Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân KONTOROVICH - LEBEDEV và FOURIER : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN HOẰNG TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN HOẰNG TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội - Năm 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Lp Lp với hàm trọng 1.2 Các phép biến đổi tích phân 10 1.3 Tích chập số tích chập suy rộng 12 1.3.1 Sơ lược tích chập phép biến đổi tích phân 12 1.3.2 Định nghĩa tích chập suy rộng 14 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN K, FC VÀ K, FS 17 2.1 Định nghĩa 17 2.2 Tính chất tốn tử tích chập 18 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI BA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN K, FC VÀ FS 36 3.1 Giới thiệu 36 3.2 Tính chất tích chập suy rộng 38 3.3 Ứng dụng tích chập suy rộng giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân 51 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • R+ = {x ∈ R, x > 0} • C0 (R+ ): tập hợp hàm số liên tục, bị chặn R+ , triệt tiêu vô cực ( lim f (t) = 0) t→+∞ • Lα,β p : không gian hàm xác định R+ thỏa mãn ∞ |f (x)|p K0 (βx)xα dx < ∞ • K : phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev: ∞ Kix [f ] = f (t)Kix (t)dt • Fc : phép biến đổi tích phân Fourier cosine: ∞ (Fc f )(x) = π f (t) cos xtdt • Fc : phép biến đổi tích phân Fourier sine: ∞ (Fs f )(x) = π f (t) sin xtdt • h.k.n: hầu khắp nơi −2− LỜI NĨI ĐẦU Tích chập phép biến đổi tích phân nhà tốn học nghiên cứu từ lâu ứng dụng để giải lớp lớn tốn đánh giá tích phân, tính tổng chuỗi, tìm nghiệm phương trình tốn lý với dạng biểu diễn nghiệm gọn đẹp Vào năm 1951, sách mình, I.N Sneddon đưa cơng thức tích chập, đẳng thức nhân tử hố có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine Tích chập xác định sau (xem [14]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ sc 2π f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.1) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá đẳng thức Parseval Fs [f ∗ g])(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ), (0.2) (f ∗ g)(x) = Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ) (0.3) sc sc Năm 1998, V A Kakichev Nguyễn Xuân Thảo đưa định nghĩa tích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân điều kiện cần để có tích chập suy rộng điều kiện (xem [8]) Năm 2010, S.B Yakubovich L E Britvina nghiên cứu tích chập suy rộng mà đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân (xem [22]) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, em nghiên cứu đề tài: Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev Fourier Luận văn gồm phần lời nói đầu, ba chương, kết luận, cơng trình liên quan đến luận văn, tài liệu tham khảo, nội dung chương chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị: trình bày lại số kiến thức phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ví dụ Chương 2: Một số tích chập suy rộng với hai phép biến đổi tích phân: giới thiệu