Hiện tượng Gibbs của chuỗi Fourier : Luận văn ThS. Toán học: 84601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ GIANG HIỆN TƯỢNG GIBBS CỦA CHUỖI FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ GIANG HIỆN TƯỢNG GIBBS CỦA CHUỖI FOURIER Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NINH VĂN THU Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Ninh Văn Thu Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới Thầy Được làm việc hướng dẫn Thầy, tơi thấy trưởng thành nhiều Thầy Người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy khoa Tốn Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội kiến thức, điều tốt đẹp mà tơi nhận suốt q trình học tập Khoa Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện cho tơi hồn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Đặc biệt, xin cảm ơn đề tài Nafosted, mã số 101.02-2017.311 hỗ trợ đào tạo trình hồn thiện luận văn Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh động viên ủng hộ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng năm 2018 Nguyễn Thị Giang Mục lục NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Tổng Dirichlet 1.1.2 Hàm liên tục khúc, hàm trơn khúc 1.1.3 Định lý hội tụ chuỗi Fourier 1.1.4 Khai triển Fourier khoảng [−π; π] 1.1.5 Nguyên lý Riemann địa phương 10 1.1.6 Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn 12 Hiện tượng Gibbs chuỗi Fourier 14 2.1 Một số thuật ngữ định lý 14 2.2 Chứng minh Định lý 2.1.1 15 2.3 ∗ (f ) 22 Một số ví dụ cho SN 2.4 ∗ f − f với thông tin gián đoạn không Đánh giá chuẩn L1 SN xác 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Trong Toán học, tượng Gibbs (tại x0 ), phát Henry Wilbraham tái khám phá J Willard Gibbs, cách đặc biệt (peculiar manner) tổng riêng chuỗi Fourier hàm dãy điểm {xn } không hội tụ dãy điểm {xn } dần đến điểm x0 Luận văn trình bày lại số kết tượng Gibbs dựa theo báo "Gibbs phenomenon removal by adding Heaviside functions" tác giả Kyung Soo Rim (Đại học Sogang, HQ) Beong In Yun (Đại học Quốc gia Kunsan, HQ) đăng tạp chí Advances in Computational Mathematics năm 2013 Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương I Những kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức tổng Dirichlet, định nghĩa hàm liên tục, hàm liên tục khúc, hàm khả vi khúc, định lý hội tụ chuỗi Fourier, khai triển Fourier khoảng [−π, π], nguyên lý Riemann địa phương, Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn Chương II Hiện tượng Gibbs chuỗi Fourier Trong chương này, chúng ∗ (f ) cho hàm f Tổng S ∗ (f ) cấu tạo từ tổng định nghĩa xấp xỉ SN N phần: tổng Fourier riêng thứ N f , tổng Fourier riêng H0 tổng ∗ (f ) hội tụ đến riêng Fourier Hxj Sau đó, chứng minh dãy SN hàm f (Định lý 2.1.1) Kết nói tượng Gibbs loại bỏ ∗ (f ) thay cho dãy tổng riêng thơng thường S (f ) Ngồi ra, ta sử dụng dãy SN N phần cuối chương này, chúng tơi giới thiệu số ví dụ để minh họa Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Tổng Dirichlet Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f hàm khả tích đoạn [−π; π] tuần hoàn chu kỳ 2π Khi đó, hệ số an , bn xác định theo công thức an = π bn = π π f (x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, f (x) sin nxdx, n = 1, 2, , −π π −π gọi hệ số Fourier hàm f , chuỗi hàm lượng giác a0 + +∞ (an cos nx + bn sin nx) n=1 gọi chuỗi Fourier hàm f Giả sử f hàm khả tích [−π; π] tuần hoàn với chu kỳ 2π Xét chuỗi Fourier a0 + +∞ (an cos nx + bn sin nx) n=1 an , bn xác định Định nghĩa 1.1.1 Lập dãy tổng riêng Sn (x) = a20 + nk=1 (ak cos kx + bk sin kx) ta thực phép biến đổi Sn (x) = 2π = π = π π f (t)dt + π −π π −π π + n π f (t) [cos kt cos kx + sin kt sin kx] dt −π k=1 n cos k(t − x) f (t)dt k=1 Dn (t − x)f (t)dt −π (t − x) = sin t−x Theo tính tuần hoàn f Dn , phép u = t − x ta có Dn (t − x) = + n k=1 cos k(t − x) Sn (x) = π sin n+ π Dn (u)f (x + u)du (1.1) −π Vế phải đẳng thức (1.1) gọi tích phân Dirichlet cấp n, Dn gọi nhân Dirichlet cấp n Bổ đề 1.1.1 (Bổ đề Riemann) Giả sử g hàm khả tích đoạn [a; b] Khi đó, ta có b g(t) sin(pt)dt a p→+∞ = 0, b g(t) cos(pt)dt p→+∞ a = a) lim b) lim Chứng minh a) Cho trước ε > Giả sử T phân hoạch đoạn [a; b] với điểm chia a = t0 < t1 < < tn = b Đặt mi = inf g, [ti−1 ;ti ] ∆ti = ti − ti−1 , Mi = sup g, [ti−1 ;ti ] ωi = Mi − mi , i = 1, 2, , n b n ti i=1 n ti−1 i=1 n ti−1 g(t) sin ptdt g(t) sin ptdt = a n ti [g(t) − mi ] sin ptdt + = ≤ |mi | i=1 i=1 + mi sin ptdt ti−1 i=1 n ωi ∆ti + = ti p Theo giả thiết g hàm khả tích đoạn [a; b] nên tồn số δ > ε phân hoạch T mà d(T ) < δ ta có < Cố định δ chọn cố định phân hoạch T cho d(T ) < δ ta chọn p đủ lớn để cho n i=1 |mi | p =2 ε < Với ε > tồn số tự nhiên p0 cho với p > p0 ta có b g(t) sin ptdt ≤ a + b g(t) sin ptdt a p→+∞ hay lim < ε ε + = ε 2 = b) Tương tự b n ti i=1 n ti−1 i=1 n ti−1 g(t) cos ptdt = g(t) cos ptdt a n ti [g(t) − mi ] cos ptdt + = ≤ n |mi | i=1 i=1 + cos ptdt mi i=1 ωi ∆ti + = ti ti−1 p Với ε > tồn số tự nhiên p0 cho với p > p0 ta có b g(t) cos ptdt ≤ a b g(t) cos ptdt p→+∞ a hay lim + = < ε ε + = ε 2 Hệ 1.1.2 Dãy hệ số Fourier {an } {bn } hàm khả tích [−π; π] có giới hạn n → ∞ 1.1.2 Hàm liên tục khúc, hàm trơn khúc Định nghĩa 1.1.2 (Hàm liên tục) i) Cho tập hợp A ⊂ R, hàm số f : A → R điểm x0 ∈ A Nếu với ε > cho trước tồn δ > (phụ thuộc vào ε) cho với x ∈ {x ∈ A : |x − x0 | < δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói hàm f liên tục điểm x0 ii) Nếu f liên tục điểm x ∈ A ta nói f liên tục A Định nghĩa 1.1.3 (Hàm liên tục đều) Hàm số f : A → R gọi liên tục A với ε > cho trước tồn δ > (phụ thuộc vào ε) cho với x, x ∈ A thỏa mãn |x − x | < δ ta có |f (x) − f (x )| < ε Định nghĩa 1.1.4 (Điểm gián đoạn loại một) Cho hàm số f : [a; b] → R Giả sử x0 ∈ (a, b) Nếu tồn đồng thời hai giới hạn hữu hạn lim+ f (x) lim− f (x) hai giới hạn khác f (x0 ) x→x0 x→x0 x0 gọi điểm gián đoạn loại Định nghĩa 1.1.5 (Hàm liên tục khúc) Cho hàm f xác định đoạn [a; b] Nếu ta chia đoạn [a; b] thành hữu hạn đoạn [ai ; bi ], (i = 1, 2, , k) điểm chia: a = a1 < b1 < < ak < bk = b cho khoảng (ai ; bi ) hàm f liên tục tồn giới hạn hữu hạn limx→a+0 f (x) = f (ai + 0) limx→b−0 f (x) = f (bi − 0) với i = 1, 2, , k ta i i nói hàm f liên tục khúc [a; b] Định nghĩa 1.1.6 (Hàm trơn khúc) Cho T = [−π, π] , giả sử f hàm tuần hồn với chu kì 2π trục số thực Ta nói f hàm trơn khúc T f có hữu hạn điểm gián đoạn loại xj ∈ T , với −π = x0 < x1 < < xn < xn+1 = π cho đạo hàm f tồn bị chặn khoảng (xj , xj+1 ) i) f (x+ j ) := limx xj f (x) f (x− j ) := limx xj f (x) − ii) f (x+ j ) − f (xj ) bị chặn xj 1.1.3 Định lý hội tụ chuỗi Fourier Định lý 1.1.3 Nếu f hàm xác định toàn trục số, tuần hoàn với chu kỳ 2π trơn khúc đoạn hữu hạn chuỗi Fourier tương ứng với f hội tụ điểm x0 có tổng S(x0 ) = f (x0 + 0) + f (x0 − 0) Đặc biệt, f liên tục x0 S(x0 ) = f (x0 ) Chứng minh Trước hết ta chứng minh lim n→∞ π π f (x0 + 0) f (x0 + t) sin(n + )tdt = t 2 sin Thật vậy, π π sin(n + 12 )t dt = t π sin π + n cos kt dt = k=1 nên ta có π π = π = π f (x0 + t) f (x0 + 0) sin(n + )tdt − t 2 sin π f (x0 + t) − f (x0 + 0) sin(n + )tdt t 2 sin π g(t) sin(n + )tdt, f (x0 + t) − f (x0 + 0) t sin f (x0 + t) − f (x0 + 0) 2t = , t sin 2t g(t) = < t < t0 Hình 2.2: S20 g(x) Hình 2.3: g(x) J 2π 2π + , f1 = f1 3 25 = 25 − f1 2π − Hình 2.4: f1 (x) Theo (1.2), L(f1 )(x) =    − x2 − π2 x   π2 x+ 3π    2 + sin(x − π ) + − 25 Từ đó, ta suy J(−π, L(f1 )) = a0 = π = π −44 −π ≤ x < −π , −π