2 Hiện tượng Gibbs của chuỗi Fourier
2.4 Đánh giá chuẩn L1 của SN∗ −f với thông tin gián đoạn không
gián đoạn không chính xác
Trong phần này, ta đánh giáSN∗(f)−f khi SN∗(f)được xây dựng từ thông tin gián đoạn không chính xác. Cho x˜j là một vị trí gián đoạn không chính xác và
˜
J( ˜xj;f) là một bước nhảy không chính xác tương ứng tại x˜j thỏa mãn
|xj−x˜j|< (j = 1,2, ..., n),
Trong trường hợp này, do sự khác biệt về ký hiệu, ta ký hiệu S˜N∗ (f) như sau ˜ SN∗ (f)(x) =SN∗(f)(x) + ˜J(x0; ˜L(f))[SN(H0)(x)−S2N(H0)(x 2)] − n X j=1 ˜ J( ˜xj, f)[SN(Hx˜j(x)−Hx˜j(x)], (4.17) trong đó ˜ L(f)(x) := f(x)−Pn j=1J˜( ˜x j, f)Hx˜j(x) nếu x6= ˜xj, f( ˜xj−)−Pj−1 k=1J˜( ˜x k, f) với mỗi j, (4.18) với j = 1,2, ..., n. Từ đó, ta suy ra |S˜N∗(f)(x)−f(x)| ≤ |SN∗(f)(x)−f(x)|+|SN∗(f)(x)−S˜N∗(f)(x)| :=I+II.
Theo Định lý 2.1.1, I triệt tiêu đều trên T, đánh giá II ta có
II <|J˜(x0; ˜L(f))−J(x0;L(f))||SN(H0)(x)−S2N(H0)(x 2)| + n X j=1 |J˜( ˜xj;f)[SN(Hx˜j)(x)−Hx˜j(x)]−J(xj;f)[SN(Hxj)(x)−Hxj(x)]| :=III + n X j=1 IV.
Theo (4.16), tồn tại hằng số C1 không phụ thuộc vào N thỏa mãn
III ≤C1
Mặt khác, IV bị chặn bởi
IV ≤ |J˜( ˜xj;f)[SN(Hx˜j)(x)−Hx˜j(x)]−J(xj;f)[SN(Hx˜j)(x)−Hx˜j(x)]| +|J(xj;f)||[SN(Hx˜j)(x)−Hx˜j(x)]−[SN(Hxj)(x)−Hxj(x)]|
:=V +V I.
Theo (4.16) tồn tại hằng số C2 không phụ thuộc vào N thỏa mãn
trong đó, hằng số C2 suy ra từ tính bị chặn đều của SN(Hx˜j). Cuối cùng
V I =|J(xj;f)||SN(Hx˜j−Hxj)(x)−Hx˜j(x) +Hxj(x)|.
VìSN(Hx˜j−Hxj)(x)là một chuỗi bị chặn đều nên theo định lý Lebesgue về miền hội tụ, V I triệt tiêu theo chuẩn L1. Vậy ta kết luận định lý sau đây.
Định lý 2.4.1. Với các ký hiệu như phần 2 và (4.16),(4.17),(4.18), tồn tại một hằng số C không phụ thuộc vào N và f thỏa mãn
kS˜N∗(f)−fk ≤C,
Kết luận
Trong bài luận văn này, chúng tôi đã đạt được các kết quả sau:
• Nhắc lại một số kiến thức cơ bản như khái niệm chuỗi Fourier, chứng minh định lý về sự hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm trơn từng khúc.
• Xây dựng tổng riêng SN∗ bằng cách cộng thêm vào dãy tổng riêng SN của chuỗi Fourier các hàm Heaviside phù hợp và chứng minh kết quả về sự hội tụ của dãy tổng riêng này. Từ đó, ta loại bỏ hiện tượng Gibbs các điểm gián đoạn.
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2010), Giáo Trình Giải Tích tập 2, Nhà Xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Trần Đức Long, Phạm Kỳ Anh (2001), Giáo Trình Hàm thực và Giải Tích Hàm, Nhà Xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[3] K. S. Rim and B. I. Yun (2013), Gibbs phenomenon removval by adding Heaviside functions, Adv. Comput. Math. 38, no. 4, 683–699.
[4] G. Kvernadze (1998), Detection of the jumps of a bounded function by its Fourier series, J. Approx. Theory 92, 167–190.
[5] A. J. Jerri (1998),The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations, Kluwer Academic Publ., London.