bốn tích chập suy rộng S.B.Yakubovich L.E.Britvina báo Chương tác giả đưa tính chất tích chập suy rộng chứng minh chi tiết tính chất Điều thú vị chương kĩ thuật ước lượng với chuẩn kĩ thuật tính tốn, biến đổi tích phân Chương 3: Tích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân K , Fs Fc : Đây đóng góp của tác giả luận văn Với tích chập đưa ra, tác giả có ước lượng với chuẩn để từ tích chập suy rộng hàm số xác định, liên tục R+ thuộc không gian Lp (R+ ; xα e−βx dx) Tác giả tìm mối liên hệ tích chập suy rộng ứng dụng tính chất nghiên cứu để đưa công thức nghiệm cho lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Điểm tác giả xây dựng tích chập suy rộng xác định sau: (f ∗ g)(x) = π2 H(u, v, x)f (u)g(v)dudv, x > (0.4) R2+ với H(u, v, x) = [sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ] có đẳng thức nhân tử hóa (Fs f )(w)(Fc g)(w) (0.5) sinh πw Kết làm phong phú thêm tích chập suy rộng lần Kiw (f ∗ g) = đẳng thức nhân tử hóa có phép biến đổi tích phân tác động phép biến đổi Kontorovich-Lebedev vào tích chập suy rộng Hơn nữa, tích chập suy rộng nghiên cứu lớp không gian hàm Lp (R+ ; xα e−βx dx) −4− Không giống lớp không gian Lα,β mà S.B Yakubovich thường dùng p nghiên cứu phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, khơng gian Lp (R+ ; xα e−βx dx) mà tác giả nghiên cứu có hàm trọng khơng gian khơng phụ thuộc vào hàm đặc biệt Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, người quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giảng dạy chuyên đề cao học giúp em có kiến thức, phương pháp nghiên cứu để giải yêu cầu đề tài Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh chị em nhóm Seminar Giải tíchĐHKHTN, Seminar Đại số-Giải tích-ĐHKHTN Seminar Giải tích -ĐHBK Hà Nội đóng góp quý báu cho em trình hồn thiện luận văn −5− Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Lp Lp với hàm trọng Định nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, ≤ p < ∞, Ω ⊂ Rn Lp (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo |f |p khả tích } L∞ (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C ); f đo ∃M : |f (x)| ≤ M -h.k.n } Các khơng gian có chuẩn tương ứng f p |f |p dx) p = Ω f ∞ = inf M : |f (x)| ≤ M − h.k.n} Kí hiệu Lp (Rn ) = Lp Giả sử Ω1 ⊂ Rd1 , Ω2 ⊂ Rd2 , (d1 , d2 ∈ N) hai tập mở F : Ω1 × Ω2 → R (hoặc C) hàm đo F (x, y)dy < +∞ -h.k.n, x ∈ Ω1 , Định lí 1.1.1 (Tonelli, [5]) Giả sử Ω2 |F (x, y)|dy < +∞ Khi F khả tích Ω1 × Ω2 Ω1 Ω2 Định lí 1.1.2 (Fubini, [5]) Cho F khả tích Ω1 × Ω2 Khi đó, với hầu hết x ∈ Ω1 , ta có F (x, ) : y → F (x, y) khả tích Ω2 x → F (x, y)dy khả Ω2 tích Ω1 Kết luận tương tự thay đổi vai trò x cho y , Ω1 cho Ω2 Hơn nữa, ta có: dx Ω1 F (x, y)dy = Ω2 dy Ω2 F (x, y)dx = F (x, y)dxdy Ω1 ×Ω2 Ω1 Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder,[5] ) Cho f ∈ Lp g ∈ Lp với ≤ p ≤ +∞ Khi f g ∈ L1 p, ≤ p ≤ +∞, |f g|dx ≤ ||f ||p ||g||p ( p số liên hợp Rn 1 + = p p Định lí 1.1.4 (Fischer-Riesz,[12]) a) Lp không gian Banach