Các tiêu chuẩn lựa chọn mô hình chuỗi thời gian : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN VĂN TUÂN CÁC TIÊU CHUẨN LỰA CHỌN MƠ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN Chun ngành: Lí thuyết xác suất thống kê Toán học Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN MẠNH CƯỜNG HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời nói đầu Chương Giới thiệu số chuỗi thời gian dừng 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Quá trình cấp 1.1.2 Hàm trung bình, hàm tự hiệp phương sai hàm tự tương 1.1.3 1.2 quan Quá trình dừng Một số trình dừng quan trọng 10 1.2.1 Quá trình trung bình trượt cấp 10 1.2.2 Quá trình trung bình trượt cấp q 11 1.2.3 Quá trình trung bình trượt cấp vô hạn 12 1.2.4 Quá trình tự hồi quy cấp 14 1.2.5 Quá trình tự hồi quy cấp 17 1.2.6 Quá trình tự hồi quy cấp p 20 1.2.7 Quá trình hỗn hợp ARMA(p,q) 21 Chương Một số tiêu chuẩn lựa chọn mơ hình 2.1 24 Tiêu chuẩn thông tin Akaike 24 2.1.1 Khoảng cách Kullback - Leibler 24 2.1.2 Ước lượng hợp lý cực đại khoảng cách Kullback - Leibler 26 2.2 2.3 2.1.3 Định nghĩa AIC 32 2.1.4 AIC khoảng cách Kullback - Leibler 34 Tiêu chuẩn thông tin Bayesian (BIC) 40 2.2.1 Nguồn gốc BIC 40 2.2.2 Định ngĩa BIC 42 Xác định bậc mơ hình ARMA ACF PACF 47 2.3.1 AFC: Hàm tự tương quan 47 2.3.2 PACF: Hàm tự tương quan riêng 49 Chương Ứng dụng 55 3.1 Dữ liệu 55 3.2 Phân tích 55 3.3 Code R 59 Tài liệu tham khảo 63 Lời nói đầu Lựa chọn mơ hình (Model selection) toán thống kê nhiều nghành khoa học khác Theo R.A Fisher có tốn thống kê suy luận dự báo gồm - Xác định mơ hình (model specification) - Ước lượng tham số (estimation of model parameters) - Dự báo (prediction) Trước năm 1970 hầu hết nghiên cứu tập trung vào hai toán sau với giả thiết mơ hình biết Sau xuất cơng trình Akaike (1973) tốn lựa chọn mơ hình thu hút quan tâm cồng đồng làm thống kê Với liệu đưa ra, mơ hình tốt nhất? Để trả lời cho câu hỏi trên, người ta đưa tiêu chuẩn thơng tin để lựa chọn mơ hình phù hợp tiêu chuẩn thông tin Akaike (AIC) tiêu chuẩn thông tin Bayesian (BIC), Việc lựa chọn mơ hình phù hợp trung tâm cho tất công tác thông kê với liệu Lựa chọn biến để sử dụng mơ hình hồi quy ví dụ quan trọng Luận văn tơi trình bày hai tiêu chuẩn thơng tin quan trọng tiêu chuẩn thơng tin Akaike tiêu chuẩn thông tin Bayesian Luận văn gồm ba chương Chương Giới thiệu số chuỗi thời gian dừng Chương trình bày số khái niệm bản: trình cấp 2, hàm trung bình hàm tự hiệp phương sai trình ngẫu nhiên, trình dừng số trình dừng quan trọng như: trình trung bình trượt cấp 1, cấp q, cấp vơ hạn; q trình tự hồi quy cấp 1, cấp2, cấp p, trình hỗn hợp ARMA(p,q) Chương Một số tiêu