f ( x − x0 ) x ≠ x0 h ( x) = x → x0 x → x0 Tiếp theo, chứng minh tồn tượng Gibbs điểm gián đoạn x0 hàm trơn khúc g Xét hàm g ( x ) trơn khúc với bước nhảy x = x0 trơn khúc nơi trừ x0 cho ta xác định hàm h ( x ) với g ( x0+ ) + g ( x0− ) h ( x ) h= lim+ h ( x ) = lim− = ( x0 ) Khi h liên tục thỏa mãn giả thiết định lý Do S N ( f ) hội tụ Thực ra, hội tụ lân cận 0, ta xảy tượng Gibbs điểm gián đoạn với Khi g ( 0+ ) + g ( 0− ) Bây giờ, ta xác định h ( 0) = h ( x0 ) = x → x → 0− Bây ta xác định − Tương tự, g ( x0+ ) + g ( x0− ) x → x0  g ( 0+ ) − g ( 0− )  π  = g ( 0+ ) −   2 π   x0− ( )  g ( x0+ ) − g ( x0− )  π g x0+ + g x0−  = g ( x0+ ) −  =  2 π   {K n }n=1 họ nhân xác định dương m ≤ f ( x ) ≤ M với x ∈ ( a, b ) Khi đó, với Cho ∞ ε > < d < b − a , tồn số nguyên dương N cho với n > N x ∈ ( a + d , b − d ) ta có m − ε ≤ σ N ( f )( x ) ≤ M + ε Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 61 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC σ N ( f )( x ) = ( f * K n )( x ) Chứng minh: f liên tục x nên với ε > cho trước, tồn d > cho y < d Do Ta thấy ví dụ h gián đoạn x = nên chuỗi Fourier khơng hội tụ xảy tương Gibbs Bây sử dụng tổng Cesaro hàm để khắc phục tượng Ta có S N ( h )( x ) = ∑ Áp dụng tính chất nhân tốt ta Do tổng Cesaro thứ N ( f * K n )( x ) − f ( x ) 2π = 2π = π ∫π − sin ( nx ) n n =1 N f ( x − y) − f ( x) < ε = σ N ( h )( x) K n ( y ) f ( x − y ) dy − f ( x ) N −1  n  sin ( nx ) n ∑ 1 − N  n =1 π ∫ π K ( y )  f ( x − y ) − f ( x )dy − n Trong B hệ số bị chặn f Do tính chất nhân tốt nên tồn M > cho ≤ ε M 2B K n ( y ) dy + 2π 2π ∫d ≤ y ≤π Theo tính chất nhân tốt với n đủ lớn ( f * K n )( x ) − f ( x ) π K n ( y )  f ( x − y ) − f ( x ) dy 2π ∫−π K n ( y ) f ( x − y ) − f ( x ) dy ≤ 2π ∫ y khơng phụ thuộc x ( f * K n )( x ) hội tụ đến f đpcm x = 0, 0,  h ( x )= (π − x ) 2, < x < 2π ,  x = 2π 0, Bài viết trình bày tồn tượng Gibbs hàm tổng quát có điểm gián đoạn gốc tọa độ điểm bất kỳ, đưa cách khắc phục tượng, ví dụ minh họa Ngoài ra, khắc phục tượng Gibbs hàm tổng qt có phương pháp tìm tổng riêng Tuy nhiên, khuôn khổ báo, không đề cập TÀI LIỆU THAM KHẢO Do với số C n đủ lớn ta có Ví dụ 1: Xét hàm tuần hồn chu kỳ định KẾT LUẬN 2π xác [1] Anders Vretblad (2003) Fourier analysis and its applications SpingerVerlag, New York [2] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003).Fourier analysis an introduction Princeton university Press, Princeton and Oxford [3] H.T Shim (1994) On Gibb’ phenomenon in wavelet subspaces and summability Ph.D thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee [4] Kourosh Raeen (2008) A study of the Gibbs phenomenon in Fourier series and wavelets, M.A.thesis, The University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico 62 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 ... trình bày tồn tượng Gibbs hàm tổng quát có điểm gián đoạn gốc tọa độ điểm bất kỳ, đưa cách khắc phục tượng, ví dụ minh họa Ngồi ra, khắc phục tượng Gibbs hàm tổng qt có phương pháp tìm tổng riêng... = x0 ta chứng minh cho tượng Gibbs cho hàm g điểm x1 , , x j KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS Để khắc phục tượng Gibbs ta sử dụng phương pháp xây dựng hàm số không trực tiếp tổng riêng chuỗi mà từ... hội tụ lân cận x0 Do hàm g xảy tượng Gibbs x = x0 f ( x − x0 ) x ≠ x0 h ( x) = x → x0 x → x0 Tiếp theo, chứng minh tồn tượng Gibbs điểm gián đoạn x0 hàm trơn khúc g Xét hàm g ( x ) trơn khúc