với ≤ p ≤ +∞ b) Giả sử fn dãy hội tụ f không gian Lp với ≤ p ≤ +∞, tức ||fn − f || → Khi đó, tồn dãy fnk cho fnk → f -h.k.n, ∀k, |fnk (x)| ≤ h(x) với h hàm Lp Ta biết, hàm Macdonald Kν (z) thỏa mãn phương trình vi phân 2d u z dz +z du − (z + ν )u = dz (1.1) Hàm Macdonald có dáng điệu tiệm cận vô cực (xem [6]) π Kν (z) = 2z e−z [1 + O(1/z)], z → ∞, (1.2) gần z ν Kν (z) = 2ν−1 Γ(ν) + o(1), z → 0, ν = 0, (1.3) K0 (z) = − log z + O(1), z → (1.4) Ta biết (xem [13]), hàm biến dạng Bessel Kix (t) biểu diễn tích phân Fourier: ∞ e−t cosh u cos xudu, t > 0, Kix (t) = (1.5) x ∈ R, ix số ảo Hơn nữa, tích phân mở rộng π dải σ ∈ [0, ) nửa mặt phẳng iσ+∞ Kix (t) = e−t cosh z+ixz dz, t > iσ−∞ −7− (1.6) có ước lượng chuẩn: |Kix (t)| ≤ e−|x| arccos β K0 (βt), < β ≤ (1.7) Từ công thức (1.5), ta có: ∞ e−t cosh u du > 0, t ∈ (0; ∞) K0 (t) = (1.8) 1, ta định nghĩa Lα,β không p Định nghĩa 1.1.2 ([22]) Cho α ∈ R, < β gian hàm f (x) xác định R+ thỏa mãn ∞ |f (x)|p K0 (βx)xα dx < ∞ (1.9) Chuẩn hàm khơng gian tính theo công thức ∞ f Lα,β p p α |f (x)| K0 (βx)x dx = p Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa không gian Lα,β p , p = 1, 2, sử dụng bất đẳng thức Schwartz tính tốn với tích phân với hàm Bessel biến dạng (xem bổ đề 2.1 [19]), không khó để tìm thấy quan hệ bao hàm khơng gian Ví dụ, ta thấy L0,1 chứa khơng gian L2 (R+ ; dx) ta có ước lượng ∞ ∞ K02 (x)dx |f (x)|K0 (x)dx ≤ ∞ |f (x)|2 dx = π ||f ||L2 (R+ ;dx) 0,1 α Suy luận tương tự, ta kết Lα,1 chứa không gian L2 (R+ ; x dx) L2 −8− +∞ = ||f ||L2 (R+ ;dx) ||g||L1 (R+ ;dx) π2 Nhận xét m(x) ≤ √ max{x−1 ; 1} ≤ √ m(x)xα−1 e−(1+β)x dx max{x−1 + 1} Do +∞ m(x)xα−1 e−(1+β)x dx +∞ +∞ √ ≤ √ +∞ √ √ 2xα−2 e−(1+β)x dx + = 2xα−1 e−(1+β)x dx 0 +∞ = √ 2x−1 xα−1 e−(1+β)x dx + 2xα−1 e−(1+β)x dx β+1 −α+1 Γ(α − 1) + β + −α Γ(α) , α > Vậy ||(f ∗ g)||L2 (R+ ;xα e−βx dx) ≤ Cα ||f ||L2 (R+ ;dx) ||g||L1 (R+ ;dx) với Cα = 2 (β + 1)−α+1 Γ(α − 1) + (β + 1)−α Γ(α) π 2 ,α > (3.12) Ta có +∞ (Fs f )(w)(Fc g)(w) w sinh πwdw sinh πw +∞ w (Fs f )(w)(Fc g)(w) dw sinh πw = Đẳng thức nhân tử hóa (3.14) chứng minh tương tự Định lí 3.2.1 Từ giả w thiết, suy (Fc g)(w) bị chặn, Fs f ∈ L2 (R+ ; dw) sinh πw Vậy (Fs f )(w)(Fc g)(w) ∈ L2 (R+ ; w sinh πwdw) Do đó, ta có đẳng thức sinh πw nhân tử hóa (3.14) ✷ −47− Định lí 3.2.4 Giả sử f (x) ∈ Lp (R+ ; dx), g(x) ∈ Lq (R+ ; dx), < p, q < +∞; p−1 + q −1 = Khi đó, tích chập (3.3) hàm số xác định liên tục ∀x > Hơn nữa, với β > 0; r < α − , ta có f ∗ g ∈ Lr (R+ ; xα e−βx dx) ước lượng chuẩn ||(f ∗ g)||Lr (R+ ;xα e−βx dx) ≤ (r + β)r−α−1 Γ(α − r + 1)||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π Ngồi ra, ta có đẳng thức dạng Parseval (3.4) Với điều kiện f, g ∈ L1 (R+ ; dx) ta nhận đẳng thức nhân tử hóa (3.14) Chứng minh Từ (3.9), ta có: ∞ | sinh(u + v)e −x cosh(u+v) −x cosh(u−v) + sinh(u − v)e |du −x cosh v e x 2e−x x Mặt khác, ∞ | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) |dv ∞ ∞ | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) |dv + ≤ 0 +∞ −∞ sinh te−x cosh t dt + = u +∞ | sinh t|e−x cosh t (−dt) u u sinh te−x cosh t dt − = u | sinh(u − v)e−x cosh(u−v) |dv | sinh t|e−x cosh t dt = −∞ −48− −x cosh u −x e < e x x Sử dụng bất đẳng thức Holder với hai hàm, ta có: |(f ∗ g)(x)| 1 −x cosh(u+v) −x cosh(u−v) p + q | sinh(u + v)e + sinh(u − v)e | |f (u)||g(v)|dudv π2 R2+ π2 | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ||f (u)|p dudv p R2+ q | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ||g(v)|q dudv R2+ +∞ π2 | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) |dv |f (u)|p du +∞ p +∞ q +∞ | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) |du |g(v)|q dv 0 +∞ = π2 p −x +∞ 2e |g(v)|q dv x 2e |f (u)|p du x 0 −x q −x p +∞ 2e π2x q +∞ |f (u)|p du |g(v)|q dv 0 −x = 2e ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π2x Suy : r +∞ r (f ∗ g)(x) xα e−βx dx ||(f ∗ g)||Lr (R+ ;xα e−βx dx) = +∞ 2e−x ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π2x −49− r r xα e−βx dx r +∞ = ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π2 xα−r e−(r+β)x dx Vậy ||(f ∗g)||Lp (R+ ;xα e−βx dx) ≤ r−α−1 r r ||f || (r +β) (Γ(α−r +1)) Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π2 Đẳng thức dạng Parseval đẳng thức nhân tử hóa (3.14) chứng minh tương ✷ tự Định lí 3.2.1 Nhận xét 3.2.1 Với giả thiết tương tự Định lí (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), (3.2.4) ta dễ dàng chứng minh f ∗ g ∈ Lα,β p (R+ ) Do đó, ta nhận kết tương tự chương Nhận xét 3.2.2 Dễ thấy tích chập suy rộng (3.3) khơng giao hốn, thay đổi vai trò u v , ta có tích chập suy rộng (f ∗ g)(x) = (5) = π2 [sinh(u + v)e−x cosh(u+v) − sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ]f (u)g(v)dudv, x > R2+ (3.13) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Kiw (f ∗ g) = (5) (Fc f )(w)(Fs g)(w) sinh πw (3.14) Mệnh đề 3.2.1 a)Với f ∈ L2 (R+ ; xdx), g ∈ L1 (R+ ; dx) ∩ L2 (R+ ; dx), h ∈ L1 (R+ ; dx) ta có đẳng thức sau: f ∗ g ∗h=f ∗ g ∗ h (Fs ) (3.15) (Fs ) b)Với f ∈ L1 (R+ ; xdx) ∩ L2 (R+ ; dx), ϕ, ψ ∈ L1 (R+ ; dx) ta có đẳng thức sau: ϕ ∗ f ∗ψ =ϕ∗ ψ ∗ f (3) (4) −50− (3.16) Chứng minh Thật vậy, với điều kiện trên, theo định lí 3.2.1 tính chất biết phép biến đổi Fs , sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (3.15), (3.16).✷ Mệnh đề 3.2.2 Cho f, g ∈ L1 (R+ ; dx) Khi đó,ta có: +∞ (f ∗ g)(x) = π π f (u) sinh te−x cosh t ∗ g(t) (u)du (3.17) (Fc ) Chứng minh Biểu diễn (3.17) nhận nhờ biểu diễn (3.3), định lí 3.2.1 sinh te−x cosh t ∈ L1 (R+ ; dx) nên tích chập sinh te−x cosh t ∗ g(t) tồn ✷ (Fc ) 3.3 Ứng dụng tích chập suy rộng giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Trong mục này, ta ứng dụng tính chất phép biến đổi Fourier Kontorovich-Lebedev để giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân có liên quan đến tích chập (3.3) tích chập suy rộng nghiên cứu chương Trước hết, ta xét số phương trình tích phân loại một: f ∗ h = g, (3.18) h ∗ f = g, (3.19) với g, h hàm số cho trước; f hàm số cần tìm Định