chuẩn lựa chọn mơ hình Chương trình bày khái niệm khoảng cách Kullback - Leibler, mối liên hệ ước lượng hợp lý cực đại khoảng cách Kullback - leibler, định nghĩa AIC, mối liên hệ AIC khoảng cách Kullback - Leibler, nguồn gốc định nghĩa BIC Chương Ứng dụng Chương trình bày ứng dụng phần mềm thống kê R để vẽ đồ thị hàm tự tương quan tự tương quan riêng mô hình liên quan đến liệu tổng thu nhập quốc dân Mỹ từ quý năm 1947 đến quý năm 2002 (được lấy website http://research.st louisfed.org/), xác định AIC BIC mơ hình ARMA(i,j) với i, j = 0, 1, 2, Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp từ thầy giáo bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, hướng dẫn bảo tận tình TS Trần Mạnh Cường, tơi hồn thành luận văn thạc sỹ với đề tài ”Một số tiêu chuẩn lựa chọn mơ hình” Trong suốt trình học tập triển khai nghiên cứu đề tài, nhận nhiều giúp đỡ thầy, cô môn Xác suất thống kê, thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt thầy Trần Mạnh Cường Tơi bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Trần Mạnh Cường, người tận tình bảo giúp đỡ tơi nhiều trình nghiên cứu làm đề tài Tơi gửi lời cảm ơn đến ban giám hiệu, phịng sau đại học, thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học nói chung thầy, mơn Xác suất thống kê nói riêng tạo điều kiện thuận lợi để tơi hoàn thành luận văn Chương Giới thiệu số chuỗi thời gian dừng 1.1 1.1.1 Các khái niệm Quá trình cấp Giả xử X (t), t ∈ T trình ngẫu nhiên Quá trình X (t), t ∈ T gọi trình cấp nếu: E|X (t)|2 < ∞, ∀t ∈ T 1.1.2 Hàm trung bình, hàm tự hiệp phương sai hàm tự tương quan Giả xử X (t), t ∈ T trình ngẫu nhiên Hàm trung bình, kí hiệu m(t) định nghĩa công thức sau m(t) = EX (t) Hàm tự hiệp phương sai, kí hiệu r(s, t) định nghĩa công thức sau r(s, t) = cov (X (s), X (t)) = E (X (s) − m(s))(X (t) − m(t)) = EX (s)X (t) − m(s)m(t) Vì V arX (t) = cov (X (t), X (t)) nên V arX (t) = r(t, t) 1.1.3 Quá trình dừng Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X (t), t ∈ R trình cấp X (t) gọi trình dừng (yếu) hàm trung bình m(t) số (khơng phụ thuộc vào t) hàm tự hiệp phương sai r(s, t) phụ thuộc vào s − t Như X (t), t ∈ T trình dừng khi: a) m(t) = m = const b) Tồn hàm γ (t) cho r(s, t) = γ (s − t), ∀s, t ∈ R (hàm γ (t) gọi hàm tự hiệp phương sai trình dừng) Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X (t), t ∈ R trình dừng với hàm tự hiệp phương sai γ (t) Hàm tự tương quan trình X (t) định nghĩa γ (h) ρ(h) = γ (0) Định nghĩa 1.1.3 Quá trình X (t), t ∈ R gọi trình dừng mạnh với ∀h ∈ R với t1 < t2 < < tn , phân phối đồng thời {X (t1 + h), X (t2 + h), , X (tn + h)} {X (t1 ), X (t2 ), , X (tn )} Nhận xét: q trình dừng mạnh