lí 3.3.1 Giả sử g ∈ L2 (R+ ; tdt), h ∈ L2 (R+ ; dt) Điều kiện cần đủ để sinh πxKix [g] ∈ phương trình (3.18) có nghiệm khơng gian L2 (R+ ; dt) (Fc h)(x) L2 (R+ ; dx) Hơn nữa, nghiệm f (t) biểu diễn công thức: N f (t) = lim N →∞ π N sinh πxKix [g] sin xtdx (Fc h)(x) −51− (3.20) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f ∈ L2 (R+ ; dt), g ∈ L2 (R+ ; tdt), h ∈ L2 (R+ ; dt) thỏa mãn (3.18) Theo Định lí 3.2.2 ta có đẳng thức nhân tử hóa: (Fs f )(x)(Fc h)(x) sinh πx Kix [g] sinh πx Fs (f )(x)Fc (h)(x) sinh πx = = (Fs f )(x) ∈ L2 (R+ ; dx) (Fc h)(x) sinh πx (Fc h)(x) Kix [g] = Kix [f ∗ h] = Vậy Kix [g] sinh πx ∈ L2 (R+ ; dx) (Fc h)(x) Kix [g] sinh πx ∈ L2 (R+ ; dx), ta tìm hàm f ∈ L2 (R+ ; dx) (Fc h)(x) thỏa mãn (3.18) Theo Định lí 3.2.2, ta có đẳng thức nhân tử hóa Kix (f ∗ h) = (Fs f )(x)(Fc h)(x) Tác động phép biến đổi Kontorovich-Lebedev vào hai vế sinh πx Kix [g] sinh πx (Fs f )(x)(Fc h)(x) = Kix [g], (Fs f )(x) = (3.18), ta sinh πx (Fc h)(x) Từ công thức biến đổi Fourier sine ngược, f xác định N sinh πxKix [g] công thức f (t) = lim sin xtdx ✷ N →∞ π1 (Fc h)(x) Điều kiện đủ Nếu N Định lí 3.3.2 Giả sử g ∈ L2 (R+ ; tdt), h ∈ L2 (R+ ; dt) Điều kiện cần đủ để Kix [g] sinh πx ∈ phương trình (3.19) có nghiệm không gian L2 (R+ ; dt) (Fs h)(x) L2 (R+ ; dx) Hơn nữa, nghiệm f (t) biểu diễn công thức N f (t) = lim N →∞ π N sinh πxKix [g] sin xtdx (Fs h)(x) (3.21) (Fs h)(x)(Fc f ) Sau đây, ta nghiên sinh πx cứu số phương trình tích phân loại hai chứa tích chập: Tương tự định lý với nhận xét Kix (h ∗ f ) = −52− f (x) + (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) (x) = g(x), x > (3.22) (3) f (x) + (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) (x) = g(x), x > (3.23) (4) f (x) + ϕ ∗ (f ∗ ψ) (x) = g(x), x > (3.24) (3) Định lí 3.3.3 Giả sử g ∈ L2 (R+ ; tdt), ϕ, ψ ∈ L1 (R+ ; dt) Điều kiện cần đủ để phương trình (3.22) có nghiệm thuộc lớp L1 (R+ ; dt) ∩ L1 (R+ ; tdt) Kix [g] ∈ L2 (R+ ; x sinh πx)dx Hơn nữa, nghiệm f (t) + Kix [ϕ ∗ ψ] biểu diễn theo công thức N f (t) = lim N →∞ π x sinh πx Kix (t) Kix [g] dx t + Kix [ψ ∗ ϕ] (3.25) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tồn hàm ϕ, ψ ∈ L1 (R+ ; dt), g ∈ L2 (R+ ; xdx), f ∈ L1 (R+ ; dx) ∩ L1 (R+ ; xdx) thỏa mãn phương trình (3.22) Từ giả thiết, ta có: Kix [f (x) + (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) ] Kix [g] (3) = + Kix [ϕ ∗ ψ] + Kix [ϕ ∗ ψ] Fs (ϕ ∗ f )Fc (ψ)(x) (3) Kix [f ] + sinh πx = + Kix [ϕ ∗ ψ] Fs (ϕ)Kix [f ]Fc (ψ)(x) Kix [f ] + sinh πx = + Kix [ϕ ∗ ψ] Kix [f ](1 + Kix [ϕ ∗ ψ]) = (1 + Kix [ϕ ∗ ψ]) = Kix [g] ∈ L2 (R+ ; x sinh πxdx) −53− Điều kiện đủ Với điều kiện cho, theo Định lí 3.2.1 3.2.2, từ (3.22), ta có: Kix [f ] + Kix (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) = Kix [g] (3) ⇒ Kix [f ] Kix [g] ∈ L2 (R+ ; x sinh πx)dx + Kix [ϕ ∗ ψ] Theo tính chất phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, (3.22) có nghiệm xác định công thức: N f (t) = lim N →∞ π x sinh πx Kix (t) Kix [g] dx