có moment cấp q trình dừng yếu Điều ngược lại nói chung khơng Nếu q trình dừng yếu q trình Gauss q trình dừng mạnh phân phối hữu hạn chiều trình Gauss hồn tồn xác định hàm trung bình hàm tự hiệp phương sai Ví dụ: Giả sử U V hai đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với EU = EV = 0, EU = EV = σ Với λ số thực, xét trình X (t) = U cos λt + V sin λt Ta có: m(t) = cos λt.EU + sin λt.EV = r(s, t) = EX (s)X (t) = E [(U cos λs + V sin λs)(U cos λt + V sin λt)] = E [U cos λs cos λt + V sin λs sin λt + U V cos λs sin λt + U V sin λs cos λt] = σ (cos λs cos λt + sin λs sin λt) = σ cos λ(t − s) Vậy X (t) trình dừng với hàm tự hiệp phương sai γ (t) = σ cos λt Ví dụ: Tổng quát hơn, giả sử U1 , U2 , , Un V1 , V2 , , Vn đại lượng ngẫu nhiên có EUk = EVk = 0, EUk2 = EVk2 = σk2 , EUi Uk = (i = k ), EVi Vk = (i = k ), EUi Vj = Xét trình n X (t) = (Uk cos λk t + Vk sin λk t) k=1 λ1 , λ2 , , λn số thực.Tương tự ví dụ 1.1 ta chứng minh X (t) trình dừng với n σk2 cos λk t m(t) = EX (t) = 0, γ (t) = k=1 Ví dụ: Giả sử N (t), t ≥ trình Poisson với cường độ λ > L > số Ta xét trình sau X (t) = N (t + L) − N (t) Như vậy, N (t) số biến cố xẩy khoảng thời gian (0, t) X (t) số biến cố xẩy khoảng thời gian có độ dài L tính từ thời điểm t Ta có: m(t) = EX (t) = E [N (t + L) − N (t)] = (t + L)λ − tλ = λL = const Bây ta tính hàm tự hiệp phương sai r(s, t) = cov (X (s), X (t)) X (t) Ta giả thiết ≤ s ≤ t phân biệt hai trường hợp: a) t > s + L: Trong trường hợp hai khoảng (s, s + L) (t, t + L) rời nhau, N (s + L) − N (s) N (t + L) − N (t) độc lập, không tương quan, tức r(s, t) = b) s ≤ t ≤ s + L: Trong trường hợp ta có r(s, t) = cov [N (s + L) − N (s), N (t + L) − N (t)] = cov [N (s + L) − N (t) + N (t) − N (s), N (t + L) − N (t)] = cov [N (s + L) − N (t), N (t + L) − N (t)] (vì N (t) − N (s) N (t + L) − N (t) độc lập) Lại có cov [N (s + L) − N (t), N (t + L) − N (t)] = = cov [N (s + L) − N (t), N (t + L) − N (s + L) + N (s + L) − N (t)] = cov [N (s + L) − N (t), N (s + L) − N (t)] = V ar[N (s + L) − N (t)] (vì N (s + L) − N (t) N (t + L) − N (s + L) độc lập) Vì r(s, t) = V ar[N (s + L) − N (t)] = λ(s + L − t) = λ[L − (t − s)] Tương tự với ≤ t ≤ s tính đối xứng, cuối ta r(s, t) =   λ(L − |t − s|) |t − s| ≤ L  0 |t − s| > L Vậy X (t) trình dừng với hàm tự hiệp phương sai   λ(L − |t|) |t| ≤ L γ (t) =  0 |t| > L Hàm tự tương quan (ACF) Xt ρ(h) = γ (h) γ (0) Ta tìm ACF ARM A(p, q ) theo cách sau đây: q p φj γ (h − j ) + σε2 = j =1 Do Xt = j =0 j =1 q p θj Wt+h−j )Xt ] φj Xt+h−j + γ (h) = cov (Xt+h , Xt ) = E [( (2.18) θj ψj−h , h ≥ j =h ∞ k=0 ψk εt−k với h ≥ ta có: ∞ ψk εt−k )] = ψj−h σε2 E (εt+h−j Xt ) = E [εt+h−j ( k=0 Từ (2.18) ta có phương trình γ (h) − φ1 γ (h − 1) − − φp γ (h − p) = 0, h ≥ max(p, q + 1) (2.19) với điều kiện ban đầu p γ (h) − q φj γ (h − j ) = σ j =1 θj ψj−h , ≤ h < max(p, q + 1) (2.20) j =h Từ (2.19), (2.20) chia vế cho γ (0) ta có phương trình cho phép tìm ACF ARM A(p, q ) Như vậy: Đối với mơ hình MA(q), hàm tự tương quan (ACF) ρ(h) với |h| > q θq = nên ρ(q ) = Do ACF cho ta biết thơng tin bậc phụ thuộc mơ hình MA(q) 2.3.2 PACF: Hàm tự tương quan riêng Trước hết, ta xét mơ hình nhân AR(1) Xt = φXt−1 + εt Khi γ (2) = cov (Xt , Xt−2 ) = cov (φXt−1 + εt , Xt−2 ) = cov (φ2 Xt−2 + φXt−1 + εt , Xt−2 ) = φ2 γ (0) 49 Do Xt−2 liên quan đến εt−2 , εt−3 , không tương quan với εt−1 εt Hệ số tương quan Xt Xt−2 khác Xt phụ thuộc vào Xt−2 thơng qua Xt−1 Ta có cov (Xt − φXt−1 , Xt−2 − φXt−1 ) = cov (εt , Xt−2 − φXt−1 ) = Để định nghĩa hệ số tương quan riêng (PACF) cho chuỗi thời gian dừng, ta đặt xh− hồi quy Xh dựa Xh−1 , , X1 , nghĩa h Xhh−1 = β1 Xh−1 + β2 Xh−2 + + βh−1 X1 (2.21) Do EXt = nên (2.21) khơng có hệ số tự Gọi X0h−1 hồi quy X0 dựa X1 , , Xh−1 , tức X0h−1 = β1 X1 + β2 X2 + + βh−1 Xh−1 (2.22) Có thể chứng minh hệ số β1 , , βh−1 phương trình (2.21) (2.22) Định nghĩa 2.3.1 Hệ số tương quan riêng (PACF) trình dừng Xt ký hiệu φhh , với h = 1, 2, , φ11 = cov (X1 , X0 ) = ρ(1) Và φhh = cov (Xh − Xhh−1 , X0 − X0h−1 ), h ≥ Chú ý Xh −Xhh−1 X0 −X0h−1 không tương quan với X1 , X2 , , Xh−1 Do tính dừng ta có φhh hệ số tương quan Xt Xt−h sau loại bỏ phụ thuộc tuyến tính Xt−1 , Xt−2 , , Xt−(h−1) tức φhh hệ số tương quan Xt Xt−h theo phân bố có điều kiện (Xt , Xt−h ) biết Xt−1 , , Xt−(h−1) Ví dụ: Hệ số tương quan riêng trình nhân AR(1) Xét trình AR(1) Xt = φXt−1 + εt 50 với |φ| < Theo định nghĩa φ11 = ρ(1) = φ Để tính φ22 , ta xét hồi quy X2 theo X1 tức X21 = βX1 Ta chọn β cực tiểu E (X2 − βX1 )2 = γ (0) − 2βγ (1) + β γ (0) Lấy đạo hàm theo β cho ta β = γ (1) = ρ(1) = φ Do γ (0) X21 = φX1 Xét hồi quy X0 theo X1 tức X01 = βX1 Ta chọn β cực tiểu E (X0 − βX1 )2 = γ (0) − 2βγ (1) + β γ (0) Suy β = φ X01 = φX1 Theo định nghĩa φ22 = corr(X2 − φX1 , X0 − φX1 ) = γ (2) − 2φγ (1) + φ2 γ (0) = Vì γ (h) = γ (0)φh Do φ22 = Ở ví dụ ta thấy φhh = với h > Ví dụ: Hàm tự tương quan trình tự hồi quy nhân AR(p) Xét trình tự hồi quy p φj Xt−j + εt Xt = j =1 51 nghiệm φ(z ) nằm ngồi hình trịn đơn vị Nói riêng ta có p φj Xh−j + εh Xh = j =1 Khi h > p, hồi quy Xh theo Xh−1 , Xh−2 , , X1 p Xhh−1 = φj Xh−j j =1 Ta thừa nhận kết Từ kết ta có h > p φhh = corr(Xh − Xhh−1 , X0 − X0h−1 ) = corr(εh , X0 − Xhh−1 ) = Do tính nhân nên X0 − X0h−1 phụ thuộc vào εh−1 , εh−2 , Khi h ≤ p φhh = φ11 , , φp−1,p−1 không thiết Sử dụng lệnh R sau ta