t + Kix [ψ ∗ ϕ] ✷ Do đó, (3.25) Với cách suy luận tương tự, ta có điều kiện cần đủ để phương trình (3.23), (3.24) có nghiệm Cuối cùng, ta xét lớp hệ phương trình có liên quan đến tích chập  f + g ∗ ϕ1 = h1 g + ϕ2 ∗ f = h2 (3.26) (3) Định lí 3.3.4 Giả sử h1 , ϕ1 ∈ L2 (R+ ; dx) ∩ L2 (R+ ; xdx) h2 , ϕ2 ∈ L2 (R+ ; dx) ∆ = − Kix (ϕ2 ∗ ϕ1 ) bị chặn ∆ = 0, ∀x > Điều kiện cần đủ để hệ (3.26) có nghiệm lớp L2 (R+ ; tdt) ∩ L0,β ; L2 (R+ ; dt) Kix [h1 − ϕ2 ∗ ϕ1 ] ∈ L2 (R+ ; x sinh πxdx), − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] (Fs h2 )(x) − Kix (Fs ϕ2 )(x) ∈ L2 (R+ ; dx) − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] −54− (3.27) (3.28) Hơn nữa, nghiệm biểu diễn công thức: N f (t) = lim N →∞ π x sinh πx N g(t) = lim N →∞ π N Kix (t) Kix [h1 − ϕ2 ∗ ϕ1 ] Kix dx, t − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] (Fs h2 )(x) − Kix [h1 ](Fs ϕ2 )(x) sin xtdx − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 (3.29) (3.30) Chứng minh Từ giả thiết, theo Định lí 2.2.5 Định lí 3.2.2, với u cầu tìm nghiệm (f ; g) lớp hàm L2 (R+ ; tdt)∩L0,β ; L2 (R+ ; dt) , ta tác động phép biển đổi Kontorovich-Lebedev Fourier sine vào hai vế phương trình (3.26) ta có :  (Fc ϕ1 )(x)  (Fc g)(x) = Kix [h1 ] Kix [f ] + sinh πx (F ϕ )(x)K [f ] + (F g)(x) = (F h )(x) c ix c (3.31) s Nhận hệ phương trình hai ẩn với Kix [f ], (Fc g)(x) ta có định thức Crammer ∆= (Fc ϕ1 )(x) sinh πx (Fc ϕ2 )(x) =1− (Fc ϕ1 )(x)(Fs ϕ2 )(x) sinh πx = − Kix (ϕ2 ∗ ϕ1 ) = Vậy hệ (3.31) có nghiệm Kix [f ], (Fc g)(x) xác định công thức: (Fc ϕ1 )(x) Kix [h1 ] Kix [f ] = sinh πx ∆ (F h )(x) s (Fc ϕ1 )(x)(Fs ϕ2 )(x) = Kix [h1 ] − ∆ sinh πx −55− = Kix [h1 − ϕ2 ∗ ϕ1 ] − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] (Fc g)(x) = 1 ∆ (Fs ϕ2 )(x) Kix [h1 ] (Fs h2 ) (Fs h2 )(x) − Kix [h1 ](Fs ϕ2 )(x) ∆ (F2 h2 )(x) − Kix [h1 ](Fs h2 )(x) = − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] = Từ (3.27) (3.28) ta có (f (t), g(t)) xác định L2 (R+ ; tdt)∩ L0,β ; L2 (R+ ; dt) theo công thức: N f (t) = lim N →∞ π x sinh πx N g(t) = lim N →∞ π N Kix (t) Kix [h1 − ϕ2 ∗ ϕ1 ] Kix dx, t − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] (Fs h2 )(x) − Kix [h1 ](Fs ϕ2 )(x) sin xtdx − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 −56− ✷ KẾT LUẬN Luận văn trình bày thu được: • Tìm hiểu tính chất bốn tích chập suy rộng S.B Yakubovich đưa báo [22] năm 2010 • Đưa tích chập suy rộng mà đẳng thức nhân tử hóa có ba phép biến đổi tích phân K, Fc , Fs Khảo sát tính chất tích chập suy rộng f ∗ g lớp không gian hàm với hai tham số Lp (R+ ; xα e−βx dx) f, g thuộc khơng gian hàm cho trước Tìm mối liên hệ tích chập suy rộng • Ứng dụng tính chất tích chập suy rộng nghiên cứu để giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân có liên quan đến tích chập 57 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN Nguyễn Xuân Thảo, Phạm Văn Hoằng, Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine Fourier cosine Tuyển tập báo cáo Hội nghị Toán-Tin ứng dụng, Đại học Bách Khoa Hà Nội, (2011), trang 115-129 −58− TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Abramowitz and I A Stegun, Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 55, Washington, D.C (1964) [2] H Bateman and A Erdelyi, Table of Integral Transforms, Vol I, McGrawHill Book Co., New York-Toronto-London (1954) [3] L.E Britvina, A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Int Trans and Spec Func Vol.16 (2005), No 5-6, 379-389 [4] A Erdélyi, W.Magnus, F.Oberhettinger, and F.O Tricomi, Higher Transcendental Functions, Vols.1-2, McGray-Hill, New York and London, (1986) [5] G B Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999 [6] J Glaeske, A.P Prudnikov and K.A Skornik, Operational Calculus and Related Topics, Chapman & Hall/CRC, Raton-London-New York (2006) [7] Gradshteyn I.S, Ryzhik I.M (2007): Table of Integral, Series, and Products, 7th.ed,Academic Press [8] V.A Kakichev and Nguyen Xuan Thao, On the design method for the generalized integral convolution,Izv Vyssh Uchebn.Mat.,, No 1, p.31-40, 1998 (In Russia) 59 [9] N.M Khoa , Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ứng dụng, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội (2008) [10] A.P Prudnikov, Yu.A.Brychkov, and O.I.Marichev, Integral and Series: Special Functions, Gordon and Breach, New York and London, 1986 [11] A.P Prudnikov, Yu.A Brychkov, and O.I Marichev, Integrals and Series: Special Functions, Gordon and Breach, New York and London (1986) [12] W Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1986, 416ps [13] I N Sneddon, The Use of Integral Transforms, McGray-Hill, New York (1972) [14] I.N Sneddon (1951),Fourier Transforms, McGray-Hill, New York [15] E.C Titchmarsh (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Third Edition Chelsea Publishing Co., New York [16] N.X Thao, T Tuan, On the generalized convolution of the integral Kontorovich-Lebedev, Fourier sine and cosine transforms, Anna Univ.Sci Budap Sect Comp., Vol.25 (2005), , p 37-51 [17] T Tuan, On the generalized convolution with a weight function for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich-Lebedev integral transformations, Nonlinear Func Anal Appl Vol.12 (2007), No 2, p 325-341 [18] S.B Yakubovich, Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collect Math Vol.54 (2003), No 2, p.99-110 [19] S.B Yakubovich, Index Transforms, McGray-Hill, New York, 1972 −60− [20] S.B Yakubovich and L.E Britvina, Convolution operators related to the Fourier cosine and the Kontorovich-Lebedev transformations, Results Math Vol 55, No.1-2, p.175-197, 2009 [21] S.B Yakubovich and Yu.F Luchko, The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions, Kluwers Ser.Math and Appl., Vol.287, Dordrecht, Boston, London, 1994 [22] S.B Yakubovich and L.E Britvina, Convolution related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited, Int Trans and Spec Func Vol.21 (2010), No 4, p.259-276 −61−