có ACF PACF q trình AR(2) (xem hình 2.1) > acf = ARM Aacf (ar = c(1.5, −0.75), ma = 0.24) > pacf = ARM Aacf ((ar = 1.5, −0.75), ma = 0.24, pacf = T ) > par(mf row = c(1.2)) > plot(acf, type = h , Xlab = lag ) > abline(h = 0) > plot(pacf, type = h , Xlab = lag ) > abline(h = 0) 52 Hình 2.1: Đồ thị hàm ACF PACF q trình AR(2) Ví dụ: Hàm tự tương quan trình M A(q ) khả nghịch Với trình MA(q) khả nghịch ta viết dạng ∞ Xt = − πj Xt−j + εt j =1 Hơn nữa, biểu diễn hữu hạn khơng tồn tại, tức khơng có πj = 0, ∀j ≥ M Do thấy hàm tự tương quan riêng PACF φhh không h đủ lớn trình AR(p) Với trình M A(1) Xt = εt + θεt−1 |θ| < Tính tốn tương tự ví dụ 2.10 ta có φ22 θ2 =− + θ2 + θ4 Tổng quát φhh = (−θ)h (1 − θ2 ) , h ≥ 1 − θ2(h+1) Như dáng điệu hàm tự tương quan riêng (PACF) trình MA giống hàm ACF trình AR dáng điệu hàm PACF 53 trình AR giống hàm ACF trình MA Vì trình ARMA khả nghịch có biểu diễn AR vơ hạn nên PACF khơng Ta tổng kết kết theo bảng sau: Bảng 1: Dáng điệu hàm ACF PACF cho trình ARMA khả nghịch, nhân AR(p) ACF Đuôi nhỏ MA(q) ARMA(p,q) Bằng sau độ trễ p Đuôi nhỏ PACF Bằng sau độ trễ p Đuôi nhỏ Đuôi nhỏ Từ kết ta xác định bậc p, q trình ARMA(p,q) 54 Chương Ứng dụng 3.1 Dữ liệu Ta xét liệu tổng thu nhập quốc dân (GNP - Gross National Product) Mỹ theo quý quý năm 1947 đến quý năm 2002, đơn vị tính tỷ USD Dữ liệu công bố Federal Resevre Bank of St Louis (http://research.st louisfed.org/) Chi tiết xem bảng 3.1 trang 60,61 (trong Xt GNP thời điểm t) 3.2 Phân tích Hình đồ thị plot liệu Từ đồ thị plot ta thấy cần phải biến đổi số liệu dạng Xt = (1 + pt )Xt−1 Trong pt tỉ lệ phần trăm thay đổi hai thời điểm t − t Lấy log hai vế ta có log(Xt ) − log(Xt−1 ) = log(1 + pt ) Khi pt nhỏ ta có Dif f (Xt ) := log(Xt ) − log(Xt−1 ) ≈ pt 55 Hình 3.1: Đồ thị plot liệu Hình 3.2: ACF chuỗi liệu gnp Dif f (Xt ) gọi tốc độ tăng trưởng (growth rate) Từ đồ thị ACF ta thấy giá trị hàm ACF ρ(h) bé với |h| > giá trị hàm PACF nhỏ |h| > nên ta dự đốn q trình Yt tn theo mơ hình M A(2) AR(1) hay trình log(Xt ) tuân theo mơ hình ARIM A(0, 1, 2) ARIM A(1, 1, 2) Tuy nhiên ta sử dụng tiêu chuẩn AIC BIC để lựa chọn mô hình số mơ hình ta đề xuất Các mơ hình đề xuất cho Yt gồm ARM A(i, j ) với i, j = 0, 1, 2, 56 Hình 3.3: Plot trình Yt = Dif f (Xt ) Hình 3.4: ACF PACF trình Yt Mơ hình (0, 1) AIC = 1417.167 57 BIC = 1406.972 Mơ hình (0, 2) AIC = 1424.496 BIC = 1410.876 Mơ hình (1, 0) AIC = 1423.758 BIC = 1413.563 Mơ hình (1, 1) AIC = 1422.625 BIC = 1409.032 Mơ hình (1, 2) AIC = 1423.487 BIC = 1406.496 Như mơ hình xét mơ hình tốt mơ hình M A(2) theo tiêu chuẩn AIC mơ hình AR(1) tốt theo tiêu chuẩn BIC 58 3.3 Code R > gnp96 = read.csv ( D : /gnp96.csv , header = F ALSE ) > gnp = ts(gnp96[, 2], start = 1947, f requency = 4) > plot(gnp) > acf (gnp, 50) > gnpgr = dif f (log(gnp))#growth rate > plot.ts(gnpgr) > par(mf row = c(2, 1)) > acf (gnpgr, 24) > pacf (gnpgr, 24) > gnpgr.ar = arima(gnpgr, order = c(1, 0, 0)) > gnpgr.ma = arima(gnpgr, ord = c(0, 0, 2)) > gnpgr.ar > gnpgr.ma > model < −arima(x = gnpgr, order = c(1, 0, 0), method = M L ) > model$aic > aic > bic = AIC (model, k = log(length(ts.sim))) > bic 59 Bảng 3.1: liệu tổng thu nhập quốc dân (GNP) Mỹ đo theo quý từ quý năm 1947 đến quý năm 2002 Năm GNP Năm GNP Năm GNP Năm GNP 1947.1 1488.9 1955.1 2071.6 1963.1 2654.8 1971.1 3691.3 1947.2 1496.9 1955.2 2104.3 1963.2 2688.2 1971.2 3712.8 1947.3 1500.5 1955.3 2132.4 1963.3 2739.8 1971.3 3738.4 1947.4 1524.3 1955.4 2143.9 1963.4 2760.3 1971.4 3749.2 1948.1 1546.6 1956.1 2136.4 1964.1 2823.2 1972.1 3823.4 1948.2 1571.1 1956.2 2152.8 1964.2 2855.7 1972.2 3910.0 1948.3 1577.6 1956.3 2150.8 1964.3 2894.7 1972.3 3950.7 1948.4 1580.5 1956.4 2184.1 1964.4 2900.5 1972.4 4018.7 1949.1 1558.2 1957.1 2198.8 1965.1 2974.0 1973.1 4125.0 1949.2 1553.6 1957.2 2195.0 1965.2 3014.6 1973.2 4168.3 1949.3 1570.7 1957.3 2215.5 1965.3 3073.6 1973.3 4158.0 1949.4 1553.9 1957.4 2189.2 1965.4 3144.5 1973.4 4192.5 1950.1 1618.4 1958.1 2131.0 1966.1 3222.6 1974.1 4168.1 1950.2 1667.2 1958.2 2143.6 1966.2 3234.8 1974.2 4176.5 1950.3 1733.1 1958.3 2190.9 1966.3 3254.7 1974.3 4126.5 1950.4 1763.9 1958.4 2239.7 1966.4 3283.7 1974.4 4098.0 1951.1 1782.9 1959.1 2286.2 1967.1 3313.4 1975.1 4040.1 1951.2 1814.9 1959.2 2345.5 1967.2 3310.7 1975.2 4075.6 1951.3 1851.6 1959.3 2345.5 1967.3 3336.6 1975.3 4148.4 1951.4 1855.8 1959.4 2354.1 1967.4 3360.8 1975.4 4206.7 1952.1 1876.7 1960.1 2405.4 1968.1 3429.2 1976.1 4304.2 1952.2 1878.2 1960.2 2393.9 1968.2 3488.3 1976.2 4341.2 1952.3 1889.9 1960.3 2398.9 1968.3 3513.4 1976.3 4362.0 1952.4 1951.9 1960.4 2369.3 1968.4 3528.1 1976.4 4398.4 1953.1 1987.4 1961.1 2383.7 1969.1 3582.2 1977.1 4457.6 1953.2 2004.3 1961.2 2427.1 1969.2 3590.6 1977.2 4535.9 1953.3 1990.2 1961.3 2467.2 1969.3 3610.3 1977.3 4616.4 1953.4 1958.6 1961.4 2517.5 1969.4 3593.3 1977.4 4616.6 1954.1 1949.7 1962.1 2561.0 1970.1 3589.1 1978.1 4636.0 1954.2 1952.6 1962.2 2590.3 1970.2 3597.4 1978.2 4804.8 1954.3 1973.7 1962.3 2615.7 1970.3 3628.3 1978.3 4854.6 1954.4 2014.1 1962.4 2625.1 1970.4 3587.6 1978.4 4925.8 60 Năm GNP Năm GNP Năm GNP Năm GNP 1979.1 4939.6 1985.1 5664.3 1991.1 6667.4 1997.1 8025.1 1979.2 4949.3 1985.2 5710.9 1991.2 6692.1 1997.2 8145.6 1979.3 4995.6 1985.3 5788.6 1991.3 6704.7 1997.3 8225.1 1979.4 5011.4 1985.4 5839.6 1991.4 6749.4 1997.4 8276.9 1980.1 5028.8 1986.1 5887.3 1992.1 6811.1 1998.1 8405.4 1980.2 4922.5 1986.2 5901.9 1992.2 6873.8 1998.2 8448.7 1980.3 4911.3 1986.3 5959.0 1992.3 6923.3 1998.3 8517.6 1980.4 4986.3 1986.4 5981.7 1992.4 7015.1 1998.4 8662.0 1981.1 5086.4 1987.1 6027.6 1993.1 7020.9 1999.1 8755.5 1981.2 5048.1 1987.2 6095.8 1993.2 7056.0 1999.2 8801.8 1981.3 5110.5 1987.3 6145.8 1993.3 7092.4 1999.3 8906.4 1981.4 5056.8 1987.4 6254.1 1993.4 7182.1 1999.4 9071.1 1982.1 4969.4 1988.1 6302.0 1994.1 7249.8 2000.1 9119.7 1982.2 4996.9 1988.2 6372.8 1994.2 7346.3 2000.2 9233.0 1982.3 4963.4 1988.3 6402.0 1994.3 7385.1 2000.3 9238.2 1982.4 4964.8 1988.4 6487.4 1994.4 7476.0 2000.4 9274.0 1983.1 5021.5 1989.1 6565.6 1995.1 7510.2 2001.1 9241.7 1983.2 5142.2 1989.2 6599.7 1995.2 7528.6 2001.2 9224.3 1983.3 5233.9 1989.3 6633.4 1995.3 7572.3 2001.3 9199.8 1983.4 5342.0 1989.4 6663.4 1995.4 7645.2 2001.4 9283.5 1984.1 5452.6 1990.1 6743.6 1996.1 7703.1 2002.1 9367.5 1984.2 5544.3 1990.2 6760.8 1996.2 7820.4 2002.2 9376.7 1984.3 5591.1 1990.3 6742.6 1996.3 7853.5 2002.3 9477.9 1984.4 5627.1 1990.4 6713.3 1996.4 7947.9 2002.4 61 KẾT LUẬN Luận văn ”Các tiêu chuẩn lựa chọn mơ hình chuỗi thời gian” tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Trình bày cách hệ thống hai tiêu chuẩn thơng tin quan trọng để lựa chọn mơ hình, tiêu chuẩn thông tin Akaike tiêu chuẩn thông tin Bayesian Trình bày ứng dụng phần mềm thống kê R liệu thực tế để tính giá trị AIC, BIC cho mơ hình khác để lựa chọn mơ hình tốt theo hai tiêu chuẩn AIC BIC Mặc dù cố gắng, đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn nên ln văn cịn hạn chế chưa trình bày thêm số tiêu chuẩn khác như: tiêu chuẩn Takeuchi, tiêu chuẩn AIC hiệu chỉnh, , chưa so sánh hiệu hai tiêu chuẩn AIC BIC Luận văn không tránh khỏi thiếu xót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy, bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh 62 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, Thống Kê Toán Học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2004 [2] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2005 [3] Đặng Hùng Thắng, Các mơ hình xác suất ứng dụng, phần II, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [4] Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013 [5] Nguyễn Văn Hữu - Nguyễn Hữu Dư, Phân tích thống kê dự báo, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Allan D R McQuarrie Chinh-Ling Tsai, Regession and Time Series Model Selection, World Scientific [7] Cambridge Series in statistical and Probabilistic, Model Selection and Model Averaging [8] Genshiro Kitagama, Introduction to Time Series Modeling 63